2021年上海市春季高考数学试卷下载

2021 年上海市春季高考数学试卷 一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1．已知等差数列{an}的首项为 3，公差为 2，则 a10  　　． 2．已知 z 1 3i ，则| z  i | 　　． 3．已知圆柱的底面半径为 1，高为 2，则圆柱的侧面积为　　． 2x  5 4．不等式 1的解集为　　． x  2 5．直线 x  2 与直线 3x  y 1 0 的夹角为　　． a x  b y  c a1 b11116．若方程组 无解，则  　　． a2 x  b2 y  c2 a2 b2 7．已知 (1 x)n 的展开式中，唯有 x3 的系数最大，则 (1 x)n 的系数和为　　． a8．已知函数 f (x)  3x  (a  0) 的最小值为 5，则 a  　　． 3x 1 9．在无穷等比数列{an}中， lim(a1  an )  4 ，则 a2 的取值范围是　　． n 10．某人某天需要运动总时长大于等于 60 分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有 几种运动方式组合　　 A运动 B运动 8 点 9 20 分钟 C运动 9 点 10 40 分钟 1(0  b 1) 的左、右焦点为 D运动 10 点 11 30 分钟 E 运动 7 点 8 点点点点11 点 12 点30 分钟 30 分钟 y2 b2 11．已知椭圆 x2  F、F2 ，以 O为顶点， F2 为焦点作抛物 1线交椭圆于 P ，且 PF F2  45 ，则抛物线的准线方程是　　． 1312．已知   0，存在实数 ，使得对任意 n N * ，cos(n )  ，则 的最小值 2是　　． 二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分) 13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是A． f (x)  x2 C． f (x)  2x B． f (x)  sin x 14．已知集合 A {x | x  1 x R} B {x | x2  x  2… 0 的是A． A  B 15．已知函数 y  f (x) 的定义域为 ()D． f (x) 1 ，，，x R}，则下列关系中，正确 ()B．ð A  ð B C． AB   D． AB  R RRR，下列是 f (x) 无最大值的充分条件是 (　　 )A． f (x) 为偶函数且关于点 (1,1) 对称 B． f (x) 为偶函数且关于直线 x 1对称 C． f (x) 为奇函数且关于点 (1,1) 对称 D． f (x) 为奇函数且关于直线 x 1对称 16．在 ABC 中， D为BC 中点， E为AD 中点，则以下结论：①存在 ABC ，使得     AB CE  0 ；②存在三角形 ABC ，使得CE / /(CB  CA) ；它们的成立情况是 ( 　　 ) 第 1 页（共 12 页） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18＝76 分） 17．（14 分）四棱锥 P  ABCD ，底面为正方形 ABCD ，边长为 4， E 为 AB 中点， PE  平 面ABCD （1）若 PAB 为等边三角形，求四棱锥 P  ABCD 的体积； （2）若CD 的中点为 PF 与平面 ABCD 所成角为 45，求 PC ．F，与AD 所成角的大小． 18．（14 分）已知 A、B、C为；ABC 的三个内角， a、b、c是其三条边， a  2 ，1cosC   ．4（1）若sin A  2sin B ，求 b、c44（2）若 cos(A  )  ，求 c．519．（14 分）（1）团队在 O点西侧、东侧 20 千米处设有 满足| PA|  | PB | 20 千米，可知 为焦点的双曲线上，以 轴正半轴，北侧为 轴正半轴，建立平面直角坐标系， 在北偏东60 处，求双曲线标 点坐标． （2）团队又在南侧、北侧 15 千米处设有 米，| QC |  | QD |10 千米，求| OQ | （精确到 1 米）和 A、B两站点，测量距离发现一 点为PxP在A、BO点为原点，东侧 yP准方程和 PC、D两站点，测量距离发现| QA|  | QB | 30 点位置（精确到 1 米，1) 千Q20．（16 分）已知函数 f (x)  | x  a | a  x （1）若 a 1，求函数的定义域； ．（2）若 a  0 ，若 f (ax)  a 有 2 个不同实数根，求 a的取值范围； （3）是否存在实数 a，使得函数 f (x) 在定义域内具有单调性？若存在，求出 a的取值范 围． 21．（18 分）已知数列{an}满足 an… 0 ，对任意 n… 2 an1 的等差中项． an an1 中存在一项使其为另一项与 ， 和 （1）已知 a1  5 ，a2  3 ，a4  2 ，求 a3 的所有可能取值； a2 a5 a8 为正数，求证： a2 a5 a8 成等比数列，并求出公 、 、 （2）已知 a1  a4  a7  0 ，、、比 q ； （3）已知数列中恰有 3 项为 0，即 ar  as  at  0 ar1  as1  at1 的最大值． 