2020年江苏高考数学试题及答案下载

绝密 启用前 ★2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题~第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时 间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题 卡的规定位置. 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作 答一律无效. 5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 参考公式： V  Sh Sh，其中 是柱体的底面积， 是柱体的高． 柱体的体积 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上． A {1,0,1,2}, B {0,2,3} 1. 2. 3. A B  _____ 已知集合 ，则 .z  (1 i)(2 i) 已知 是虚数单位，则复数 i的实部是_____. a4,2a,3 a,5,6 已知一组数据 的平均数为 4，则 的值是_____. 4. 5. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是_____. yx如图是一个算法流程图，若输出 的值为2 ，则输入 的值是_____. – 1 – x2 a2 y2 56. 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 ﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为 y= x，则该双曲线的离 52心率是____. 2f x x3 7. 已知 y=f(x)是奇函数，当 x≥0 时， ，则 f(-8)的值是____.   4238. 9. sin2 ( ) 已知 =，则 的值是____. sin 2 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm， 高为 2 cm，内孔半轻为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm. ππ3sin(2x﹢ ) 410. 将函数 y= 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 6____. 11. 设{an}是公差为 d 的等差数列，{bn}是公比为 q 的等比数列．已知数列{an+bn}的前 n 项和 S  n2  n  2n 1(nN ) ，则 d+q 的值是_______． n2212. 13. 5×2 y2  y4 1(x, y  R) ，则 已知 的最小值是_______． x y AB  4，AC  3，∠BAC=90， 在△ABC 中， D 在边 BC 上，延长 AD 到 P，使得 AP=9，若    3PA  mPB  (  m)PC （m 为常数），则 CD 的长度是________． 213×2  (y  )2  36 14. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P( ，0) ，A，B 是圆 C： 上的两个动点，满足 ，PA  PB 22则△PAB 面积的最大值是__________． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15. 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB⊥AC，B1C⊥平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点． – 2 – （1）求证：EF∥平面 AB1C1； （2）求证：平面 AB1C⊥平面 ABB1． 16. 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ．a  3,c  2, B  45 （1）求 的值； sinC 45cosADC   （2）在边 BC 上取一点 D，使得 ，求 tan DAC 的值． 17. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O 在水平线 MN 上、桥 AB 与 MN h平行， 为铅垂线( O在 AB 上).经测量，左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的距离 (米)与 D 到 OO 的OO 11h  a2 h2距离 a(米)之间满足关系式 ；右侧曲线 BO 上任一点 F 到 MN 的距离 (米)与 F 到 的距离 OO 140 1h   b3  6b .已知点 B 到 b(米)之间满足关系式 的距离为 40 米. OO 2800 （1）求桥 AB 的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于 的桥墩 CD 和 EF，且 CE 为 80 米，其中 C，E 在 AB 上(不包括端 OO – 3 – 32O E 为多少米时，桥墩 CD 与 EF 的总 k点).桥墩 EF 每米造价 k(万元)、桥墩 CD 每米造价 造价最低? (万元)(k>0).问 x2 y2 18. