2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅱ）（含解析版）下载

2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5 分） A． =（　　） B． iC． D． 2．（5 分）已知集合 A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则 A 中元素的个数 为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 3．（5 分）函数 f（x）= 的图象大致为（　　） A． B． C． 4．（5 分）已知向量 ， 满足| |=1， D． =﹣1，则 •（2 C．2 ）=（　　） D．0 A．4 B．3 5．（5 分）双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，则其渐近线方程为 （　　） A．y=± xB．y=± xC．y=± xD．y=± x6．（5 分）在△ABC 中，cos =，BC=1，AC=5，则 AB=（　　） 第 1 页（共 28 页） A．4 B． C． D．2 7．（5 分）为计算 S=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣，设计了如图的程序框图，则 在空白框中应填入（　　） A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4 8．（5 分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果． 哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30=7+23． 在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是（　　） A． B． C． D． 9．（5 分）在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=BC=1，AA1= ，则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为（　　） A． 10．（5 分）若 f（x）=cosx﹣sinx 在[﹣a，a]是减函数，则 a 的最大值是（　　） A． B． C． D．π B． C． D． 11．（5 分）已知 f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足 f（1﹣x）=f（ 1+x），若 f（1）=2，则 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（　　） A．﹣50 B．0 C．2 D．50 第 2 页（共 28 页） 12．（5 分）已知 F1，F2 是椭圆 C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 的直线上，△PF1F2 为等腰三角形， ∠F1F2P=120°，则 C 的离心率为（　　） A． B． C． D． 　二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．（5 分）曲线 y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为　 　． 14．（5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为　 　． 15．（5 分）已知 sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则 sin（α+β）=　 　． 16．（5 分）已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为 ，SA 与 圆锥底面所成角为 45°，若△SAB 的面积为 5 ，则该圆锥的侧面积为　 　．　三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根要 求作答。（一)必考题：共 60 分。 17．（12 分）记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 a1=﹣7，S3=﹣15． （1）求{an}的通项公式； （2）求 Sn，并求 Sn 的最小值． 第 3 页（共 28 页） 18．（12 分）如图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y（单位： 亿元）的折线图． 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个 线性回归模型．根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1，2， …，17）建立模型①： =﹣30.4+13.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据（时 间变量 t 的值依次为 1，2，…，7）建立模型②： =99+17.5t． （1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 第 4 页（共 28 页） 19．（12 分）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k（k＞0）的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|=8． （1）求 l 的方程； （2）求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程． 20．（12 分）如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，AB=BC=2 ，PA=PB=PC=AC=4， O 为 AC 的中点． （1）证明：PO⊥平面 ABC； （2）若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M﹣PA﹣C 为 30°，求 PC 与平面 PAM 所 成角的正弦值． 21．（12 分）已知函数 f（x）=ex﹣ax2． （1）若 a=1，证明：当 x≥0 时，f（x）≥1； （2）若 f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求 a． 第 5 页（共 28 页） 　（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ，（θ 为 参数），直线 l 的参数方程为 ，（t 为参数）． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为（1，2），求 l 的斜率． 　[选修 4-5：不等式选讲] 23．设函数 f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|． （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥0 的解集； （2）若 f（x）≤1，求 a 的取值范围． 　第 6 页（共 28 页） 2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） 参考答案与试题解析 　一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5 分） A． =（　　） B． iC． D． 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 【解答】解： ==+．故选：D． 【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基本知识的考查． 　2．