2020 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动 ，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷 上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.设集合 A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则 A∪B=（ ）A. {x|2<x≤3} C. {x|1≤x<4} 2 i B. {x|2≤x≤3} D. {x|1<x<4} 2. （）1 2i A. 1 C. i B. −1 D. −i 3.6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆安排 1 名，乙场馆安排 2 名， 丙场馆安排 3 名，则不同的安排方法共有（ ）A. 120 种 C. 60 种 B. 90 种 D. 30 种 4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成 一个球(球心记为 O)，地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角，点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA 垂直的平面.在点 A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 A 处的纬度为北纬 40°，则 晷针与点 A 处的水平面所成角为（ ）A. 20° C. 50° B. 40° D. 90° 5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生 喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）A. 62% C. 46% B. 56% D. 42% 6.基本再生数 R0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数， 世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： I(t) ert 描述累 计感染病例数 I(t)随时间 t(单位:天)的变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近似满足 R0 =1+rT.有学者基于已有 数据估计出 R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为 (ln2≈0.69) （ A. 1.2 天 ）B. 1.8 天 D. 3.5 天 C. 2.5 天 7.已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 的取值范用是（ ）AP AB (6,2) (2,6) (2,4) A. C. B. D. (4,6) (,0) xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是（ 8.若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且 f(2)=0，则满足 ）R[1,1][3,) [3,1][0,1] A. B. D. [1,0][1,) [1,0][1,3] C. 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分. 229.已知曲线 .（ ）C : mx ny 1 A. 若 m>n>0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B. 若 m=n>0，则 C 是圆，其半径为 nmnC. 若 mn<0，则 C 是双曲线，其渐近线方程为 D. 若 m=0，n>0，则 C 是两条直线 y x10.下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像，则 sin(ωx+φ)= （ ）πsin(x ） 3ππ5π sin( 2x) cos(2x ） cos( 2x) A. B. C. D. 36611.已知 a>0，b>0，且 a+b=1，则（ ）11a2 b2 2ab A. B. D. 22log2 a log2 b 2 C. a b 2 1,2,,n 12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 X 所有可能的取值为 ，且 nnP(X i) p 0(i 1,2,,n), p 1 H(X ) p log p ，定义 X 的信息熵 i .（ ）iii2i1 i1 A 若 n=1，则 H(X)=0 pB. 若 n=2，则 H(X)随着 1 的增大而增大 1p (i 1,2,,n) C. 若 ，则 H(X)随着 n 的增大而增大 inP(Y j) p p ( j 1,2,,m) 1,2,,m D. 若 n=2m，随机变量 Y 所有可能的取值为 ，且 ，则 H(X)≤H(Y) j2m1 j 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则 AB =________． 13.斜率为 314.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前 n 项和为________． 15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆 心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BC⊥DG，垂 3足为 C，tan∠ODC= ，，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半 BH∥DG 5径为 1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2． D16.已知直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的棱长均为 2，∠BAD=60°．以 1 为球心， 为半径的球面与侧面 5BCC1B1 的交线长为________． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 csin A 3 17.在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角 ac 3 c 3b c形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 6A, B,C a,b,c ，且 C 问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． a a 20,a 8 ．