2019年上海高考数学真题试卷（word解析版）下载

教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷 （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 考生注意 1.本场考试时间 120分钟，试卷共 4页，满分 150分，答题纸共 2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、选择题：（本大题共 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分，共 54 分） A  ,3 、B  2, A B  已知集合 ，则 ________. 1. 2. 1z  zC  5  i 已知 且满足 ，求 ________. z3. 已知向量 a  (1,0,2) ，b  (2,1,0) ，则 a与b的夹角为________. 5 ，则展开式中含 2 项的系数为________. 2x 1 已知二项式 x4. x  0 5. 已知 x、y 满足 y  0 ，求 z  2x 3y 的最小值为________. x  y  2 36. 已知函数 f x周期为 1，且当 0  x 1 ，f x log x，则 f ( ) ________.     221y7. 若 x、y R ，且  2y  3，则 的最大值为________. xx8. 已知数列 9. 过 y2  4x 的焦点 为抛物线上一点，OM  OA   2 OB ，则  ______. an 前 n 项和为 Sn ，且满足 Sn  an  2 ，则 S5  ______. F并垂直于 ，在 上方， x轴的直线分别与 y2  4x 交于 A、B A B M10. 某三位数密码锁，每位数字在 0  9数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是 _______. x2 y2 aa  a P n,a n    已知数列 满足 （）， 在双曲线 1上，则 n N nnn1 n11. 62lim P P _______. nn1 n 2xf x    a x1,a  0 a  a f x f x     已知 ，在 ，若 ，与轴交点为 A，为曲 ，则 012. x 1 QAP  AQ AP  AQ 且线LL上任意一点 P，总存在一点 （P异于 A）使得 a  __________. 0教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 2x  y  c  0 已知直线方程 (2,1) 的一个方向向量 可以是（ ）d13. A. (2,1) (1,2) (1,2) B. C. D. 14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为 1 和 2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得 到的两个圆锥的体积之比为（ ）1B. 2 C. 4 D. 8 A. 2f x a 为偶函   R a R ，使得 f x x  6 sin x 已知 ，函数 ，存在常数   15. 数，则 可能的值为（ ）2345B. C. D. A. 16. 已知 tan  tan   tan(  ) .①存在 ②存在 在第一象限，角 在第二象限，角 在第三象限； 在第四象限； A. ①②均正确； B. ①②均错误； C. ①对，②错； D. ①错，②对； 三.解答题（本大题共 5 题，共 76 分） 17. （本题满分 14 分）如图，在长方体 ABCD  A B C1D1 中， M为BB1 上一点，已知 11BM  2 ，AD  4 ，CD  3 ， . AA  5 1（1）求直线 AC 与平面 ABCD 的夹角； 1（2）求点 A到平面 A MC 的距离. 1118.（本题满分 14 分）已知 f x ax    (a R) . x 1 （1）当 a 1时，求不等式 f x1 f x1 的解集；   （2）若 x 1,2 时， f x有零点，求 a的范围.   19.（本题满分 14 分）如图， A B C 为海岸线， AB 为线段， BC 为四分之一圆弧， BD  39.2km ， ， ，. BDC  22 CBD  68 BDA  58 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 （1）求 BC 长度； （2）若 AB  40km ，求 D到海岸线 A B C 的最短距离.（精确到 0.001km ） 20.（本题满分 16 分） x2 y2 已知椭圆 1 ， 过 lF , F2 为左、右焦点，直线 F2 交椭圆于 A、B 两点. 184（1）若 AB 垂直于 x 轴时，求 AB ； （2）当 F AB  90 时， A在x轴上方时，求 A, B 的坐标； 轴 于M ， 直 线BF1 交 轴于 N ， 是 否 存 在 直 线 S△F AB S△F MN，若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由. 1（ 3 ） 若 直 线AF1 交 yyl， 使 l1121.