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 的左、右焦点分别为 F ，F ，点 A 在椭圆 E 上且 E : 1 1243在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线 AF1 与椭圆 E 相交于另一点 B． （1）求△AF1F2 的周长；   （2）在 x 轴上任取一点 P，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q，求 的最小值； OPQP （3）设点 M 在椭圆 E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为 S1，S2，若 S2=3S1，求点 M 的坐标． y  f (x), y  g(x) h(x)  kx  b(k,bR) 与19. 已知关于 x 的函数 在区间 D 上恒有 f (x)  h(x)  g(x) ．f x  x2  2x，g x  x2  2x，D  (， ) （1）若     ，求 h(x)的表达式； f (x)  x2  x 1，g(x)  k ln x，h(x)  kx  k, D  (0， ) （2）若 （3）若 求证： n  m  20. ，求 k 的取值范围； f (x)  x4  2×2，g(x)  4×2 8 ，h(x)  4 t2 t x 3t4  2t2 (0  t ≤ 2)，D  m, n   2, 2， 7．a (n N*) 已知数列  的首项 a1=1，前 n 项和为 Sn．设 λ 与 k 是常数，若对一切正整数 n，均有 n111成立，则称此数列为“λ–k”数列． kkkSn1  Sn  an1 a（1）若等差数列 是“λ–1”数列，求 λ 的值； n3aan（2）若数列 是“ ”数列，且 a ＞0，求数列 的通项公式；  2 nn3a（3）对于给定的 λ，是否存在三个不同的数列 为“λ–3”数列，且 an≥0?若存在，求 λ 的取值范围；若 n不存在，说明理由， – 4 – 数学Ⅱ(附加题) 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若 多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修 4-2：矩阵与变换] a1M  A(2,1) B(3,4) 21. 平面上点 在矩阵 对应的变换作用下得到点 ．1 b a（1）求实数 （2）求矩阵 ， 的值； b1 的逆矩阵 ．MMB．[选修 4-4：坐标系与参数方程] ππA( , ) l :  cos  2 B( , ) C :   4sin 22. 在极坐标系中，已知点 在直线 上，点 在圆 上（其中 1236  0 ，）． 0   2 （1）求 ，2 的值 1（2）求出直线 与圆的公共点的极坐标． lCC．[选修 4-5：不等式选讲] 2 | x 1|  | x | 4 ．23. 设，解不等式 xR 【必做题】第 24 题、第 25 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 24. 在三棱锥 A—BCD 中，已知 CB=CD= ,BD=2，O 为 BD 的中点，AO⊥平面 BCD，AO=2，E 为 AC 的 5中点． （1）求直线 AB 与 DE 所成角的余弦值； – 5 – 1（2）若点 F 在 BC 上，满足 BF= BC，设二面角 F—DE—C 的大小为 θ，求 sinθ 的值． 425. 甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放 入另一口袋，重复 n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 Xn，恰有 2 个黑球的概率为 pn，恰有 1 个黑球 的概率为 qn． （1）求 p1·q1 和 p2·q2； （2）求 2pn+qn 与 2pn-1+qn-1 的递推关系式和 Xn 的数学期望 E(Xn)(用 n 表示) ． 答案解析 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上． A {1,0,1,2}, B {0,2,3} 1. 已知集合 A B  _____ ，则 .0,2 【答案】 【解析】 【分析】 的根据集合 交集即可计算. A  1,0,1,2 B  0,2,3 【详解】∵ ,AI B  0,2 ∴0,2 .故答案为： 【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型． – 6 – z  (1 i)(2 i) 2. 已知 是虚数单位，则复数 的实部是_____. i【答案】3 【解析】 【分析】 根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值. z  1 i 2  i  【详解】∵复数 ∴z  2 i  2i i2  3 i ∴复数的实部为 3. 故答案为：3. 【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题． a4,2a,3 a,5,6 3. 已知一组数据 的平均数为 4，则 的值是_____. 【答案】2 【解析】 【分析】 根据平均数的公式进行求解即可． 4,2a,3 a,5,6 【详解】∵数据 的平均数为 4 4  2a  3 a  5 6  20 ∴，即 .a  2 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础． 4. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是_____. 1【答案】 9【解析】 【分析】 分别求出基本事件总数，点数和为 5 的种数，再根据概率公式解答即可． 【详解】根据题意可得基本事件数总为 个. 66  36 1,4 4,1 2,3 3,2 ， 共4 个. 点数和为 5 的基本事件有 ，，419P  ∴出现向上的点数和为 5 的概率为 .36 – 7 – 19故答案为： .【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． yx5. 