2018年普通高等学校招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题：（本题有 12小题，每小题 5分，共 60分。） 1、设 z= ，则∣z∣=（ ）ퟏ2D. A.0 B. C.1 ퟐ2、已知集合 A={x|x2-x-2>0}，则CRA =（ ）A、{x|-1<x<2} B、{x|-1≤x≤2} C、{x|x<-1}∪{x|x>2} D、{x|x≤-1}∪{x|x ≥2} 3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农 村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是（ ）A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4、记 Sn为等差数列{an}的前 n项和，若 3S3 = S2+ S4，a1 =2，则 a5 =（ A、-12 B、-10 C、10 D、12 5、设函数 f（x）=x³+（a-1）x²+ax .若 f（x）为奇函数，则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方 程为（ A.y= -2xB.y= -x ））C.y=2x D.y=x 6、在 ABC中，AD为 BC边上的中线，E为 AD的中点，则EB=（ ∆）14143434141434A.34 -B. -C. +D. +AB AB AC AB AC AB AC AC 7、某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图。圆柱表面上的点 M在正视图上的对应点为 A，圆 柱表面上的点 N在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M到 N的路径中，最短路径的长度为 （ ） 17 5A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 8.设抛物线 C：y²=4x的焦点为 F，过点（-2，0）且斜率为32的直线与 C交于 M，N两点，则FM ·FN =( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数 f（x）= g（x）=f（x）+x+a，若 g（x）存在 2个零点，则 a的取值范围是 ( ) A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞） 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分 别为直角三角形 ABC的斜边 BC，直角边 AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为 Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 p1，p2，p3， 则( ) A. p1=p2 B. p1=p3 C. p2=p3 D. p1=p2+p3 ퟐ11.已知双曲线 C：퐱ퟑ -y²=1，O为坐标原点，F为 C的右焦点，过 F的直线与 C的两条渐近线的交点 分别为 M，N. 若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=( ) 3A. B.3 C. D.4 212.已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积 αα的最大值为（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。 13.若 x，y满足约束条件 则 z=3x+2y的最大值为 .14.记 Sn为数列｛an｝的前 n项和. 若 Sn = 2an+1，则 S6= .15.从 2位女生，4位男生中选 3人参加科技比赛，且至少有 1位女生入选，则不同的选法共有 种.（用数字填写答案） 16.已知函数 f（x）=2sinx+sin2x，则 f（x）的最小值是 .三.解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60分。 17.（12分） 在平面四边形 ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5. （1）求 cos∠ADB； （2）若 DC = ，求 BC. 18.（12分） 如图，四边形 ABCD为正方形，E，F分别为 AD，BC的中点，以 DF为折痕把∆DFC折起，使点 C 到达点 P的位置，且 PF⊥BF . （1）证明：平面 PEF⊥平面 ABFD； （2）求 DP与平面 ABFD所成角的正弦值. 19.