2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅲ）（含解析版）下载

2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5 分）已知集合 A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则 A∩B 中元 素的个数为（　　） A．3 2．（5 分）设复数 z 满足（1+i）z=2i，则|z|=（　　） A． B． C． B．2 C．1 D．0 D．2 3．（5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整 理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据， 绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是（　　） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化 比较平稳 4．（5 分）（x+y）（2x﹣y）5 的展开式中的 x3y3 系数为 （　　） A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80 5．（5 分）已知双曲线 C： ﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为 第 1 页（共 32 页） y= x，且与椭圆 +=1 有公共焦点，则 C 的方程为（　　） A． ﹣=1 B． ﹣=1 C． ﹣=1 D． ﹣=1 6．（5 分）设函数 f（x）=cos（x+ ），则下列结论错误的是（　　） A．f（x）的一个周期为﹣2π B．y=f（x）的图象关于直线 x= C．f（x+π）的一个零点为 x= D．f（x）在（ ，π）单调递减 对称 7．（5 分）执行如图的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 8．（5 分）已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球 面上，则该圆柱的体积为（　　） A．π B． C． D． 9．（5 分）等差数列{an}的首项为 1，公差不为 0．若 a2，a3，a6 成等比数列， 则{an}前 6 项的和为（　　） 第 2 页（共 32 页） A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8 10．（5 分）已知椭圆 C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为 A1，A2， 且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx﹣ay+2ab=0 相切，则 C 的离心率为（　　） A． B． C． D． 11．（5 分）已知函数 f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则 a=（　　） A．﹣ B． C． D．1 12．（5 分）在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相 切的圆上．若 =λ +μ ，则 λ+μ 的最大值为（　　） A．3 B．2 C． D．2 　二、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．（5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x﹣4y 的最小值为　 　． 14．（5 分）设等比数列{an}满足 a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则 a4=　 15．（5 分）设函数 f（x）= ，则满足 f（x）+f（x﹣ ）＞1 的 x 的 取值范围是　． 　． 16．（5 分）a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角 边 AC 所在直线与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结 论： ①当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 30°角； ②当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 60°角； ③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45°； ④直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60°； 其中正确的是　 　　．（填写所有正确结论的编号） 第 3 页（共 32 页） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要 求作答。（一）必考题：60 分。 17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinA+ cosA=0 ，a=2 ，b=2． （1）求 c； （2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD⊥AC，求△ABD 的面积． 18．（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处 理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关． 如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25） ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶．为了确定六月 份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分 布表： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 216 36 25 74天数 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶 第 4 页（共 32 页） 一天的进货量 n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 19．（12 分）如图，四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形 ，∠ABD=∠CBD，AB=BD． （1）证明：平面 ACD⊥平面 ABC； （2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两 部分，求二面角 D﹣AE﹣C 的余弦值． 20．（12 分）已知抛物线 C：y2=2x，过点（2，0）的直线 l 交 C 于 A，B 两点， 圆 M 是以线段 AB 为直径的圆． （1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上； （2）设圆 M 过点 P（4，﹣2），求直线 l 与圆 M 的方程． 21．