2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）（含解析版）下载

2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5 分）设 z= A．0 +2i，则|z|=（　　） B． C．1 D． 2．（5 分）已知集合 A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则 CRA=（　　） A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣1≤x≤2} D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2} C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2} 3．（5 分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现 翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村 建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（　　） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．（5 分）记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 3S3=S2+S4，a1=2，则 a5=（　　） A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12 5．（5 分）设函数 f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若 f（x）为奇函数，则曲线 y= f（x）在点（0，0）处的切线方程为（　　） A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x 第 1 页（共 30 页） 6．（5 分）在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则 =（　　） A． B． C． D． ﹣﹣++7．（5 分）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图．圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则 在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为（　　） A．2 B．2 C．3 D．2 8．（5 分）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点（﹣2，0）且斜率为 的直线 与 C 交于 M，N 两点，则 A．5 B．6 9．（5 分）已知函数 f（x）= •=（　　） C．7 ，g（x）=f（x）+x+a．若 g（x）存在 D．8 2 个零点，则 a 的取值范围是（　　） A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞） 10．（5 分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个 半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB， AC．△ABC 的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ． 在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 p1，p2，p3， 则（　　） 第 2 页（共 30 页） A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3 D．p1=p2+p3 11．（5 分）已知双曲线 C： ﹣y2=1，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M，N．若△OMN 为直角三角形，则 |MN|=（　　） A． B．3 C．2 D．4 12．（5 分）已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 α 所成的角都相等， 则 α 截此正方体所得截面面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 　二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．（5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x+2y 的最大值为　 　． 14．（5 分）记 Sn 为数列{an}的前 n 项和．若 Sn=2an+1，则 S6=　 15．（5 分）从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生 入选，则不同的选法共有　种．（用数字填写答案） 　． 16．（5 分）已知函数 f（x）=2sinx+sin2x，则 f（x）的最小值是　 　． 　三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要 求作答。（一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）在平面四边形 ABCD 中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5． （1）求 cos∠ADB； （2）若 DC=2 ，求 BC． 第 3 页（共 30 页） 18．（12 分）如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AD，BC 的中点， 以 DF 为折痕把△DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF⊥BF． （1）证明：平面 PEF⊥平面 ABFD； （2）求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值． 19．（12 分）设椭圆 C： +y2=1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为（2，0）． （1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； （2）设 O 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB． 第 4 页（共 30 页） 20．（12 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用 户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先 从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品 作检验．设每件产品为不合格品的概率都为 p（0＜p＜1），且各件产品是否 为不合格品相互独立． （1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f（p），求 f （p）的最大值点 p0． （2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 p0 作为 p 的值．