（本题满分 18 分） 数列 a有100项， a1  a ，对任意 n 2,100 ，存在 a  a  d,i 1,n 1 ，若 ak   nni与前 n 项中某一项相等，则称 ak 具有性质 . P（1）若 a1 1，求 a4 可能的值； （2）若 （3）若 a不为等差数列，求证： a  n，这三项和为 中存在满足性质 P；  na中恰有三项具有性质 PC，使用 a,d,c表示 a1  a2  a100 .  n教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 上海市 2019 届秋季高考数学考试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分，共 54 分） A  ,3 、B  2, A B  1.已知集合 ，则 ________. 【思路分析】然后根据交集定义得结果． (2,3) 【解析】：根据交集概念，得出： .【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 1z  ________. zC  5  i ，求 2.已知 且满足 z【思路分析】解复数方程即可求解结果． 15  i 511z  i 5  i 【解析】： ，.5  i (5  i)(5  i) 26 26 z【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础． 3.已知向量 a  (1,0,2) ，b  (2,1,0) ，则 a与b的夹角为________. ab 【思路分析】根据夹角运算公式 cos  求解． a  b a b 225cos  【解析】： .5  5 a  b 【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础． 2x 1 4.已知二项式 5 ，则展开式中含 2 项的系数为________. xx2 【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含 项的的项，再求系数． rrTr1  C5 (2x)5r 1r  C5 25r  x5r 【解析】： C3 22  40 25  r  2 r  3 ，令，则 系数为 .x5【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用，比较基础． x  0 5.已知 x、y 满足 y  0 ，求 z  2x 3y 的最小值为________. x  y  2 【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式， 数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当 x  0 ， y  2 时， zmin  6 .【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 3f ( ) 6.已知函数 f x周期为 1，且当 0  x 1 ，f x log x，则   ________.   22教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 3【思路分析】直接利用函数周期为 1，将转 到已知范围0  x 1内，代入函数解析式即 2可． 311【解析】： f ( ) f ( ) log2 1 .222【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题． 1y7.若 x、y R ，且  2y  3，则 的最大值为________. xxy【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有 的式子求解 x11y 3 2 98【解析】：法一：3  2y  2 2y ，∴     ；xxx2 2 1yx3y98  法二：由  3 2y ， (3 2y) y  2y2  3y （0  y  ），求二次最值 .  x2x max 【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题． 8.已知数列 an 前 n 项和为 Sn ，且满足 Sn  an  2 ，则 S5  ______. 【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列. S  a  2 1nn【解析】：由 得： an  an1 （n  2 ） Sn1  an1  2(n  2) 211[1 ( )5 ] 131 16 2∴an 为等比数列，且 a1 1 ，q  ，∴ S5  .121 29.过 y2  4x 的焦点 F并垂直于 x轴的直线分别与 y2  4x 交于 A、B ，A在B上方， M为抛物线上一点，OM  OA   2 OB ，则  ______. 【思路分析】根据等式建立坐标方程求解 【解析】：依题意求得： A(1,2) B(1,2) ，设 M 坐标 M (x, y) 有： (x, y)  (1,2)  (  2)(1,2)  (2  2,4) ，代入 y2  4x 有：16  4(2  2) 即：   3 ，.【归纳与总结】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档 题． 