（12 分）已知函数 f（x）=x﹣1﹣alnx． （1）若 f（x）≥0，求 a 的值； 第 5 页（共 32 页） （2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m， 求 m 的最小值． 　（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做， 则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为 ，（t 为参数） ，直线 l2 的参数方程为 ，（m 为参数）．设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C． （1）写出 C 的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：ρ（cosθ+sinθ） =0，M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径． ﹣　[选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （1）求不等式 f（x）≥1 的解集； （2）若不等式 f（x）≥x2﹣x+m 的解集非空，求 m 的取值范围． 　第 6 页（共 32 页） 2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 参考答案与试题解析 　一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5 分）已知集合 A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则 A∩B 中元 素的个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】解不等式组求出元素的个数即可． 【解答】解：由 ，解得： 或，∴A∩B 的元素的个数是 2 个， 故选：B． 【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题． 　2．（5 分）设复数 z 满足（1+i）z=2i，则|z|=（　　） A． B． C． D．2 【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），z=i+1． 则|z|= ．故选：C． 第 7 页（共 32 页） 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题． 　3．（5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整 理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据， 绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是（　　） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化 比较平稳 【考点】2K：命题的真假判断与应用；B9：频率分布折线图、密度曲线．菁优网版权所有 【专题】27：图表型；2A：探究型；5I：概率与统计． 【分析】根据已知中 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万 人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案． 【解答】解：由已有中 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位： 万人）的数据可得： 月接待游客量逐月有增有减，故 A 错误； 年接待游客量逐年增加，故 B 正确； 各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月，故 C 正确； 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平 第 8 页（共 32 页） 稳，故 D 正确； 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大， 属于基础题． 　4．（5 分）（x+y）（2x﹣y）5 的展开式中的 x3y3 系数为 （　　） A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；5P：二项式定理． 5r【分析】（2x﹣y） 的展开式的通项公式：Tr+1= （2x）5﹣r（﹣y）=25﹣r（﹣1） rx5﹣ryr．令 5﹣r=2，r=3，解得 r=3．令 5﹣r=3，r=2，解得 r=2．即可得出． 5r【解答】解：（2x﹣y） 的展开式的通项公式：Tr+1= （2x）5﹣r（﹣y）=25﹣r （﹣1）r x5﹣ryr． 令 5﹣r=2，r=3，解得 r=3． 令 5﹣r=3，r=2，解得 r=2． ∴（x+y）（2x﹣y）5 的展开式中的 x3y3 系数=22×（﹣1）3 +23× 故选：C． =40． 【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题． 　5．（5 分）已知双曲线 C： ﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为 y= x，且与椭圆 +=1 有公共焦点，则 C 的方程为（　　） A． ﹣=1 B． ﹣=1 C． ﹣=1 D． ﹣=1 第 9 页（共 32 页） 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性 质与方程． 【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方 程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程． 【解答】解：椭圆 +=1 的焦点坐标（±3，0）， 则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得 c=3， 双曲线 C： ﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为 y= x， 可得 ，即 ，可得 = ，解得 a=2，b= ，所求的双曲线方程为： ﹣=1． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计 算能力． 　6．（5 分）设函数 f（x）=cos（x+ ），则下列结论错误的是（　　） A．f（x）的一个周期为﹣2π B．y=f（x）的图象关于直线 x= C．f（x+π）的一个零点为 x= D．f（x）在（ ，π）单调递减 对称 【考点】H7：余弦函数的图象．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可． 第 10 页（共 32 页） 【解答】解：A．函数的周期为 2kπ，当 k=﹣1 时，周期 T=﹣2π，故 A 正确， B．当 x= 时，cos（x+ ）=cos（ ）=cos =cos3π=﹣1 为最小值， 此时 y=f（x）的图象关于直线 x= 对称，故 B 正确， +C 当 x= 时，f（ +π）=cos（ +π+ ）=cos 为 x= ，故 C 正确， =0，则 f（x+π）的一个零点 D．当 ＜x＜π 时， ＜x+ ＜，此时函数 f（x）不是单调函数，故 D 错误， 故选：D． 