2015年天津高考文科数学试题及答案(Word版)下载

2015年高考天津市文科数学真题 一、选择题 1．已知全集 ，集合 A ={2,3,5}，集合 ，则集合 ACU B = （）U ={1, 2,3, 4,5,6} B． B ={1,3, 4,6} D． A． C． {1, 4,6} {3} {2,5} {2,3,5} ìx – 2 £ 0 x – 2y £ 0 ïï2．设变量 x, y 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为 （）z = 3x +y íïx +2y – 8 £ 0 ïîA．7 B．8 C．9 D．14 3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5 4．设 xÎ R ，则“1< x < 2”是“ ”的（ ）| x – 2 |<1 A．充分而不必要条件 C．充要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 x2 y2 25．已知双曲线 -=1(a >0,b >0) 的一个焦点为 ，且双曲线的渐近线与圆 x – 2 +y2 =3 相F(2,0) ()a2 b2 切，则双曲线的方程为（ ）x2 y2 x2 y2 x2 y2 A． -=1 B． -=1 C． – y2 =1 D． x2 – =1 913 13 9336．如图，在圆 O 中，M，N 是弦 AB 的三等分点，弦 CD，CE 分别经过点 M，N，若 CM=2，MD=4， CN=3，则线段 NE 的长为（ ）8310 352A． B．3 C． D． 7．已知定义在 R 上的函数 f (x) = 2|x- m| – 1(m为实数) 为偶函数， 记a = f (log0.5 3), b = f (log2 5),c = f (2m) ，则 ,的大小关系为（ ）a, b,c A． a < b <c 8．已知函数 B． c < a < b C． a <c < b D． c <b < a ìï2- | x |, x £ 2 (x – 2)2 , x >2 f (x) = ，函数 ，则函数 的零点的个数为 y = f (x) – g(x) g(x) = 3 – f (2 – x) íïî（）A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 1 2i 2  i 9．i 是虚数单位，计算 的结果为 ．10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 ．11．已知函数 f x axln x, x 0, ，其中 a 为实数， f x    为f x的导函数，若 f 1  3 ，则    a 的值为 ．12．已知 则当 a 的值为 时log alog 2b 取得最大值。 2  a  0,b  0, ab  8, 213．在等腰梯形 ABCD 中，已知 ，AB  2, Bc 1,ABC  60 , 点 E 和点 F 分别在线段 BC 和   AB  DC     21CD 上，且 BE  BC, DF  DC, 则 AE  AF 的值为 ．3614．已知函数 f x sinx  cosx   0 ,xR, 若函数 f x在区间 , 内单调递增，且函数     f x的图像关于直线 x   对称，则   的值为 ．三、解答题 15．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27,9,18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽 取 6 名运动员参加比赛。 （Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数； （Ⅱ）将抽取的 6 名运动员进行编号，编号分别为 A , A2 , A , A4 , A , A6 ，从这 6 名运动员中随机抽取 2 名 135参加双打比赛。 （i）用所给编号列出所有可能的结果； （ii）设 A 为事件“编号为 A , A6 的两名运动员至少有一人被抽到”，求事件 A 发生的概率。 5116．△ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，已知△ABC 的面积为3 15 （Ⅰ）求 a 和 sinC 的值； ，b  c  2,cos A  , 46（Ⅱ）求 cos 2A 的值。 17．如图，已知 AA  平面 ABC， BB  AA , AB=AC=3， BC  2 5,AA  7 ,， BB  2 7, 点 E，F 11111分别是 BC， AC 的中点， 1（Ⅰ）求证：EF 平面 A B BA；（Ⅱ）求证：平面 AEA  平面 BCB 。1111（Ⅲ）求直线 A B与平面 BCB1 所成角的大小。 1118．已知 是各项均为正数的等比数列， 是等差数列，且a1 =b =1,b2 +b3 = 2a3 , a b n n 1{ } { } a5 – 3b2 = 7 .（Ⅰ）求 和 的通项公式； a b { } { } n n （Ⅱ）设 cn = anbn ,nÎ N* ,求数列 c的前 n 项和. { } nx2 y2 519．已知椭圆 +=1(a >b >0)的上顶点为 B，左焦点为 F,离心率为 .a2 b2 5（Ⅰ）求直线 BF 的斜率； （Ⅱ）设直线 BF 与椭圆交于点 P（P 异于点 B），故点 B 且垂直于 BF 的直线与椭圆交于点 Q（Q 异于点 B）直线 PQ 与 x 轴交于点 M， .|PM|=l |MQ| （i）求 l的值； 7 5 9（ii）若|PM|sinÐBQP= ，求椭圆的方程. 20．