2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）（含解析版）下载

2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．（5 分）已知集合 M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则 M∩N＝（　　） A．{x|﹣4＜x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 2．（5 分）设复数 z 满足|z﹣i|＝1，z 在复平面内对应的点为（x，y），则（　　） A．（x+1）2+y2＝1 C．x2+（y﹣1）2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1 D．x2+（y+1）2＝1 3．（5 分）已知 a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b 4．（5 分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比 ≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此 D．b＜c＜a 是（外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上 述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26cm，则其身高可能 是（　　） A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm 5．（5 分）函数 f（x）＝ 在[﹣π，π]的图象大致为（　　） A． B． 第 1 页（共 28 页） C． 6．（5 分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排 列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，如图就是一重卦．在所有重卦 中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是（　　） D． A． B． C． D． 7．（5 分）已知非零向量 ， 满足| |＝2| |，且（ ﹣ ）⊥ ，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 8．（5 分）如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入（　　） A．A＝ B．A＝2+ C．A＝ D．A＝1+ 9．（5 分）记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S4＝0，a5＝5，则（　　） C．Sn＝2n2﹣8n D．Sn＝ n2﹣2n A．an＝2n﹣5 B．an＝3n﹣10 10．（5 分）已知椭圆 C 的焦点为 F1（﹣1，0），F2（1，0），过 F2 的直线与 C 交于 A， B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则 C 的方程为（　　） 第 2 页（共 28 页） A． C． +y2＝1 B． D． ++＝1 ＝1 +＝1 11．（5 分）关于函数 f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四个结论： ①f（x）是偶函数 ②f（x）在区间（ ，π）单调递增 ③f（x）在[﹣π，π]有 4 个零点 ④f（x）的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是（　　） A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 12．（5 分）已知三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC 是边 长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，∠CEF＝90°，则球 O 的体积为（　　） A．8 πB．4 πC．2 πD． π二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．（5 分）曲线 y＝3（x2+x）ex 在点（0，0）处的切线方程为　 　． 214．（5 分）记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 a1＝ ，a4 ＝a6，则 S5＝　 　． 15．（5 分）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获 胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”． 设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲 队以 4：1 获胜的概率是　 16．（5 分）已知双曲线 C： 　． ﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点．若 离心率为　． ＝，•＝0，则 C 的 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题 ，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 第 3 页（共 28 页） 17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣ sinBsin C． （1）求 A； （2）若 a+b＝2c，求 sinC． 18．（12 分）如图，直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝ 60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点． （1）证明：MN∥平面 C1DE； （2）求二面角 A﹣MA1﹣N 的正弦值． 第 4 页（共 28 页） 19．（12 分）已知抛物线 C：y2＝3x 的焦点为 F，斜率为 的直线l 与 C 的交点为 A，B， 与 x 轴的交点为 P． （1）若|AF|+|BF|＝4，求 l 的方程； （2）若 ＝3 ，求|AB|． 20．