【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象 和性质是解决本题的关键． 　7．（5 分）执行如图的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；39：运动思想；49：综合法；5K：算法和程序框图． 第 11 页（共 32 页） 【分析】通过模拟程序，可得到 S 的取值情况，进而可得结论． 【解答】解：由题可知初始值 t=1，M=100，S=0， 要使输出 S 的值小于 91，应满足“t≤N”， 则进入循环体，从而 S=100，M=﹣10，t=2， 要使输出 S 的值小于 91，应接着满足“t≤N”， 则进入循环体，从而 S=90，M=1，t=3， 要使输出 S 的值小于 91，应不满足“t≤N”，跳出循环体， 此时 N 的最小值为 2， 故选：D． 【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注 意解题方法的积累，属于中档题． 　8．（5 分）已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球 面上，则该圆柱的体积为（　　） A．π B． C． D． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5Q：立体几何． 【分析】推导出该圆柱底面圆周半径 r= =，由此能求出该圆柱的体 积． 【解答】解：∵圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球 面上， ∴该圆柱底面圆周半径 r= =，∴该圆柱的体积：V=Sh= 故选：B． =．第 12 页（共 32 页） 【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论 证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题． 　9．（5 分）等差数列{an}的首项为 1，公差不为 0．若 a2，a3，a6 成等比数列， 则{an}前 6 项的和为（　　） A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8 【考点】85：等差数列的前 n 项和．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列． 【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求 出{an}前 6 项的和． 【解答】解：∵等差数列{an}的首项为 1，公差不为 0．a2，a3，a6 成等比数列， ∴，∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且 a1=1，d≠0， 解得 d=﹣2， ∴{an}前 6 项的和为 故选：A． ==﹣24． 【点评】本题考查等差数列前 n 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注 意等差数列、等比数列的性质的合理运用． 　10．（5 分）已知椭圆 C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为 A1，A2， 且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx﹣ay+2ab=0 相切，则 C 的离心率为（　　） 第 13 页（共 32 页） A． B． C． D． 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx﹣ay+2ab=0 相切，可得原点到直线的 距离 =a，化简即可得出． 【解答】解：以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx﹣ay+2ab=0 相切， ∴原点到直线的距离 =a，化为：a2=3b2． ∴椭圆 C 的离心率 e= = 故选：A． =．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线 的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　11．（5 分）已知函数 f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则 a=（　　） A．﹣ B． C． D．1 【考点】52：函数零点的判定定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用． 【分析】通过转化可知问题等价于函数 y=1﹣（x﹣1）2 的图象与 y=a（ex﹣1 +）的图象只有一个交点求 a 的值．分 a=0、a＜0、a＞0 三种情况，结合 函数的单调性分析可得结论． 【解答】解：因为 f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1 +）=0， 第 14 页（共 32 页） 2所以函数 f（x）有唯一零点等价于方程 1﹣（x﹣1） =a（ex﹣1 +）有唯一解， 等价于函数 y=1﹣（x﹣1）2 的图象与 y=a（ex﹣1 +）的图象只有一个交点． ①当 a=0 时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾； ②当 a＜0 时，由于 y=1﹣（x﹣1）2 在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递 减， 且 y=a（ex﹣1 +）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 2所以函数 y=1﹣（x﹣1） 的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1 +）的图 象的最高点为 B（1，2a）， 由于 2a＜0＜1，此时函数 y=1﹣（x﹣1）2 的图象与 y=a（ex﹣1 +）的图象有 两个交点，矛盾； ③当 a＞0 时，由于 y=1﹣（x﹣1）2 在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递 减， 且 y=a（ex﹣1 +）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增， 2所以函数 y=1﹣（x﹣1） 的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1 象的最低点为 B（1，2a）， +）的图 由题可知点 A 与点 B 重合时满足条件，即 2a=1，即 a= ，符合条件； 综上所述，a= ， 故选：C． 【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力 ，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解 题方法的积累，属于难题． 　12．（5 分）在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相 切的圆上．若 =λ +μ ，则 λ+μ 的最大值为（　　） A．3 B．2 C． D．2 第 15 页（共 32 页） 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质 ；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆． 