，，________? ABC sin A = 3sin B {a } 18.已知公比大于 的等比数列 满足 1243n{a } （1）求 （2）求 的通项公式； na a a a (1)n1a a .n n1 122319.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 天空气中的 100 μg/m3 ），得下表： SO PM2.5 和2 浓度（单位： SO2 PM2.5 [0,35] (50,150] (150,475] [0,50] 32 618 84(35,75] 12 10 (75,115] 37SO 浓度不超过 75，且 2 浓度不超过150”的概率； PM2.5 （1）估计事件“该市一天空气中 （2）根据所给数据，完成下面的 2 2 列联表： SO2 [0,150] (150,475] PM2.5 [0,75] (75,115] SO 2 浓度有关？ PM2.5 （3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中 浓度与 n(ad bc)2 (ab)(cd)(ac)(bd) 附： K2 ，P(K2 k) 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 k20.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形，PD⊥底面 ABCD．设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l． （1）证明：l⊥平面 PDC； （2）已知 PD=AD=1，Q 为 l 上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值． x2 y2 1221.已知椭圆 C： 过点 M（2，3）,点 A 为其左顶点，且 AM 的斜率为 ，1(a b 0) a2 b2 （1）求 C 的方程； （2）点 N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值. x1 22.已知函数 ．f (x) ae ln x ln a a e （1）当 时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若 f（x）≥1，求 a 的取值范围． 答案解析： 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.设集合 A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则 A∪B=（ ）A. {x|2<x≤3} C. {x|1≤x<4} 【答案】C B. {x|2≤x≤3} D. {x|1<x<4} 【解析】 【分析】 根据集合并集概念求解. AUB [1,3]U(2,4) [1,4) 【详解】 故选：C 【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题. 2 i 1 2i 2. （）A. 1 C. i B. −1 D. −i 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数除法法则进行计算. 2 i (2 i)(1 2i) 5i i 【详解】 1 2i (1 2i)(1 2i) 5故选：D 【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题. 3.6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆安排 1 名，乙场馆安排 2 名， 丙场馆安排 3 名，则不同的安排方法共有（ ）A. 120 种 C. 60 种 B. 90 种 D. 30 种 【答案】C 【解析】 【分析】 分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. C1 【详解】首先从 6名同学中选 名去甲场馆，方法数有 1；6C2 然后从其余 名同学中选 名去乙场馆，方法数有 5；25最后剩下的 名同学去丙场馆. 3C1 C2 610 60 故不同的安排方法共有 种. 65故选：C 【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题. 4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成 一个球(球心记为 O)，地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角，点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA 垂直的平面.在点 A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 A 处的纬度为北纬 40°，则 晷针与点 A 处的水平面所成角为（ ）A. 20° B. 40° D. 90° C. 50° 【答案】B 【解析】 【分析】 画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定 有关截线的关系，根据点 处的纬度，计算出晷针与点 处的水平面所成角. A【详解】画出截面图如下图所示，其中 A是赤道所在平面的截线； 是点处的水平面的截线，依题意可 CD lAm是晷针所在直线. 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， AB 知；OA l 根据平面平行的性质定理可得可知 、根据线面垂直的定义可得 .. m//CD AB m AOC 40,m//CD 由于 ，所以 ，OAG AOC 40 由于 所以 ，OAG GAE BAE GAE 90 ，也即晷针与点 处的水平面所成角为BAE 40 .BAE OAG 40 A故选：B 【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于 中档题. 5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生 喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）A. 62% B. 56% D. 42% C. 46% 【答案】C 【解析】 【分析】 记“该中学学生喜欢足球”为事件 ，“该中学学生喜欢游泳”为事件 B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事 A件， “ 该 中 学 学 生 既 喜 欢 足 球 又 喜 欢 游 泳 ” 为 事 件 ， 然 后 根 据 积 事 件 的 概 率 公 式 A B A B P(A B) P(A) P(B) P(A B) 可得结果. 