已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中， 则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用． （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记 为 X，求 EX； （ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有 产品作检验？ 21．（12 分）已知函数 f（x）= ﹣x+alnx． （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2，证明： ＜a﹣2． 　第 5 页（共 30 页） （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y=k|x|+2．以坐标原点为 极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线C2 的 极 坐 标 方 程 为 ρ2+2ρcosθ﹣3=0． （1）求 C2 的直角坐标方程； （2）若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程． 　[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23．已知 f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|． （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）＞1 的解集； （2）若 x∈（0，1）时不等式 f（x）＞x 成立，求 a 的取值范围． 　第 6 页（共 30 页） 2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 参考答案与试题解析 　一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5 分）设 z= A．0 +2i，则|z|=（　　） B． C．1 D． 【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模． 【解答】解：z= +2i= +2i=﹣i+2i=i， 则|z|=1． 故选：C． 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力 ．　2．（5 分）已知集合 A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则 CRA=（　　） A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣1≤x≤2} C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2} 【考点】1F：补集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5J：集合；5T：不等式． 【分析】通过求解不等式，得到集合 A，然后求解补集即可． 【解答】解：集合 A={x|x2﹣x﹣2＞0}， 可得 A={x|x＜﹣1 或 x＞2}， 第 7 页（共 30 页） 则：CRA={x|﹣1≤x≤2}． 故选：B． 【点评】本题考查不等式的解法，补集的运算，是基本知识的考查． 　3．（5 分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现 翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村 建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（　　） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【考点】2K：命题的真假判断与应用；CS：概率的应用．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计；5L：简易 逻辑． 【分析】设建设前经济收入为 a，建设后经济收入为 2a．通过选项逐一分析新农 村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果． 【解答】解：设建设前经济收入为 a，建设后经济收入为 2a． A 项，种植收入 37%×2a﹣60%a=14%a＞0， 故建设后，种植收入增加，故 A 项错误． B 项，建设后，其他收入为 5%×2a=10%a， 建设前，其他收入为 4%a， 第 8 页（共 30 页） 故 10%a÷4%a=2.5＞2， 故 B 项正确． C 项，建设后，养殖收入为 30%×2a=60%a， 建设前，养殖收入为 30%a， 故 60%a÷30%a=2， 故 C 项正确． D 项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为 （30%+28%）×2a=58%×2a， 经济收入为 2a， 故（58%×2a）÷2a=58%＞50%， 故 D 项正确． 因为是选择不正确的一项， 故选：A． 【点评】本题主要考查事件与概率，概率的应用，命题的真假的判断，考查发现 问题解决问题的能力． 　4．（5 分）记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 3S3=S2+S4，a1=2，则 a5=（　　） A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12 【考点】83：等差数列的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列． 【分析】利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式列出方程，能求出 a5 的值． 【解答】解：∵Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，3S3=S2+S4，a1=2， ∴=a1+a1+d+4a1+ d， 把 a1=2，代入得 d=﹣3 ∴a5=2+4×（﹣3）=﹣10． 故选：B． 【点评】本题考查等差数列的第五项的求法，考查等差数列的性质等基础知识， 第 9 页（共 30 页） 考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　5．（5 分）设函数 f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若 f（x）为奇函数，则曲线 y=f（ x）在点（0，0）处的切线方程为（　　） A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】利用函数的奇偶性求出 a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解 切线方程． 