教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷 （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 考生注意 1.本场考试时间 120分钟，试卷共 4页，满分 150分，答题纸共 2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用 2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 4 1 1.行列式 2.双曲线 的值为_________. 2 5 x2 y2 1的渐近线方程为_________. 43.在 (1 x)7 的二项展开式中， x2 项的系数为_________.（结果用数值表示） 4.设常数 a R ，函数 f (x) log2 (x a) 。若 f (x) 的反函数的图像经过点 (3,1)，则 a _________. 5.已知复数 z满足 (1 i)z 1 7i （i是虚数单位），则 z _________. 6.记等差数列{an}的前 n项和为 Sn ，若 a3 0 ， a6 a7 14 ，则 S7 _________. 17.已知 2,1, ,1,2,3 。若幂函数 f (x) x 为奇函数，且在 (0,)上递减，则 2 _________. 8.在平面直角坐标系中，已知点 A(1,0) ， ，、 是轴上的两个动点，且 E F B(2,0) y EF 2 ，则 AE BF 的最小值为_________. 9.有编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、3 克、1 克砝码各一个，2 克砝码两个。从中随机 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 选取三个，则这三个砝码的总质量为 9 克的概率是_________.（结果用最简分数表示） Sn 1210.设等比数列{an}的通项公式为 an qn1 （nN*），前 n项和为 Sn 。若 lim ，n an1 则q _________. 2x 2x ax 61511. 已 知 常 数a 0 ， 函 数f (x) 的 图 像 经 过 点P p, 、Q q, 。 若 52pq 36pq ，则 a _________. 12.已知实数 x1 、 x2 2 满足： x12 y12 1 122、y1 、y，x2 y2 1 ，x1x2 y1 y2 ，则 2×1 y1 1 x2 y2 1 的最大值为_________. 22二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） x2 y2 13.设 P是椭圆 1上的动点，则 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（） P53（A） 2 2（B） 2 3（C） 2 5（D） 4 2 114.已知 a R ，则“ a 1”是“ 1”的（） aA1 （A）充分非必要条件（B）必要非充分条件 （C）充要条件（D）既非充分又非必要条件 15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥 A为阳马。设 AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图。若阳马以该正六棱柱 1的顶点为顶点、以 AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（） 1教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 （A） 16.设 48（B） （C）12（D）16 D是含数 1 的有限实数集， f (x) 是定义在 D上的函数。若 f (x) 的图像绕原点逆时针 6旋转 后与原图像重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是（） 33（A） 3（B） （C） （D） 023三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 17.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 已知圆锥的顶点为 PO，底面圆心为 ，半径为2. （1）设圆锥的母线长为 4，求圆锥的体积； （2）设 PO 4 ，OA 、OB 是底面半径，且 AOB 90 ，M为线段 AB 的中点，如图， 求异面直线 PM 与OB 所成的角的大小。 POBMA18.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 设常数 a R ，函数 f (x) asin 2x 2cos2 x 。a（1）若 f (x) 为偶函数，求 的值； 4（2）若 f ( ) 3 1，求方程 f (x) 1 2 在区间[, ]上的解。 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 19.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时。某地上班 中的成员仅以自驾或公交方式通勤。分析显示：当 0 x 100 ）的成员自 驾时，自驾群体的人均通勤时间为 族SS x% 中 （ 30, 0 x 30, f (x) （单位：分钟） 1800 2x 90, 30 x 100 x而公交群体的人均通勤时间不受 （1）当 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族 的人均通勤时间g(x) 的表达式；讨论 g(x) 的单调性，并说明其 实际意义。 x影响，恒为 40 分钟。试根据上述分析结果回答下列问题： xS教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 20.（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分） 设常数t 2 ，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F(2,0)，直线 x t ，曲线 分别是曲线 l：: y2 8x （ 0 x t 与线段 AB 上的动点。 表示点 到点 （2）设t 3 FQ 2，线段OQ 的中点在直线 FP 上，求△AQP 的面积； （3）设 t 8 ，是否存在以 FP 上？若存在， FQ为邻边的矩形 FPEQ ，使得点 求点 的坐标；若不存在，说明理由。 ，y 0）， l与x轴交于点 A，与 交于点 。 、 B P Q（1）用 tBF的距离； ，、E在P教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 21.（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分） 给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意 nN*，都有 bn an 1，则称{bn} 与是{an}“接近”。 1（1）设{an}是首项为 1，公比为 的等比数列，bn an1 1 ，nN*。判断数列{bn} 2否与{an}接近，并说明理由； （2）设数列{an}的前四项为： a1 1 ，a2 2 ，a3 4 ，a4 8 ，{bn}是一个与{an}接近 的数列，记集合 M {x | x b ,i 1,2,3,4}，求 M中元素的个数 的等差数列。若存在数列{bn}满足：{bn} b3 b2 ，…，b201 b200 中至少有 100 个为正数，求 的取值范围。 m；i（3）已知{an}是公差为 d与{an}接近，且在 b2 b ，d1教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 2018 年上海市高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每 题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1．