2018年江苏高考数学试题及答案下载

2018 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题~第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时 间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答 题卡的规定位置。 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律无效。 5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式： 1锥体的体积V  Sh ，其中 S是锥体的底面积， h是锥体的高． 3一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位 置上． 1．已知集合 A {0,1,2,8} ，B {1,1,6,8}，那么 A  B  ▲ ． 2．若复数 z满足i  z 1 2i ，其中 i 是虚数单位，则 的实部为 ▲ ． z3．已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的 平均数为 ▲．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 S 的值为 ▲ ． 5．函数 f (x)  log2 x 1 的定义域为 ▲ ． 6．某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名 女生的概率为 ▲．2237．已知函数 y  sin(2x )(   )的图象关于直线 x  对称，则 的值是 ▲ ． x2 y2 8．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 1(a  0,b  0) 的右焦点 F(c,0) 到一条渐近 a2 b2 3线的距离为 c，则其离心率的值是 ▲．2x cos ,0 x  2, 219．函数 f (x) 满足 f (x  4)  f (x)(xR) ，且在区间 (2,2]上， f (x)  则| x  |,- 2  x  0, 2f ( f (15)) 的值为 ▲．10．如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ． 11．若函数 f (x)  2×3  ax2 1(aR) 最大值与最小值的和为 在 (0,) 内有且只有一个零点，则 f (x) 在[1,1] 上的 ▲．12．在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线l : y  2x 上在第一象限内的点， B(5,0) ，以 AB 为   直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D．若 AB CD  0 ，则点 A 的横坐标为 ▲ ． 13．在△ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ABC 120 ABC 的平分线交 AC ， ， 于点 D，且 BD 1，则 4a  c 的最小值为 14．已知集合 A {x | x  2n 1,nN*} ▲ ． ，B {x | x  2n ,nN*}．将 A  B 的所有元素从小到 大依次排列构成一个数列{an}．记 n 的最小值为 Sn 为数列{an}的前 n 项和，则使得 Sn 12an1 成立的 ▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分） 在平行六面体 ABCD  A B C1D1 中， AA  AB, AB  B C1 ．11111求证：（1） AB∥平面A B C ；11（2） 平面ABB A 平面A BC ．11116．（本小题满分 14 分） 435已知, 为锐角， tan  （1）求 cos2 的值； ，cos(  )   ．5（2）求 tan(  ) 的值． 17．（本小题满分 14 分） 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN （P 为此圆弧的中点） 和线段 MN 构成．已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米．现规划在此 农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为 △CDP ，要求 A, B 均在线段 MN 上，C, D 均在圆弧上．设 OC 与 MN 所成的角为 ．（1）用 分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积，并确定sin 的取值范围； （2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面 积年产值之比为 4:3 ．求当 18．（本小题满分 16 分） 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 1如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点 ( 3, )，焦点 2F ( 3,0), F2 ( 3,0)，圆 O 的直径为 F F2 ．