已知函数 f (x) = 4x – x4 , xÎ R, 其中 * ，且 n ³ 2 .n Î N （Ⅰ）求 的单调区间； f (x) （Ⅱ）设曲线 与x轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为 ，求证：对于任意 y = f (x) ，都有 y = g(x) 的实数 x;f (x) £ g(x) 1a（Ⅲ）若方程 f (x)=a(a为实数) 有两个正实数根 x1，x2， 且x1 < x2 ，求证： x2 -x1 < -+43 . 32015年高考天津市文科数学真题 一、选择题 1．答案：B 解析过程： A ={2,3,5} ，C B= 2,5 ，则 A (C B)  2,5 ，选 B { } UU2．答案： C 解析过程： 51z  3x  y  (x  2)  (x  2y 8)  9  9 22当x  2, y  3时取得最大值 9，选 C 3．答案：C 解析过程： 由程序框图可知：i  2,S  8 ；i  3,S  5 ；i  4,S 1，选 C 4．答案：A 解析过程： 由x  2 1 1 x  2 11 x  3 ,可知“1< x < 2”是“| x – 2 |<1”的充分而不必要条件,选 A. 5．答案：D 解析过程： 2b a2  b2 双曲线的渐近线为bx  ay  0 ，由题意得  3 ，又c  a2  b2  2 ，解得 a 1 ，b  3 ，选 D 6．答案：A 解析过程： 由相交弦定理可得 1CM  MD 8CM  MD  CN  NE  AB AB  NE   , 选 A. 3CN 37．答案：B 解析过程： 由f x为偶函数得 m  0,所以 a  2,b  4,c  0 ,选 B.   8．答案：A 解析过程： 当x  0 时， f 2  x  x2 ，1 5 此时方程 f x g x  1 x  x2 的小于零的零点为 x      ；2当0  x  2时， f 2  x  2  2  x  x ，方程 f x g x  2  x  x  2 无零点；    当x  2 时， f 2  x  2  2  x  4  x ，2方程 f x g x  x  2  x  7  x2 3x 3 大于 2的零点有一个    选 A 二、填空题 9．答案：-i 解析过程： 1 2i i2  2i i i 2  i 2  i 2  i 2  i 810．答案： 3解析过程： 该几何体是由两个高为 1 的圆锥与一个高为 2 圆柱组合而成, 18π 所以该几何体的体积为 2 π1 π2  (m3 ) 3311．答案：3 解析过程： 因为 f x a 1 ln x ,所以 f 1  a  3 .    12．答案：4 解析过程：  log a  log 2b  2  2log alog 2b  2  22112log 2ab 2  log 16 4 4224当a  2b 时取等号,结合 a  0,b  0,ab  8, 可得 a  4,b  2. 29 13．答案： 18 解析过程： 在等腰梯形 ABCD 中,由 AB  DC ,AB  2, BC 1,ABC  60 ,       121得AD BC  ,AB AD 1 ,DC  AB ,2    所以 AE  AF  AB  BE  AD  DF       21   AB  BC  AD  AB     312         AB AD  BC  AD  AB2  BC  AB 211312 18 1 1 129 1   3 3 1818 214．答案： 解析过程： 由f x在区间 , 内单调递增,且 f x的图像关于直线 x   对称,    ππ可得 2  所以2  ,且 f   sin2  cos2  2  sin 2  1 ,  4πππ   .42215．答案：见解析 解析过程： （I）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为 3,1,2； （II）（i）从 这 6 名运动员中随机抽取 2 名参加双打比赛,所有可能的结果为 A , A ,,,A , A ,A , A ,A , A ,A , A ,2 3 4 5  6 11111A , A A , A ,A , A ,A , A ,A , A ,3 4  5  6 4 22223A , A A , A ,A , A ,A , A ,A , A ,共 15 种. 5  6 5  6 6 33445（ii）编号为 A , A6 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为 5A , A ,A , A ,A , A ,A , A A , A ,,5  6 5  6  5 11223A , A 6 ,A , A ,A , A 6 ,A , A ,共 9 种, 5  6 344593所以事件 A 发生的概率 P A  .   15 5116．△ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，已知△ABC 的面积为3 15 （Ⅰ）求 a 和 sinC 的值； ，b  c  2,cos A  , 46（Ⅱ）求 cos 2A 的值。 答案：见解析 解析过程： 115 4（Ⅰ） ABC 中，由 cos A  ，得sin A  ，41由bcsin A  3 15，得bc  24 ，2又由b  c  2，解得b  6,c  4 。由由a2  b2  c2  2bccos A，可得 a  8 .ac15 8，得sinC  sin A sinC 666（Ⅱ） cos(2A )  cos2Acos sin 2Asin 315  7 3 (2cos2 A1) sin Acos A 216 17．