2  r  s  t ，且 a1 1 a2  2 ，求 ， ， 第 2 页（共 12 页） 2021 年上海市春季高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1．已知等差数列{an}的首项为 3，公差为 2，则 a10  　21　． 【思路分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解． 【解析】：因为等差数列{an}的首项为 3，公差为 2， 则a10  a1  9d  3  9 2  21．故答案为：21． 【归纳总结】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题． 2．已知 z 1 3i ，则| z  i | 　． 【思路分析】由已知求得 z  i ，再由复数模的计算公式求解． 【解析】： z 1 3i z  i 1 3i  i 1 2i | z  i ||1 2i | 12  22  5 ．故答案为： 　5，，则5．【归纳总结】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础 题． 3．已知圆柱的底面半径为 1，高为 2，则圆柱的侧面积为　 4 　． 【思路分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可． 【解析】：圆柱的底面半径为 r 1，高为 h  2 ，所以圆柱的侧面积为 S侧  2rh  2 1 2  4 ．故答案为： 4 ．【归纳总结】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题． 2x  5 x  2 4．不等式 1的解集为　 (7,2) 　． x  7 【思路分析】由已知进行转化  0 ，进行可求． x  7 x  2 2x  5 x  2 2x  5 x  2 【解析】： 1 1 0   0 ，解得， 7  x  2．故答案为： (7,2) ．x  2 【归纳总结】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题． 65．直线 x  2 与直线 3x  y 1 0 的夹角为　． 【思路分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角． 2【解析】： 直线 x  2 的斜率不存在，倾斜角为 ，3直线 3x  y 1 0 的斜率为 3，倾斜角为 ，2366故直线 x  2 与直线 3x  y 1 0 的夹角为 故答案为： ．【归纳总结】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题． a x  b y  c a1 b11116．若方程组 无解，则  　0　． a2 x  b2 y  c2 a2 b2 【思路分析】利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案． 第 3 页（共 12 页） a x  b y  c a1 bc1 b1a1 c1 a2 c2 1111【解析】：对于方程组 ，有 D  , Dx  , Dy  ，a2 x  b2 y  c2 a2 b2 c2 b2 Dx x  y  DDy 当D  0 时，方程组的解为 ，Da x  b y  c 111根据题意，方程组 无解， a2 x  b2 y  c2 a1 b1所以 D  0 ，即 D   0 ，故答案为：0． a2 b2 【归纳总结】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组的 解与对应系数之间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列 式表示法中对应的公式． 7．已知 (1 x)n 的展开式中，唯有 x3 的系数最大，则 (1 x)n 的系数和为　64　． 【思路分析】由已知可得 n  6 ，令 x 1，即可求得系数和． 【解析】：由题意，Cn3  Cn2 ，且Cn3  Cn4 所以 n  6 ，所以令 x 1 (1 x)6 的系数和为 26  64．故答案为：64． ，，【归纳总结】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题． a8．已知函数 f (x)  3x  (a  0) 的最小值为 5，则 a  　9　． 3x 1 【思路分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数解 a析式变形成 f (x)  3x 1 1，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条 3x 1 件． aa【解析】： f (x)  3x   3x 1 1… 2 a 1 5 ，3x 1 3x 1 所以 a  9 ，经检验，3x  2 时等号成立．