如图是一个算法流程图，若输出 的值为2 ，则输入 的值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】 3 y  x 1 x，由此求得 的值. 根据指数函数的性质，判断出 xy  x 1 2 【详解】由于 故答案为： ，所以 ，解得 x  3 .2  0 3 【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题. x2 a2 y2 56. 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 ﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为 y= x，则该双曲线的离 52心率是____. 3【答案】 2【解析】 【分析】 ac根据渐近线方程求得 ，由此求得 ，进而求得双曲线的离心率. x2 y2 5【 详 解 】 双 曲 线 ， 故 . 由 于 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 ， 即 1 b  5 y  xa2 52c32ba522，所以 ，所以双曲线的离心率为 . a  2 c  a  b  4  5  3 a23故答案为： 2【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题. – 8 – 2f x x3 7. 已知 y=f(x)是奇函数，当 x≥0 时， ，则 f(-8)的值是____.   【答案】 【解析】 【分析】 4 f (8) f (8) f (x) 先求 ，再根据奇函数求 2f (8)   f (8)  4 为奇函数，所以 【详解】 ，因为 f (8)  83  4 故答案为： 4 【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 41238. 已知 sin2 ( ) =，则 的值是____. sin 2 【答案】 3【解析】 【分析】 直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果. 42212sin)2  (1 sin 2) 【详解】 Qsin ()  ( cos  2221213 (1 sin 2)  sin 2  2313故答案为： 【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 9. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm， 高为 2 cm，内孔半轻为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm. 212 3 【答案】 【解析】 【分析】 – 9 – 先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果. 322 2=12 3 【详解】正六棱柱体积为 6 412 ( )2 2  圆柱体积为 2212 3 所求几何体体积为 212 3 故答案为： 【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题. ππ3sin(2x﹢ ) 410. 将函数 y= 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 6____. 5 24 x   【答案】 【解析】 【分析】 先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 6412 y  3sin[2(x  )  ]  3sin(2x  )【详解】 12 27 k 2x   k (k Z)x  (k Z) 24 25 x   24 当时k  1 5 24 x   故答案为： 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题. 11. 设{an}是公差为 d 的等差数列，{bn}是公比为 q 的等比数列．已知数列{an+bn}的前 n 项和 S  n2  n  2n 1(nN ) ，则 d+q 的值是_______． n【答案】 4【解析】 【分析】 na , b d  q .结合等差数列和等比数列前 项和公式的特点，分别求得  的公差和公比，由此求得 nn的公比为 q，根据题意 q 1 .ab【详解】设等差数列 的公差为 d，等比数列  nnn n1 ddd  n2  a1  n，naP  na  等差数列 的前 项和公式为 nn1222- 10 – b 1 qn 1    bb1qn  n  1nb等比数列 的前 项和公式为 ，Qn  n1 q 1 q 1 q ddbb11S  P  Q n2  n  2n 1 n2  a1  qn  依题意 n ，即 ，nn221 q 1 q d1 2d  2 da  1 a  0 11d  q  4 2通过对比系数可知 ，故 .q  2 q  2 b 1 1b1 1 1 q 故答案为： 4n【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前 项和公式，属于中档题. 2212. 已知 5×2 y2  y4 1(x, y  R) ，则 的最小值是_______． x y 4【答案】 5【解析】 【分析】 1 y4 5y2 1 y4 5y2 15y2 4y2 x2  x2  y2   y2  +根据题设条件可得 ，可得 ，利用基本不等式即可求解. 