2019年北京高考理科数学试题及答案下载

2019 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷） 第一部分（选择题 共40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 (1) （A） 3（B） 5（C）3 （D）5 （2）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 x  1 3t y  2  4t （3）已知直线 l 的参数方程为 到直线 l 的距离是 （t 为参数），则点（1，0） 1（A） 5 2（B） 54（C） 56（D） 5  y2 （4）已知椭圆 x2 1（a>b>0）的离心率为 ，则  1 a2 b2 2（A）a2=2b2. （B）3a2=4b2. （C）a=2b （D）3a=4b x（5）若 （A）-7 （C）5 （D）7 （6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足 ,y满足 的最大值为 （B）1 5m2  m1  lg 2E1 E2 k 1,2 ）。已知太阳的星等为-26.7， mEk，其中星等为 k 的星的亮度为 （天狼星的星等为-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A）1010.1 （B）10.1 （C） lg10.1 （D）1010.1 （7）设点 A, B,C不共线，则“ 与的夹角是锐角”是“ ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 C : x2  y2 1 x y （8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 就是其中之一 （如图）。给出下列三个结论： ① 曲线 C恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ② 曲线 ③ 曲线 CC上任意一点到原点的距离都不超过 2;所围城的“心形”区域的面积小于 3. 其中，所有正确结论的序号是 （A）① （B）② （C）①② （D）①②③ 第二部分(非选择题共 10 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分，共 30 分。 (9) 函数 f (x)  sin2 2x 的最小正周期是 ________。 (10) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2=-3，S5=-10,则 a3= ________ . Sn 的最小值为 _______。 (11) 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示。如果网格纸上小正 方形的边长为 1，那么该几何体的体积为________。 (12) 已知 l、m 是平面 a 外的两条不同直线.给出下列三个论断: ①l⊥m； ② m∥a； ③l⊥a 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题: ______。 (13) 设函数 f (x)  ex  aex (a 为常数)，若 f(x)为奇函数,则 a=______； 若f(x)是 R 上的 增函数，则 a 的取值范围是 ________。 (14)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃。价 格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒，为增加销量，李明对这四种水果进行促 销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元，每笔订单顾客网上支付成功后,李 明会得到支付款的 80%。 ①当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付 _______ 元： ②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大 值为________ 。 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。。 （15）（本小题 13 分） 1cos B   在中， ，，．a  3 b c  2 2（Ⅰ）求 b,c 的值； sin(B  C) （Ⅱ）求 的值。 （Ⅰ）求证： ；（Ⅱ）求二面角 F-AE-P 的余弦值; PG PB 23（Ⅲ）设点 G 在 PB 上，且 （17）（本小题 13 分） .判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由. 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付已成为主要支 付方式之一。为了解某校学生上个月 A,B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生 中随机抽取了 100 人，发现样本中 A,B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下： 支付金额(元) 支付方式 (0,1000] (1000,2000] 大于 2000 仅使用 A 仅使用 B 18 人 10 人 9 人 3 人 1 人 14 人 （Ⅰ）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A,B 两个支付方式都使用的概率； （Ⅱ）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中上个月支 付金额大于 1000 元的人数，求 X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用 A 的学生中，随 机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额大于 2000 元。根据抽查结果，能否认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由。 (18) （本小题 14 分） C : x2  2py 已知抛物线 经过点(2，-1)。 (I) 求抛物线 C 的方程及其准线方程； (II) 设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N，直 线 y=-1 分别交直线 OM，ON 于点 A 和点 B，求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的 两上定点。 (19) （本小题 13 分） 1已知函数f(x)  x3  x2  x 。4y  f(x) (I) 求曲线 的斜率为 1 的切线方程； (II) F(x) 在区间[-2，4]上的最大值为 (III) 设，记 M(a)，当 M(a)最小时，求 a 的值。 (20) （本小题 13 分） 已 知 数 列 {an} ， 从 中 选 取 第i1 项 、 第i2 项 、 … 、 第im 项 (i1 <i2<…<im) ， 若 ，则称新数列 为{an}的长度为 m 的递增子列。规 定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为 1 的递增子列。 (I) 写出数列 1,8,3,7,5,6,9 的一个长度为 4 的递增子列； (II) 已知数列{an}的长度为 P 的递增子列的末项的最小值为 ，长度为 q 的递增子列的 末项的最小值为an ，若 p<q，求证： ；o(III) 增 子 列 末 项 的 最 小 值 为2s-1 ， 且 长 度 为s 末 项 为2s-1 的 递 增 子 列 恰 有2s-1 （s=1,2,…），求数列{an}的通项公式。 设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等，若{an}的长度为 s 的递 个