（12 分）已知函数 f（x）＝sinx﹣ln（1+x），f′（x）为 f（x）的导数．证明： （1）f′（x）在区间（﹣1， ）存在唯一极大值点； （2）f（x）有且仅有 2 个零点． 第 5 页（共 28 页） 21．（12 分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此 进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白 鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试 验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治 愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治 愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得﹣1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以 甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得﹣1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分 ．甲、乙两种药的治愈率分别记为 α 和 β，一轮试验中甲药的得分记为 X． （1）求 X 的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，pi（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计 得分为 i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0＝0，p8＝1，pi＝api﹣1+bpi+cpi+1 （i＝1，2，…，7），其中 a＝P（X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）．假设 α＝ 0.5，β＝0.8． （i）证明：{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）为等比数列； （ii）求 p4，并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理性． 第 6 页（共 28 页） （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。 [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数）．以 坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρcosθ+ ρsinθ+11＝0． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23．已知 a，b，c 为正数，且满足 abc＝1．证明： （1） + + ≤a2+b2+c2； （2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24． 第 7 页（共 28 页） 2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．（5 分）已知集合 M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则 M∩N＝（　　） A．{x|﹣4＜x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 【分析】利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出． 【解答】解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}， ∴M∩N＝{x|﹣2＜x＜2}． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算，属基础题． 2．（5 分）设复数 z 满足|z﹣i|＝1，z 在复平面内对应的点为（x，y），则（　　） A．（x+1）2+y2＝1 C．x2+（y﹣1）2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1 D．x2+（y+1）2＝1 【分析】由 z 在复平面内对应的点为（x，y），可得 z＝x+yi，然后根据|z﹣i|＝1 即可得 解． 【解答】解：∵z 在复平面内对应的点为（x，y）， ∴z＝x+yi， ∴z﹣i＝x+（y﹣1）i， ∴|z﹣i|＝ ，∴x2+（y﹣1）2＝1， 故选：C． 【点评】本题考查复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键， 属基础题． 3．（5 分）已知 a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a 【分析】由指数函数和对数函数的单调性易得 log20.2＜0，20.2＞1，0＜0.20.3＜1，从而 得出 a，b，c 的大小关系． 第 8 页（共 28 页） 【解答】解：a＝log20.2＜log21＝0， b＝20.2＞20＝1， ∵0＜0.20.3＜0.20＝1， ∴c＝0.20.3∈（0，1）， ∴a＜c＜b， 故选：B． 【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属基础题． 4．（5 分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比 是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此 外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上 述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26cm，则其身高可能 是（　　） A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm 【分析】充分运用黄金分割比例，结合图形，计算可估计身高． 