55×2 y2  y4 1 【详解】∵ 1 y4 x2  y  0 ∴且5y2 1 y4 5y2 14y2  2 15y2 4y2 4515y2 4y2 312×2  , y2  x2  y2   y2  +∴∴，当且仅当 ，即 时取等号. 5y2 55510 422的最小值为 .x y 54故答案为： .5【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一 正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和 定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否 在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）. AB  4，AC  3，∠BAC=90， 13. 在△ABC 中， D 在边 BC 上，延长 AD 到 P，使得 AP=9，若 – 11 –    3PA  mPB  (  m)PC （m 为常数），则 CD 的长度是________． 218 【答案】 5【解析】 【分析】      32PA  mPB   m PC PA  PD   0 B, D,C 三点共线，可求得 根据题设条件可设 ，结合 与，再根据 勾股定理求出 BC ，然后根据余弦定理即可求解. A, D, P 【详解】∵ 三点共线，   PA  PD   0 ∴可设 ，   32PA  mPB   m PC ∵∴若∴，32   32 m    PD  mPB   m PC m，即 ，PD  PB  PC 3B, D,C m  且，则 三点共线， m  0 233 m m  ，即 ，21 2∵∵∴设AP  9，∴ ，AD  3 ,,，AC  3 BAC  90 AB  4 BC  5 ，BDA    .，CD  x CDA  ，则 ，BD  5 x 5 x 2  7 AD2  BD2  AB2 2AD BD AD2  CD2  AC2 2ADCD xcos    cos  ∴根据余弦定理可得 ，，6 5 x 6cos  cos    0 ∵∴∴，5 x 2  7 18 x 0 x  ，解得 ，66 5 x 518 5的长度为 .CD – 12 –   ，3C, D PA  PC 0的长度为 ， 当当m  0时， 重合，此时 CD 2  ，33B, D m  PA  PB 时， 重合，此时 ，不合题意，舍去. PA 12 2218 故答案为：0 或 .5【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出   PA  PD   0 ．13×2  (y  )2  36 14. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P( ，0) ，A，B 是圆 C： 上的两个动点，满足 ，PA  PB 22则△PAB 面积的最大值是__________． 【答案】 10 5 【解析】 【分析】 根据条件得 PC  AB,再用圆心到直线距离表示三角形 PAB 面积，最后利用导数求最大值. 【详解】 Q PA  PBPC  AB 3 1 2设圆心 到直线 Cd距离为 ，则 AB |AB|=2 36 d ,| PC | 1 4 4 1S 2 36 d2 (d 1)  (36  d2 )(d 1)2 所以 令VPAB 2222（负值舍去） y  (36  d )(d 1) (0 d  6) y  2(d 1)(2d  d  36)  0d  4 时， y  0，因此当 取最大值为 ，yy  0 S0  d  4 d  4 时， 取最大值，即 当时， ；当 4  d  6 10 5 PAB 故答案为： 10 5 【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15. 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB⊥AC，B1C⊥平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点． – 13 – （1）求证：EF∥平面 AB1C1； （2）求证：平面 AB1C⊥平面 ABB1． 【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析. 【解析】 【分析】 EF//AB AB C .1 1 （1）通过证明 （2）通过证明 ，来证得 平面 EF// 1AB C AB C  ABB 平面 .1平面 ，来证得平面 AB  11E, F AC, B C EF//AB .1【详解】（1）由于 分别是 的中点，所以 1AB CAB  AB C AB C 平面 .1 1 EF  由于 平面 ,平面 ，所以 EF// 11111B C  B C  AB .（2）由于 平面 ，ABC AB Ì 平面 ，所以 ABC 11AB  AC, AC  B C  C AB C ,1由于 由于 ，所以 平面 AB  1ABB AB C  ABB .1平面 1 ，所以平面 平面 AB Ì 1【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题. 16. 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ．a  3,c  2, B  45 – 14 – （1）求 的值； sinC 45cosADC   （2）在边 BC 上取一点 D，使得 ，求 tan DAC 的值． 25tan DAC  【答案】（1） ；（2） .sinC  11 5【解析】 【分析】 （1）利用余弦定理求得 ，利用正弦定理求得 .sinC b（2）根据 的值，求得 的值，由（1）求得 cosC 的值，从而求得 cosADC sin ADC sin DAC,cosDAC 的值，进而求得 tan DAC 的值. 2222【详解】（1）由余弦定理得 ，所以 .b  a  c  2accos B  9  2  23 2   5 b  5 2cbcsin B 5由正弦定理得 . sinC  sinC sin B b5234sin ADC  1 cos2 ADC  cosADC   ADC  , （2）由于 ，，所以 .55222 5 2ADC  , C  0, 由于 所以 ，所以 ，所以 cosC  1sin C  5sin DAC  sin   DAC  sin ADC  C 3 25  sin ADC cosC  cosADC sinC   4552 5 25 .  