【解答】解：函数 f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若 f（x）为奇函数， 可得 a=1，所以函数 f（x）=x3+x，可得 f′（x）=3×2+1， 曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1， 则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x． 故选：D． 【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力． 　6．（5 分）在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则 =（　　） A． ﹣B． ﹣C． +D． +【考点】9H：平面向量的基本定理．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；41：向量法；5A：平面向量及应用． 【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量． 【解答】解：在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点， =﹣=﹣==﹣ × （ +）﹣，第 10 页（共 30 页） 故选：A． 【点评】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题 ．　7．（5 分）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图．圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则 在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为（　　） A．2 B．2 C．3 D．2 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可． 【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长 16，高为：2， 直观图以及侧面展开图如图： 圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的 路径中，最短路径的长度： 故选：B． =2 ．【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计 算能力． 　第 11 页（共 30 页） 8．（5 分）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点（﹣2，0）且斜率为 的直线 与 C 交于 M，N 两点，则 =（　　） A．5 B．6 C．7 •D．8 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5A：平面向量及应用；5D： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出 M、N 的坐标，然后求解向 量的数量积即可． 【解答】解：抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F（1，0），过点（﹣2，0）且斜率为 的直线为：3y=2x+4， 联立直线与抛物线 C：y2=4x，消去 x 可得：y2﹣6y+8=0， 解得 y1=2，y2=4，不妨 M（1，2），N（4，4）， =（0，2）•（3，4）=8． 故选：D． ，．则•【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算能 力． 　9．（5 分）已知函数 f（x）= ，g（x）=f（x）+x+a．若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是（　　） A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞） 【考点】5B：分段函数的应用．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】由 g（x）=0 得 f（x）=﹣x﹣a，分别作出两个函数的图象，根据图象 交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可． 第 12 页（共 30 页） 【解答】解：由 g（x）=0 得 f（x）=﹣x﹣a， 作出函数 f（x）和 y=﹣x﹣a 的图象如图： 当直线 y=﹣x﹣a 的截距﹣a≤1，即 a≥﹣1 时，两个函数的图象都有 2 个交点， 即函数 g（x）存在 2 个零点， 故实数 a 的取值范围是[﹣1，+∞）， 故选：C． 【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个 函数的图象的交点问题是解决本题的关键． 　10．（5 分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个 半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB， AC．△ABC 的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ． 在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 p1，p2，p3， 则（　　） A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3 D．p1=p2+p3 第 13 页（共 30 页） 【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】如图：设 BC=2r1，AB=2r2，AC=2r3，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面 积，即可得到答案． 【解答】解：如图：设 BC=2r1，AB=2r2，AC=2r3， 222∴r1 =r2 +r3 ， ∴S = ×4r2r3=2r2r3，S = ×πr1 ﹣2r2r3， 2ⅠⅢ22222S = ×πr3 + ×πr2 ﹣S = ×πr3 + ×πr2 ﹣ ×πr1 +2r2r3=2r2r3， ⅡⅢ∴S =S ， ⅠⅡ∴P1=P2， 故选：A． 【点评】本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题 ．　11．（5 分）已知双曲线 C： ﹣y2=1，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M，N．若△OMN 为直角三角形，则 |MN|=（　　） A． B．3 C．2 D．4 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4：解题方法；5D：圆锥曲线的定义、性 质与方程． 【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出 MN 的坐标，然后求 解|MN|． 【解答】解：双曲线 C： ﹣y2=1 的渐近线方程为：y= 为：60°，不妨设过 F（2，0）的直线为：y= ，渐近线的夹角 ，第 14 页（共 30 页） 则： 解得 M（ ， ）， 解得：N（ ）， 则|MN|= =3． 故选：B． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 　12．