【解答】解：头顶至脖子下端的长度为 26cm， 说明头顶到咽喉的长度小于 26cm， 由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是 可得咽喉至肚脐的长度小于 ≈42cm， 由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 可得肚脐至足底的长度小于 ＝110， ≈0.618， ，即有该人的身高小于 110+68＝178cm， 又肚脐至足底的长度大于 105cm， 第 9 页（共 28 页） 可得头顶至肚脐的长度大于 105×0.618≈65cm， 即该人的身高大于 65+105＝170cm， 故选：B． 【点评】本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 5．（5 分）函数 f（x）＝ 在[﹣π，π]的图象大致为（　　） A． C． B． D． 【分析】由 f（x）的解析式知 f（x）为奇函数可排除 A，然后计算 f（π），判断正负即 可排除 B，C． 【解答】解：∵f（x）＝ ∴f（﹣x）＝ ，x∈[﹣π，π]， ＝﹣f（x）， ＝﹣ ∴f（x）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除 A； 又 f（ ）＝ ，因此排除 B，C； 故选：D． 【点评】本题考查了函数的图象与性质，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题． 6．（5 分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排 列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，如图就是一重卦．在所有重卦 中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】基本事件总数 n＝26＝64，该重卦恰有 3 个阳爻包含的基本个数 m＝ ＝20， 第 10 页（共 28 页） 由此能求出该重卦恰有 3 个阳爻的概率． 【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦， 基本事件总数 n＝26＝64， 该重卦恰有 3 个阳爻包含的基本个数 m＝ ＝20， 则该重卦恰有 3 个阳爻的概率 p＝ 故选：A． ＝＝．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题． 7．（5 分）已知非零向量 ， 满足| |＝2| |，且（ ﹣ ）⊥ ，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【分析】由（ ﹣ ）⊥ ，可得 ，然后求出夹角即可． ，进一步得到 【解答】解：∵（ ﹣ ）⊥ ， ∴＝，∴＝＝ ， ∵∴，．故选：B． 【点评】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题． 8．（5 分）如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入（　　） 第 11 页（共 28 页） A．A＝ B．A＝2+ C．A＝ D．A＝1+ 【分析】模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的 A 的值，观察规律即可得解． 【解答】解：模拟程序的运行，可得： A＝ ，k＝1； 满足条件 k≤2，执行循环体，A＝ 满足条件 k≤2，执行循环体，A＝ ，k＝2； ，k＝3； 此时，不满足条件 k≤2，退出循环，输出 A 的值为 ，观察 A 的取值规律可知图中空白框中应填入 A＝ 故选：A． ．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题． 9．（5 分）记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S4＝0，a5＝5，则（　　） A．an＝2n﹣5 B．an＝3n﹣10 C．Sn＝2n2﹣8n D．Sn＝ n2﹣2n 【分析】根据题意，设等差数列{an}的公差为 d，则有 ，求出首项和公差， 第 12 页（共 28 页） 然后求出通项公式和前 n 项和即可． 【解答】解：设等差数列{an}的公差为 d， 由 S4＝0，a5＝5，得 ，∴ ，，∴an＝2n﹣5， 故选：A． 【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式，关键是求出等差数列的公差 以及首项，属于基础题． 10．（5 分）已知椭圆 C 的焦点为 F1（﹣1，0），F2（1，0），过 F2 的直线与 C 交于 A， B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则 C 的方程为（　　） A． C． +y2＝1 B． D． ++＝1 ＝1 +＝1 【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得 a＝ ，b＝ ，可得椭圆的方程． 【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|， 又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|， 又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝ ∴|AF2|＝a，|BF1|＝ a， ，∵|AF1|+|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a， ∴|AF1|＝|AF2|，∴A 在 y 轴上． 在 Rt△AF2O 中，cos∠AF2O＝ ，在△BF1F2 中，由余弦定理可得 cos∠BF2F1＝ ，根据 cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得 +＝0，解得 a2＝3，∴a＝ ．第 13 页（共 28 页） b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2． 所以椭圆 C 的方程为： 故选：B． +＝1． 【点评】本题考查了椭圆的性质，属中档题． 11．（5 分）关于函数 f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四个结论： ①f（x）是偶函数 ②f（x）在区间（ ，π）单调递增 ③f（x）在[﹣π，π]有 4 个零点 ④f（x）的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是（　　） A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 【分析】根据绝对值的应用，结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可． 