【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件 ，“该中学学生喜欢游泳”为事件 B，则“该中学学生喜欢足球或 A游泳”为事件 ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 ，A B A B P(A) 0.6 P(B) 0.82 P A B 0.96 则，，，P(A B) P(A) P(B) P(A B) 所以 0.6 0.82 0.96 0.46 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 故选：C. .46% 【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题. 6.基本再生数 R0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数， 世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： I(t) ert 描述累 计感染病例数 I(t)随时间 t(单位:天)的变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近似满足 R0 =1+rT.有学者基于已有 数据估计出 R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为 (ln2≈0.69) （ A. 1.2 天 ）B. 1.8 天 D. 3.5 天 C. 2.5 天 【答案】B 【解析】 【分析】 I t ert e0.38t t1根据题意可得 ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 天 0.38(tt1 ) 2e0.38t t，根据 ，解得 即可得结果. e13.281 R 3.28 R 1 rT I t ert e0.38t ，所以 r 0.38 【详解】因为 ，T 6 ，，所以 ，006t设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 天， 10.38(tt1 ) 0.38t1 0.38t ，所以 ，所以 ，0.38t ln 2 则e 2e e 2 1ln 20.69 t 1.8 天. 所以 10.38 0.38 故选：B. 【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 7.已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 的取值范用是（ ）AP AB (6,2) (2,6) (2,4) A. C. B. D. (4,6) 【答案】A 【解析】 【分析】 (1,3) 首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到 在方向上的投影的取值范围是 ，利用 AB AP 向量数量积的定义式，求得结果. 【详解】 的模为 2，根据正六边形的特征， AB (1,3) 可以得到 在方向上的投影的取值范围是 ，AB AP 结合向量数量积的定义式， 可知 所以 等于 的模与 在方向上的投影的乘积， AB AB AP AB AP (2,6) 的取值范围是 ，AP AB 故选：A. 【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的 定义式，属于简单题目. (,0) xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是（ 8.若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且 f(2)=0，则满足 ）R[1,1][3,) [3,1][0,1] A. B. D. [1,0][1,) [1,0][1,3] C. 【答案】D 【解析】 【分析】 f (x) 首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分 类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. f (x) (,0) f (2) 0 【详解】因为定义在 上的奇函数 R在上单调递减，且 ，f (x) (0,) f (2) 0 f (0) 0 ，所以 在上也是单调递减，且 ，x(,2) (0,2) f (x) 0 x(2,0) (2,) f (x) 0 所以当 所以由 时， ，当 时， ，xf (x 1) 0 可得： x 0 x 0 或或x 0 2 x 1 0或x 1 2 0 x 1 2或x 1 2 解得 1≤ x≤ 0 或1 x 3 ，xxf (x 1) 0 [1,0][1,3] 所以满足 的的取值范围是 ，故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分. 229.已知曲线 .（ ）C : mx ny 1 A. 若 m>n>0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B. 若 m=n>0，则 C 是圆，其半径为 nmnC. 若 mn<0，则 C 是双曲线，其渐近线方程为 y xD. 若 m=0，n>0，则 C 是两条直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】 结合选项进行逐项分析求解， m n 0 时表示椭圆， 时表示圆， 时表示双曲线， m n 0 mn 0 m 0,n 0 时表示两条直线. x2 y2 1 ，【详解】对于 A，若 m n 0 ，则 mx2 ny2 1可化为 11mn11因为 m n 0 ，所以 ，mny即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故A 正确； C1x2 y2 对于 B，若 ，则 mx2 ny2 1可化为 ，m n 0 nn此时曲线 表示圆心在原点，半径为 C的圆，故 B 不正确； nx2 y2 1 ，对于 C，若 ，则 mx2 ny2 1可化为 mn 0 11mn此时曲线 表示双曲线， Cmn22由可得 ，故 C 正确； xmx ny 0 y 1y2 ，则 mx2 ny2 1可化为 ，m 0,n 0 对于 D，若 nnx，此时曲线 表示平行于轴的两条直线，故 D 正确； Cy n故选：ACD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算 的核心素养. 10.下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像，则 sin(ωx+φ)= （ ）πsin(x ） 3ππ5π sin( 2x) cos(2x ） cos( 2x) A. B. C. D. 366【答案】BC 【解析】 【分析】 首先利用周期确定 的值，然后确定 的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. T2622 2 2 ，所以不选 A, 【详解】由函数图像可知： ，则 23T2365 12 3 2 5 12 2y 1 2 2k k Z 当时， ，x 2 2k k Z 解得： ，3即函数的解析式为： 26263y sin 2x 2k sin 2x cos 2x sin 2x .365 6cos 2x cos( 2x) 而故选：BC. 