2019 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（文）（北京卷） 5本试卷共 页， 150 120 分。考试时长 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 40 分） （选择题 共第一部分 85一、选择题共 小题，每小题 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1（ ）已知集合 A={x|–1<x<2} B={x|x>1} A B= ， ，则∪ A–1 （ ）（， ） 1B12（ ）（ ， ） C（ ）（， ∞） –1 +D 1+ （ ）（ ， ∞） 2（ ）已知复数 z=2+i ，则 z z A（ ） B（ ） C（ ） 3D（ ） 53530（ ）下列函数中，在区间（ ， +）上单调递增的是 11y log1 x x A（ ） B（ ） y= C（ ） D（ ） y y x2 22x4s（ ）执行如图所示的程序框图，输出的值为 A（ ） 1B（ ） 2C（ ） 3D（ ） 4×2 a2 25（ ）已知双曲线 a>0 a= ，则 （）的离心率是 y 1 51A（ ） B（ ） 4C（ ） 2D（ ） 626（ ）设函数 （ ） fx=cosx+bsinx b（ 为常数），则“ b=0 f x ”是“ （ ）为偶函数”的 AB（ ）充分而不必要条件（ ）必要而不充分条件 C（ ）充分必要条件 D（ ）既不充分也不必要条件 7（ ）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 5m2 – m1 lg 2E1 E2 m，其中星等为 k 的星的亮度为 E（kk=1,2 ）．已知太阳的星等是– 26.7 A–1.45 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为 ，天狼星的星等是 10.1 1010.1 B（ ） 10.1 C（ ） lg10.1 D（ ） （ ） 10 8AB2（ ）如图， ，是半径为 的圆周上的定点，为圆周上的动点， P是锐角，大小为 APB β. 图中阴影区域的面积的最大值为 A（ ） 4β+4cosβ B（ ） 4β+4sinβ C（ ） 2β+2cosβ D（ ） 2β+2sinβ 110 分） （非选择题 共第二部分 6530 二、填空题共 小题，每小题 分，共分。 a9（ ）已知向量 =（–4 3=6， ），（ ，），且 mm=__________ ，则 ． ba b x 2, y x y 1, 10 xy__________ 的 最 小 值 为， 最 大 值 为 （） 若 ，满 足 则4x 3y 1 0, __________ 11 ．y2=4x FlFl的焦点为 ，准线为．则以 为圆心，且与相切的圆的方程为 __________ ．（（）设抛物线 12 ）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小 1正方形的边长为 ，那么该几何体的体积为 __________ ．）已知 ，是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断： 13 lm（lmml① ⊥；② ∥；③ ⊥ 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： __________ ．．14 （）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃， 60 /65 /80 /元 盒、元 盒、元 盒、元 盒．为增加销量，李明对这四种水果 90 /价格依次为 120 x元，顾客就少付 元．每笔订单顾客网上支付 进行促销：一次购买水果的总价达到 80% 成功后，李明会得到支付款的 x=10 ．1时，顾客一次购买草莓和西瓜各 盒，需要支付 __________ 元； ①当 x②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 __________ 的最大值为 ．6三、解答题共 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15 13 分） （）（本小题 1ABC a=3 cosB= ，在△ 中， ，．b – c 2 2bc（Ⅰ）求 ， 的值； sin B+C （Ⅱ）求 （）的值． 13 分） 16 （）（本小题 {a } na = 10a +10 a +8 a +6 是等差数列， – ，且 ，， 成等比数列． 2 34 设1{a } （Ⅰ）求 的通项公式； n{a } nS（Ⅱ）记 的前项和为 n，求 n 的最小值． Sn17 ）（本小题 12 分） （改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方 A B 式之一．为了解某校学生上个月 ，两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的 1000 100 AB人，发现样本中 ， 两种支付方式都不使用的有人，样本 5名学生中随机抽取了 AB中仅使用 和仅使用 的学生的支付金额分布情况如下： 支付金额 不大于 2 000 元 大于 2 000 元 支付方式 仅使用 A 仅使用 B 27 人 24 人 3 人 1 人 AB（Ⅰ）估计该校学生中上个月 ， 两种支付方式都使用的人数； B1（Ⅱ）从样本仅使用 的学生中随机抽取 人，求该学生上个月支付金额大于 2 000 元的概率； B（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 的学生中随 1机抽查 人，发现他本月的支付金额大于 2 000 元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本 元的人数有变化？说明理由． B仅使用 的学生中本月支付金额大于 2 000 18 14 （）（本小题 分） ABCD ABCD E为菱形， 为的中 CD 如图，在四棱锥 P ABCD 中， 平面 ，底部 PA 点． BD （Ⅰ）求证： ⊥平面 PAC ；ABC=60 °，求证：平面 PAB PAE ⊥平面 ； （Ⅱ）若∠ PB FCF PAE 上是否存在点 ，使得∥平面 ？说明理由． （Ⅲ）棱 19 14 分） （）（本小题 x2 y2 (1,0) A(0,1) ．