10 某三位数密码锁，每位数字在 0  9数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是 _______. 【思路分析】分别计算出总的排列数和恰有两位数字相同的种类求解. C110 C32 C91 27 【解析】：法一： P  （分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字） 103 27 100 C110  P3 10 法二： P 1 （分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同） 103 100 【归纳与总结】本题考查古典概型的求解，是中档题． 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 x2 y2 aa  a P n,a n    11.已知数列 满足 （）， 在双曲线 1上，则 n N nnn1 n62lim P P nn1 _______. n 【思路分析】利用点在曲线上得到 P P关于 n 的表达式，再求极限. nn1 2n2 an n2 n2 【解析】：法一：由 1得： an  2( 1) ，∴ P (n, 2(1)) ，n8266(n 1)2 2P (n 1, 2( 1)) ，利用两点间距离公式求解极限。 lim P P 3n1 nn1 n 63n   PPP P 法二（极限法）：当 时， n1 与渐近线平行， n1 在 x 轴投影为 1，渐近线倾斜 nn12 3 33P Pn1  n角满足： tan  ，所以 6.cos 3【归纳与总结】本题考查数列极限的求解，是中档题． 2xf x    a x1,a  0 a  a f x   f x   12.已知 ，若 ，与轴交点为 A，为曲线 0x 1 QAP  AQ AP  AQ L，在 L上任意一点 P，总存在一点 （P异于 A）使得 且，则 a  __________. 0【思路分析】 【解析】： 【归纳与总结】 二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 2x  y  c  0 13.已知直线方程 的一个方向向量 可以是（ ）d(2,1) (2,1) (1,2) (1,2) B. C. D. B. 【思路分析】根据直线的斜率求解. (2,1) (1,2) 【解析】：依题意： 为直线的一个法向量，∴ 方向向量为 ，选 D. 【归纳与总结】本题考查直线方向向量的概念，是基础题． 14.一个直角三角形的两条直角边长分别为 1 和 2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得 到的两个圆锥的体积之比为（ B. 2 ）1C. 4 D. 8 B. 【思路分析】根据直线的斜率求解. 1412V   22 1  V   12 2   【解析】：依题意： ，，选 B. 1233332f x a 为偶函数，   R a R f x x  6 sin x 15.已知 ，函数 ，存在常数 ，使得   则可能的值为（ ）2345B. C. D. B. 【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解. f x a 【解析】：法一（推荐）：依次代入选项的值，检验 的奇偶性，选 C； 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 f (x  a)  (x  a  6)2 sin[(x  a)] f (x  a) sin[w(x  6)] a  6 ，且 法二： ，若 为偶函数，则 k 1 6  k   也为偶函数（偶函数×偶函数=偶函数），∴ ，当 时， ，选 C. 2416.已知 tan  tan   tan(  ) .①存在 ②存在 在第一象限，角 在第二象限，角 在第三象限； 在第四象限； B. ①②均正确； B. ①②均错误； C. ①对，②错； D. ①错，②对； 【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解. 131【解析】：法一：（推荐）取特殊值检验法：例如：令 tan  和tan  ，求 tan  看是 3否存在.(考试中，若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在)，选 D. tan  tan  法二：解： tan tan   ……① 1 tan tan  x  y 设tan  x,tan   y ，则原式可化为 xy  ，整理得 x2 y2  y 1 x  x  0 ，1 xy 2以令y为主元，则要使方程有解，需使  1 x  4×3  4×3  x2  2x  1  0 有解， f x 4×3  x2  2x  1，则 fx  12×2  2x  2  0恒成立     ∴函数 f x 4×3  x2  2x  1 在R上单调递减，又∵ f 0  1  0, f 1  4  0      ∴存在 x  0,1 设方程 x2 y2  y 1 x  x  0 的两根分别为 y1 , y2 使f x 0，当 x  x0 0  时 f x 0   0，x 1 1当当x  0时， y1  y2   0, y1 y2  0 ，故必有一负根，②对； x2 xx 1 10  x  x0 时， y1  y2   0, y1 y2  0 ，故两根均为负根，①错；选 D. x2 x三. 