（4 分）（2018•上海）行列式 的值为 18 ． 【考点】OM：二阶行列式的定义．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5R ：矩阵和变换． 【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可． 【解答】解：行列式 =4×5﹣2×1=18． 故答案为：18． 【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查． 2．（4 分）（2018•上海）双曲线 ﹣y2=1 的渐近线方程为 ± ． 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题． 【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最 后确定双曲线的渐近线方程． 【解答】解：∵双曲线 而双曲线 的 a=2，b=1，焦点在 x 轴上 的渐近线方程为 y=± ∴双曲线 的渐近线方程为 y=± 故答案为：y=± 【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐 近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想 3．（4 分）（2018•上海）在（1+x）7 的二项展开式中，x2 项的系数为 21 （结 果用数值表示）． 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理． 【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中 x2 的系数． 【解答】解：二项式（1+x）7 展开式的通项公式为 Tr+1= •xr， 令 r=2，得展开式中 x2 的系数为 =21． 故答案为：21． 【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题． 4．（4 分）（2018•上海）设常数 a∈R，函数 f（x）=1og2（x+a）．若 f（x）的反函 数的图象经过点（3，1），则 a= 7 ． 【考点】4R：反函数．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应 用． 【分析】由反函数的性质得函数 f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由 此能求出 a． 【解答】解：∵常数 a∈R，函数 f（x）=1og2（x+a）． f（x）的反函数的图象经过点（3，1）， ∴函数 f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3）， ∴log2（1+a）=3， 解得 a=7． 故答案为：7． 【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能 力，考查函数与方程思想，是基础题． 5．（4 分）（2018•上海）已知复数 z 满足（1+i）z=1﹣7i（i 是虚数单位），则|z|= 5 ． 【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩充和复数． 【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求 模公式计算得答案． 【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i， 得，则|z|= ．故答案为：5． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础 题． 6．（4 分）（2018•上海）记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a3=0，a6+a7=14， 则 S7= 14 ． 【考点】85：等差数列的前 n 项和．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数 列． 【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出 a1=﹣4，d=2，由此能求出 S7． 【解答】解：∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3=0，a6+a7=14， ∴，解得 a1=﹣4，d=2， ∴S7=7a1+ =﹣28+42=14． 故答案为：14． 【点评】本题考查等差数列的前 7 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识， 考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 7．（5 分）（2018•上海）已知 α∈{﹣2，﹣1，﹣ ，1，2，3}，若幂函数 f 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 （x）=xα 为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则 α= ﹣1 ． 【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应 用． 【分析】由幂函数 f（x）=xα 为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到 a 是奇数， 且 a＜0，由此能求出 a 的值． 【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1， ，1，2，3}， 幂函数 f（x）=xα 为奇函数，且在（0，+∞）上递减， ∴a 是奇数，且 a＜0， ∴a=﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解 能力，考查函数与方程思想，是基础题． 8．（5 分）（2018•上海）在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣1，0）、B（2，0）， E、F 是 y 轴上的两个动点，且| |=2，则 的最小值为 ﹣3 ． 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应 用． 【分析】据题意可设 E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即 a=b+2，或 b=a+2，并可求得 ，将 a=b+2 带入上式即可求出 的最小值， 同理将 b=a+2 带入，也可求出 的最小值． 【解答】解：根据题意，设 E（0，a），F（0，b）； ∴；∴a=b+2，或 b=a+2； 且；教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 ∴；当 a=b+2 时， ；∵b2+2b﹣2 的最小值为 ；∴的最小值为﹣3，同理求出 b=a+2 时， 的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及 向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式． 9．（5 分）（2018•上海）有编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、3 克、1 克砝 码各一个，2 克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为 9 克的 概率是 （结果用最简分数表示）． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计． 【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为 9 克的事件总数，然后 求解概率即可． 