已知椭圆 的右焦点为 ，且经过点 C : 1 a2 b2 C（Ⅰ）求椭圆 的方程； l : y kx t(t 1) O（Ⅱ）设 为原点，直线 CPQAP 与椭圆 交于两个不同点， ，直线 |OM| |ON|=2 l ，求证：直线 经过定 xM轴交于点 ，直线 AQ xN与与轴交于点 ，若 ·点． 20 14 分） （）（本小题 1f (x) x3 x2 x 已知函数 ．4y f (x) 1的斜率为 的切线方程； （Ⅰ）求曲线 x[2,4] x 6 f (x) x （Ⅱ）当 （Ⅲ）设 时，求证： ；F(x) | f (x) (x a) | (aR) F(x) [2,4] M a 上的最大值为 （）， ，记 在区间 M aa （ ）最小时，求的值． 当（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 绝密★启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷）参考答案 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）C （5）D （2）D （6）C （3）A （7）A （4）B （8）B 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9）8 （10）–3 （12）40 1（11） (x 1)2 y2 4 （13）若l m,l ，则 m ．（答案不唯一） （14）130 15 三、解答题（共 6 小题，共 80 分） （15）（共 13 分） 解：（Ⅰ）由余弦定理b2 a2 c2 2accos B ，得 12b2 32 c2 23c ．因为b c 2 ，12所以 (c 2)2 32 c2 23c ．解得 c 5 所以b 7 ．．123（Ⅱ）由 cos B 得sin B ．2a3 3 14 由正弦定理得sin A sin B ．b在△ABC 中， B C A ．3 3 14 所以sin(B C) sin A ．16 ）（共 13 分） （a解：（Ⅰ）设 的公差为 ．dna 10 因为 所以 因为 ，1a 10 d,a 10 2d,a 10 3d ．234a 10,a 8,a 6 成等比数列， 2342所以 a 8 a 10 a 6 ．324所以 (2 2d)2 d(4 3d) ．解得 所以 ．d 2 a a (n 1) d 2n 12 ．n1a 2n 12 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ．na 0 a 0 所以，当 时， ；当 时， ．n 7 n 6 nnSS 30 所以， n 的最小值为 ．617 ）（共 12 分） （解：（Ⅰ）由题知，样本中仅使用A的学生有27+3=30人，仅使用B的学生有24+1=25人， A，B两种支付方式都不使用的学生有5人． 故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100–30–25–5=40人． 40 估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为 1000 400 ．100 （Ⅱ）记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于 12 000元”，则 P(C) 0.04 ．25 （Ⅲ）记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000 元”． 假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由（II）知， P(E) =0.04． 答案示例1：可以认为有变化．理由如下： P(E) 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付 金额大于2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化． 答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下： 事件E是随机事件， P(E) 比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法 确定有没有变化． （18）（共14分） 解：（Ⅰ）因为 PA 平面ABCD， 所以 PA BD ．又因为底面ABCD为菱形， 所以 BD AC ．所以 BD 平面PAC． （Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD， AE 平面ABCD， 所以PA⊥AE． 因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD的中点， 所以AE⊥CD． 所以AB⊥AE． 所以AE⊥平面PAB． 所以平面PAB⊥平面PAE． （Ⅲ）棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE． 取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG． 1则FG∥AB，且FG= AB． 2因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点， 1所以CE∥AB，且CE= AB． 2所以FG∥CE，且FG=CE． 所以四边形CEGF为平行四边形． 所以CF∥EG． 因为CF 平面PAE，EG 平面PAE， 所以CF∥平面PAE． 19 ）（共 14 分） （I解：（ ）由题意得， b2=1 c=1 ．，a2=b2+c2=2 所以 ．x2 2C所以椭圆 的方程为 ． y 1 2PxyQxy2（Ⅱ）设 （， ）， （ ， ）， 112y1 1 x1 y x 1 ．AP 则直线 的方程为 x1 x y=0 M，得点 的横坐标 令又．My1 1 x1 kx1 t 1 | OM | x | |．y kx t ，从而 M11x2 | ON | | |同理， ．kx2 t 1 y kx t, 由则得(1 2k2 )x2 4ktx 2t2 2 0 ．2x y2 1 2 2t2 2 1 2k2 4kt 1 2k2 x x ，．x1x2 12×1 x2 | OM || ON | | || |所以 kx1 t 1 kx2 t 1 x1x2 k2 x x k(t 1) x x (t 1)2 | |2 1212t2 2 1 2k2 | |2t2 2 1 2k2 4kt 1 2k2 k2 k(t 1)( ) (t 1)2 1 t 1t 2| |．