解答题（本大题共 5 题，共 76 分） 17.（本题满分 14 分）如图，在长方体 ABCD  A B C1D1 中， 11M为BB1 上一点，已知 BM  2 ， ， ， . AD  4 CD  3 AA  5 1（1）求直线 AC 与平面 ABCD 的夹角； 1（2）求点 A到平面 A MC 的距离. 1【思路分析】根据几何图形作出线面角度求解；建立坐标系计算平 面的法向量求解.. 【解析】：（1）依题意： A A  面ABCD ，连接 AC，则 A C 与平面 ABCD 所成夹角为 A CA ；1114∵A A  5 ，AC  32  42  5 ，∴△A CA为等腰直角△， A CA  ；1114∴ 直线AC 与平面 ABCD 的夹角为 .1（2）法一（空间向量）：如图建立坐标系： 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 A(0,0,0) C(3,4,0) M (3,0,2) A (0,0,5) 则： AC  (3,4,0) A MC ，，，1，A C  (3,4,5) ，MC  (0,4,2) 1∴求平面 的法向量 n  (x, y, z) ：1n A C  3x  4y  5z  0 1n  (2,1,2) ，得： n MC  4y  2z  0 AC n 3 2  41 22 12  22 10 3A MC d  的距离为： A 到平面 1nVVCA AM S法二（等体积法）：利用 求解，求 △A MC 时，需要求出三边长（不是特殊 AA MC 1111S  absinC 三角形），利用 求解. △2【归纳与总结】本题考查点到平面的距离的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考 查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程 思想，是基础题． 1(a R) f x ax    18.（本题满分 14 分）已知 .x 1 （1）当 a 1时，求不等式 f x1 f x1 的解集；   （2）若 x 1,2 时， f x有零点，求 a的范围.   【思路分析】将不等式具体化，直接解不等式；分离参数得到新函数，研究新函数的最值与 值域. 1【解析】：（1）当 a 1时， f (x)  x  ；x 1 1111代入原不等式： x  1 x 1 ；即： x 1 x  2 x 1 x  2 1移项通分：  0 ，得：  2  x  1； (x 1)(x  2) 1（2）依题意： f (x)  ax   0 在x[1,2] 上有解 x 1 11参编分离： a   ，即求 g(x)   在 x[1,2] 值域， x(x 1) x(x 1) x(x 1) 在x[1,2] 单调递增， x(x 1)[2,6] ； 11111[ , ] ，故： a[ , ] . x(x 1) 6262【归纳与总结】本题考查了分式不等式的解法、分式函数最值与值域的求解，也考查了转化 与划归思想的应用． 19.（本题满分 14 分）如图， A B C 为海岸线， AB 为线段， BC 为四分之一圆弧， BD  39.2km ， ， ，. BDC  22 CBD  68 BDA  58 （1）求 BC 长度； （2）若 AB  40km ，求 D到海岸线 A B C 的最短距离. 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 （精确到 0.001km ）【思路分析】根据弧长公式求解；利用正弦定理解三角形. 4【解析】：（1）依题意： BC  BD sin 22 ，弧 BC 所在圆的半径 R  BC sin 2222弧 BC 长度为： R  BC  3.14139.2sin 22 16.310 km 24BD AB sin58 39.2 （2）根据正弦定理： ，求得：sin A  sin58  0.831 A  56.2 ，sin A 40 ∴ABD 180  56.2  58  65.8 DH  BDsinABD  35.752km<CD=36.346km ∴ D 到海岸线最短距离为 35.752km. 【归纳与总结】本题考查了圆弧弧长求法、正弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合 思想的应用． 20.（本题满分 16 分） x2 y2 已知椭圆 1 ， 过 lF , F2 为左、右焦点，直线 F2 交椭圆于 A、B 两点. 184（1）若 AB 垂直于 x 轴时，求 AB ； （2）当 F AB  90 时， A在x轴上方时，求 A, B 的坐标； 轴 于M ， 直 线BF1 交 轴于 N ， 是 否 存 在 直 线 S△F AB S△F MN，若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由. 1（ 3 ） 若 直 线AF1 交 yyl， 使 l11【思路分析】直接求出 A,B 坐标；利用三角形面积公式和点在曲线上建立方程；.