【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、3 克、1 克砝码各一个，2 克砝码两个， 从中随机选取三个，3 个数中含有 1 个 2；2 个 2，没有 2，3 种情况， 所有的事件总数为： =10， 这三个砝码的总质量为 9 克的事件只有：5，3，1 或 5，2，2 两个， 所以：这三个砝码的总质量为 9 克的概率是： = ， 故答案为： ． 【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查． 10．（5 分）（2018•上海）设等比数列{an}的通项公式为 an=qn﹣1（n∈N*），前 n 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 项和为 Sn．若 = ，则 q= 3 ． 【考点】8J：数列的极限．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；49 ：综合法；55 ： 点列、递归数列与数学归纳法． 【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解 公比即可． 【解答】解：等比数列{an}的通项公式为 a =qn﹣1（n∈N*），可得 a1=1， 因为 = ，所以数列的公比不是 1， ，an+1=qn． 可得 ==== ， 可得 q=3． 故答案为：3． 【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的 简单性质的应用，是基本知识的考查． 11．（5 分）（2018•上海）已知常数 a＞0，函数 f（x）= （p， ），Q（q， ）．若2p+q=36pq，则 a= 6 ． 的图象经过点 P 【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用． 【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的 a 值． 【解答】解：函数 f（x）= 的图象经过点 P（p， ），Q（q， ）． 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 则： ，整理得： =1， 解得：2p+q=a2pq， 由于：2p+q=36pq， 所以：a2=36， 由于 a＞0， 故：a=6． 故答案为：6 【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应 用． 222212．（5 分）（2018•上海）已知实数 x1、x2、y1、y2 满足：x1 +y1 =1，x2 +y2 =1， x1x2+y1y2= ，则 的最大值为 ． ++【考点】7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．菁优网版权所有 【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用． 【分析】设 A（x1，y1），B（x2，y2）， =（x1，y1）， =（x2，y2），由圆的方程 和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形 OAB 为等边三角形，AB=1， +的几何意义为点 A，B 两点到直线 x+y﹣1=0 的距离 d1 与 d2 之和，由两平行线的距离可得所求最大值． 【解答】解：设 A（x1，y1），B（x2，y2）， =（x1，y1）， =（x2，y2）， 2222由 x1 +y1 =1，x2 +y2 =1，x1x2+y1y2= ， 可得 A，B 两点在圆 x2+y2=1 上， 且•=1×1×cos∠AOB= ， 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 即有∠AOB=60°， 即三角形 OAB 为等边三角形， AB=1， +的几何意义为点 A，B 两点 到直线 x+y﹣1=0 的距离 d1 与 d2 之和， 显然 A，B 在第三象限，AB 所在直线与直线 x+y=1 平行， 可设 AB：x+y+t=0，（t＞0）， 由圆心 O 到直线 AB 的距离 d= ，可得 2 =1，解得 t= ，即有两平行线的距离为 =，即+的最大值为 +，故答案为： +．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点 与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题． 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确 选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．（5 分）（2018•上海）设 P 是椭圆 =1 上的动点，则 P 到该椭圆的两个 焦点的距离之和为（ ） A．2 B．2 C．2 D．4 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出 a，接利用椭圆的定义，转 化求解即可． 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 【解答】解：椭圆 =1 的焦点坐标在 x 轴，a= ，P 是椭圆 =1 上的动点，由椭圆的定义可知：则 P 到该椭圆的两个焦点的 距离之和为 2a=2 故选：C． ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考 查． 14．（5 分）（2018•上海）已知 a∈R，则“a＞1”是“ ＜1”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑． 【分析】“a＞1”⇒“ 【解答】解：a∈R，则“a＞1”⇒“ ”⇒“a＞1 或 a＜0”， ”，“ ”⇒“a＞1 或 a＜0”，由此能求出结果． ”， “∴“a＞1”是“ 故选：A． ”的充分非必要条件． 【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识， 考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 15．（5 分）（2018•上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面 的四棱锥为阳马，设 AA1 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的 顶点为顶点、以 AA1 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ） 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 A．4 B．8 C．12 D．16 【考点】D8：排列、组合的实际应用．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；5O ：排列组合． 【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案． 【解答】解：根据正六边形的性质，则 D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1 满足题意，而 C1，E1，C，D，E，和 D1 一样，有 2×6=12， 当 A1ACC1 为底面矩形，有 2 个满足题意， 当 A1AEE1 为底面矩形，有 2 个满足题意， 故有 12+2+2=16 故选：D． 【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中 档题． 16．（5 分）（2018•上海）设 D 是含数 1 的有限实数集，f（x）是定义在 D 上的 函数，若 f（x）的图象绕原点逆时针旋转 后与原图象重合，则在以下各项中， f（1）的可能取值只能是（ ） A． B． C． D．