（5 分）已知集合 A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则 A 中元素的个数 为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 【考点】1A：集合中元素个数的最值．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；4O：定义法；5J：集合． 【分析】分别令 x=﹣1，0，1，进行求解即可． 【解答】解：当 x=﹣1 时，y2≤2，得 y=﹣1，0，1， 当 x=0 时，y2≤3，得 y=﹣1，0，1， 当 x=1 时，y2≤2，得 y=﹣1，0，1， 即集合 A 中元素有 9 个， 故选：A． 【点评】本题主要考查集合元素个数的判断，利用分类讨论的思想是解决本题 的关键． 第 7 页（共 28 页） 　3．（5 分）函数 f（x）= 的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【考点】3A：函数的图象与图象的变换；6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可． 【解答】解：函数 f（﹣x）= =﹣ =﹣f（x）， 则函数 f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除 A， 当 x=1 时，f（1）=e﹣ ＞0，排除 D． 当 x→+∞时，f（x）→+∞，排除 C， 故选：B． 【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进 行排除是解决本题的关键． 　4．（5 分）已知向量 ， 满足| |=1， A．4 B．3 =﹣1，则 •（2 C．2 ）=（　　） D．0 【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版 第 8 页（共 28 页） 【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用． 【分析】根据向量的数量积公式计算即可． 【解答】解：向量 ， 满足| |=1， =﹣1，则 •（2 ）=2 ﹣=2+1=3 ，故选：B． 【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题 　5．（5 分）双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，则其渐近线方程为 （　　） A．y=± xB．y=± xC．y=± xD．y=± x【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据双曲线离心率的定义求出 a，c 的关系，结合双曲线 a，b，c 的关 系进行求解即可． 【解答】解：∵双曲线的离心率为 e= = ，则 = ====，即双曲线的渐近线方程为 y=± x=±x， 故选：A． 【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐 近线的方程是解决本题的关键． 　6．（5 分）在△ABC 中，cos =，BC=1，AC=5，则 AB=（　　） A．4 B． C． D．2 【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形． 【分析】利用二倍角公式求出 C 的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可． 第 9 页（共 28 页） 【解答】解：在△ABC 中，cos =，cosC=2× =﹣ ， BC=1，AC=5，则 AB= 故选：A． ===4 ．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力． 　7．（5 分）为计算 S=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣，设计了如图的程序框图，则 在空白框中应填入（　　） A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4 【考点】E7：循环结构；EH：绘制程序框图解决问题．菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；4B：试验法；5K：算法和程序框图． 【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的 S=N﹣T， 由此知空白处应填入的条件． 【解答】解：模拟程序框图的运行过程知， 该程序运行后输出的是 S=N﹣T=（1﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣）； 累加步长是 2，则在空白处应填入 i=i+2． 第 10 页（共 28 页） 故选：B． 【点评】本题考查了循环程序的应用问题，是基础题． 　8．（5 分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果． 哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30=7+23． 在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】36：整体思想；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】利用列举法先求出不超过 30 的所有素数，利用古典概型的概率公式进 行计算即可． 【解答】解：在不超过 30 的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29 共 10 个， 从中选 2 个不同的数有 =45 种， 和等于 30 的有（7，23），（11，19），（13，17），共 3 种， 则对应的概率 P= 故选：C． =，【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过 30 的素数是解决本 题的关键． 　9．（5 分）在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=BC=1，AA1= ，则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角． 【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐 标系，利用向量法能求出异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值． 【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直 第 11 页（共 28 页） 角坐标系， ∵在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=BC=1， AA1= ，∴A（1，0，0），D1（0，0， ），D（0，0，0）， B1（1，1， ）， =（﹣1，0， ）， 设异面直线 AD1 与 DB1 所成角为 θ， 则 cosθ= =（1，1， ）， ==，∴异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为 故选：C． ．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想， 是基础题． 　10．（5 分）若 f（x）=cosx﹣sinx 在[﹣a，a]是减函数，则 a 的最大值是（　　） A． B． C． D．π 【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值． 第 12 页（共 28 页） 【分析】利用两角和差的正弦公式化简 f（x），由 k∈Z，得 ，k∈Z，取 k=0，得 f（x）的一个减区间 为[ ]，结合已知条件即可求出 a 的最大值． 【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）= ，，，由得，k∈Z， ，k∈Z， 取 k=0，得 f（x）的一个减区间为[ 由 f（x）在[﹣a，a]是减函数， ，]， 得，∴ ．