故答案为：9． 【归纳总结】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为 定值，属于基础题． 9．在无穷等比数列 {an}中， lim(a1  an )  4 ，则 a2 的取值范围是　 (4 ，0) (0 ，n 4) 　． 【思路分析】由无穷等比数列的概念可得公比 而得解． q 的取值范围，再由极限的运算知 a1  4 ，从 【解析】： ，无穷等比数列{an} ，公比 q(1 ，0) (0 ，1) ，lim a  0 lim(a  a )  a  4 0) (0 ， 4) ． a2  a1q  4q(4 ， ， n1n1n n 故答案为： (4 ，0) (0 ，4) ．【归纳总结】本题考查无穷等比数列的概念与性质，极限的运算，考查学生的运算求解能力， 属于基础题． 10．某人某天需要运动总时长大于等于 60 分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有 几种运动方式组合　23 种　 第 4 页（共 12 页） A运动 7 点 8 30 分钟 B运动 8 点 9 20 分钟 C运动 9 点 10 40 分钟 D运动 10 点 11 30 分钟 E 运动 点点点点11 点 12 点30 分钟 【思路分析】由题意知至少要选 2 种运动，并且选 2 种运动的情况中， AB 、 DB 、 EB 的 组合不符合题意，由此求出结果． 【解析】：由题意知，至少要选 2 种运动，并且选 2 种运动的情况中， AB 、 DB 、 EB 的组 合不符合题意； 所以满足条件的运动组合方式为：C52  C53  C54  C55  3 10 10  5 1 3  23 （种 ) ． 故答案为：23 种． 【归纳总结】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了统筹问题的思想应用问题，是基 础题． y2 b2 11．已知椭圆 x2  1(0  b 1) 的左、右焦点为 、 为顶点，F2 为焦点作抛物 F F2 ，以O 1线交椭圆于 P ，且 PF F2  45 ，则抛物线的准线方程是　 x 1 2 　． 1【思路分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线 PF1 的方程并 与抛物线联立，求出点 P的坐标，由此可得 PF2  F F2 ，进而可以求出 PF ，PF2 的长度， 11再由椭圆的定义即可求解． 【解析】：设 F (c,0) ，F2 (c,0) ，则抛物线 y2  4cx ，12y  4cx y  x  c 直线 PF : y  x  c ，联立方程组 ，解得 x  c ， y  2c ， 1所以点 P 的坐标为 (c,2c) ，所以 PF2  F F2 ，又 PF2  F2 F  2c,所以PF  2 2c 111所以 PF  2 2c ，所以 PF  PF2  (2  2 2)c  2a  2 ，11则c  2 1 ，所以抛物线的准线方程为： x  c 1 2 故答案为： x 1 2 ，．【归纳总结】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力， 属于中档题． 312．已知   0，存在实数 ，使得对任意 n N * ，cos(n )  ，则 的最小值是　 22 5　． 32 2 k【思路分析】在单位圆中分析可得  ，由  N *，即  ，k  N *，即可求得 的最小值． 【解析】：在单位圆中分析，由题意可得 n  的终边要落在图中阴影部分区域（其中 63AOx  BOx  所以  AOB  )，，因为对任意 n N *都成立， 第 5 页（共 12 页） 2 2 k所以  N *，即  ，k  N * 2 ，．同时  ，所以 的最小值为 352 5故答案为： ．【归纳总结】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题． 二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分) 13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是 A． f (x)  x2 B． f (x)  sin x 【思路分析】根据函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确． 【解析】：选项 ：因为函数是二次函数，属于二对一的映射， 根据函数的定义可得函数不存在反函数， 选项 根据函数的定义可得函数不存在反函数， (　　 )C． f (x)  2x D． f (x) 1 AA错误， 错误， B：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射， B选项 选项 CD：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数， C正确， ：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数， 错误， D故选： C．