0 【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值． 【分析】直接利用定义函数的应用求出结果． 【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由 12 个点为一组，每次绕原点逆时 针旋转 个单位后与下一个点会重合． 我们可以通过代入和赋值的方法当 f（1）= ，，0 时，此时得到的圆心角为 ，，0，然而此时 x=0 或者 x=1 时，都有 2 个 y 与之对应，而我们知道函数 的定义就是要求一个 x 只能对应一个 y，因此只有当 x= ，此时旋转 ，此时 满足一个 x 只会对应一个 y，因此答案就选：B． 故选：B． 【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用． 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应 位置写出必要的步骤. 17．（14 分）（2018•上海）已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，半径为 2． （1）设圆锥的母线长为 4，求圆锥的体积； （2）设 PO=4，OA、OB 是底面半径，且∠AOB=90°，M 为线段 AB 的中点，如 图．求异面直线 PM 与 OB 所成的角的大小． 【考点】LM：异面直线及其所成的角；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF： 棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与距 离；5G ：空间角． 【分析】（1）由圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，半径为 2，圆锥的母线长为 4 能求出圆锥的体积． 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 （2）以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出异面直线 PM 与 OB 所成的角． 【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，半径为 2，圆锥的母线长 为 4， ∴圆锥的体积 V= ==．（2）∵PO=4，OA，OB 是底面半径，且∠AOB=90°， M 为线段 AB 的中点， ∴以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴， 建立空间直角坐标系， P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0）， M（1，1，0），O（0，0，0）， =（1，1，﹣4）， =（0，2，0）， 设异面直线 PM 与 OB 所成的角为 θ， 则 cosθ= ==．∴θ=arccos ．∴异面直线 PM 与 OB 所成的角的为 arccos ．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考 查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 函数与方程思想，是基础题． 18．（14 分）（2018•上海）设常数 a∈R，函数 f（x）=asin2x+2cos2x． （1）若 f（x）为偶函数，求 a 的值； （2）若 f（ ）= +1，求方程 f（x）=1﹣ 在区间[﹣π，π]上的解． 【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；58 ：解三角形． 【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出， （2）先求出 a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出． 【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x， ∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x， ∵f（x）为偶函数， ∴f（﹣x）=f（x）， ∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x， ∴2asin2x=0， ∴a=0； （2）∵f（ ）= +1， ∴asin +2cos2（ ）=a+1= +1， ∴a= ，∴f（x）= sin2x+2cos2x= sin2x+cos2x+1=2sin（2x+ ）+1， ∵f（x）=1﹣ ∴2sin（2x+ ）+1=1﹣ ∴sin（2x+ ）=﹣ ∴2x+ =﹣ +2kπ，或 2x+ = π+2kπ，k∈Z， ∴x=﹣ π+kπ，或 x= π+kπ，k∈Z， ，，，教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 ∵x∈[﹣π，π]， ∴x= 或 x= 或 x=﹣ 或 x=﹣ 【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础 题． 19．（14 分）（2018•上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从 居住地到工作地的平均用时．某地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通 勤．分析显示：当 S 中 x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时 间为 f（x）= （单位：分钟）， 而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响，恒为 40 分钟，试根据上述分析结果回 答下列问题： （1）当 x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤 时间？ （2）求该地上班族 S 的人均通勤时间 g（x）的表达式；讨论 g（x）的单调性， 并说明其实际意义． 【考点】5B：分段函数的应用．菁优网版权所有 【专题】12 ：应用题；33 ：函数思想；4C ：分类法；51 ：函数的性质及应 用． 【分析】（1）由题意知求出 f（x）＞40 时 x 的取值范围即可； （2）分段求出 g（x）的解析式，判断 g（x）的单调性，再说明其实际意义． 【解答】解；（1）由题意知，当 30＜x＜100 时， f（x）=2x+ ﹣90＞40， 即 x2﹣65x+900＞0， 解得 x＜20 或 x＞45， ∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当 0＜x≤30 时， 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 g（x）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣ 当 30＜x＜100 时， ；g（x）=（2x+ ﹣90）•x%+40（1﹣x%）= ﹣x+58； ∴g（x）= ；当 0＜x＜32.5 时，g（x）单调递减； 当 32.5＜x＜100 时，g（x）单调递增； 说明该地上班族 S 中有小于 32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于 32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为 32.5%时，人均通勤时间最少． 【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决 问题的能力． 20．（16 分）（2018•上海）设常数 t＞2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F （2，0），直线 l：x=t，曲线 Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l 与 x 轴交于点 A、与 Γ 交于点 B．