则 a 的最大值是 故选：A． ．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属 于基本知识的考查，是基础题． 　11．（5 分）已知 f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足 f（1﹣x）=f（ 1+x），若 f（1）=2，则 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（　　） A．﹣50 B．0 C．2 D．50 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有 【专题】36：整体思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是 4，结合函数的周期 性和奇偶性进行转化求解即可． 【解答】解：∵f（x）是奇函数，且 f（1﹣x）=f（1+x）， ∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0， 第 13 页（共 28 页） 则 f（x+2）=﹣f（x），则 f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）， 即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数， ∵f（1）=2， ∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2， f（4）=f（0）=0， 则 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0， 则 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49 ）+f（50） =f（1）+f（2）=2+0=2， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函 数的周期性是解决本题的关键． 　12．（5 分）已知 F1，F2 是椭圆 C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 的直线上，△PF1F2 为等腰三角形， ∠F1F2P=120°，则 C 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求得直线 AP 的方程：根据题意求得 P 点坐标，代入直线方程，即可求 得椭圆的离心率． 【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0）， 直线 AP 的方程为：y= （x+a）， 由∠F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，则 P（2c， c）， 代入直线 AP： c= （2c+a），整理得：a=4c， 第 14 页（共 28 页） ∴题意的离心率 e= = ． 故选：D． 【点评】本题考查椭圆的性质，直线方程的应用，考查转化思想，属于中档题． 　二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．（5 分）曲线 y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为　y=2x　． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在 x=0 处 的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【解答】解：∵y=2ln（x+1）， ∴y′= ，当 x=0 时，y′=2， ∴曲线 y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x． 故答案为：y=2x． 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上 某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 　14．（5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为　9　． 第 15 页（共 28 页） 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等 式． 【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标， 代入目标函数得答案． 【解答】解：由 x，y 满足约束条件 化目标函数 z=x+y 为 y=﹣x+z， 作出可行域如图， 由图可知，当直线 y=﹣x+z 过 A 时，z 取得最大值， ，解得 A（5，4）， 由目标函数有最大值，为 z=9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中 档题． 　15．（5 分）已知 sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则 sin（α+β）=　． 【考点】GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；48：分析法；56：三角函数的求值． 【分析】把已知等式两边平方化简可得 2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，再利用两 角和差的正弦公式化简为 2sin（α+β）=﹣1，可得结果． 第 16 页（共 28 页） 【解答】解：sinα+cosβ=1， 两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①， cosα+sinβ=0， 两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②， 由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即 2+2sin（α+β）=1， ∴2sin（α+β）=﹣1． ∴sin（α+β）= ．故答案为： ．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属 于基本知识的考查，是基础题． 　16．（5 分）已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为 ，SA 与 圆锥底面所成角为 45°，若△SAB 的面积为 5 π　． ，则该圆锥的侧面积为　40 【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半 径，然后求解圆锥的侧面积． 【解答】解：圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为 ，可得sin∠ASB= =．△SAB 的面积为 5 ，可得 sin∠ASB=5 ，即 ×=5 ，即 SA=4 ．SA 与圆锥底面所成角为 45°，可得圆锥的底面半径为： =2 ．则该圆锥的侧面积： π=40 π． 故答案为：40 π． 【点评】本题考查圆锥的结构特征，母线与底面所成角，圆锥的截面面积的求 第 17 页（共 28 页） 法，考查空间想象能力以及计算能力． 　三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根要 求作答。（一)必考题：共 60 分。 17．（12 分）记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 a1=﹣7，S3=﹣15． （1）求{an}的通项公式； （2）求 Sn，并求 Sn 的最小值． 【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前 n 项和．