【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x）则函数 f（x）是偶函数 ，故①正确， 当 x∈（ ，π）时，sin|x|＝sinx，|sinx|＝sinx， 则 f（x）＝sinx+sinx＝2sinx 为减函数，故②错误， 当 0≤x≤π 时，f（x）＝sin|x|+|sinx|＝sinx+sinx＝2sinx， 由 f（x）＝0 得 2sinx＝0 得 x＝0 或 x＝π， 由 f（x）是偶函数，得在[﹣π，）上还有一个零点 x＝﹣π，即函数 f（x）在[﹣π，π]有 3 个零点，故③错误， 当 sin|x|＝1，|sinx|＝1 时，f（x）取得最大值 2，故④正确， 第 14 页（共 28 页） 故正确是①④， 故选：C． 【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用 三角函数的性质是解决本题的关键． 12．（5 分）已知三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC 是边 长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，∠CEF＝90°，则球 O 的体积为（　　） A．8 πB．4 πC．2 πD． π【分析】由题意画出图形，证明三棱锥 P﹣ABC 为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直， 再由补形法求外接球球 O 的体积． 【解答】解：如图， 由 PA＝PB＝PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形，可知三棱锥 P﹣ABC 为正三棱锥， 则顶点 P 在底面的射影 O 为底面三角形的中心，连接 BO 并延长，交 AC 于 G， 则 AC⊥BG，又 PO⊥AC，PO∩BG＝O，可得 AC⊥平面 PBG，则 PB⊥AC， ∵E，F 分别是 PA，AB 的中点，∴EF∥PB， 又∠CEF＝90°，即 EF⊥CE，∴PB⊥CE，得 PB⊥平面 PAC， ∴正三棱锥 P﹣ABC 的三条侧棱两两互相垂直， 把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球， 其直径为 D＝ ．第 15 页（共 28 页） 半径为 ，则球 O 的体积为 ．故选：D． 【点评】本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算 能力，是中档题． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．（5 分）曲线 y＝3（x2+x）ex 在点（0，0）处的切线方程为　y＝3x　． 【分析】对 y＝3（x2+x）ex 求导，可将 x＝0 代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程 ．【解答】解：∵y＝3（x2+x）ex， ∴y’＝3ex（x2+3x+1）， ∴当 x＝0 时，y’＝3， ∴y＝3（x2+x）ex 在点（0，0）处的切线斜率 k＝3， ∴切线方程为：y＝3x． 故答案为：y＝3x． 【点评】本题考查了利用导数研究函数上某点的切线方程，切点处的导数值为斜率是解 题关键，属基础题． 214．（5 分）记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 a1＝ ，a4 ＝a6，则 S5＝　 　． 【分析】根据等比数列的通项公式，建立方程求出 q 的值，结合等比数列的前 n 项和公 式进行计算即可． 22【解答】解：在等比数列中，由 a4 ＝a6，得 q6a1 ＝q5a1＞0， 即 q＞0，q＝3， 则 S5＝ ＝，故答案为： 【点评】本题主要考查等比数列前 n 项和的计算，结合条件建立方程组求出 q 是解决本 题的关键． 15．（5 分）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获 胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”． 设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲 第 16 页（共 28 页） 队以 4：1 获胜的概率是　0.18　． 【分析】甲队以 4：1 获胜包含的情况有：①前 5 场比赛中，第一场负，另外 4 场全胜， ②前 5 场比赛中，第二场负，另外 4 场全胜，③前 5 场比赛中，第三场负，另外 4 场全 胜，④前 5 场比赛中，第四场负，另外 4 场全胜，由此能求出甲队以 4：1 获胜的概率． 【解答】解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”． 设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立， 甲队以 4：1 获胜包含的情况有： ①前 5 场比赛中，第一场负，另外 4 场全胜，其概率为：p1＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝ 0.036， ②前 5 场比赛中，第二场负，另外 4 场全胜，其概率为：p2＝0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝ 0.036， ③前 5 场比赛中，第三场负，另外 4 场全胜，其概率为：p3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝ 0.054， ④前 5 场比赛中，第四场负，另外 4 场全胜，其概率为：p3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝ 0.054， 则甲队以 4：1 获胜的概率为： p＝p1+p2+p3+p4＝0.036+0.036+0.054+0.054＝0.18． 故答案为：0.18． 【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题． 16．（5 分）已知双曲线 C： ﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点．