【分析】如图：以 A 为原点，以 AB，AD 所在的直线为 x，y 轴建立如图所示的 坐标系，先求出圆的标准方程，再设点 P 的坐标为（ cosθ+1， sinθ+2 ），根据 =λ +μ ，求出 λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值． 【解答】解：如图：以 A 为原点，以 AB，AD 所在的直线为 x，y 轴建立如图所 示的坐标系， 则 A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2）， ∵动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上， 设圆的半径为 r， ∵BC=2，CD=1， ∴BD= ∴ BC•CD= BD•r， ∴r= ∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2= ， 设点 P 的坐标为（ cosθ+1， sinθ+2）， =，∵=λ +μ ，∴（ cosθ+1， sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， sinθ+2=2μ， ∴cosθ+1=λ， ∴λ+μ= cosθ+ sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中 tanφ=2， ∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3， 故 λ+μ 的最大值为 3， 第 16 页（共 32 页） 故选：A． 【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设 点 P 的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题． 　二、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．（5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x﹣4y 的最小值为　﹣1　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5T：不等式． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数 z=3x﹣4y 的最小值． 【解答】解：由 z=3x﹣4y，得 y= x﹣ ，作出不等式对应的可行域（阴影部分） ，平移直线 y= x﹣ ，由平移可知当直线 y= x﹣ ， 经过点 B（1，1）时，直线 y= x﹣ 的截距最大，此时 z 取得最小值， 将 B 的坐标代入 z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1， 即目标函数 z=3x﹣4y 的最小值为﹣1． 故答案为：﹣1． 第 17 页（共 32 页） 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结 合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 　14．（5 分）设等比数列{an}满足 a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则 a4=　﹣8　． 【考点】88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列． 【分析】设等比数列{an}的公比为 q，由 a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，可得：a1（1+q ）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，解出即可得出． 【解答】解：设等比数列{an}的公比为 q，∵a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3， ∴a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3， 解得 a1=1，q=﹣2． 则 a4=（﹣2）3=﹣8． 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中 档题． 　15．（5 分）设函数 f（x）= ，则满足 f（x）+f（x﹣ ）＞1 的 x 的 取值范围是　（ ，+∞）　． 第 18 页（共 32 页） 【考点】3T：函数的值．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论 x 的取值范围，进行求解即可． 【解答】解：若 x≤0，则 x﹣ ≤﹣ ， 则 f（x）+f（x﹣ ）＞1 等价为 x+1+x﹣ +1＞1，即 2x＞﹣ ，则 x＞ 此时 ＜x≤0， ，当 x＞0 时，f（x）=2x＞1，x﹣ ＞﹣ ， 当 x﹣ ＞0 即 x＞ 时，满足f（x）+f（x﹣ ）＞1 恒成立， 当 0≥x﹣ ＞﹣ ，即 ≥x＞0 时，f（x﹣ ）=x﹣ +1=x+ 此时 f（x）+f（x﹣ ）＞1 恒成立， ，综上 x＞ ，故答案为：（ ，+∞）． 【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的 数学思想进行求解是解决本题的关键． 　16．（5 分）a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角 边 AC 所在直线与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结 论： ①当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 30°角； ②当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 60°角； ③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45°； ④直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60°； 其中正确的是　②③　．（填写所有正确结论的编号） 【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离． 第 19 页（共 32 页） 【分析】由题意知，a、b、AC 三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为 1 的正方体，|AC|=1，|AB|= ，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴，则 A 点保持不 变，B 点的运动轨迹是以 C 为圆心，1 为半径的圆，以 C 坐标原点，以 CD 为 x 轴，CB 为 y 轴，CA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． 