（12分） 퐱ퟐ ퟐ设椭圆 C： + y²=1的右焦点为 F，过 F的直线 l 与 C交于 A，B两点，点 M的坐标为（2，0）. （1）当 l 与 x轴垂直时，求直线 AM的方程； （2）设 O为坐标原点，证明：∠OMA =∠OMB. 20、（12分） 某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验 出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取 20件产品作检验，再根据检验结果决 定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为 P（0<P<1），且各件产品是否为 不合格品相互独立。 （1）记 20件产品中恰有 2件不合格品的概率为 f（P），求 f（P）的最大值点 。（2）现对一箱产品检验了 20件，结果恰有 2件不合格品，以（1）中确定的 作为 P的值，已知 每件产品的检验费用为 2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25元的赔 偿费用。 （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X，求 EX； （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 21、（12分） 已知函数 .（1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）存在两个极值点 x1 , x2 , 证明： .（二）选考题：共 10分。请考生在第 22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。 22. [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系 xOy中，曲线 C₁的方程为 y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 C₂的极坐标方程为ρ² +2ρcosθ -3=0. （1） 求C₂的直角坐标方程: （2） 若C₁与 C₂有且仅有三个公共点，求 C₁的方程. 23. [选修 4-5：不等式选讲]（10分） 已知 f（x）=∣x+1∣-∣ax-1∣. （1） 当a=1时，求不等式 f（x）﹥1的解集； （2） 若x∈（0，1）时不等式 f（x）﹥x成立，求 a的取值范围. 绝密★启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题 1．C 2．B 8．D 3．A 9．C 4．B 5．D 6．A 7．B 10．A 11．B 12．A 二、填空题 3 3 213． 614． 63 15．16 16． 三、解答题 17．解： BD AB （1）在△ABD 中，由正弦定理得 .sinA sinADB 252由题设知， ,所以sinADB .sin 45 sinADB 5223 5由题设知， ADB 90，所以 cosADB 1 .25 2（2）由题设及（1）知， cosBDC sinADB .5在△BCD 中，由余弦定理得 BC2 BD2 DC2 2 BD DC cosBDC 2 25 8 25 2 2 5 25. 所以 BC 5 .18．解： （1）由已知可得， BF PF ，BF EF ，所以 BF 平面 PEF .又BF 平面 ABFD ，所以平面 PEF 平面 ABFD .（2）作 PH EF ，垂足为 H. 由（1）得， PH 平面 ABFD . uuur uuur 以H 为坐标原点， HF 的方向为 y 轴正方向，| BF | 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 H xyz . 由（1）可得， DE PE . 又 DP 2 ， DE 1，所以 PE 3 . 又 PF 1， EF 2 ，故 PE PF . 332可得 PH ，EH .2uuur uuur 33333则设H(0,0,0) ，P(0,0, ),D(1, ,0) ， DP (1, ,) ， HP (0,0, ) 为平面 ABFD 的法向量. 2222234uuur uuur HP DP 3DP 与平面 ABFD 所成角为 ，则 sin | uuur uuur| | HP | | DP | .433所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 .419．解： （1）由已知得 F(1,0) ，l的方程为 x 1. 22由已知可得，点 A 的坐标为 (1, ) 或 (1, ).2222所以 AM 的方程为 y x 2 或 y x 2 . 22（2）当 l 与 x 轴重合时， OMA OMB 0 当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以 OMA OMB 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y k(x 1) (k 0) y1 y2 x1 2 x2 2 ..，A(x1, y1) B(x2 , y2 ) ，则 x1 2 ， ，x2 2 ， 直线 MA，MB 的斜率之和为 kMA kMB .