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）根据 a1=﹣7，S3=﹣15，可得 a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，求出等差数 列{an}的公差，然后求出 an 即可； （2）由 a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9，得 Sn= ==n2﹣8n= （n﹣4）2﹣16，由此可求出 Sn 以及 Sn 的最小值． 【解答】解：（1）∵等差数列{an}中，a1=﹣7，S3=﹣15， ∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得 a1=﹣7，d=2， ∴an=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9； （2）∵a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9， ∴Sn= ==n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16， ∴当 n=4 时，前 n 项的和 Sn 取得最小值为﹣16． 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前 n 项的和 公式，属于中档题． 　18．（12 分）如图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y（单位： 亿元）的折线图． 第 18 页（共 28 页） 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个 线性回归模型．根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1，2， …，17）建立模型①： =﹣30.4+13.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据（时 间变量 t 的值依次为 1，2，…，7）建立模型②： =99+17.5t． （1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】（1）根据模型①计算 t=19 时 的值，根据模型②计算 t=9 时 的值即 可； （2）从总体数据和 2000 年到 2009 年间递增幅度以及 2010 年到 2016 年间递增 的幅度比较， 即可得出模型②的预测值更可靠些． 【解答】解：（1）根据模型①： =﹣30.4+13.5t， 计算 t=19 时， =﹣30.4+13.5×19=226.1； 利用这个模型，求出该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值是 226.1 亿 元； 第 19 页（共 28 页） 根据模型②： =99+17.5t， 计算 t=9 时， =99+17.5×9=256.5；． 利用这个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值是 256.5 亿元； （2）模型②得到的预测值更可靠； 因为从总体数据看，该地区从 2000 年到 2016 年的环境基础设施投资额是逐年 上升的， 而从 2000 年到 2009 年间递增的幅度较小些， 从 2010 年到 2016 年间递增的幅度较大些， 所以，利用模型②的预测值更可靠些． 【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题． 　19．（12 分）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k（k＞0）的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|=8． （1）求 l 的方程； （2）求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程． 【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）方法一：设直线 AB 的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦 点弦公式即可求得 k 的值，即可求得直线 l 的方程； 方法二：根据抛物线的焦点弦公式|AB|= 求得直线 l 的斜率，求得直线 l 的方程； ，求得直线 AB 的倾斜角，即可 （2）根据过 A，B 分别向准线 l 作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根 据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程． 【解答】解：（1）方法一：抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F（1，0）， 设直线 AB 的方程为：y=k（x﹣1），设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则 x1+x2= ，x1x2=1， 第 20 页（共 28 页） 由|AB|=x1+x2+p= +2=8，解得：k2=1，则 k=1， ∴直线 l 的方程 y=x﹣1； 方法二：抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F（1，0），设直线 AB 的倾斜角为 θ，由 抛物线的弦长公式|AB|= ∴θ= ，则直线的斜率 k=1， ∴直线 l 的方程 y=x﹣1； ==8，解得：sin2θ= ， （2）由（1）可得 AB 的中点坐标为 D（3，2），则直线 AB 的垂直平分线方程 为 y﹣2=﹣（x﹣3），即 y=﹣x+5， 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则 ，解得： 或，因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16 或（x﹣11）2+（y+6）2=144． 【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦 公式，考查圆的标准方程，考查转换思想思想，属于中档题． 第 21 页（共 28 页） 　20．（12 分）如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，AB=BC=2 ，PA=PB=PC=AC=4， O 为 AC 的中点． （1）证明：PO⊥平面 ABC； （2）若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M﹣PA﹣C 为 30°，求 PC 与平面 PAM 所 成角的正弦值． 【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平 面角及求法．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；41：向量法；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离； 5H：空间向量及应用． 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明 PO⊥AC，PO⊥OB 即可； （2）根据二面角的大小求出平面 PAM 的法向量，利用向量法即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接 BO， ∵AB=BC=2 ，O 是 AC 的中点， ∴BO⊥AC，且 BO=2， 又 PA=PC=PB=AC=4， ∴PO⊥AC，PO=2 则 PB2=PO2+BO2， 则 PO⊥OB， ，∵OB∩AC=O， ∴PO⊥平面 ABC； （2）建立以 O 坐标原点，OB，OC，OP 分别为 x，y，z 轴的空间直角坐标系 第 22 页（共 28 页） 如图： A（0，﹣2，0），P（0，0，2 ），C（0，2，0），B（2，0，0）， =（﹣2，2，0）， 设则=λ =（﹣2λ，2λ，0），0＜λ＜1 =（﹣2λ，2λ，0）﹣（﹣2，﹣2，0）=（2﹣2λ，2λ+2，0）， =﹣则平面 PAC 的法向量为 =（1，0，0）， 设平面 MPA 的法向量为 =（x，y，z）， 则=（0，﹣2，﹣2 ）， 则 • =﹣2y﹣2 z=0， • =（2﹣2λ）x+（2λ+2）y=0 令 z=1，则 y=﹣ ，x= ，即 =（ ，﹣ ，1）， ∵二面角 M﹣PA﹣C 为 30°， ∴cos30°=| =，即=，解得 λ= 或 λ=3（舍）， 则平面 MPA 的法向量 =（2 ，﹣ ，1）， =（0，2，﹣2 ）， PC 与平面 PAM 所成角的正弦值 sinθ=|cos＜ ，＞|=| |= =．