【点睛】已知 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求 待定系数 ω 和 φ，常用如下两种方法： 2 T(1)由 ω＝ 即可求出 ω；确定 φ 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0，则 令 ωx0＋φ＝0(或 ωx0＋φ＝π)，即可求出 φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出 ω 和 φ，若 对 A，ω 的符号或对 φ 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 11.已知 a>0，b>0，且 a+b=1，则（ ）112a2 b2 2ab A. B. D. 2log2 a log2 b 2 C. a b 2 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据 ，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. a b 1 2212112【详解】对于 A， a2 b2 a2 1 a 2a2 2a 1 ， 2 a 212a b 当且仅当 时，等号成立，故 A 正确； 2ab 21 12对于 B， a b 2a 1 1，所以 ，故 B 正确； 2a b 21对于 C， ，log2 a log2 b log2 ab log2 log2 2 412a b 当且仅当 时，等号成立，故 C 不正确； 2对于 D，因为 ，a b 1 2 ab 1 a b 2 ，当且仅当 1a b 所以 时，等号成立，故 D 正确； a b 2 2故选：ABD 【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学 运算的核心素养. 1,2,,n 12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 X 所有可能的取值为 ，且 nnP(X i) p 0(i 1,2,,n), p 1 H(X ) p log p ，定义 X 的信息熵 i .（ ）iii2i1 i1 A 若 n=1，则 H(X)=0 pB. 若 n=2，则 H(X)随着 1 的增大而增大 1p (i 1,2,,n) C. 若 ，则 H(X)随着 n 的增大而增大 inP(Y j) p p ( j 1,2,,m) 1,2,,m D. 若 n=2m，随机变量 Y 所有可能的取值为 ，且 ，则 H(X)≤H(Y) j2m1 j 【答案】AC 【解析】 【分析】 H X 对于 A 选项，求得 ，由此判断出 A 选项的正确性；对于 B 选项，利用特殊值法进行排除；对于 C H X H X , H Y 选项，计算出 ，利用对数函数的性质可判断出 C 选项的正确性；对于 D 选项，计算出 ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出 D 选项的正确性. i 1, p 1 H X 1log 1 0 ，所以 A 选项正确. 【详解】对于 A 选项，若 n 1，则 ，所以 12i 1,2 p 1 p ，对于 B 选项，若 n 2 ，则 ，21H X p log p 1 p log 1 p 所以 1 2 1 ，121113341H X log2 log2 p 当当时， ，，144 4 433 1 134H X log2 log2 p 时， 144 4 4两者相等，所以 B 选项错误. 1p i 1,2,,n 对于 C 选项，若 ，则 in111H X log2 n log2 log n ，2nnnnH X 则 随着 的增大而增大，所以C 选项正确. 1,2,,m P Y j p p 对于 D 选项，若 n 2m ，随机变量 的所有可能的取值为 ，且 （Yj2m1 j j 1,2,,m ）. 2m 2m 1H X p log p p log i2ii2pi i1 i1 1111 p1 log2 p2 log2 p2m1 log2 p2m log2 .p1 p2 p2m1 p2m 111p p log p p log p p log m1 2m 2m1 H Y 1222m2p1 p2m p2 p2m1 pm pm1 1111 p1 log2 p2 log2 p2m1 log2 p2m log2 由于 p1 p2m p2 p2m1 p2 p2m1 p1 p2m 1111log log2 p 0 i 1,2,,2m ，所以 ，所以 ，2ipi pi p2m1i pi pi p2m1i 11p log pi log2 所以 ，i2pi pi p2m1i H X H Y 所以 ，所以 D 选项错误. 故选：AC 【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运 算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则 AB =________． 13.斜率为 316 【答案】 3【解析】 【分析】 先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去 y 并整理得到 关于 x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果. 【详解】∵抛物线的方程为 y2 4x ，∴抛物线的焦点 F 坐标为 ，F(1,0) 又∵直线 AB 过焦点 F 且斜率为 ，∴直线 AB 的方程为： y 3(x 1) 32代入抛物线方程消去 y 并化简得 ，3x 10x 3 0 1x , x 3 解法一：解得 123116 3| AB | 1 k2 | x x | 1 3| 3 | 所以 123解法二： 100 36 64 0 10 3A(x , y ), B(x , y ) x x 设过，则 ,112212A, B C, D 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示. x 1 16 3| AB || AF | | BF || AC | | BD | x 1 x 1 x1 x2 +2= 1216 3故答案为： 【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题. 14.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前 n 项和为________． 2【答案】 【解析】 【分析】 3n 2n 2n 1 3n 2 首先判断出数列 与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差， 利用等差数列的求和公式求得结果. 