11（1）求椭圆 C 及圆 O 的方程； （2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P． ①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； 2 6 ②直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点．若△OAB 的面积为 ，7求直线 l 的方程． 19．（本小题满分 16 分）   f (x), g (x) 分别为函数 f (x), g(x) 的导函数．若存在 x0 R ，满足 f (x0 )  g(x0 ) 且 记f (x0 )  g (x0 ) ，则称 （1）证明：函数 f (x)  x （2）若函数 f (x)  ax2 1 （3）已知函数 f (x)  x2  a f (x) 20．（本小题满分 16 分） {an}是首项为 b 1 ，公差为 d 的等差数列，{bn}是首项为 1 ，公比为 q 的等比数列． x0 为函数 f (x) 与 g(x) 的一个“S 点”． 与g(x)  x2  2x  2不存在“S 点”； 与g(x)  ln x 存在“S 点”，求实数 a 的值； bex ，g(x)  ．对任意 a  0 ，判断是否存在 b  0 ，使函 x数与 g(x) 在区间 (0,) 内存在“S 点”，并说明理由． 设a（1）设 a1  0,b 1,q  2 ，若| an  bn | b1 对 n 1,2,3,4 均成立，求 d 的取值范围； 1（ 2 ） 若a1  b  0,mN*,q(1,m 2] ， 证 明 ： 存 在d R ， 使 得 | an  bn | b1 对 1n  2,3,,m 1均成立，并求 d的取值范围（用b ,m,q 表示）． 1数学Ⅰ试题参考答案 一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题 5 分，共计 70 分． 1．{1，8} 2．2 3．90 4．8 8．2 3π5．[2，+∞） 6． 7． 10 62439． 10． 11．–3 12．3 213．9 14．27 二、解答题 15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象 能力和推理论证能力．满分 14 分． 证明：（1）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB∥A1B1． 因为 AB 平面 A1B1C，A1B1 平面 A1B1C， 所以 AB∥平面 A1B1C． （2）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，四边形 ABB1A1 为平行四边形． 又因为 AA1=AB，所以四边形 ABB1A1 为菱形， 因此 AB1⊥A1B． 又因为 AB1⊥B1C1，BC∥B1C1， 所以 AB1⊥BC． 又因为 A1B∩BC=B，A1B 所以 AB1⊥平面 A1BC．  平面 A1BC，BC  平面 A1BC， 因为 AB1 平面 ABB1A1， 所以平面 ABB1A1⊥平面 A1BC． 16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求 解能力．满分 14 分． 43sin cos 4tan  tan  sin  cos 解：（1）因为 ，，所以 ．39cos2   因为sin2   cos2  1，所以 ，25 7cos2  2cos2  1  因此， ．25 （2）因为 为锐角，所以 ．   (0,π) , 52 5 52又因为 ，所以 ，cos(  )   sin(  )  1 cos (  )  5因此 ．tan(   )  2 432tan 24 7tan  tan 2    因为 ，所以 ，1 tan2  tan 2  tan(   ) 1+ tan 2 tan(   ) 2因此， ．tan(   )  tan[2  (   )]    11 17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建 模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分 14 分． 解：（1）连结 PO 并延长交 MN 于 H，则 PH⊥MN，所以 OH=10． 过 O 作 OE⊥BC 于 E，则 OE∥MN，所以∠COE=θ， 故 OE=40cosθ，EC=40sinθ， 则矩形 ABCD 的面积为 2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ）， 1△CDP 的面积为 ×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）． 2过 N 作 GN⊥MN，分别交圆弧和 OE 的延长线于 G 和 K，则 GK=KN=10． 1π令∠GOK=θ0，则 sinθ0= ，θ0∈（0， ）． 46π当 θ∈[θ0， ）时，才能作出满足条件的矩形ABCD， 21所以 sinθ 的取值范围是[ ，1）． 4答：矩形 ABCD 的面积为 800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP 的面积为 11600（cosθ–sinθcosθ），sinθ 的取值范围是[ ，1）． 4（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3， 设甲的单位面积的年产值为 4k，乙的单位面积的年产值为 3k（k>0）， 则年总产值为 4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ） π=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0， ）． 