若 离心率为　2　． ＝，•＝0，则 C 的 【分析】由题意画出图形，结合已知可得 F1B⊥OA，写出 F1B 的方程，与 y＝ 联立求 得 B 点坐标，再由斜边的中线等于斜边的一半求解． 【解答】解：如图， 第 17 页（共 28 页） ∵＝，且 •＝0，∴OA⊥F1B， 则 F1B：y＝ ，联立 ，解得 B（ ，）， 则，整理得：b2＝3a2，∴c2﹣a2＝3a2，即 4a2＝c2， ∴，e＝ ．故答案为：2． 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力， 是中档题． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题 ，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣ sinBsin C． （1）求 A； （2）若 a+b＝2c，求 sinC． 【分析】（1）由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，再由余弦定理能求出 A． （2）由已知及正弦定理可得：sin（C﹣ ）＝ ，可解得 C 的值，由两角和的正弦函 数公式即可得解． 【解答】解：（1）∵△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c． 第 18 页（共 28 页） 设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsin C． 则 sin2B+sin2C﹣2sinBsinC＝sin2A﹣sinBsinC， ∴由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc， ∴cosA＝ ＝．＝，∵0＜A＜π，∴A＝ （2）∵ a+b＝2c，A＝ ，∴由正弦定理得 ∴，解得 sin（C﹣ ）＝ ，∴C﹣ ）＝sin cos ＝，C＝ ，∴sinC＝sin（ +cos sin ＝+＝．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题． 18．（12 分）如图，直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝ 60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点． （1）证明：MN∥平面 C1DE； （2）求二面角 A﹣MA1﹣N 的正弦值． 【分析】（1）过 N 作 NH⊥AD，证明 NM∥BH，再证明 BH∥DE，可得 NM∥DE，再由 线面平行的判定可得 MN∥平面 C1DE； （2）以 D 为坐标原点，以垂直于 DC 得直线为 x 轴，以 DC 所在直线为 y 轴，以 DD1 所 第 19 页（共 28 页） 在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 A1MN 与平面 MAA1 的一个法向量， 由两法向量所成角的余弦值可得二面角 A﹣MA1﹣N 的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，过 N 作 NH⊥AD，则 NH∥AA1，且 ，又 MB∥AA1，MB＝ ，∴四边形NMBH 为平行四边形，则 NM∥BH， 由 NH∥AA1，N 为 A1D 中点，得 H 为 AD 中点，而 E 为 BC 中点， ∴BE∥DH，BE＝DH，则四边形 BEDH 为平行四边形，则 BH∥DE， ∴NM∥DE， ∵NM⊄平面 C1DE，DE⊂平面 C1DE， ∴MN∥平面 C1DE； （2）解：以 D 为坐标原点，以垂直于 DC 得直线为 x 轴，以 DC 所在直线为 y 轴，以 DD1 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系， 则 N（ ，，2），M（ ，1，2），A1（ ，﹣1，4）， ，，设平面 A1MN 的一个法向量为 ，由，取 x＝ ，得 ，又平面 MAA1 的一个法向量为 ，∴cos＜ ＞＝ ＝＝．∴二面角 A﹣MA1﹣N 的正弦值为 ．第 20 页（共 28 页） 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 空间向量求解空间角，是中档题． 19．（12 分）已知抛物线 C：y2＝3x 的焦点为 F，斜率为 的直线l 与 C 的交点为 A，B， 与 x 轴的交点为 P． （1）若|AF|+|BF|＝4，求 l 的方程； （2）若 ＝3 ，求|AB|． 【分析】（1）根据韦达定理以及抛物线的定义可得． （2）若 ＝3 ，则 y1＝﹣3y2，⇒x1＝﹣3×2+4t，再结合韦达定理可解得 t＝1，x1＝3， x2＝ ，再用弦长公式可得． 【解答】解：（1）设直线 l 的方程为 y＝ （x﹣t），将其代入抛物线 y2＝3x 得： x2﹣ （t+3）x+ t2＝0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 x1+x2＝ ＝2t+ ，①，x1x2＝t2②， 由抛物线的定义可得：|AF|+|BF|＝x1+x2+p＝2t+ +＝4，解得 t＝ ，直线 l 的方程为 y＝ x﹣ ．第 21 页（共 28 页） （2）若 ＝3 ，则 y1＝﹣3y2，∴ （x1﹣t）＝﹣3× （x2﹣t），化简得 x1＝﹣3×2+4t， ③由①②③解得 t＝1，x1＝3，x2＝ ∴|AB|＝ ，＝．【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题． 20．（12 分）已知函数 f（x）＝sinx﹣ln（1+x），f′（x）为 f（x）的导数．证明： （1）f′（x）在区间（﹣1， ）存在唯一极大值点； （2）f（x）有且仅有 2 个零点． 【分析】（1）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），求出原函数的导函数，进一步求导，得 到 f″（x）在（﹣1， ）上为减函数，结合 f″（0）＝1，f″（ ）＝﹣1+ ＜﹣1+1＝0，由零点存在定理可知，函数 f″（x）在（﹣1， 结合单调性可得，f′（x）在（﹣1，x0）上单调递增，在（x0， ）上存在唯一得零点 x0， ）上单调递减，可得 f′（x）在区间（﹣1， （2）由（1）知，当 x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当 x∈（0，x0） 时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；由于 f′（x）在（x0， ）上单调递减，且f′（x0 ）＞0，f′（ ）＜0，可得函数 f′（x）在（x0， 性可知，当 x∈（x0，x1）时，f（x）单调递增；当 x∈（ 当 x∈（ ，π）时，f（x）单调递减，再由 f（ ）与 f（x）的变化情况表得答案． 