【归纳总结】本题考查了函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理 解，属于基础题． 14．已知集合 A {x | x  1 的是A． A  B 【思路分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可． ， x R}， ，x R}，则下列关系中，正确 B {x | x2  x  2… 0 ()B．ð A  ð B C． AB   D． AB  R RR【解析】：已知集合 A {x | x  1 解得 B {x | x… 2 x R} x„ 1 ð A {x | x„ 1 ð B {x | 1 x  2} x R} ，x R} ，B {x | x2  x  2… 0 ， x R}， 或，，，，；RR第 6 页（共 12 页） 则AB  R ，AB {x | x… 2} ，故选： 【归纳总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 15．已知函数 y  f (x) 的定义域为 ，下列是f (x) 无最大值的充分条件是 ( 　　 ) D ． RA． f (x) 为偶函数且关于点 (1,1) 对称 B． f (x) 为偶函数且关于直线 x 1对称 C． f (x) 为奇函数且关于点 (1,1) 对称 D． f (x) 为奇函数且关于直线 x 1对称 【思路分析】根据题意，依次判断选项：对于 ABD ，举出反例可得三个选项错误，对于 C，利用反证法可得其正确． 【解析】：根据题意，依次判断选项：  x 2对于 A，f (x)  cos 1 ，f (x) 为偶函数，且关于点 (1,1) 对称，存在最大值， 错误， A对于 对于 BC，f (x)  cos( x) ，f (x) 为偶函数且关于直线 x 1对称，存在最大值， B 错误， ，假设 f (x) 有最大值，设其最大值为 M，其最高点的坐标为 (a,M ) ，，f (x) 为奇函数，其图象关于原点对称，则 f (x) 的图象存在最低点 (a,M ) 又由 f (x) 的图象关于点 (1,1) 对称，则 (a,M ) 关于点 (1,1) 对称的点为 (2  a,2  M ) ，与最大值为 对于 M相矛盾，则此时 f (x) 无最大值，  x C正确， D，f (x)  sin ， f (x) 为奇函数且关于直线 x 1对称， D 错误， 2故选： C．【归纳总结】本题考查了充分条件和反证法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 16．在 ABC 中， D为BC 中点， E为AD 中点，则以下结论：①存在 ABC ，使得     AB CE  0 ；②存在三角形 ABC ，使得CE / /(CB  CA) ；它们的成立情况是 ( 　　 ) A．①成立，②成立 C．①不成立，②成立 【思路分析】设 A(2x,2y) B．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立 ，B(1,0)   AB 中点，可得 (CB  CA)  2CF ，由 ，C(1,0) ，D(0,0) ，E(x, y) ，由向量数量的坐标运算即 BC 中点，可得CF AD 的交点  可判断①； 即为重心 F为D为与G，从而可判断② 【解析】：不妨设 A(2x,2y) ，B(1,0) ，，C(1,0) ，D(0,0) ， E(x, y) ，   ①若AB  (1 2x,2y) AB CE  0 ，则 (1 2x)(x 1)  2y2  0 ，即 (1 2x)(x 1)  2y2 ，CE  (x 1, y)   ，2满足条件的 (x, y) 存在，例如 (0, ) ，满足上式，所以①成立； 2   ②F为AB 中点， (CB  CA)  2CF ，CF 与AD 的交点即为重心 G，因为 G为AD 的三等分点， E为AD 中点，   所以CE 故选： 与CG 不共线，即②不成立． B．第 7 页（共 12 页） 【归纳总结】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题． 三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18＝76 分） 17．（14 分）四棱锥 P  ABCD ，底面为正方形 ABCD ，边长为 4， ABCD （1）若 PAB 为等边三角形，求四棱锥 P  ABCD 的体积； E 为 AB 中点， PE  平 面．（2）若CD 的中点为 F，PF 与平面 ABCD 所成角为 45，求 PC 与 AD 所成角的大小． 1【思路分析】（1）由V  PE  S正方形ABCD ，代入相应数据，进行运算，即可； 3（ 2 ） 由PE  平 面ABCD ， 知PFE  45 ， 进 而 有PE  FE  4 ，PB  2 5， 由 AD / /BC ，知 PCB 或其补角即为所求，可证 BC  平面 PAB ，从而有 BC  PB ，最后在 PB RtPBC 中，由 tanPCB  ，得解． BC 【解析】：（1）PAB 为等边三角形，且 PE  2 3 PE  平面 ABCD E为 AB 中点， AB  4 ， ，又，32 3 3113四棱锥 P  ABCD 的体积V  PE  S正方形ABCD  2 3 42  ．