2π设 f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0， ）， 2则令f′()  cos2   sin2   sin  (2sin2   sin 1)  (2sin 1)(sin 1) ．πf′()=0 ，得 θ= ，6π当 θ∈（θ0， ）时，f′()>0 ，所以 f（θ）为增函数； 6ππ当 θ∈（ ，）时， f′()<0 ，所以 f（θ）为减函数， 62π因此，当 θ= 时，f（θ）取到最大值． 6π答：当 θ= 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 618．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、 直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分 16 分． 解：（1）因为椭圆 C 的焦点为 F ( 3,0), F2 ( 3,0) ，1×2 y2 1可设椭圆 C 的方程为 1(a  b  0) ．又点 ( 3, )在椭圆 C 上， a2 b2 23121, a  4, b2 1, 所以 a2 4b2 ，解得 22a  b  3, x2 因此，椭圆 C 的方程为  y2 1 ．4因为圆 O 的直径为 F F2 ，所以其方程为 x2  y2  3 ．122（2）①设直线 l 与圆 O 相切于 P(x0 , y0 )(x0  0, y0  0) ，则 x0  y0  3 ，x0 x0 3所以直线 l 的方程为 y  (x  x0 )  y0 ，即 y  x  ．y0 y0 y0 2x y2 1,  4 x0 y  x  y0 由，消去 y，得 3,y0 222(4×0  y0 )x2  24×0 x  36  4y0  0 ．（*） 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点， 22222所以   (24×0 )2  4(4×0  y0 )(36  4y0 )  48y0 (x0  2)  0 ．因为 x0 , y0  0 ，所以 x0  2, y0 1 因此，点 P 的坐标为 ( 2,1) ．．2 6 712 6 74 2 7②因为三角形 OAB 的面积为 ，所以 AB OP  ，从而 AB  ．2设A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，2224×0  48y0 (x0  2) 由（*）得 x1,2 ，222(4×0  y0 ) 所以 AB2  (x1  x2 )2  (y1  y2 )2 222×0 48y0 (x0  2)  (1 2 ) ．22y0 (4×0  y0 )2 22因为 x0  y0  3 ，216(x0  2) 32 49 42所以 AB2  ，即 2×0  45×0 100  0 ，(x0 1)2 210 2251222解得 x0 (x0  20 舍去），则 y0 ，因此 P 的坐标为 (,) ． 222综上，直线 l 的方程为 y  5x  3 2 ．19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解 决问题以及逻辑推理能力．满分 16 分． 解：（1）函数 f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则 f′（x）=1，g′（x）=2x+2． 由 f（x）=g（x）且 f′（x）= g′（x），得 2x  x  2x  2 ，此方程组无解， 1 2x  2 因此，f（x）与 g（x）不存在“S”点． （2）函数 （f x） ax2 1 ，g(x)  ln x ， 1则f（ x） 2ax，g（ x） ．x设 x0 为 f（x）与 g（x）的“S”点，由 f（x0）=g（x0）且 f′（x0）=g′（x0），得 2ax0 1 ln x0 20ax 1 ln x 0，即 ，（*） 12ax2 1 2ax0  0x0 1得ln x0  ，即 x0  e 2 ，则 a  ．11e122222(e ) 1当a  时， x0  e 2 满足方程组（*），即 x0 为 f（x）与 g（x）的“S”点． e2e因此，a 的值为 ．2（3）对任意 a>0，设 h(x)  x3  3×2  ax  a ．因为 h(0)  a  0，h(1) 1 3  a  a  2  0 ，且 h（x）的图象是不间断的， 2×03 所以存在 x0 ∈（0，1），使得 h(x0 )  0 ，令b  ，则 b>0． ex0 (1 x0 ) bex 函数 f (x)  x2  a ，g(x)  ，xbex (x 1) 则f′(x)  2x ，g′(x)  ．x2 由 f（x）=g（x）且 f′（x）=g′（x），得 2×03 ex0 (1 x0 ) ex bex x2  a  x2  a  xx，即 （**） bex (x 1) 2×03 ex (x 1) 2x  2x  x2 ex0 (1 x0 ) x2 x x 此时， 0 满足方程组（**），即 0 是函数 f（x）与 g（x）在区间（0，1）内的一个“S 点”． 因此，对任意 a>0，存在 b>0，使函数 f（x）与 g（x）在区间（0，+∞）内存在“S 点”． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、 转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分 16 分． an  (n  1)d , bn  2n 1 解：（1）由条件知： ．因为| an  bn | b1 对 n=1，2，3，4 均成立， n 1 即对 n=1，2，3，4 均成立， | 1 | (n  1)d  2 752       d  即 1 1，1 d 3，3 2d 5，7 3d 9，得 ．37 5 [ , ] 因此，d 的取值范围为 ．3 2 an  b1  (n  1)d , bn  b1 q n 1 （2）由条件知： ．若存在 d，使得| an  bn | b1 （n=2，3，···，m+1）成立， | b1  (n  1)d  b1q n 1 | b1 (n  2, 3, , m  1) 即，qn1  2 n 1 qn1 即当 n  2,3,,m 1时，d 满足 b  d  b．11n 1 q(1,m 2] n 1  q m  2 ，因为 从而 ，则 1  q qn1  2 n 1 qn1 b  0 ，b  0 ，对 n  2,3,,m 1均成立． 11n 1 因此，取 d=0 时，| an  bn | b1 对 n  2,3,,m 1均成立． qn1  2 n 1 qn1 下面讨论数列 {}的最大值和数列 {}的最小值（ n  2,3,,m 1）． n1 qn  2 qn1  2 nqn  qn  nqn1  2 n(qn  qn1 )  qn  2 2  n  m ①当 时， ，nn  1 n(n  1) n(q  q n 1 )  q n  2  0 ．n(n  1) 1nn qm  2 m当时，有 ，从而 1  q  2 qqn1  2 n 1 2  n  m1 因此，当 时，数列 {}单调递增， qn1  2 n 1 qm 2 m故数列 ②设 {}的最大值为 ．xx，当 x>0 时， ，f ( x)  2 (1 x) f (x) f (x)  (ln 2  1  x ln 2)2 0 所以 单调递减，从而 <f（0）=1． f (x) qn n1q(n 1) 11 2n (1 )  f ( )1 ，2  n  m 当时， qn1 nnnn 1 qn1 2  n  m1 因此，当 时，数列 {}单调递减， n1 qn1 qm 故数列 {}的最小值为 ．n1 mb1 (qm  2) b1qm 因此，d 的取值范围为 ．][,mm数学Ⅱ(附加题) 21．【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内 作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤． A．[选修 4—1：几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图，圆 O 的半径为 2，AB 为圆 O 的直径，P 为 AB 延长线上一点， 过 P 作圆 O 的切线，切点为 C．若 PC  2 3，求 BC 的长． B．[选修 4—2：矩阵与变换](本小题满分 10 分) 2 3 已知矩阵 A  ．1 2 （1）求 A的逆矩阵 A1 对应的变换作用下得到点 P (3,1) ，求点 P 的坐标． ；（2）若点 P 在矩阵 AC．[选修 4—4：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) π在极坐标系中，直线 l 的方程为  sin( )  2 ，曲线 C 的方程为   4cos ，求直线 l 6被曲线 C 截得的弦长． D．[选修 4—5：不等式选讲](本小题满分 10 分) 若 x，y，z 为实数，且 x+2y+2z=6，求 x2  y2  z2 的最小值． 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分） 如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=AA1=2，点 P，Q 分别为 A1B1， BC 的中点． （1）求异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值； （2）求直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值． 23．(本小题满分 10 分) 设nN* ，对 1，2，···，n 的一个排列i1i2 in ，如果当 s<t 时，有 is  it ，则称 (is ,it ) 是排列i1i2 in 的一个逆序，排列i1i2 in 的所有逆序的总个数称为其 逆序数．例如：对 1，2，3 的一个排列 231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列 231 的逆序数为 2．记 fn (k) 为 1，2，···，n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个数． （1）求 f3 (2), f4 (2) 的值； （2）求 fn (2)(n  5) 的表达式(用 n 表示)． 数学Ⅱ(附加题)参考答案 21．【选做题】 A．[选修 4—1：几何证明选讲] 本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分 10 分． 证明：连结 OC．因为 PC 与圆 O 相切，所以 OC⊥PC． 又因为 PC= 2 3，OC=2， 所以 OP= PC2  OC2 =4． 又因为 OB=2，从而 B 为 Rt△OCP 斜边的中点，所以 BC=2． B．