555211 5 25 2DAC  0, 由于 所以 ，所以 .cosDAC  1sin DAC  sin DAC cosDAC 11 2tan DAC  .- 15 – 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题. 17. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O 在水平线 MN 上、桥 AB 与 MN h平行， 为铅垂线( O在 AB 上).经测量，左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的距离 (米)与 D 到 OO 的OO 11h  a2 h2距离 a(米)之间满足关系式 ；右侧曲线 BO 上任一点 F 到 MN 的距离 (米)与 F 到 的距离 OO 140 1h   b3  6b .已知点 B 到 b(米)之间满足关系式 的距离为 40 米. OO 2800 （1）求桥 AB 的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于 的桥墩 CD 和 EF，且 CE 为 80 米，其中 C，E 在 AB 上(不包括端点). OO 3O E 为多少米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价 k桥墩 EF 每米造价 k(万元)、桥墩 CD 每米造价 最低? (万元)(k>0).问 2【答案】（1）120 米（2）O E  20 米【解析】 【分析】 （1）根据 A,B 高度一致列方程求得结果； （2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果. 1123| O A|   40  640| O A| 80 【详解】（1）由题意得 40 800 |AB || O A|  | O B | 80  40 120 米1| O O | 802 160 f (x) | O E | x （2）设总造价为 万元， ，设 ，40 131f (x)  k(160  x3  6x)  k[160  (80  x)2 ],(0  x  40) 800 240 – 16 – 13362×3  x ), f (x)  k( x2  x)  0x  20  f (x)  k(160  (0 舍去) f (x) 800 80 800 80 f (x)  0 f (x)  0 当时， ；当 时， ，因此当 时， 取最小值， 0  x  20 20  x  40 x = 20 答：当O E  20 米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价最低. 【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题. x2 y2 18. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 的左、右焦点分别为 F ，F ，点 A 在椭圆 E 上且 E : 1 1243在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线 AF1 与椭圆 E 相交于另一点 B． （1）求△AF1F2 的周长；   （2）在 x 轴上任取一点 P，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q，求 的最小值； OPQP （3）设点 M 在椭圆 E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为 S1，S2，若 S2=3S1，求点 M 的坐标． 2 , 712 7M 2,0 【答案】（1）6；（2）-4；（3） 或.【解析】 【分析】 AF  AF  4 △AF F ，从而可求出 2 的周长； （1）根据椭圆定义可得 P x,0 11232AF  F F A 1, （2）设 ，根据点 在椭圆 上，且在第一象限， E2 ，求出 ，根据准线方程得 A021Q点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值； M x, y S  3S （3）设出设 1 ，点 到直线 的距离为 d，由点 到直线 O的距离与 1 ，可推出 MAB AB 129M x, y d  ，根据点到直线的距离公式，以及 1 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标. 15×2 y2 【详解】（1）∵椭圆 的方程为 E1 43- 17 – F 1,0 F 1,0 1  2  ∴,AF  AF  4 由椭圆定义可得： .12△AF F ∴2 的周长为 4  2  6 1P x,0 x 1 （2）设 ，根据题意可得 .00AF  F F ∵点 在椭圆 上，且在第一象限， EA21 2 32A 1, ∴∵准线方程为 x  4 Q 4, y ∴∴∴Q    OPQP  x ,0  x  4,y  x  4 x  x  2 2  4  4 x  2 时取等号. ，当且仅当 Q  000000  的最小值为 .OPQP 4 M x, y （3）设 1 ，点 到直线 的距离为 d.MAB 132A 1, F 1,0 1   ∵，3AF ∴直线 1 的方程为 y  x 1 435S  3S ∵点 到直线 O的距离为 ，AB 21131S  3S  3 AB  AB d ∴2125295d  ∴∴∵3x  4y  3  9 ①11×12 y12 ②1 432x1   y1   x  2 712 71∴联立①②解得 ，.y1  0 - 18 – 2 , 712 7M 2,0 ∴或.