（5 分）已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 α 所成的角都相等， 则 α 截此正方体所得截面面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离； 5G：空间角． 【分析】利用正方体棱的关系，判断平面 α 所成的角都相等的位置，然后求解 α 截此正方体所得截面面积的最大值． 【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是 3 组平行的棱，每条棱所在直线与平 面 α 所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时， α 截此正方体所得截面面积的最大， 此时正六边形的边长 ，α 截此正方体所得截面最大值为：6× 故选：A． =．【点评】本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算能 第 15 页（共 30 页） 力，有一定的难度． 　二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．（5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x+2y 的最大值为　6　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；4R：转化法；59：不等式的解法及应用． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可 ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=3x+2y 得 y=﹣ x+ z， 平移直线 y=﹣ x+ z， 由图象知当直线 y=﹣ x+ z经过点 A（2，0）时，直线的截距最大，此时 z 最 大， 最大值为 z=3×2=6， 故答案为：6 第 16 页（共 30 页） 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合 是解决本题的关键． 　14．（5 分）记 Sn 为数列{an}的前 n 项和．若 Sn=2an+1，则 S6=　﹣63　． 【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列． 【分析】先根据数列的递推公式可得{an}是以﹣1 为首项，以 2 为公比的等比数 列，再根据求和公式计算即可． 【解答】解：Sn 为数列{an}的前 n 项和，Sn=2an+1，① 当 n=1 时，a1=2a1+1，解得 a1=﹣1， 当 n≥2 时，Sn﹣1=2an﹣1+1，②， 由①﹣②可得 an=2an﹣2an﹣1 ∴an=2an﹣1 ∴{an}是以﹣1 为首项，以 2 为公比的等比数列， ，，∴S6= =﹣63， 故答案为：﹣63 【点评】本题考查了数列的递推公式和等比数列的求和公式，属于基础题． 　15．（5 分）从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生 入选，则不同的选法共有　16　种．（用数字填写答案） 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5O：排列组合． 【分析】方法一：直接法，分类即可求出， 方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数． 第 17 页（共 30 页） 1221【解答】解：方法一：直接法，1 女 2 男，有 C2 C4 =12，2 女 1 男，有 C2 C4 =4 根据分类计数原理可得，共有 12+4=16 种， 33方法二，间接法：C6 ﹣C4 =20﹣4=16 种， 故答案为：16 【点评】本题考查了分类计数原理，属于基础题 　16．（5 分）已知函数 f（x）=2sinx+sin2x，则 f（x）的最小值是　 　． 【考点】6E：利用导数研究函数的最值；HW：三角函数的最值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用；56： 三角函数的求值． 【分析】由题意可得 T=2π 是 f（x）的一个周期，问题转化为 f（x）在[0，2π） 上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得． 【解答】解：由题意可得 T=2π 是 f（x）=2sinx+sin2x 的一个周期， 故只需考虑 f（x）=2sinx+sin2x 在[0，2π）上的值域， 先来求该函数在[0，2π）上的极值点， 求导数可得 f′（x）=2cosx+2cos2x =2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1）， 令 f′（x）=0 可解得 cosx= 或 cosx=﹣1， 可得此时 x= ，π 或 ∴y=2sinx+sin2x 的最小值只能在点 x= ，π 或 计算可得 f（ ）= ，f（π）=0，f（ ∴函数的最小值为﹣ 故答案为： ；和边界点 x=0 中取到， ）=﹣ ，f（0）=0， ，．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题 ．　第 18 页（共 30 页） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要 求作答。（一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）在平面四边形 ABCD 中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5． （1）求 cos∠ADB； （2）若 DC=2 ，求 BC． 【考点】HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；58：解三角形． 【分析】（1）由正弦定理得 求出 cos∠ADB； =，求出 sin∠ADB= ，由此能 （2）由∠ADC=90°，得 cos∠BDC=sin∠ADB= ，再由 DC=2 ，利用余弦定理 能求出 BC． 【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5． ∴由正弦定理得： ∴sin∠ADB= =，即 =，=，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A， ∴cos∠ADB= =．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB= ，∵DC=2 ∴BC= ，==5． 第 19 页（共 30 页） 【点评】本题考查三角函数中角的余弦值、线段长的求法，考查正弦定理、余弦 定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 　18．（12 分）如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AD，BC 的中点， 以 DF 为折痕把△DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF⊥BF． （1）证明：平面 PEF⊥平面 ABFD； （2）求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值． 【考点】LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位 置关系与距离；5G：空间角． 