2n 1 是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列， 【详解】因为数列 3n 2 数列 是以 1 首项，以 3 为公差的等差数列， a所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以 1 为首项，以 6 为公差的等差数列， nn(n 1) 6 3n2 2n nan1 所以 的前 项和为 ，n22故答案为： .3n 2n 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等 差数列求和公式，属于简单题目. 15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆 心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BC⊥DG，垂 3足为 C，tan∠ODC= ，，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半 BH∥DG 5径为 1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2． 54 【答案】 2【解析】 【分析】 3tan ODC 利用 求出圆弧 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形 的面积，求出直角 AOB AB 5的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得. △OAH 【详解】设 ，由题意 AM AN 7 ，，所以 NF 5 ，OB OA r EF 12 因为 AP 5,所以 ，AGP 45 因为BH // DG ，所以 ，AHO 45 因为 AG 与圆弧 相切于 点，所以OA AG ，AB A为等腰直角三角形； 即△OAH 222△OQD 在直角 中， ，，OQ 5 rDQ 7 r2OQ 353 2 5 2 tan ODC 因为 解得 ，所以 ，21 r 25 rDQ 22；r 2 2 1的面积为 S 2 22 2 4 等腰直角 ；△OAH 1221 3 S 2 2 3 扇形 的面积 ，AOB 22415 2S S 4 所以阴影部分的面积为 .1225 24 故答案为： .【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景， 体现了五育并举的育人方针. D16.已知直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的棱长均为 2，∠BAD=60°．以 1 为球心， 为半径的球面与侧面 5BCC1B1 的交线长为________． 2【答案】 .2【解析】 【分析】 D E D E B C CB B C CB ，可得侧面 与球面的交线上的点到的距离为 1 1 根据已知条件易得 ，侧面 E 3 1111的弧 ，再根据弧长公式可求得结果. B C CB ，可得侧面 与球面的交线是扇形 EFG 211FG 【详解】如图： B C BB 的中点为 1CC G1 的中点为 ， 取的中点为 ，，EF11ABCD A B C D D B C 1 为等边三角形，所以 1 1 因为 60°，直四棱柱 1 的棱长均为 2，所以△ BAD 111D E D E B C ，， 3 1111ABCD A B C D BB BB B C A B C D 又四棱柱 1 为直四棱柱，所以 平面 1 ，所以 ，111111 1 111BB B C B D E B C CB 侧面 ， 1 1 因为 1 ，所以 1111B C CB D E EP 设P为侧面 与球面的交线上的点，则 ，所以 ，11122因为球的半径为 ，，D E 3 | EP | | D P | | D E | 53 2 5111B C CB 所以侧面 与球面的交线上的点到 的距离为 E，211的弧 ， B C CB 因为 因为 ，所以侧面 与球面的交线是扇形 EFG | EF || EG | 2 11FG B EF C EG FEG ，所以 ，114222所以根据弧长公式可得 .FG 2 22故答案为： .2【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题， 考查了扇形中的弧长公式，属于中档题. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 csin A 3 17.在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角 ac 3 c 3b c形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 6A, B,C a,b,c ，且 C 问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，，________? ABC 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． sin A = 3sin B 【答案】详见解析 【解析】 【分析】 解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到 a,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长 c度，由余弦定理得到 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. A, B,C 的值，然后根据选择的条 解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得 的值，得到角 tanA 件进行分析判断和求解. 【详解】解法一： a 3 由可得： ，sin A = 3sin B ba 3m,b m m 0 不妨设 ，322222 m2 c m .则： ，即 c a b 2abcosC 3m m 2 3mm 2选择条件①的解析： 2据此可得： ，m 1，此时 .c m 1 ac 3mm 3m 3 选择条件②的解析： b2 c2 a2 m2 m2 3m2 12据此可得： ，cos A 2bc 2m2 2133则： ，此时： ，则： .sin A 1 csin A m 3 c m 2 3 222选择条件③的解析： cmm1 可得 ，c b ，b与条件 矛盾，则问题中的三角形不存在. c 3b 6sinA 3sinB,C , B A C 解法二：∵ ,6sinA 3sin A C 3sin A ∴,312，sinA 3sin A C 3sinA· 3cosA· 22 36A ,∴ B C ∴,∴ ,∴ ,∴ ,sinA 3cosA tanA 3 2若选①， 若选②， ,∵ ,∴c=1; ac 3 a 3b 3c 3c 3 3c ,则 ,;csinA 3 3 c 2 3 2若选③,与条件 矛盾. c 3b 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的 一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式 的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． {a } a a 20,a 8 ．