第 23 页（共 28 页） 【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的应用以及二面角，线面角 的求解，建立坐标系求出点的坐标，利用向量法是解决本题的关键． 　21．（12 分）已知函数 f（x）=ex﹣ax2． （1）若 a=1，证明：当 x≥0 时，f（x）≥1； （2）若 f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求 a． 【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】（1）通过两次求导，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明 ，（2）方法一、分离参数可得 a= 在（0，+∞）只有一个根，即函数 y=a 与 G（ x）= 的图象在（0，+∞）只有一个交点．结合图象即可求得 a． 方法二、：①当 a≤0 时，f（x）=ex﹣ax2＞0，f（x）在（0，+∞）没有零点．． ②当 a≤0 时，设函数 h（x）=1﹣ax2e﹣x．f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔h（ x）在（0，+∞）只有一个零点． 利用 h′（x）=x（x﹣2）e﹣x，可得 h（x））在（0，2）递减，在（2，+∞）递 增，结合函数 h（x）图象即可求得 a． 【解答】证明：（1）当 a=1 时，函数 f（x）=ex﹣x2． 第 24 页（共 28 页） 则 f′（x）=ex﹣2x， 令 g（x）=ex﹣2x，则 g′（x）=ex﹣2， 令 g′（x）=0，得 x=ln2． 当 x∈（0，ln2）时，g′（x）＜0，当 x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＞0， ∴g（x）≥g（ln2）=eln2﹣2•ln2=2﹣2ln2＞0， ∴f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）≥f（0）=1， 解：（2）方法一、，f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔方程 ex﹣ax2=0 在（0， +∞）只有一个根， ⇔a= 在（0，+∞）只有一个根， 即函数 y=a 与 G（x）= 的图象在（0，+∞）只有一个交点． G，当 x∈（0，2）时，G′（x）＜0，当∈（2，+∞）时，G′（x）＞0， ∴G（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增， 当→0 时，G（x）→+∞，当→+∞时，G（x）→+∞， ∴f（x）在（0，+∞）只有一个零点时，a=G（2）= ．方法二：①当 a≤0 时，f（x）=ex﹣ax2＞0，f（x）在（0，+∞）没有零点．． ②当 a＞0 时，设函数 h（x）=1﹣ax2e﹣x．f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔h （x）在（0，+∞）只有一个零点． h′（x）=x（x﹣2）e﹣x，当 x∈（0，2）时，h′（x）＜0，当 x∈（2，+∞）时， h′（x）＞0， ∴h（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，∴ ，（x≥0） ．当 h（2）＜0 时，即 a ，由于 h（0）=1，当 x＞0 时，ex＞x2，可得 h 第 25 页（共 28 页） （4a）=1﹣ ==1﹣ ＞0．h（x）在（0，+∞）有 2 个零点 当 h（2）＞0 时，即 a 当 h（2）=0 时，即 a= ，h（x）在（0，+∞）只有一个零点， 综上，f（x）在（0，+∞）只有一个零点时，a= ，h（x）在（0，+∞）没有零点， ．【点评】本题考查了利用导数探究函数单调性，以及函数零点问题，考查了转 化思想、数形结合思想，属于中档题． 　（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ，（θ 为 参数），直线 l 的参数方程为 ，（t 为参数）． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为（1，2），求 l 的斜率． 【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进 行转化． （2）利用直线和曲线的位置关系，在利用中点坐标求出结果． 【解答】解：（1）曲线 C 的参数方程为 （θ 为参数）， 转换为直角坐标方程为： ．直线 l 的参数方程为 （t 为参数）． 转换为直角坐标方程为：xsinα﹣ycosα+2cosα﹣sinα=0． （2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到： +=1 第 26 页（共 28 页） 整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0， 则： ，由于（1，2）为中点坐标， ①当直线的斜率不存时，x=1． 无解故舍去． ②当直线的斜率存在时，（由于 t1 和 t2 为 A、B 对应的参数） 所以利用中点坐标公式 则：8cosα+4sinα=0， 解得：tanα=﹣2， ，即：直线 l 的斜率为﹣2． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化， 直线和曲线的位置关系的应用，中点坐标的应用． 　[选修 4-5：不等式选讲] 23．设函数 f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|． （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥0 的解集； （2）若 f（x）≤1，求 a 的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式． 【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可， （2）由题意可得|x+a|+|x﹣2|≥4，根据据绝对值的几何意义即可求出 【解答】解：（1）当 a=1 时，f（x）=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|= ．当 x≤﹣1 时，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤﹣1， 当﹣1＜x＜2 时，f（x）=2≥0 恒成立，即﹣1＜x＜2， 当 x≥2 时，f（x）=﹣2x+6≥0，解得 2≤x≤3， 第 27 页（共 28 页） 综上所述不等式 f（x）≥0 的解集为[﹣2，3]， （2）∵f（x）≤1， ∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1， ∴|x+a|+|x﹣2|≥4， ∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|， ∴|a+2|≥4， 解得 a≤﹣6 或 a≥2， 故 a 的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）． 【点评】本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义，属于中档题 第 28 页（共 28 页）