3（2）PE  平面 ABCD PFE PF 与平面 ABCD 所成角为 45，即 PFE  45 PEF 为等腰直角三角形， E 分别为 AB CD 的中点， PE  FE  4 PB  PE2  BE2  2 5  AD / /BC ，为，，F，，，，第 8 页（共 12 页） PCB 或其补角即为 PC 与 AD 所成角， PE  平面 ABCD ，PE  BC ，又BC  AB ，PE AB E ，PE 、AB  平面 PAB ，BC  平面 PAB ，BC  PB ，PB 2 5 5在故RtPBC 中， tanPCB  ，BC AD 所成角的大小为 arctan 425PC 与．2【归纳总结】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，以 及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和 运算能力，属于基础题． 18．（14 分）已知 A、B、C为ABC 的三个内角， a b c 、 、 是其三条边，a  2 ， 1cosC   ．4（1）若sin A  2sin B ，求 b、c；44（2）若 cos(A  )  ，求 c．5【思路分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解 （2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得 cos A sinC 的值，进而根据正弦定理可得 的值． 【解析】：（1）因为sin A  2sin B ，可得 a  2b b的值；利用余弦定理即可求解 c的值． ，sin A ，c，又a  2 ，可得b 1 ，a2  b2  c2 22 12  c2 1由于 cosC   ，可得 c  6 ．2ab 2 21 4424（2）因为 cos(A  )  (cos A  sin A)  ，254 2 可得 cos A  sin A  ，5又cos2 A  sin2 A 1 ，7 2 27 2 10 2可解得 cos A  ，sin A  ，或sin A  ，cos A  ，10 10 10 15 41因为 cosC  ，可得sinC  ，tanC  15 ，47 2 2若sin A  ，cos A  ，可得tan A  7 ，可得10 10 tan A  tanC tan AtanC 1 7  15 tan B  tan(A  C)   0 ， 7 ( 15) 1 可得 B为钝角，这与 C为钝角矛盾，舍去， 25 30 22c所以sin A  ，由正弦定理 ，可得 c  ．10 sin A sinC 【归纳总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本 关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 第 9 页（共 12 页） 19．（14 分）（1）团队在 O点西侧、东侧 20 千米处设有 满足| PA|  | PB | 20 千米，可知 为焦点的双曲线上，以 轴正半轴，北侧为 轴正半轴，建立平面直角坐标系， 在北偏东60 处，求双曲线标 点坐标． （2）团队又在南侧、北侧 15 千米处设有 米，| QC |  | QD |10 千米，求| OQ | （精确到 1 米）和 A、B两站点，测量距离发现一 点为PxP在A、BO点为原点，东侧 yP准方程和 PC、D两站点，测量距离发现| QA|  | QB | 30 点位置（精确到 1 米，1) 的值即可求得双曲线方程，求出直线 OP 的方程，与双曲 点坐标； 千Q【思路分析】（1）求出 a，c，b线方程联立，即可求得 P（2）分别求出以 从而求得| OQ | ，及 【解析】：（1）由题意可得 a 10 A、B为焦点，以 C，D为焦点的双曲线方程，联立即可求得点 Q 的坐标， Q点位置． ，c  20 ，所以b2  300 ，x2 y2 所以双曲线的标准方程为 1 ，100 300 315 2 25 6 直线OP : y  x，联立双曲线方程，可得 x  ，y  ，3215 2 5 6 2即点 P的坐标为 (，) ． 2（2）①| QA|  | QB | 30 ，则 a 15 x2 y2 ，c  20 ，所以b2 175 ，双曲线方程为 1 ；225 175 ②| QC |  | QD |10 ，则 a  5 ，c 15，所以b2  200 ，y2 x2 所以双曲线方程为 1 ，25 200 14400 47 2975 47 两双曲线方程联立，得Q( ，)，所以| OQ |19 米， Q 点位置北偏东 66 ． 【归纳总结】本题主要考查双曲线方程在实际中的应用，属于中档题． 20．（16 分）已知函数 f (x)  | x  a | a  x （1）若 a 1，求函数的定义域； ．