P、Q 分别是曲线 Γ 与线段 AB 上的动点． （1）用 t 表示点 B 到点 F 的距离； （2）设 t=3，|FQ|=2，线段 OQ 的中点在直线 FP 上，求△AQP 的面积； （3）设 t=8，是否存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E 在 Γ 上？若存在， 求点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．菁优网版权所有 【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）方法一：设 B 点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|； 方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|； （2）根据抛物线的性质，求得 Q 点坐标，即可求得 OD 的中点坐标，即可求得 直线 PF 的方程，代入抛物线方程，即可求得 P 点坐标，即可求得△AQP 的面积； （3）设 P 及 E 点坐标，根据直线 kPF•kFQ=﹣1，求得直线 QF 的方程，求得 Q 点 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 坐标，根据 点坐标． +=，求得 E 点坐标，则（ ）2=8（ +6），即可求得 P 【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设 B（t，2 t）， 则|BF|= =t+2， ∴|BF|=t+2； 方法二：由题意可知：设 B（t，2 t）， 由抛物线的性质可知：|BF|=t+ =t+2，∴|BF|=t+2； （2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1， ∴|AQ|= ，∴Q（3， ），设OQ 的中点 D， D（ ，）， kQF= =﹣ ，则直线 PF 方程：y=﹣ （x﹣2）， ，整理得：3×2﹣20x+12=0， 联立 解得：x= ，x=6（舍去）， ∴△AQP 的面积 S= × ×= ；（3）存在，设 P（ ，y），E（ ，m），则 kPF= =，kFQ= ，直线 QF 方程为 y= （x﹣2），∴yQ= （8﹣2）= ，Q（8， ）， 根据 ∴（ +=，则 E（ +6， ）， ）2=8（ +6），解得：y2= ，教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 ∴存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E 在 Γ 上，且 P（ ， ）． 【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计 算能力，属于中档题． 21．（18 分）（2018•上海）给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意 n∈ N*，都有|bn﹣an|≤1，则称{bn}与{an}“接近”． （1）设{an}是首项为 1，公比为 的等比数列，bn=an+1+1，n∈N*，判断数列{bn} 是否与{an}接近，并说明理由； （2）设数列{an}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{bn}是一个与{an}接近 的数列，记集合 M={x|x=bi，i=1，2，3，4}，求 M 中元素的个数 m； （3）已知{an}是公差为 d 的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近， 且在 b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200 中至少有 100 个为正数，求 d 的取值范 围． 【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有 【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；54 ：等差数列与等比数列． 【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断； （2）由新定义可得 an﹣1≤bn≤an+1，求得 bi，i=1，2，3，4 的范围，即可得到 所求个数； 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 （3）运用等差数列的通项公式可得 an，讨论公差 d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤ ﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围． 【解答】解：（1）数列{bn}与{an}接近． 理由：{an}是首项为 1，公比为 的等比数列， 可得 an= ，bn=an+1+1= +1， |=1﹣ 则|bn﹣an|=| +1﹣ ＜1，n∈N*， 可得数列{bn}与{an}接近； （2）{bn}是一个与{an}接近的数列， 可得 an﹣1≤bn≤an+1， 数列{an}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8， 可得 b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]， 可能 b1 与 b2 相等，b2 与 b3 相等，但 b1 与 b3 不相等，b4 与 b3 不相等， 集合 M={x|x=bi，i=1，2，3，4}， M 中元素的个数 m=3 或 4； （3）{an}是公差为 d 的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近， 可得 an=a1+（n﹣1）d， ①若 d＞0，取 bn=an，可得 bn+1﹣bn=an+1﹣an=d＞0， 则 b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200 中有 200 个正数，符合题意； ②若 d=0，取 bn=a1﹣ ，则|bn﹣an|=|a1﹣ ﹣a1|= ＜1，n∈N*， 可得 bn+1﹣bn= ﹣ ＞0， 则 b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200 中有 200 个正数，符合题意； ③若﹣2＜d＜0，可令 b2n﹣1=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1， 则 b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0， 则 b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200 中恰有 100 个正数，符合题意； 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 ④若 d≤﹣2，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近， 即为 an﹣1≤bn≤an+1，an+1﹣1≤bn+1≤an+1+1， 可得 bn+1﹣bn≤an+1+1﹣（an﹣1）=2+d≤0， b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200 中无正数，不符合题意． 综上可得，d 的范围是（﹣2，+∞）． 【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义 和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难 题．
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