【分析】（1）利用正方形的性质可得 BF 垂直于面 PEF，然后利用平面与平面 垂直的判断定理证明即可． （2）利用等体积法可求出点 P 到面 ABCD 的距离，进而求出线面角． 【解答】（1）证明：由题意，点 E、F 分别是 AD、BC 的中点， 则，，由于四边形 ABCD 为正方形，所以 EF⊥BC． 由于 PF⊥BF，EF∩PF=F，则 BF⊥平面 PEF． 第 20 页（共 30 页） 又因为 BF⊂平面 ABFD，所以：平面 PEF⊥平面 ABFD． （2）在平面 DEF 中，过 P 作 PH⊥EF 于点 H，连接 DH， 由于 EF 为面 ABCD 和面 PEF 的交线，PH⊥EF， 则 PH⊥面 ABFD，故 PH⊥DH． 在三棱锥 P﹣DEF 中，可以利用等体积法求 PH， 因为 DE∥BF 且 PF⊥BF， 所以 PF⊥DE， 又因为△PDF≌△CDF， 所以∠FPD=∠FCD=90°， 所以 PF⊥PD， 由于 DE∩PD=D，则 PF⊥平面 PDE， 故 VF﹣PDE =，因为 BF∥DA 且 BF⊥面 PEF， 所以 DA⊥面 PEF， 所以 DE⊥EP． 设正方形边长为 2a，则 PD=2a，DE=a 在△PDE 中， ，所以 ，故 VF﹣PDE =，又因为 ，所以 PH= =，所以在△PHD 中，sin∠PDH= =，即∠PDH 为 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为： ．第 21 页（共 30 页） 【点评】本题主要考查点、直线、平面的位置关系．直线与平面所成角的求法． 几何法的应用，考查转化思想以及计算能力． 　19．（12 分）设椭圆 C： +y2=1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为（2，0）． （1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； （2）设 O 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB． 【考点】KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与 范围问题． 【分析】（1）先得到 F 的坐标，再求出点 A 的方程，根据两点式可得直线方程 ，（2）分三种情况讨论，根据直线斜率的问题，以及韦达定理，即可证明． 【解答】解：（1）c= ∴F（1，0）， ∵l 与 x 轴垂直， ∴x=1， =1， 由，解得 或，∴A（1. ），或（1，﹣ ）， ∴直线 AM 的方程为 y=﹣ x+ ，y= x﹣ ，证明：（2）当 l 与 x 轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°， 第 22 页（共 30 页） 当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB， 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y=k（x﹣1），k≠0， A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1＜ ，x2＜ ，直线 MA，MB 的斜率之和为 kMA，kMB 之和为 kMA+kMB= 由 y1=kx1﹣k，y2=kx2﹣k 得 kMA+kMB= +，，将 y=k（x﹣1）代入 +y2=1 可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0， ∴x1+x2= ，x1x2= ，∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k= （4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k）=0 从而 kMA+kMB=0， 故 MA，MB 的倾斜角互补， ∴∠OMA=∠OMB， 综上∠OMA=∠OMB． 【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系，以韦达定理，考查了运算能力和转 化能力，属于中档题． 　20．（12 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用 户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先 从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品 作检验．设每件产品为不合格品的概率都为 p（0＜p＜1），且各件产品是否 为不合格品相互独立． （1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f（p），求 f （p）的最大值点 p0． （2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 p0 作为 p 的值．已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中， 则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用． 第 23 页（共 30 页） （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记 为 X，求 EX； （ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有 产品作检验？ 【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差 ．菁【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】（1）求出 f（p）= ，则 =，利用导数性质 能求出 f （p）的最大值点 p0=0.1． （2）（i）由 p=0.1，令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品数，依题意知 Y～ B（180，0.1），再由 X=20×2+25Y，即 X=40+25Y，能求出 E（X）． （ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为 400 元，E（X ）=490＞400，从而应该对余下的产品进行检验． 【解答】解：（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f（p）， 则 f（p）= ，∴=，令 f′（p）=0，得 p=0.1， 当 p∈（0，0.1）时，f′（p）＞0， 当 p∈（0.1，1）时，f′（p）＜0， ∴f （p）的最大值点 p0=0.1． （2）（i）由（1）知 p=0.1， 令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品数，依题意知 Y～B（180，0.1）， X=20×2+25Y，即 X=40+25Y， ∴E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+25×180×0.1=490． （ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为 400 元， ∵E（X）=490＞400， 第 24 页（共 30 页） ∴应该对余下的产品进行检验． 