[选修 4—2：矩阵与变换] 本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分 10 分． 2 3 解：（1）因为 A  ， det(A)  2 2 13 1 0 ，所以 A 可逆， 1 2 2 3 从而 A1 ．1 2 2 3 x3x33       （2）设 P(x，y)，则 ，所以  A1 ，       1 2 y1y  1  1    因此，点 P 的坐标为(3，–1)． C．[选修 4—4：坐标系与参数方程] 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分 10 分． 解：因为曲线 C 的极坐标方程为 =4cos ，所以曲线 C 的圆心为（2，0），直径为 4 的圆． π因为直线 l 的极坐标方程为  sin( )  2 ，6π则直线 l 过 A（4，0），倾斜角为 ，6所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点． π设另一个交点为 B，则∠OAB= ．6π连结 OB，因为 OA 为直径，从而∠OBA= ，2π所以 AB  4cos  2 3 ．6因此，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2 3 D．[选修 4—5：不等式选讲] ．本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分 10 分． 证明：由柯西不等式，得 (x2  y2  z2 )(12  22  22 )  (x  2y  2z)2 因为 x  2y  2z=6 ，所以 x2  y2  z2  4 ．，xyz2443当且仅当 时，不等式取等号，此时 x  ，y  ，z  ，12233所以 x2  y2  z2 的最小值为 4． 22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用 空间向量解决问题的能力．满分 10 分． 解：如图，在正三棱柱 ABC−A1B1C1 中，设 AC，A1C1 的中点分别为 O，O1，则 OB⊥    OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{OB,OC,OO }为基底，建立空间直角坐标系 O−xyz． 1因为 AB=AA1=2， 所以 A(0,1,0), B( 3,0,0),C(0,1,0), A (0,1,2), B ( 3,0,2),C1(0,1,2) ．1131（1）因为 P 为 A1B1 的中点，所以 P( , ,2) ，22  31从而 BP  ( , ,2), AC1  (0,2,2) ，22    | BP  AC1 | | 1 4 |3 10   故| cosBP, AC1 | ．20 | BP || AC1 | 5  2 2 3 10 20 因此，异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值为 ．3 1 （2）因为 Q 为 BC 的中点，所以Q( ,,0) ，22 因此 AQ  ( ,,0)   3 3 ，AC1  (0,2,2),CC1  (0,0,2) ．22设 n=（x，y，z）为平面 AQC1 的一个法向量，  33AQ  n  0, x  y  0, 则即 22AC  n  0, 12y  2z  0. 不妨取 n  ( 3,1,1) ，设直线 CC1 与平面 AQC1 所成角为 ，   | CC1  n | 25 则sin | cosCC1,n | ，5| CC1 || n| 5  2 5所以直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值为 ．523．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证 能力．满分 10 分． 解：（1）记 (abc) 为排列 abc 的逆序数，对 1，2，3 的所有排列，有  (123)=0， (132)=1， (213)=1， (231)=2， (312)=2， (321)=3 所以 f3 (0) 1，f3 (1)  f3 (2)  2 ，．对 1，2，3，4 的排列，利用已有的 1，2，3 的排列，将数字 4 添加进去，4 在新排列 中的位置只能是最后三个位置． 因此， f4 (2)  f3 (2)  f3 (1)  f3 (0)  5 （2 ）对一般的 n （n≥4）的情形，逆序数为 0 的排列只有一个：12…n ，所以 fn (0) 1 逆序数为 1 的排列只能是将排列 12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所 fn (1)  n 1 ．．以．为计算 fn1(2) ，当 1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将 n+1 添加进原排列，n+1 在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此， fn1(2)  fn (2)  fn (1)  fn (0)  fn (2)  n 当 n≥5 时， ．fn (2)  [ fn (2)  fn1(2)] [ fn1(2)  fn2 (2)] … [ f5 (2)  f4 (2)]  f4 (2) n2  n  2  (n 1)  (n  2)  4  f4 (2)  ，2n2  n  2 因此，n≥5 时， fn (2)  ．2