| OM || ON | 2 又，1 t 1t 2| | 2 所以 ．t=0 l0解得 ，所以直线经过定点（ ， ）． 0（20）（共 14 分） 13解：（Ⅰ）由 f (x) x3 x2 x 得f (x) x2 2x 1 ．4438令又f (x) 1，即 x2 2x 11，得 x 0 或x ．438f ( ) 38f (0) 0 ，，27 883所以曲线 y f (x) 的斜率为 1 的切线方程是 y x 与y x ，27 64 即y x 与y x ．27 （Ⅱ）令 g(x) f (x) x, x[2,4] ．13由令g(x) x3 x2 得g'(x) x2 2x ．448g'(x) 0 得x 0 或x ．3g'(x), g(x) 的情况如下： 8838x(2,0) (0, ) 3( ,4) 3002 40g'(x) g(x) 64 6 27 所以 g(x) 的最小值为 6，最大值为 0．．故6 g(x) 0 ，即 x 6 f (x) x （Ⅲ）由（Ⅱ）知， 当当a 3时， M (a) F(0) | g(0) a | a 3 ；a 3时， M (a) F(2) | g(2) a | 6 a 3 ；当a 3时， M (a) 3 ．综上，当 M (a) 最小时， a 3 ．选择填空解析 一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项。 1. 已知集合 A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则 A∪B= A. B. C. D. （1， （–1，1） （1，2） （–1，+∞） +∞） C【答案】 【解析】 【分析】 根据并集的求法直接求出结果. A {x | 1 x 2}, B {x |1} 【详解】∵ ，A B (1,) ∴，故选 C. 的【点睛】考查并集 求法，属于基础题. 2. 已知复数 z=2+i，则 z z A. B. C. D. 5335D【答案】 【解析】 【分析】 题先求得 ，然后根据复数的乘法运算法则即得. z【详解】∵ 故选 D. z 2 i,zz (2 i)(2 i) 5 【点睛】本容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 3. 下列函数中，在区间（0，+ ）上单调递增的是 11y log1 x x y D. A. B. C. y= y x2 2x2A【答案】 【解析】 【分析】 根据函数图像性质可得出结果. y 2x , y log1 x 【详解】函数 ，21y (0,) 在区间 上单调递减， x1(0,) 上单调递增，故选 A. 函数 在区间 y x2 【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知 识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题. 4. 执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 A. B. C. D. 4123B【答案】 【解析】 【分析】 根据程序框图中的条件逐次运算即可. 212 31 2 k=1 【详解】运行第一次， ，，s 2 222 32 2 运行第二次， k 2 运行第三次， k 3 ，，，，s s 2 2 222 32 2 结束循环，输出 s=2 ，故选 B. 【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查. x2 a2 25. 已知双曲线 （a＞0）的离心率是 则 a= y 1 512A. B. C. D. 426D【答案】 【解析】 【分析】 本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于 A 的方程求解. c2e 5 【详解】分析：详解： ∵双曲线的离心率 ，，c a 1 aa2 1 a∴， 5 12a 解得 ，故选 D. 【点睛】对双曲线基础知识和基本计算能力的考查. 6. 设函数 f（x）=cosx+bsinx（b 为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的 A. B. D. 充分而不必要条件 充分必要条件 必要而不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 C【答案】 【解析】 【分析】 f (x) f (x)=f (x) f (x) 根据定义域为 R 的函数 为偶函数等价于 进行判断. f (x) cos x bsin x cos x 【详解】 时， ,为偶函数； b 0 f (x) x对任意的 恒成立， f (x)=f (x) 为偶函数时， f (x) cos(x) bsin(x) cos x bsin x cos x bsin x cos x bsin x ，得bsinx 0 对任意的 恒成立，从而 x.从而“ ”b 0 b 0 f (x) 是“ 为偶函数”的充分必要条件，故选 C. 【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 7. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 5E1 E2 m2 – m1 lg ，其中星等为 m1 的星的亮度为 E2（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7， 2天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 1010.1 D. 10.1 A. B. C. 10 10.1 lg10.1 D【答案】 【解析】 【分析】 E1 E1 E2 E1 E2 ，lg 先求出 ，然后将对数式换 为指数式求 再求 E2 5E1 m m lg 【详解】两颗星的星等与亮度满足 ,212E2 m 1.45 m 26.7 令，，21E1 E2 2521g m m (1.45 26.7) 10.1 1 ，25E1 E2 E2 1010.1 1010.1 ，E1 故选 D. 【点睛】考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算. 8. 