【解答】解：由题意知，a、b、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图， 不妨设图中所示正方体边长为 1， 故|AC|=1，|AB|= ，\ 斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴，则 A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以 C 为圆心，1 为半径的圆， 以 C 坐标原点，以 CD 为 x 轴，CB 为 y 轴，CA 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 D（1，0，0），A（0，0，1），直线 a 的方向单位向量 =（0，1，0），| |=1 ，直线 b 的方向单位向量 =（1，0，0），| |=1， 设 B 点在运动过程中的坐标中的坐标 B′（cosθ，sinθ，0）， 其中 θ 为 B′C 与 CD 的夹角，θ∈[0，2π）， ∴AB′在运动过程中的向量， =（cosθ，sinθ，﹣1），| |= ，设与 所成夹角为α∈[0， ]， 则 cosα= =|sinθ|∈[0， ]， ∴α∈[ ，]，∴③正确，④错误． 设与 所成夹角为β∈[0， ]， cosβ= ==|cosθ|， 当与 夹角为60°时，即 α= ，|sinθ|= ==，∵cos2θ+sin2θ=1，∴cosβ= |cosθ|= ， 第 20 页（共 32 页） ∵β∈[0， ]，∴β= ，此时 与 的夹角为60°， ∴②正确，①错误． 故答案为：②③． 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形 结合思想、化归与转化思想，是中档题． 　三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要 求作答。（一）必考题：60 分。 17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinA+ cosA=0 ，a=2 ，b=2． （1）求 c； （2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD⊥AC，求△ABD 的面积． 【考点】HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；58：解三角形． 【分析】（1）先根据同角的三角函数的关系求出 A，再根据余弦定理即可求出， （2）先根据夹角求出 cosC，求出 CD 的长，得到 S△ABD= S△ABC ．【解答】解：（1）∵sinA+ cosA=0， ∴tanA= ∵0＜A＜π， ∴A= ，，第 21 页（共 32 页） 由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bccosA， 即 28=4+c2﹣2×2c×（﹣ ）， 即 c2+2c﹣24=0， 解得 c=﹣6（舍去）或 c=4， 故 c=4． （2）∵c2=b2+a2﹣2abcosC， ∴16=28+4﹣2×2 ×2×cosC， ∴cosC= ∴CD= ，==∴CD= BC ∵S△ABC= AB•AC•sin∠BAC= ×4×2× =2 ∴S△ABD= S△ABC ，=【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及解三角形的问题，属于 中档题 　18．（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处 理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关． 如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25） ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶．为了确定六月 份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分 布表： 第 22 页（共 32 页） 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 16 36 25 274天数 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶 一天的进货量 n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差． 菁【专题】11：计算题；32：分类讨论；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】（1）由题意知 X 的可能取值为 200，300，500，分别求出相应的概率， 由此能求出 X 的分布列． （2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为 500 瓶，至少为 200 瓶，只需考虑 200≤n≤500，根据 300≤n≤500 和 200≤n≤300 分类讨论经，能得到当 n=300 时，EY 最大值为 520 元． 【解答】解：（1）由题意知 X 的可能取值为 200，300，500， P（X=200）= P（X=300）= P（X=500）= =0.2， ，=0.4， ∴X 的分布列为： X200 0.2 300 0.4 500 0.4 P（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为 500 瓶，至少为 200 瓶， ∴只需考虑 200≤n≤500， 当 300≤n≤500 时， 若最高气温不低于 25，则 Y=6n﹣4n=2n； 若最高气温位于区间[20，25），则 Y=6×300+2（n﹣300）﹣4n=1200﹣2n； 第 23 页（共 32 页） 若最高气温低于 20，则 Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n， ∴EY=2n×0.4+（1200﹣2n）×0.4+（800﹣2n）×0.2=640﹣0.4n， 当 200≤n≤300 时， 若最高气温不低于 20，则 Y=6n﹣4n=2n， 若最高气温低于 20，则 Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n， ∴EY=2n×（0.4+0.4）+（800﹣2n）×0.2=160+1.2n． ∴n=300 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求 法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理论 证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想，是中档题． 　19．（12 分）如图，四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形 ，∠ABD=∠CBD，AB=BD． （1）证明：平面 ACD⊥平面 ABC； （2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两 部分，求二面角 D﹣AE﹣C 的余弦值． 【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离；5G：空间 角． 【分析】（1）如图所示，取 AC 的中点 O，连接 BO，OD．△ABC 是等边三角形 ，可得 OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD 是直角三角 第 24 页（共 32 页） 形，可得 AC 是斜边，∠ADC=90°．