（2）若 a  0 ，若 f (ax)  a 有 2 个不同实数根，求 a的取值范围； （3）是否存在实数 a，使得函数 f (x) 在定义域内具有单调性？若存在，求出 的取值范 a围． 【思路分析】（1）把 a 1代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于 0 求解绝对值的 不等式得答案； （2） f (ax)  a  | ax  a | a  ax  a ，设 ax  a  t… 0 ，得 a  t  t2 关于 的函数的值域可得的取值范围； （3）分 x…  a x  a 两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数 f (x) 在定义域内具 有单调性的 的范围． 【解析】：（1）当 a 1时， f (x)  | x 1| 1  x | x 1| 1… 0，得| x 1|…1，解得 x„  2 x… 0 ，t… 0 ，求得等式右边 ta与a，．由或第 10 页（共 12 页） 函数的定义域为 ( ，2] [0 ，，) ； （2） f (ax)  | ax  a | a  ax ，f (ax)  a  | ax  a | a  ax  a 设ax  a  t… 0 ，t  a  t 有两个不同实数根，整理得 a  t  t2 ， ， t… 0 111a  (t  )2  ，时，方程有 2 个不同实数根， t… 0 ，当且仅当 0„ a  2441又a  0 ，a 的取值范围是 (0, ) ；41114（3）当 x…  a 时， f (x)  | x  a | a  x  x  x  ( x  )2  ，在 [，) 上单调递 24减， 此时需要满足 a… ，即 a„  ，函数 f (x) 11在[a ， ) 上递减； 44当x  a 时， f (x)  | x  a | a  x  x  2a  x ，在 ( ，2a] 上递减， 11a„  0 ，2a  a  0 ，即当 a„  时，函数 f (x) 在(,a) 上递减． 441综上，当 a( ， ] 时，函数 f (x) 在定义域 R 上连续，且单调递减． 4【归纳总结】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性 的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题． 21．（18 分）已知数列{an}满足 an… 0 ，对任意 n… 2 an1 的等差中项． an an1 中存在一项使其为另一项与 ， 和 （1）已知 a1  5 ，a2  3 ，a4  2 ，求 a3 的所有可能取值； a2 a5 a8 为正数，求证： a2 a5 a8 成等比数列，并求出公 、 、 （2）已知 a1  a4  a7  0 ，、、比 q ； （3）已知数列中恰有 3 项为 0，即 ar  as  at  0 ar1  as1  at1 的最大值． 2  r  s  t ，且 a1 1 a2  2 ，求 ， ， 【思路分析】（1）根据 an a1 a2 a4 的值代入即可； （2）根据递推关系求出 a5 和an1 中存在一项使其为另一项与 an1 的等差中项建立等式，然后 将，，、，a8 ，然后根据等比数列的定义进行判定即可； （3）分别求出 ar1 ，as1 at1 的通项公式，从而可求出各自的最大值，从而可求出所 求． 【解析】：（1）由题意， 2an  an1  an1 2an1  an  an1 或 ， 2a2  a3  a1 解得 a3 1 ，2a3  a2  a1 解得 a3  4 ，经检验， a3 1 ，a2 a2 （2）证明：a1  a4  a7  0 ，a3  2a2 ，或 a3  ，经检验， a3  ；22a3 a2 a2 a2 a5  a6  a8  ，或 a5  a1  （舍 )，a5  a6  a8  ；242a2 4a2 a5 a2 ，或 a6  a5  （舍 )，，；；284a2 8a2 a6 a2 ，或 a8  a6  （舍 )216 816 第 11 页（共 12 页） 14综上， a2 、a5 、a8 成等比数列，公比为 ；an2  an1 an1  an an2  an1 an1  an 12（3）由 2an  an1  an1 或2an1  an  an1 ，可知 1 或  ，由第（2）问可知， ar  0 ，则 ar2  2ar1 ，即 ar1  ar2  ar1 ，111111ar  0 ，则 ar1 ar1  (ar1  ar2 )  ( )i 1r3i (a2  a1)  ( )i ,i N * ，2222221(ar1 )，max 411111同理， as1  ( )j 1s2r j (ar1  ar )  ( )j  , j  N* ，222241121 64 (as1 )，同理， (at1)max ，ar1  as1  at1 的最大值 ．max 16 64 【归纳总结】本题主要考查了数列的综合应用，等比数列的判定以及通项公式的求解，同时 考查了学生计算能力，属于难题． 第 12 页（共 12 页）