【解答】证明：（1）f（x）的定义域为（﹣1，+∞）， ）存在唯一极大值点； ）上存在唯一零点 x1，结合单调 ）时，f（x）单调递减． ）＞0，f（π）＜0．然后列 x，f′（x f′（x）＝cosx ，f″（x）＝﹣sinx+ ，令 g（x）＝﹣sinx+ ，则 g′（x）＝﹣cosx ＜0 在（﹣1， ）恒成 立， ∴f″（x）在（﹣1， ）上为减函数， 第 22 页（共 28 页） 又∵f″（0）＝1，f″（ ）＝﹣1+ ＜﹣1+1＝0，由零点存在定理可知， 函数 f″（x）在（﹣1， ，x0）上单调递增， ）上存在唯一的零点 x0，结合单调性可得，f′（x）在（﹣1 在（x0， ）上单调递减，可得 f′（x）在区间（﹣1， ）存在唯一极大值点； （2）由（1）知，当 x∈（﹣1，0）时，f′（x）单调递增，f′（x）＜f′（0）＝0，f（ x）单调递减； 当 x∈（0，x0）时，f′（x）单调递增，f′（x）＞f′（0）＝0，f（x）单调递增； 由于 f′（x）在（x0， ）上单调递减，且 f′（x0）＞0，f′（ ）＝ ＜0， 由零点存在定理可知，函数 f′（x）在（x0， ）上存在唯一零点 x1，结合单调性可知 ，当 x∈（x0，x1）时，f′（x）单调递减，f′（x）＞f′（x1）＝0，f（x）单调递增； 当 x∈（ 当 x∈（ ）时，f′（x）单调递减，f′（x）＜f′（x1）＝0，f（x）单调递减． ，π）时，cosx＜0，﹣ ＜0，于是 f′（x）＝cosx﹣ ＜0，f（x）单调 递减， 其中 f（ ）＝1﹣ln（1+ ）＞1﹣ln（1+ ）＝1﹣ln2.6＞1﹣lne＝0， f（π）＝﹣ln（1+π）＜﹣ln3＜0． 于是可得下表： x（﹣1，0） 0 π（0，x1） x1 （）（）f´（x） ﹣0+0﹣﹣﹣﹣f（x） 单调递减 0单调递增 大于0 单调递减 大于 0 单调递减 小于 0 结合单调性可知，函数 f（x）在（﹣1， 由函数零点存在性定理可知，f（x）在（ ]上有且只有一个零点 0， ，π）上有且只有一个零点 x2， 当 x∈[π，+∞）时，f（x）＝sinx﹣ln（1+x）＜1﹣ln（1+π）＜1﹣ln3＜0，因此函数 f（x ）在[π，+∞）上无零点． 第 23 页（共 28 页） 综上，f（x）有且仅有 2 个零点． 【点评】本题考查利用导数求函数的极值，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方 法，考查函数与方程思想，考查逻辑思维能力与推理运算能力，难度较大． 21．（12 分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此 进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白 鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试 验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治 愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治 愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得﹣1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以 甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得﹣1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分 ．甲、乙两种药的治愈率分别记为 α 和 β，一轮试验中甲药的得分记为 X． （1）求 X 的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，pi（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计 得分为 i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0＝0，p8＝1，pi＝api﹣1+bpi+cpi+1 （i＝1，2，…，7），其中 a＝P（X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）．假设 α＝ 0.5，β＝0.8． （i）证明：{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）为等比数列； （ii）求 p4，并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理性． 【分析】（1）由题意可得 X 的所有可能取值为﹣1，0，1，再由相互独立试验的概率求 P （X＝﹣1），P（X＝0），P（X＝1）的值，则 X 的分布列可求； （2）（i）由 α＝0.5，β＝0.8 结合（1）求得 a，b，c 的值，代入 pi＝api﹣1+bpi+cpi+1 ，得到（pi+1﹣pi）＝4（pi﹣pi﹣1），由 p1﹣p0＝p1≠0，可得{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…， 7）为公比为 4，首项为 p1 的等比数列； （ii）由（i）可得，p8＝（p8﹣p7）+（p7﹣p6）+…+（p1﹣p0）+p0，利用等比数列的前 n 项和与 p8＝1，得 p1＝ ，进一步求得 p4＝ ．P4 表示最终认为甲药更有效的概 率，结合 α＝0.5，β＝0.8，可得在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更 有效的概率为 案合理． ，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方 【解答】（1）解：X 的所有可能取值为﹣1，0，1． 第 24 页（共 28 页） P（X＝﹣1）＝（1﹣α）β，P（X＝0）＝αβ+（1﹣α）（1﹣β），P（X＝1）＝α（1﹣β） ，∴X 的分布列为： XP﹣1 01（1﹣α）β αβ+（1﹣α）（1﹣β） α（1﹣β） （2）（i）证明：∵α＝0.5，β＝0.8， ∴由（1）得，a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1． 