【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根 9S  3S d  据1 推出 是解答本题的关键. 25y  f (x), y  g(x) h(x)  kx  b(k,bR) 与19. 已知关于 x 的函数 在区间 D 上恒有 f (x)  h(x)  g(x) ．f x  x2  2x，g x  x2  2x，D  (， ) （1）若     ，求 h(x)的表达式； f (x)  x2  x 1，g(x)  k ln x，h(x)  kx  k, D  (0， ) （2）若 ，求 k 的取值范围； f (x)  x4  2×2，g(x)  4×2 8 ，h(x)  4 t2 t x 3t4  2t2 (0  t ≤ 2)，D  m, n   2, 2， （3）若 求证： n  m  7．h x  2x 【答案】（1）   k  0,3 ；（3）证明详见解析 ；（2） 【解析】 【分析】 f x g x h x （1）求得   与 的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得  的表达式. h x  g x  0 （2）先由    f x h x  0 ，求得 的一个取值范围，再由     ，求得 的另一个取值范围， kk从而求得 的取值范围. kn  m 的表达式， f x h x tg x  h x  0 （3）先由    ，求得 的取值范围，由方程     的两个根，求得 利用导数证得不等式成立. 【详解】（1）由题设有 22对任意的 恒成立. xR x  2x  kx  b  x  2x 令，则 ，所以 .x  0 0  b  0 b  0 x2  2  k x 0 2因此 即对任意的 恒成立， xR kx  x  2x 2所以  2  k  0，因此 .k  2 h x  2x   故.F x  h x  g x  k x1 ln x x 0    F 1  0   （2）令   ，.- 19 – x 1 xF x k  又若.  F x k  0 ，则   0,1 ( ) 1,+¥ (F x  F 1  0 上递减，则     h x  g x  0 ，即     在上递增，在 ，不 )符合题意. F x  h x  g x  0,h x  g x 当当即时，          ，符合题意. k  0 F x k  0 时，   0,1 ( ) 1,+¥ (F x  F 1  0   在上递减，在 上递增，则   ，)h x  g x  0     ，符合题意. 综上所述， k  0 .f x h x  x2  x 1 kx  k  x2  k 1 x  k 1  0 由当  k 1   y  x2  k 1 x  k 1 0,+¥ x   0 ，即 k  1时， 在为增函数， ()2f 0  h 0  k 1 0 因为     ，x  0, f x h x  0 ，使     故存在 ，不符合题意. 0k 1  0 f x h x  x2  0 时，     x  当，即 ，符合题意. k  1 2k 1 22x   0 ，即 k  1时，则需  k 1  4 k 1  0，解得 当.1 k  3 k  0,3 综上所述， 的取值范围是 k.x4  2×2  4 t3 t x3t4  2t2  4×2 8 （3）因为 对任意 恒成立， x[m,n]  [ 2, 2] x4  2×2  4 t3 t x3t4  2t2 对任意 恒成立， x[m,n]  [ 2, 2] (x t)2 x2  2tx  3t2  2  0 .恒成立 等价于 对任意 x[m,n]  [ 2, 2] 22故对任意 恒成立 x[m,n]  [ 2, 2] x  2tx  3t  2  0 令M (x)  x2  2tx  3t2  2 ，  8t2 8  0,1 t 1 ，2当，0  t 1 n  m  2  t  2 1 7 此时 当，22，，1 t  2   8t 8  0 4×2 8  4 t3 t x3t4  2t2 .恒成立 但对任意的 x[m,n]  [ 2, 2] - 20 – 4×2  4 t3 t x 3t2  4 t2  2  0 .恒成立 等价于 对任意的 x[m,n]  [ 2, 2]  4×2  4 t3 t x 3t2  4 t2  2  0 x , x 的两根为 ， 123t4  2t2 8 3则，x1  x2  t t, x1  x2  4n  m= x1  x2  x  x 2  4x1x2 642所以 .2   t 5t  3t 8 1t2  ,  1,2 32令，则 .n  m   5  3 8 2P   3 52  3 8   1,2 P   3 10  3   3 3 1 构造函数     1,2 ，   P 1  7 . ，P   0 P  P  所以 所以 时，   ， 递减，  max   n  m  7 ，即 n  m  .7max 【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证 明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. a (n N*) 20. 已知数列  的首项 a1=1，前 n 项和为 Sn．设 λ 与 k 是常数，若对一切正整数 n，均有 n111成立，则称此数列为“λ–k”数列． kkkSn1  Sn  an1 a（1）若等差数列 是“λ–1”数列，求 λ 的值； n3aan（2）若数列 是“ ”数列，且 a ＞0，求数列 的通项公式；  2 nn3a（3）对于给定的 λ，是否存在三个不同的数列 为“λ–3”数列，且 an≥0?