2021年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学乙卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答 案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1.设 2（z+ ）+3(z- )=4+6i，则 z=( ). zzB.1+2i D.1-i A.1-2i C.1+i 2.已知集合 S=｛s|s=2n+1,n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1,n∈Z｝，则 S∩T=( ) A. B.S D.Z ∅C.T | | 3.已知命题 p： x∈R，sinx＜1；命题 q： x∈R， x ≥1，则下列命题中为真 ∃∀푒命题的是（ ） A.p q B. p q ¬ ∧ ∧C.p q ∧ ¬ D. (pVq) ¬1−푥 4.设函数 f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ） 1 + 푥 A.f(x-1)-1 C.f(x+1)-1 B.f(x-1)+1 D.f(x+1)+1 5.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，P为 B1D1的中点，则直线 PB与 AD1所成的角为（ ） A.π2 B.π3 D.π6 C.π4 6.将 5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4个项目进 行培训，每名志愿者只分到 1个项目，每个项目至少分配 1名志愿者，则不同的 分配方案共有（ ） A.60种 B.120种 D.480种 C.240种 7.把函数 y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变，再把所 得曲线向右平移π3 个单位长度，得到函数 y=sin(x-π4 )的图像，则 f(x)=（ ） A.sin(2푥 )B. sin(2푥 D. sin( )7π12 π−+12 7π)2푥 + 12 πC. sin( )2푥− 12 8.在区间（0,1）与（1,2）中各随机取 1个数，则两数之和大于47的概率为（ ） 23 A.74 B. 32 C.392 D.29 9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量 海盗的高。如图，点 E,H,G在水平线 AC上，DE和 FG是两个垂直于水平面且等 高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和 EH都称为“表目 距”，GC与 EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高 AB=（ ）. A：表高 × 表距 B：表高 × 表距 +表高 +表距 表高 −表目距的差 表目距的差 C：表高 × 表距 D：表高 × 表距 表距 −表目距的差 表目距的差 = a(x−a)2 的极大值点，则（ ）. (x−b) 10.设 a≠0，若 x=a为函数 f(x) B：a＞b D：ab＞a2 A：a＜b C：ab＜a2 2y2 b2 11.设 B是椭圆 C：ax2 （a＞b＞0）的上顶点，若 C上的任意一点 P都满 = 1 +足，则 C的离心率的取值范围是（ ）. ≤ 2b |PB| 2 ,1 21 ,1 0, 12 A： C： B： D： 220, 21.04 ，则（ ）. −1 12.设 ，，= ln 1.02c = a = 2ln 1.01 bA：a＜b＜c C：b＜a＜c B：b＜c＜a D：c＜a＜b 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。 213.已知双曲线 C：x 23（m>0）的一条渐近线为 +my=0，则 C 的焦距 x−= 1 ym为.14.已知向量 a=（1，3），b=（3，4），若（a-λb）⊥b，则λ= 15.记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 ，B=60°， a2+c2=3ac，则 b= 。3.16.以图①为正视图和俯视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图， 组 成 某 个 三 棱 锥 的 三 视 图 ， 则 所 选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为 （写出符合要求的一组答案即可）. 三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求 作答。 （一）必考题：共 60分。 17.（12分） 某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提 高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10件产品，得到各件产品该项指标数 据如下： 旧设 9.8 10.310.0 10.2 9.99.8 10.010.1 10.2 9.7 备新设 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10. 备5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别 x y 记为 s12和 s22 （1） 求 ， ， s 2，s 2； x y 12（2） 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 – y22s1 s2 +≥，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著 2×2提高，否则不认为有显著提高）. 18.(12分) 如图，四棱锥 P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面 ABCD，PD=DC=1，M为 BC的中点， 且 PB⊥AM， （1） 求BC； （2） 求二面角A-PM-B的正弦值。 19.（12分） 记 S n为数列{an}的前 n项和，bn为数列{Sn}的前 n项和，已知 2 b1 =2. +푆n n（1） 证明：数列{bn}是等差数列； （2） 求{an}的通项公式. 20.（12分） 设函数 f（x）=ln（a-x），已知 x=0是函数 y=xf（x）的极值点。 （1） 求a； （2） 设函数g（x）=x+ f（x），证明：g（x）＜1. xf（x） 21.（12 分） 己知抛物线 C：x2=2py（p＞0）的焦点为 F，且 F与圆 M：x2+（y+4）2=1上点的 距离的最小值为 4. （1）求 p； （2）若点 P在 M上，PA,PB是 C的两条切线，A,B是切点，求 PAB的最大值. Δ（二）选考题：共 10分，请考生在第 22、23题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分。 22.［选修 4一 4：坐标系与参数方程］（10分） 在直角坐标系 xOy中， C的圆心为 C（2，1），半径为 1. ⊙（1）写出 C的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程； ⊙（2）过点 F（4,1）作 C的两条切线, 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极 ⊙轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程. 23.[选修 4一 5：不等式选讲]（10分） 已知函数 f（x）=|x-a|+|x+3|. （1）当 a=1时，求不等式 f（x）≥6的解集； （2）若 f（x）≥ —a ,求 a的取值范围.
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