根据面积 关系 S△F AB S△F MN转化出关于点的坐标关系，再求解出关于点直线斜率的方程. 11【解析】：（1）依题意： F2 (2,0) ，当 AB⊥x 轴，则坐标 A(2, 2) AB  2 2 ，B(2, 2) ，∴24（2）法一（秒杀）：焦点三角形面积公式： S△F AF b2  tan  4 tan  4 ；1212又： F F2  2c  4 ，S△F AF 2c  yA  2yA  4 ，即 yA  2 112所以 A 在短轴端点，即 A(0,2) 直线lAF （即lAB ）方程为： y  x  2 ，联立： y  x  2 822y2 ，得 B( , ) .x331 842法二（常规）：依题意：设坐标 A(x1, y1)，∵ F AF2  （注意：用点 F2 更方便计算） 1则有： AF  AF2  (x1  2, y1)(x1  2, y1)  x12  4  y12 1×12 y12 x12 又 A 在椭圆上，满足： 1，即： y12  4(1 )848×12 AF  AF2  x12  4  4(1 )  0 ，解出： x1  0 ∴， A(0,2) 18教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 82B 点坐标求解方法同法一， B( , ) .33（3）设坐标 A(x1, y1) ，B(x2 , y2 ) ，M (0, y3 ) ，N(0, y4 ) ，直线 l： x  my  2 （k 不存在时 不满足题意） 1则： S△F AB F F2  y1  y2  2 y1  y2 ； 1121S△F MN F O  y3  y4  y3  y4 ； 1124m x  my  2 y1  y2   m2  2 联立方程： ，(m2  2)y2  4my  4  0 ，韦达定理： 2y1 2xy2  4 1 y1 y2  84m2  2 y1 由直线 AF1 方程： y  由直线 BF1 方程： y  (x  2) 得 M 纵坐标： y3  ；x1  2 y2 x1  2 2y2 (x  2) 得 N 纵坐标： y4  ；x2  2 x2  2 若S△F AB S△F MN，即 2 y1  y2  y3  y4 112y1 2y2 2y1 x1  2 x2  2 my1  4 my2  4 (my1  4)(my2  4) (my1  4)(my2  4)  4 m2 y1 y2  4m(y1  y2 ) 16  4 ，代入韦达定理： 2y2 8(y1  y2 ) y3  y4   2 y1  y2 ∴， 4m2 m2  2  4m m2  2 得：  4m 16  4，解出： m  3 ∴ 存在直线x  3y  2  0 或 x  3y  2  0 满足题意. 【归纳与总结】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查转化思想，计算能力， 属于中档题． 21.（本题满分 18 分） 数列 a有100项， a1  a ，对任意 n 2,100 ，存在 a  a  d,i 1,n 1 ，若 ak   nni与前 n 项中某一项相等，则称 ak 具有性质 . P（1）若 a1 1，求 a4 可能的值； （2）若 （3）若 a不为等差数列，求证： a  n，这三项和为 中存在满足性质 P；  na中恰有三项具有性质 PC，使用 a,d,c表示 a1  a2  a100 .  n【思路分析】根据定义式子代入即可求解 a4 ；通过证明逆否命题证明；去掉具有 P 性质三 项，求和 【解析】：（1） a4 可能的值为 3,5,7； 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 （2）要证明 a中存在满足性质 ， P  n即证明：若数列 a中不存在满足性质 Pan 为等差数列（原命题的逆否命题）   的项，则 n显然 a1  a,a2  a  d,a3  ai  d,(i 1,2) i 1时， a3  a1  d  a2 ，满足性质 i  2 时， a3  a2  d  a  2d a4  ai  d,i 1,2,3 同理i 1时， a4  a i  2 时， a4  a3 P，不成立； ，，2 不成立； 所以 a4  a3  d  a  3d 以此类推 an  ai  d,i[1,n 1]，其中 an  ai  d,i[1,n  2]时不成立 只有i  n 1，即 an  an1  d 成立，即 a为等差数列   ，na不为等差数列， a中存在满足性质 P    即得证明： nnb3P（ ）将数列中具有性质的三项去掉，形成一个新数列  nb  a  a,n[2,97] b  a  d,i[1,n 1] bP时， ，且 中元素满足性质 的项， 11ninb2根据（ ） 为等差数列，所以 n9796 b  b2  b97  97b  d 112b  b  b  97a  4656d 即1297 a  a  a  97a  4656d  c c又因为三项去掉和为 ，所以 12100 【归纳与总结】本题考查新定义“性质 P”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定 义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布