若存在，求 λ 的取值范围；若 n不存在，说明理由， 【答案】（1）1 1,n 1 a  （2） （3） n34n2 ,n  2 0   1 【解析】 【分析】 Sn+1  Sn  a an1  a （1）根据定义得 n1 ，再根据和项与通项关系化简得 n1 ，最后根据数列不为零数 列得结果； – 21 – 112132(Sn+1  Sn )2 Sn+1=4S San ，求得 n ，即得 ； n（2）根据定义得 （3）根据定义得 ，根据平方差公式化简得 Sn+1  Sn 3131313，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数 Sn+1  Sn  an1 满足的条件，解得结果 Sn+1  Sn  an1 an1  an1 Qa1 1an1  0 1 【详解】（1） （2） 1212Qan  0Sn1  Sn Sn1  Sn  0 112132QSn+1  Sn (Sn+1  Sn )2 312112112121222(Sn+1  Sn )  (Sn+1  Sn )(Sn+1  Sn ) 3121212121121Sn+1  Sn  (Sn+1  Sn )Sn+12 =2Sn Sn+1=4Sn Sn  4n1 3S  4n1 S  a  1 ，11nan  4n1  4n2  34n2 ,n  2 1,n 1 34n2 ,n  2 a  na（3）假设存在三个不同的数列  为数列. “ 3” n131313131333Sn+1  Sn  an1 (Sn+1  Sn )   (Sn+1  Sn ) 11313132323113233或Sn+1  Sn (Sn+1  Sn )   (Sn+1  Sn  Sn+13 Sn ) 2323113333Sn+1  S ( 1)Sn+1  ( 1)Sn  (  2)Sn+13 Sn  0 n 或 aa  0 ∵对于给定的 ，存在三个不同的数列  为数列，且 “ 3” nn223111,n 1 0,n  2 333a  33( 1)Sn+1  ( 1)Sn  (  2)Sn+13 S  0  1 或有两个不等的正根. nn2323113(3 1)Sn+1  ( 1)Sn  (  2)Sn+13 S  0  1 33可转化为 n231313(3 1)Sn+1 (3  2)Sn+1  (3 1)   0  1 Sn1  ，不妨设 ，则  x x 0 21Sn 33Sn Sn – 22 – (3 1)x2  (3  2)x  (3 1)  0  1 有两个不等正根，设 f x (3 1)x2  (3  2)x  (3 1)  0  1   .32323①当时， ，即 ，此时 ，此时  1   (  2)  4( 1)  0  0    4 0   1 (3  2) f 0  3 1 0 x    0   ，，满足题意. 对2(3 1) 323233 1 ②当时， ，即   (  2)  4( 1)  0  0    4 1   4 (3  2) f 0  3 1 0 x    0 ，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.   ，对2(3 1) 综上， 0   1 【点睛】本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求解能力，属难题. 数学Ⅱ(附加题) 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若 多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修 4-2：矩阵与变换] a1M  A(2,1) B(3,4) 21. 平面上点 在矩阵 对应的变换作用下得到点 ．1 b a（1）求实数 （2）求矩阵 ， 的值； b1 的逆矩阵 ．MM2515152a  2 M 1 【答案】（1） ；（2） .b  2 5【解析】 【分析】 a,b （1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数 （2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解. 的值； a1A 2,1 M  B 3,4 【详解】（1）∵平面上点 在矩阵 对应的变换作用下得到点 1 b a123  ∴  1 b 1   4 - 23 – 2a 1 3 a  2 b  2 ∴，解得 2 b  4 m n 2m  c 2n  d 1 0   M 1 MM 1 =（2）设 ，则   cdm  2c  n  2d 0 1   25m  2m  c 1 2n  d  0 1n   5∴，解得 m  2c  0 n  2d 1 152c  d  52515152M 1 ∴5【点睛】本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法，解题时要认真审题，属于基础题． B．[选修 4-4：坐标系与参数方程] ππA( , ) l :  cos  2 B( , ) C :   4sin 22. 在极坐标系中，已知点 在直线 上，点 在圆 上（其中 1236  0 ，）． 0   2 （1）求 ，2 的值 1（2）求出直线 与圆的公共点的极坐标． lC4  4，  2 (2 2,) 【答案】（1） （2） 12【解析】 【分析】 (1)将 A,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果. x【详解】（1）以极点为原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系， 31 cos  2,  4 ，163  因为点 B为直线 上，故其直角坐标方程为 ，y  x3对应的圆的直角坐标方程为： x2  y2  4y  0 ，  4sin 又- 24 – 3y  xx  0 y  0 x  3 y 1 由解得 或，322x  y  4y  0 0,0 ,3,1   0   2 或.