【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的数学期望的求法， 考查是否该对这箱余下的所有产品作检验的判断与求法，考查二项分布等基 础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 　21．（12 分）已知函数 f（x）= ﹣x+alnx． （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2，证明： ＜a﹣2． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；4R：转化法；53：导数的综合应用． 【分析】（1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进 行求解即可． （2）将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到 结论． 【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞）， 函数的导数 f′（x）=﹣ ﹣1+ =﹣ 设 g（x）=x2﹣ax+1， ，当 a≤0 时，g（x）＞0 恒成立，即 f′（x）＜0 恒成立，此时函数 f（x）在（0，+∞ ）上是减函数， 当 a＞0 时，判别式△=a2﹣4， ①当 0＜a≤2 时，△≤0，即 g（x）＞0，即 f′（x）＜0 恒成立，此时函数 f（x） 在（0，+∞）上是减函数， ②当 a＞2 时，x，f′（x），f（x）的变化如下表： x（0， ）（，（，第 25 页（共 30 页） +∞） ）﹣﹣f′（x） f（x） 0+0递减 递增 递减 综上当 a≤2 时，f（x）在（0，+∞）上是减函数， 当 a＞2 时，在（0， ），和（ ，+∞）上是减函数， 则（ ，）上是增函数． （2）由（1）知 a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2=1， 则 f（x1）﹣f（x2）=（x2﹣x1）（1+ ）+a（lnx1﹣lnx2）=2（x2﹣x1）+a（ lnx1﹣lnx2）， 则=﹣2+ ，则问题转为证明 ＜1 即可， 即证明 lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2， 则 lnx1﹣ln ＞x1﹣ 即 lnx1+lnx1＞x1﹣ ，，即证 2lnx1＞x1﹣ 在（0，1）上恒成立， 设 h（x）=2lnx﹣x+ ，（0＜x＜1），其中 h（1）=0， 求导得 h′（x）= ﹣1﹣ =﹣ =﹣ ＜0， 则 h（x）在（0，1）上单调递减， ∴h（x）＞h（1），即 2lnx﹣x+ ＞0， 故 2lnx＞x﹣ ， 第 26 页（共 30 页） 则＜a﹣2 成立． （2）另解：注意到 f（ ）=x﹣ ﹣alnx=﹣f（x）， 即 f（x）+f（ ）=0， 由韦达定理得 x1x2=1，x1+x2=a＞2，得 0＜x1＜1＜x2，x1= ，可得 f（x2）+f（ ）=0，即 f（x1）+f（x2）=0， 要证 ＜a﹣2，只要证 ＜a﹣2， 即证 2alnx2﹣ax2+ ＜0，（x2＞1）， 构造函数 h（x）=2alnx﹣ax+ ，（x＞1），h′（x）= ≤0， ∴h（x）在（1，+∞）上单调递减， ∴h（x）＜h（1）=0， ∴2alnx﹣ax+ ＜0 成立，即 2alnx2﹣ax2+ ＜0，（x2＞1）成立． 即＜a﹣2 成立． 【点评】本题主要考查函数的单调性的判断，以及函数与不等式的综合，求函数 的导数，利用导数的应用是解决本题的关键．综合性较强，难度较大． 　（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y=k|x|+2．以坐标原点为 极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线C2 的 极 坐 标 方 程 为 ρ2+2ρcosθ﹣3=0． （1）求 C2 的直角坐标方程； （2）若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程． 第 27 页（共 30 页） 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进 行转化． （2）利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果． 【解答】解：（1）曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcosθ﹣3=0． 转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0， 转换为标准式为：（x+1）2+y2=4． （2）由于曲线 C1 的方程为 y=k|x|+2，则：该射线关于 y 轴对称，且恒过定点（ 0，2）． 由于该射线与曲线 C2 的极坐标有且仅有三个公共点． 所以：必有一直线相切，一直线相交． 则：圆心到直线 y=kx+2 的距离等于半径 2． 故： ，或 解得：k= 或 0，（0 舍去）或 k= 或 0 经检验，直线 与曲线 C2 没有公共点． 故 C1 的方程为： ．【点评】本体考察知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直 线和曲线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用． 　[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23．已知 f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|． （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）＞1 的解集； （2）若 x∈（0，1）时不等式 f（x）＞x 成立，求 a 的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 第 28 页（共 30 页） 【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式． 【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集， （2）当 x∈（0，1）时不等式 f（x）＞x 成立，转化为即|ax﹣1|＜1，即 0＜ax＜ 2，转化为 a＜ ，且a＞0，即可求出 a 的范围． 【解答】解：（1）当 a=1 时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|= 由 f（x）＞1， ，∴或，解得 x＞ ， 故不等式 f（x）＞1 的解集为（ ，+∞）， （2）当 x∈（0，1）时不等式 f（x）＞x 成立， ∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0， 即 x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0， 即|ax﹣1|＜1， ∴﹣1＜ax﹣1＜1， ∴0＜ax＜2， ∵x∈（0，1）， ∴a＞0， ∴0＜x＜ ， ∴a＜ ∵ ＞2， ∴0＜a≤2， 故 a 的取值范围为（0，2]． 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力 第 29 页（共 30 页） 和转化能力，属于中档题． 第 30 页（共 30 页）