可得 DO= AC．利用 DO2+BO2=AB2=BD2． 可得 OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明． （2）设点 D，B 到平面 ACE 的距离分别为 hD，hE．则 =．根据平面 AEC 把 四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，可得 ===1，即点 E 是 BD 的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取 AB=2．利用法向量 的夹角公式即可得出． 【解答】（1）证明：如图所示，取 AC 的中点 O，连接 BO，OD． ∵△ABC 是等边三角形，∴OB⊥AC． △ABD 与△CBD 中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD， ∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD． ∵△ACD 是直角三角形， ∴AC 是斜边，∴∠ADC=90°． ∴DO= AC． ∴DO2+BO2=AB2=BD2． ∴∠BOD=90°． ∴OB⊥OD． 又 DO∩AC=O，∴OB⊥平面 ACD． 又 OB⊂平面 ABC， ∴平面 ACD⊥平面 ABC． （2）解：设点 D，B 到平面 ACE 的距离分别为 hD，hE．则 ∵平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分， =．∴===1． ∴点 E 是 BD 的中点． 第 25 页（共 32 页） 建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取 AB=2． 则 O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0， ，0），E ．=（﹣1，0，1）， =，=（﹣2，0，0）． 设平面 ADE 的法向量为 =（x，y，z），则 ，即 ，取 =．同理可得：平面 ACE 的法向量为 =（0，1， ）． ∴cos ===﹣ ．∴二面角 D﹣AE﹣C 的余弦值为 ．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、三棱锥的体积计算公式、向量夹角 公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　20．（12 分）已知抛物线 C：y2=2x，过点（2，0）的直线 l 交 C 于 A，B 两点， 圆 M 是以线段 AB 为直径的圆． （1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上； （2）设圆 M 过点 P（4，﹣2），求直线 l 与圆 M 的方程． 【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有 第 26 页（共 32 页） 【专题】35：转化思想；41：向量法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得 A 和 B 的坐标， 由•=0，则坐标原点 O 在圆 M 上；当直线 l 斜率存在，代入抛物线方程， 利用韦达定理及向量数量积的可得 =0，则坐标原点 O 在圆 M 上； 方法二：设直线 l 的方程 x=my+2，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量 积的坐标运算，即可求得 =0，则坐标原点 O 在圆 M 上； （2）由题意可知： =0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得 k 的值， •••求得 M 点坐标，则半径 r=丨 MP 丨，即可求得圆的方程． 【解答】解：方法一：证明：（1）当直线 l 的斜率不存在时，则 A（2，2），B （2，﹣2）， 则∴=（2，2）， =（2，﹣2），则 •=0， ⊥，则坐标原点 O 在圆 M 上； 当直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程 y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）， ，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0， 22则 x1x2=4，4x1x2=y1 y2 =（y1y2）2，由 y1y2＜0， 则 y1y2=﹣4， 由则•=x1x2+y1y2=0， ⊥，则坐标原点 O 在圆 M 上， 综上可知：坐标原点 O 在圆 M 上； 方法二：设直线 l 的方程 x=my+2， ，整理得：y2﹣2my﹣4=0，A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 y1y2=﹣4， 第 27 页（共 32 页） 则（y1y2）2=4x1x2，则 x1x2=4，则 •=x1x2+y1y2=0， 则⊥，则坐标原点 O 在圆 M 上， ∴坐标原点 O 在圆 M 上； （2）由（1）可知：x1x2=4，x1+x2= ，y1+y2= ，y1y2=﹣4， 圆 M 过点 P（4，﹣2），则 =（4﹣x1，﹣2﹣y1）， =（4﹣x2，﹣2﹣y2）， =0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0， 由•整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1， 当 k=﹣2 时，直线 l 的方程为 y=﹣2x+4， 则 x1+x2= ，y1+y2=﹣1， 则 M（ ，﹣ ），半径为 r=丨 MP 丨= =，∴圆 M 的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2= ．当直线斜率 k=1 时，直线 l 的方程为 y=x﹣2， 同理求得 M（3，1），则半径为 r=丨 MP 丨= ∴圆 M 的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10， ，综上可知：直线 l 的方程为 y=﹣2x+4，圆 M 的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2= 或直线 l 的方程为 y=x﹣2，圆 M 的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10． ，【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标 运算，考查计算能力，属于中档题． 　21．（12 分）已知函数 f（x）=x﹣1﹣alnx． （1）若 f（x）≥0，求 a 的值； （2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m， 求 m 的最小值． 第 28 页（共 32 页） 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；32：分类讨论；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】（1）通过对函数 f（x）=x﹣1﹣alnx（x＞0）求导，分 a≤0、a＞0 两种 情况考虑导函数 f′（x）与 0 的大小关系可得结论； （2）通过（1）可知 lnx≤x﹣1，进而取特殊值可知 ln（1+ ）＜ ，k∈N*． 