对应的点为 ，故对应的极径为 22 cos  2,   4sin,4sin cos  2,sin 2 1 （2） ， 5 4 4  [0,2 ),  ,，4  当时；  2 2 5 44  (2 2,), 当时，舍；即所求交点坐标为当   2 2 0 【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题. C．[选修 4-5：不等式选讲] 2 | x 1|  | x | 4 ．23. 设，解不等式 xR 232, 【答案】 【解析】 【分析】 根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果 x  1 1 x  0 x  0 【详解】 或或2x  2  x  4 2x  2  x  4 2x  2  x  4 20  x  或1≤ x≤ 0 或2  x  1 322, 所以解集为 3【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题. 【必做题】第 24 题、第 25 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 24. 在三棱锥 A—BCD 中，已知 CB=CD= ,BD=2，O 为 BD 的中点，AO⊥平面 BCD，AO=2，E 为 AC 的 5中点． – 25 – （1）求直线 AB 与 DE 所成角的余弦值； 1（2）若点 F 在 BC 上，满足 BF= BC，设二面角 F—DE—C 的大小为 θ，求 sinθ 的值． 415 2 39 13 【答案】（1） （2） 15 【解析】 【分析】 （1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果； （2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果. 【详解】 CO Q BC  CD, BO  ODCO  BD x, y, z （1）连 A(0,0,2), B(1,0,0),C(0,2,0), D(1,0,0)E(0,1,1) OB,OC,OA 以为轴建立空间直角坐标系，则 uuur uuur uuur uuur 1 15  AB  (1,0,2), DE  (1,1,1)cos  AB, DE    15 5 3 15 从而直线 与AB DE 所成角的余弦值为 15  （2）设平面 一个法向量为 DEC n1  (x, y, z), – 26 –    x  2y  0 n  DC  0  1DC  (1,2,0),   x  y  z  0 n  DE  0 1ur y 1x  2, z 1n1  (2,1,1) 令设平面 一个法向量为 DEF   741     uur x1  y1  0 n  DF  0 17 1 2DF  DB  BF  DB  BC  ( , ,0),  2n2  (x1, y1, z1), 44 2 n  DE  0 2x1  y1  z1  0 uur 令y1  7x1  2, z1  5n2  (2,7,5) ur uur cos  n1,n2  6 1  6 78 13 12 239 因此 sin  13 13 【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题. 25. 甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放 入另一口袋，重复 n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 Xn，恰有 2 个黑球的概率为 pn，恰有 1 个黑球 的概率为 qn． （1）求 p1·q1 和 p2·q2； （2）求 2pn+qn 与 2pn-1+qn-1 的递推关系式和 Xn 的数学期望 E(Xn)(用 n 表示) ． 12716 27 123p  ,q  ；p  ,q2  ；（2） 2p  q  2p +q 【答案】（1） n1  112nnn1 3327 3【解析】 【分析】 （1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果； p ，q 2p  q （2）根据操作，依次求 n ，即得递推关系，构造等比数列求得 n ，最后根据数学期望公式求 nn结果. 13 33 123 33 23p   ,q1  【详解】（1） ，1313 p2  p1  33 23 q2  p1  33 12 11 2 2 33 33 3 927 7+q1  +q1    +   ，11 22 2 2 2 516  0   +   3 3 3 927 33 13 33 12 33 12pn1+ qn1 9p  pn1  +qn1 （2） ，n3- 27 – 23 33 11 22 33 32 33 123qn  pn1 +qn1  (1 pn1  qn1)  qn1+ ，92122p  q  pn1+ qn1 因此 从而 ，nn3133212p  q  (2p +q )  ,2p  q 1 (2p +q 1) ，nnn1 n1 nnn1 n1 33313n1 13n 2p  q 1 (2p +q 1) ,2pn  qn 1 即又.nn11Xn 的分布列为 Xn 0121 pn  qn qn pn P13n E(X )  2p  q 1 故.nnn【点睛】本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考查综合分析求 解能力，属难题. – 28 –