因此 pi＝0.4pi﹣1+0.5pi+0.1pi+1（i＝1，2，…，7）， 故 0.1（pi+1﹣pi）＝0.4（pi﹣pi﹣1），即（pi+1﹣pi）＝4（pi﹣pi﹣1）， 又∵p1﹣p0＝p1≠0，∴{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）为公比为 4，首项为 p1 的等比数 列； （ii）解：由（i）可得， p8＝（p8﹣p7）+（p7﹣p6）+…+（p1﹣p0）+p0＝ ，∵p8＝1，∴p1＝ ，∴P4＝（p4﹣p3）+（p3﹣p2）+（p2﹣p1）+（p1﹣p0）+p0＝ P4 表示最终认为甲药更有效的概率． p1＝ ．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概 率为 ，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理． 【点评】本题是函数与数列的综合题，主要考查数列和函数的应用，考查离散型随机变 量的分布列，根据条件推出数列的递推关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的 难度． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。 [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数）．以 第 25 页（共 28 页） 坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρcosθ+ ρsinθ+11＝0． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值． 【分析】（1）把曲线 C 的参数方程变形，平方相加可得普通方程，把 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 代入 2ρcosθ+ ρsinθ+11＝0，可得直线 l 的直角坐标方程； （2）法一、设出椭圆上动点的坐标（参数形式），再由点到直线的距离公式写出距离， 利用三角函数求最值； 法二、写出与直线 l 平行的直线方程为 ，与曲线 C 联立，化为关于 x 的一 元二次方程，利用判别式大于 0 求得 m，转化为两平行线间的距离求 C 上的点到 l 距离 的最小值． 【解答】解：（1）由 （t 为参数），得 ，两式平方相加，得 （x≠﹣1）， ∴C 的直角坐标方程为 （x≠﹣1）， 由 2ρcosθ+ ρsinθ+11＝0，得 即直线 l 的直角坐标方程为得 ．；（2）法一、设 C 上的点 P（cosθ，2sinθ）（θ≠π）， 则 P 到直线得 d＝ 的距离为： ＝．∴当 sin（θ+φ）＝﹣1 时，d 有最小值为 ．法二、设与直线 联立 平行的直线方程为 ，，得 16×2+4mx+m2﹣12＝0． 由△＝16m2﹣64（m2﹣12）＝0，得 m＝±4． ∴当 m＝4 时，直线 与曲线 C 的切点到直线 的距离最小， 第 26 页（共 28 页） 为．【点评】本题考查间单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与椭圆 位置关系的应用，训练了两平行线间的距离公式的应用，是中档题． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23．已知 a，b，c 为正数，且满足 abc＝1．证明： （1） + + ≤a2+b2+c2； （2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24． 【分析】（1）利用基本不等式和 1 的运用可证，（2）分析法和综合法的证明方法可证． 【解答】证明：（1）分析法：已知 a，b，c 为正数，且满足 abc＝1． 要证（1） ++≤a2+b2+c2；因为 abc＝1． ≤a2+b2+c2； 就要证： ++即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2； 即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2； 2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0 （a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0； ∵a，b，c 为正数，且满足 abc＝1． ∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0 恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1 时取等 号． 即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0 得证． 故+ + ≤a2+b2+c2 得证． （2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24 成立； 即：已知 a，b，c 为正数，且满足 abc＝1． （a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数； （a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）； 当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1 时取等号； ∵a，b，c 为正数，且满足 abc＝1． （a+b）≥2 ；（b+c）≥2 ；（c+a）≥2 ；第 27 页（共 28 页） 当且仅当 a＝b，b＝c；c＝a 时取等号；即：a＝b＝c＝1 时取等号； ∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）≥3×8 24abc＝24； ••＝当且仅当 a＝b＝c＝1 时取等号； 故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证． 故得证． 【点评】本题考查重要不等式和基本不等式的运用，分析法和综合法的证明方法． 第 28 页（共 28 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