答案：见解析 解析过程： （I）证明：如图,连接 A B ,1在△ A BC 中,因为 E 和 F 分别是 BC, AC 的中点, 11所以 EF  BA ,又因为 EF 平面 A B BA , 11 1 所以 EF 平面 A B BA . 1 1 （II）因 为AB=AC,E 为 BC 中点,所以 AE  BC 因为 AA  平面 ABC, BB  AA , ,111所以 BB  平面 ABC,从而 BB  AE ,11又BC  BB  B ,所以 AE  平面 BCB ,11又因为 AE  平面 AEA1 ,所以平面 AEA  平面 BCB .11（Ⅲ）取 BB 中点 M和 B C 中点 ，连接A M， A N ， N1 1 1 1因为 N和E分别为 B C ，BC 中点， 11所以 NE / /BB ，NE  BB ，112故NE / /AA ，NE  AA ，11所以 A N / /AE ，A N  AE ，11又因为 AE  平面 BCB1 ，所以 A N  平面 BCB ，11从而 A B N 就是直线 A B1 与平面 BCB1 所成角， 111在ABC 中，可得 AE  2 ，所以 A N  AE  2 ，1因为 BM / /AA ，BM  AA1 ，所以 A M/ /AB ， A M AB ， 111又由 AB  BB1 ，有 A M BB ，11在在RtA MB1 中，可得 A B 4， 11 1 A N 121RtA NB1 中，sinA B N  ，11 1 A B 1因此 A B N  300 ，所以，直线 A B1 与平面 BCB1 所成角为300 .11118．答案：见解析 解析过程： （I）设 a的公比为 q, b的公差为 d, { } { } nn22q 3d  2, q4 3d 10, 由题意 q  0 ,由已知,有 消去 d 得 q4  2q2 8  0, 解得 q  2,d  2 ,所以 a的通项公式为 an  2n1,nN ,{ } nb{ } n的通项公式为 .bn  2n 1,nN （II）由（I）有 c  2n 1 2n1 ,设 c的前 n 项和为 Sn , { } nn则S 120  321  522  2n 1 2n1, n2S 121  322  523  2n 1 2n , n两式相减得 S 1 22  23  2n  2n 1 2n  2n 3 2n 3, n所以 S  2n 3 2n  3 .n19．答案：见解析 解析过程： c5（I） F c,0 ,由已知 及a2  b2  c2 , a5可得 a  5c,b  2c ,又因为 B 0,b ,b  0 bc故直线 BF 的斜率 k   2 .0  c （II）设点 P x , y ,Q x , y , M x , y ,P  M  Q  PQMx2 y2 （i）由（I）可得椭圆方程为 1, 5c2 4c2 直线 BF 的方程为 y  2x  2c ,5c 两方程联立消去 y 得3×2  5cx  0, 解得 xP   .31因为 BQ  BP ,所以直线 BQ 方程为 y  x  2c ,2与椭圆方程联立消去 y 得 21×2  40cx  0 ,PM MQ 40c 解得 xQ  .又因为   ,21 xM  xP xQ  xM xP xQ 7及xM  0 得   . 8PM 78（ii）由（i）得 ,MQ PM 7715 7所以 ,即 PQ  PM ,PM  MQ 7 8 15 7 5 又因为|PM|sinÐBQP= ,915 75 5 3所以 BP =|PQ|sinÐBQP =|PM|sinÐBQP = .4又因为 yP  2xP  2c  c ,3225c 4c 5 5 3所以 BP  0   2c  c,335 5 35 5 3×2 y2 因此 c  ,c 1, 所以椭圆方程为 1. 5420．答案：见解析 解析过程： 3（I）由 f (x) = 4x – x4 ,可得 f (x) = 4 – 4x ,¢当当f x 0 ,即 x 1 时,函数 f x单调递增；    f x 0 ,即 x 1 时,函数 f x单调递减.    所以函数 f x的单调递增区间是 ,1 ,单调递减区间是 1, .  1（II）设 P x,0 ,则 x0  43 ,f x  12,   00曲线 y  f x在点 P 处的切线方程为 y  f xx  x ,    0  0即即g x  f xx  x ,令 F x  f x g x     0        0F x  f x f x x x    0  则F x f x f x .      0由于 f (x) = 4 – 4×3 在, 单调递减, 故F x   在, 单调递减,又因为 F x  0 ,  0所以当 x , x 时, F x 0 ,当 x x , 时, F x 0 ,0      0所以 F x   在, x 单调递增,在 x , 单调递减, 0  0所以对任意的实数 x, F x  F x 0 ,    0对于任意的正实数 x,都有 f (x) £ g(x) .1（Ⅲ）由（II）知 g(x)  12(x  43 ) ，1a设方程 g x  a 的根为 x2 ，可得 x2   43 ，  12 因为 g x   在, 单调递减， 。又由（II）知 g(x2 )  f (x2 )  a  g(x2 )，所以 x2  x2 类似的，设曲线 y  f x在原点处的切线为 y  h(x)，可得 h x  4x ，    对任意的 x , ，有 f x h x  x4  0 即f x h x 。       a设方程 h x  a 的根为 x1 ，可得 x1    ，4因为 h x  4x   在, 单调递增，且 h x1  a  f x  h x ，    111a3因此， x1  x1 ，所以 x2  x1  x2  x1   4 3