如图，A，B 是半径为 2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点， 是锐角，大小为 β. APB 图中阴影区域的面积的最大值为 A. B. C. 2β+2cosβ D. 4β+4cosβ 4β+4sinβ 2β+2sinβ 【答案】 【解析】 【分析】 B阴影部分的面积 S=S△PAB+ S1- S△OAB.其中 S1、 S△OAB的值为定值.当且仅当 S△PAB取最大值时阴 影部分的面积 S 取最大值. 【详解】观察图象可知，当 P 为弧 AB 的中点时，阴影部分的面积 S 取最大值， 1122的此时∠BOP=∠AOP=π-β, 面积 S 最大值为 βr +S△POB+ S△POA=4β+ |OP||OB|sin（π-β）+ 2|OP||OA|Sin（π-β）=4β+2Sinβ+2Sinβ=4β+4 Sinβ，故选 B. 【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算 求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示. 第二部分（非选择题 共 110分） 二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30分。 rra9. 已知向量 =（－4，3）， =（6，m），且 __________ .，则 m= ba b 【答案】8. 【解析】 【分析】 转化得到 m.利用 加以计算，得到 a b a b 0 【详解】向量 a （ 4,3），b （6,m），a b， 则.a •b 0， 46 3m 0，m 8 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化 归思想的应用.属于容易题. x 2, y x y 1, 10. __________ __________ ，最大值为 .若 x，y 满足 则的最小值为 4x 3y 1 0, (1). (2). 1. 【答案】 【解析】 【分析】 .3 作出可行域，移动目标函数表示的直线，利用图解法求解. 【详解】作出可行域如图阴影部分所示. 设 z=y-x,则 y=x+z.当直线 l0：y=x+z 经过点 A（2,-1）时,z 取最小值-3，经过点 B（2,3）时,z 取最大值 1. 【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度 不大题，注重了基础知识、基本技能的考查. 211. 设抛物线 y =4x 的焦点为 F，准线为 l.则以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为 __________ ．【答案】(x-1)2+y2=4. 【解析】 【分析】 进结由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径， 而求得 果. 【详解】抛物线 y2=4x 中，2P=4，P=2， 焦点 F（1,0），准线 l 的方程为 x=-1， 以 F 为圆心， 且与 l 相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4. 【点睛】本题可采用数形结合法，只要画出图形，即可很容易求出结果. 12. 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正 __________ 方形的边长为 1，那么该几何体的体积为 ．【答案】40. 【解析】 【分析】 画出三视图对应的几何体，应用割补法求几何体的体积. 【详解】在正方体中还原该几何体，如图所示 1几何体的体积 V=43- （2+4）×2×4=40 2【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重 多观察、细心算. 13. 已知 l，m 是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断： ．①l⊥m；②m∥ ；③l⊥ 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： __________ ．【答案】如果 l⊥α，m∥α，则 l⊥m. 【解析】 【分析】 将所给论断，分别作为条件、结论加以分析. 【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果 l⊥α，m∥α，则 l⊥m. 正确； （2）如果 l⊥α，l⊥m，则 m∥α.不正确，有可能 m 在平面 α 内； （3）如果 l⊥m，m∥α，则 l⊥α.不正确，有可能 l 与 α 斜交、l∥α. 【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力. 14. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价 格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促 销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李 明会得到支付款的 80%． __________ ①当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付 ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大 __________ 元； 值为 ．(1). (2). 15. 【答案】 【解析】 【分析】 130. （1）将购买的草莓和西瓜加钱与 120进行比较，再根据促销规则可的结果； y＜120 y 120 、 分别探究. （2）根据 【详解】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒， 需要支付（60+80）-10=130 元. （2）设顾客一次购买水果的促销前总价为 y 元， y＜120 元时，李明得到的金额为 y×80%，符合要求. 元时，有（y-x）×80%≥y×70%成立， y 120 yy即 8（y-x）≥7y，x≤ ，即 x≤（ ）min=15 元. 88所以 x 的最大值为 15. 【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解能 力，有一定难度.
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