18.已知公比大于 的等比数列 满足 1243n{a } （1）求 （2）求 的通项公式； na a a a (1)n1a a .n n1 12238522n3 5a 2n (1)n 【答案】（1） ；（2） n【解析】 【分析】 (1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式； 1 n1 anan1 (2)首先求得数列 的通项公式，然后结合等比数列前 n 项和公式求解其前 n 项和即可. 3a2 a4 a1q a1q 20 a3 a1q2 8 a【详解】(1) 设等比数列 的公比为 q(q>1)，则 ，n整理可得： 2q2 5q 2 0 ，q 1,q 2,a 2 ，1a 22n1 2n 数列的通项公式为： .nn1 n1 1 n1 anan1 1 2n 2n1 1 22n1 ，故： (2)由于： a1a2 a2a3 (1)n1anan1 23 25 27 29 (1)n1 22n1 n 322 1 2 822n3 5. (1)n 1 22 5【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数 列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础. 19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 天空气中的 100 μg/m3 ），得下表： SO PM2.5 和2 浓度（单位： SO2 PM2.5 [0,35] (50,150] (150,475] [0,50] 32 618 84(35,75] 12 10 (75,115] 37SO 浓度不超过 75，且 2 浓度不超过150”的概率； PM2.5 （1）估计事件“该市一天空气中 （2）根据所给数据，完成下面的 2 2 列联表： SO2 PM2.5 [0,75] [0,150] (150,475] (75,115] SO 2 浓度有关？ PM2.5 （3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中 浓度与 n(ad bc)2 (ab)(cd)(ac)(bd) 附： K2 ，P(K2 k) 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 k【答案】（1） 0.64 ；（2）答案见解析；（3）有. 【解析】 【分析】 （1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果； （2）根据表格中数据可得 2 2 列联表； 2 ，结合临界值表可得结论. （3）计算出 K SO 【详解】（1）由表格可知，该市 100 天中，空气中的 数有32 6 188 64 天， 浓度不超过 75，且 2 浓度不超过 150 的天 PM 2.5 64 SO 0.64 所以该市一天中，空气中的 浓度不超过 75，且 2 浓度不超过 150 的概率为 ；PM 2.5 100 （2）由所给数据，可得 2 2 列联表为： SO2 0,150 150,475 合计 PM 2.5 0,75 64 16 80 75,115 10 74 10 26 20 合计 100 （3）根据 2 2 列联表中的数据可得 n(ad bc)2 100(6410 1610)2 3600 K2 7.4844 6.635 ，481 (a b)(c d)(a c)(b d) 80207426 SO 因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 浓度与 2 浓度有关. PM 2.5 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善 2 2 列联表，考查了独立性检验，属于中档题. 20.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形，PD⊥底面 ABCD．设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l． （1）证明：l⊥平面 PDC； （2）已知 PD=AD=1，Q 为 l 上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值． 6【答案】（1）证明见解析；（2） .3【解析】 【分析】 （1）利用线面垂直的判定定理证得 平面 PDC ，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得 AD//l AD ，从而得到 平面 PDC ； l Q(m,0,1) QCD ，之后求得平面 （2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点 QCD 所成角的正弦值的 的法向量以及向量 的坐标，求得 的最大值，即为直线 与平面 PB cos n, PB PB 最大值. 【详解】（1）证明： 在正方形 因为 中， ，ABCD 平面 AD//BC ，平面 ，AD PBC BC PBC 所以 平面 ，AD// PBC PAD 又因为 所以 平面 ，平面 平面 PBC l ，AD AD//l PAD ，AD DC,l DC, 因为在四棱锥 中，底面 是正方形，所以 P ABCD ABCD AD PD,l PD, ，所以 且平面 ABCD PD CD PD D 因为 所以 平面 PDC ；l D xyz （2）如图建立空间直角坐标系 ，D(0,0,0),C(0,1,0), A(1,0,0), P(0,0,1), B(1,1,0) ，因为 ，则有 PD AD 1 Q(m,0,1) 设，则有 ，DC (0,1,0), DQ (m,0,1), PB (1,1,1) QCD 设平面 的法向量为 ，n (x, y, z) y 0 DC n 0 则令，即 ，mx z 0 DQn 0 z m QCD ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ，则 x 1 n (1,0,m) cos n, PB n PB 1 0 m 3 m2 1 n PB 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与 平面所成角的正弦值等于 r uur | cos n, PB | 1 2m m2 m2 1 |1 m | 3 m2 1 3332m m2 1 32 | m | m2 1 36，当且仅当 时取等号， m 1 1 1 11 33336QCD 所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .PB 3【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定 和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目. x2 y2 121.