由y1 kx1 k ，y2 kx2 k kMA kMB 得2kx1x2 3k(x1 x2 ) 4k (x1 2)(x2 2) .x2 将y k(x 1) 代入 y2 1 得2(2k2 1)x2 4k2 x 2k2 2 0 .4k2 2k2 1 2k2 2 所以， x1 x2 , x1x2 .2k2 1 4k3 4k 12k3 8k3 4k 2k2 1 则2kx1x2 3k(x1 x2 ) 4k 0 .从而 kMA kMB 0 ，故 MA，MB 的倾斜角互补. 所以 OMA OMB 综上， OMA OMB ..20．解： （1）20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f (p) C220 p2 (1 p)18 . 因此 218 217 217 f (p) C20[2p(1 p) 18p (1 p) ] 2C20 p(1 p) (110p) .令f (p) 0，得 p 0.1. 当 p(0,0.1) 时， f (p) 0；当 p(0.1,1) 时， f (p) 0 .所以 f (p) 的最大值点为 p0 0.1 .（2）由（1）知， p 0.1. （ⅰ）令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知 Y B(180,0.1) ， X 20 2 25Y ，即 X 40 25Y .所以 EX E(40 25Y) 40 25EY 490 .（ⅱ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元. 由于 EX 400 ，故应该对余下的产品作检验. 21．解： （1） 1×2 ax2 ax 1 的定义域为 (0,) ， f (x) 1 .f (x) xx2 ，所以 f (x) 在 (0,) 单调递减. f (x) 0 （ⅰ）若 a ≤ 2 ，则 ，当且仅当 a 2 ，x 1 时f (x) ≤ 0 a a2 4 a a2 4 （ⅱ）若 a 2 ，令 f (x) 0 得， x 或x .22a a2 4 a a2 4 ,) 时， f (x) 0 ；当当x(0, ) U( 22a a2 4 a a2 4 a a2 4 a a2 4 x( ,)时， f (x) 0 . 所以 f (x) 在(0, )，(,) 单调递减，在 2222a a2 4 a a2 4 (,)单调递增. 22（2）由（1）知， f (x) 存在两个极值点当且仅当 a 2 .由于 f (x) 的两个极值点 x1 ，x2 满足 x2 ax 1 0 ，所以 x1x2 1，不妨设 x1 x2 ，则 . 由于 x2 1 f (x1) f (x2 ) x1 x2 ln x1 ln x2 x1 x2 ln x1 ln x2 x1 x2 2ln x2 1， 1 a 2 a 2 a 1x1x2 x2 x2 f (x1 ) f (x2 ) x1 x2 1所以 等价于 . a 2 x2 2ln x2 0 x2 1设 函 数 ， 由 （ 1 ） 知 ， 在 (0,) 单 调 递 减 ， 又 ， 从 而 当 时 ， x (1,) g(x) x 2ln x g(x) g(1) 0 x.g(x) 0 f (x1 ) f (x2 ) 1所以 ，即 . a 2 x2 2ln x2 0 x2 x1 x2 22．解： （1）由 x cos ，y sin (x 1)2 y2 4 2 是圆心为 A(1,0) ，半径为 1 是过点 B(0,2) 且关于 轴对称的两条射线. 记 2 的外面，故 1 与 2 有且仅有三个公共点等价于 2 只有一个公共点且 1 与 2 有两个公共点. C得 2 的直角坐标方程为 .（2）由（1）知 由题设知， 在圆 C2 的圆. Cyy轴右边的射线为 l1 ，y轴左边的射线为 l2 . 由 于与BCCCCl1 与 C2 只有一个公共点且 2 与 2 有两个公共点，或 l2 l C lC| k 2 | k2 1 43当l1 与 C2 只有一个公共点时， A到l1 所在直线的距离为 2，所以 2 ，故 k 或k 0 . 经检验，当 4k 0 时， l1 与 C2 没有公共点；当 k 时， l1 与 C2 只有一个公共点， l2 与 C2 有两个公共点. 3| k 2 | k2 1 4当l2 与 C2 只有一个公共点时， A到l2 所在直线的距离为 2，所以 2 ，故 k 0 或k . 经检验，当 34k 0 时， l C l C 1 与 2 没有公共点；当 k 时， 2 与 2 没有公共点. 34综上，所求 C1 的方程为 y | x | 2 . 323．解： 2 ,x ≤ 1, （1）当 a 1时， f (x) | x 1| | x 1| ，即 f (x) 2x, 1 x 1, 2, x≥1. 1故不等式 f (x) 1的解集为{x |x } .2（2）当 x(0, 1) 时| x 1| | ax 1| x 成立等价于当 x(0, 1) 时| ax 1|1成立. 若若a ≤0 ，则当 x(0, 1) 时| ax 1|≥1 ；22a 0 ，| ax 1|1的解集为 0 x ，所以 ≥1 ，故 0 a ≤ 2 . aaa综上， 的取值范围为(0,2] .
声明：如果本站提供的资源有问题或者不能下载，请点击页面底部的"联系我们"；
本站提供的资源大部分来自网络收集整理，如果侵犯了您的版权，请联系我们删除。