一方面利用等比数列的求和公式放缩可知（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e， 另一方面可知（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＞2，从而当 n≥3 时，（1+ ）（ 1+ ）…（1+ ）∈（2，e），比较可得结论． 【解答】解：（1）因为函数 f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0， 所以 f′（x）=1﹣ = ，且 f（1）=0． 所以当 a≤0 时 f′（x）＞0 恒成立，此时 y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，这 与 f（x）≥0 矛盾； 当 a＞0 时令 f′（x）=0，解得 x=a， 所以 y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即 f（x）min=f （a）， 若 a≠1，则 f（a）＜f（1）=0，从而与 f（x）≥0 矛盾； 所以 a=1； （2）由（1）可知当 a=1 时 f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即 lnx≤x﹣1， 所以 ln（x+1）≤x 当且仅当 x=0 时取等号， 所以 ln（1+ ）＜ ，k∈N*． ln（1+ ）+ln（1+ ）+…+ln（1+ ）＜ + +…+ =1﹣ ＜1， 即（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e； 因为 m 为整数，且对于任意正整数 n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m 成立， 当 n=3 时，不等式左边大于 2， 所以 m 的最小值为 3． 第 29 页（共 32 页） 【点评】本题是一道关于函数与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查转 化与化归思想，考查运算求解能力，考查等比数列的求和公式，考查放缩法， 注意解题方法的积累，属于难题． 　（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做， 则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为 ，（t 为参数） ，直线 l2 的参数方程为 ，（m 为参数）．设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C． （1）写出 C 的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：ρ（cosθ+sinθ） =0，M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径． ﹣【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；4Q：参数法；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程． 【分析】解：（1）分别消掉参数 t 与 m 可得直线 l1 与直线 l2 的普通方程为 y=k（ x﹣2）①与 x=﹣2+ky②；联立①②，消去 k 可得 C 的普通方程为 x2﹣y2=4； （2）将 l3 的极坐标方程为 ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0 化为普通方程：x+y﹣ =0， 再与曲线 C 的方程联立，可得 ，即可求得 l3 与 C 的交点 M 的极径为 ρ= ．【解答】解：（1）∵直线 l1 的参数方程为 ，（t 为参数）， ∴消掉参数 t 得：直线 l1 的普通方程为：y=k（x﹣2）①； 又直线 l2 的参数方程为 ，（m 为参数）， 同理可得，直线 l2 的普通方程为：x=﹣2+ky②； 第 30 页（共 32 页） 联立①②，消去 k 得：x2﹣y2=4，即 C 的普通方程为 x2﹣y2=4（x≠2 且 y≠0）； （2）∵l3 的极坐标方程为 ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0， ∴其普通方程为：x+y﹣ =0， 联立 得： ，∴ρ2=x2+y2= + =5． ∴l3 与 C 的交点 M 的极径为 ρ= ．【点评】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等 价转化思想的运用，属于中档题． 　[选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （1）求不等式 f（x）≥1 的解集； （2）若不等式 f（x）≥x2﹣x+m 的解集非空，求 m 的取值范围． 【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；33：函数思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数 的性质及应用；5T：不等式． 【分析】（1）由于 f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，解不等式 f（x）≥ 1 可分﹣1≤x≤2 与 x＞2 两类讨论即可解得不等式 f（x）≥1 的解集； （2）依题意可得 m≤[f（x）﹣x2+x]max，设 g（x）=f（x）﹣x2+x，分 x≤1、﹣1 ＜x＜2、x≥2 三类讨论，可求得 g（x）max= ，从而可得 m 的取值范围． 【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，f（x）≥1， 第 31 页（共 32 页） ∴当﹣1≤x≤2 时，2x﹣1≥1，解得 1≤x≤2； 当 x＞2 时，3≥1 恒成立，故 x＞2； 综上，不等式 f（x）≥1 的解集为{x|x≥1}． （2）原式等价于存在 x∈R 使得 f（x）﹣x2+x≥m 成立， 即 m≤[f（x）﹣x2+x]max，设 g（x）=f（x）﹣x2+x． 由（1）知，g（x）= ，当 x≤﹣1 时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为 x= ＞﹣1， ∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5； 当﹣1＜x＜2 时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为 x= ∈（﹣1， 2）， ∴g（x）≤g（ ）=﹣ + ﹣1= ； 当 x≥2 时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为 x= ＜2， ∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1； 综上，g（x）max= ， ∴m 的取值范围为（﹣∞， ]． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突 出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难 题． 第 32 页（共 32 页）