已知椭圆 C： 过点 M（2，3）,点 A 为其左顶点，且 AM 的斜率为 ，1(a b 0) a2 b2 2（1）求 C 的方程； （2）点 N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值. x2 y2 【答案】（1） ；（2）12. 1 16 12 【解析】 【分析】 (1)由题意分别求得 a,b 的值即可确定椭圆方程； (2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点 N 的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定 点 N 到直线 AM 的距离即可求得三角形面积的最大值. 1x 2y 4 .y 3 (x 2) 【详解】(1)由题意可知直线 AM 的方程为： ，即 2当 y=0 时，解得 ，所以 a=4， x 4 x2 y2 491 椭圆 过点 M(2，3)，可得 ，C : 1 a b 0 16 b2 a2 b2 解得 b2=12. x2 y2 所以 C 的方程： .1 16 12 x 2y m (2)设与直线 AM 平行的直线方程为： ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与 AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为 N，此时△AMN 的面积取得最 大值. x2 y2 x 2y m 联立直线方程 与椭圆方程 ，1 16 12 2可得：3 m 2y 4y2 48 ，22化简可得： ，16y 12my 3m 48 0 144m2 416 3m2 48 0 2所以 与 AM 距离比较远的直线方程： ，即 m =64，解得 m=±8， x 2y 8 ，x 2y 4 直线 AM 方程为： ，点 N 到直线 AM 的距离即两平行线之间的距离， 8 4 125 利用平行线之间的距离公式可得： 由两点之间距离公式可得 ，d 51 4 22.| AM | (2 4) 3 3 5 1212 5 5所以△AMN 的面积的最大值： .3 5 18 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三 角形的面积等问题． x1 22.已知函数 ．f (x) ae ln x ln a a e （1）当 时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若 f（x）≥1，求 a 的取值范围． 2[1,) （2） 【答案】（1） e 1 【解析】 【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐 标，最后根据三角形面积公式得结果； f x f ’ x f ’ 1 0 （2）解法一：利用导数研究，得到函数 得导函数 的单调递增，当 a=1 时由 得1f x f 1 1 f ‘ x x 0 f ( )f (1) 0 ,符合题意；当 a>1 时，可证 ，从而 存在零点 ，使得 0min a1f (x0 ) aex 1 0 0f (x)min ，得到 ，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式 x0 x 1 可以证得 f 1 恒成立；当 时，研究 .即可得到不符合题意.综合可得 a 的取值范围. 0 a 1 f x1转化为elnax1 lna x 1 elnx lnx 解法二：利用指数对数的运算可将 ,g x ex x g lna x 1 g lnx g x 令 ,上述不等式等价于 ,注意到 的单调性，进一步等价转化为 h x lnx x 1 ，令 h x ,利用导数求得 max ，进而根据不等式恒成立的意义得到关于 a lna lnx x 1 的对数不等式，解得 a 的取值范围. 【详解】（1） Q f (x) ex ln x 1 1xk f (1) e 1 . f (x) e ，，xQ f (1) e 1 ，∴切点坐标为(1,1+e), y e 1 (e 1)(x 1) 2 y e 1 x 2 ,∴函数 f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 ,即 (0,2),( ,0) ,切线与坐标轴交点坐标分别为 e 1 122 22| |= ∴所求三角形面积为 ;e 1 e 1 x1 （2）解法一： ,Q f (x) ae ln x ln a 1 f (x) aex1 g(x) f (x) ，且 a 0 x1x2 g(x) aex1 ,则 0, 设f (x) (0,) (0,) 上单调递增， ∴g(x)在 上单调递增，即 在f (1) 0 f x ,∴ f 1 1 f x1 ,∴ a 1 当时， 时， 成立. min 11 1111 aa 1 1 当，，, f ( )f (1) a(e 1)(a 1) 0 ∴ea 1 aa1f (x ) aex 1 0 0x 0 x(0, x ) f (x) 0 时x(x ,) ∴存在唯一 ，使得 ，且当 ，当 时0000×0 1aex 1 0f (x) 0 ln a x 1 ln x ，，，00×0 f (x) f (x0 ) aex 1 ln x0 lna 0因此 min 11 lna x0 1 lna 2lna 1 2 x 2lna 1 >1, 0x0 x0 f x1, f x1 ∴∴恒成立； f (1) a ln a a 1, f (1) 1, f (x) 1 当时， ∴不是恒成立. 0 a 1 综上所述，实数 a 的取值范围是[1,+∞). f x aex1 lnx lna elnax1 lnx lna 1 解法二： 等价于 lnx elnax1 lna x 1 lnx x e lnx ,g x ex x g lna x 1 g lnx 令 ,上述不等式等价于 ,g x 显然 为单调增函数，∴又等价于 ，即 ，lna x 1 lnx 1 x lna lnx x 1 1h x lnx x 1 h x 1 令在,则 xx0,1 上 h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上 h’(x)<0,h(x)单调递减， h x h 1 0 ,∴ max lna 0，即a 1 ，∴a 的取值范围是[1,+∞). 【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思 想和等价转化思想，属较难试题.
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