2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅱ）（含解析版）下载

2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5 分） A．1+2i =（　　） B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i 2．（5 分）设集合 A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若 A∩B={1}，则 B=（　　） A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5} 3．（5 分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层， 红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔 共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的 顶层共有灯（　　） A．1 盏 B．3 盏 C．5 盏 D．9 盏 4．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的 三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积 为（　　） A．90π B．63π C．42π D．36π 5．（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最小值是（　　） 第 1 页（共 31 页） A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9 6．（5 分）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（　　） A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种 7．（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师 说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙 看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩． 根据以上信息，则（　　） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 8．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 a=﹣1，则输出的 S=（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 第 2 页（共 31 页） 9．（5 分）若双曲线 C： ﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2） 2+y2=4 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（　　） A．2 B． C． D． 10．（5 分）已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则 异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 11．（5 分）若 x=﹣2 是函数 f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1 的极值点，则 f（x）的极 小值为（　　） A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1 12．（5 分）已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 •（ +）的最小值是（　　） A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．（5 分）一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放 回地抽取 100 次．X 表示抽到的二等品件数，则 DX=　． 14．（5 分）函数 f（x）=sin2x+ cosx﹣ （x∈[0， ]）的最大值是　 　． 　． 15．（5 分）等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，则 =　 16．（5 分）已知 F 是抛物线 C：y2=8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N．若 M 为 FN 的中点，则|FN|=　． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据 要求作答．（一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin（A+C）=8sin2 ．第 3 页（共 31 页） （1）求 cosB； （2）若 a+c=6，△ABC 的面积为 2，求 b． 18．（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收 获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频 率分布直方图如图： （1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低 于 50kg，新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A 的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖 方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精 确到 0.01）． 附： P（K2≥k） 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 k10.828 第 4 页（共 31 页） K2= ．19．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E 是 PD 的中点． （1）证明：直线 CE∥平面 PAB； （2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45°，求二面角 M﹣AB﹣D 的余弦值． 20．（12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： +y2=1 上，过 M 作 x 轴的 垂线，垂足为 N，点 P 满足 （1）求点 P 的轨迹方程； =．（2）设点 Q 在直线 x=﹣3 上，且 •=1．证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 第 5 页（共 31 页） 过 C 的左焦点 F． 21．（12 分）已知函数 f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且 f（x）≥0． （1）求 a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 　（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 ρcosθ=4． （1）M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|•|OP|=16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为（2， ），点B 在曲线 C2 上，求△OAB 面积的最大值 ．　第 6 页（共 31 页） [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23．已知 a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明： （1）（a+b）（a5+b5）≥4； （2）a+b≤2． 　第 7 页（共 31 页） 2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） 参考答案与试题解析 　一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5 分） A．1+2i =（　　） B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位 i 的幂运算性质 ，求出结果． 【解答】解： ===2﹣i， 故选：D． 【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，两个 复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数． 　2．（5 分）设集合 A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若 A∩B={1}，则 B=（　　） A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；4O：定义法；5J：集合． 【分析】由交集的定义可得 1∈A 且 1∈B，代入二次方程，求得 m，再解二次方 程可得集合 B． 【解答】解：集合 A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}． 若 A∩B={1}，则 1∈A 且 1∈B， 第 8 页（共 31 页） 可得 1﹣4+m=0，解得 m=3， 即有 B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}． 故选：C． 【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法， 运用定义法是解题的关键，属于基础题． 　3．（5 分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层， 红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔 共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的 顶层共有灯（　　） A．1 盏 B．3 盏 C．5 盏 D．9 盏 【考点】89：等比数列的前 n 项和．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列． 【分析】设塔顶的 a1 盏灯，由题意{an}是公比为 2 的等比数列，利用等比数列 前 n 项和公式列出方程，能求出结果． 【解答】解：设塔顶的 a1 盏灯， 由题意{an}是公比为 2 的等比数列， ∴S7= =381， 解得 a1=3． 故选：B． 【点评】本题考查等比数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注 意等比数列的性质的合理运用． 　4．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的 三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积 为（　　） 第 9 页（共 31 页） A．90π B．63π C．42π D．36π 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何． 【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一 半，即可求出几何体的体积． 【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱 的一半， V=π•32×10﹣ •π•32×6=63π， 故选：B． 【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　5．（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最小值是（　　） 第 10 页（共 31 页） A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小 值即可． 【解答】解：x、y 满足约束条件 的可行域如图： z=2x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值， 解得 A（﹣6，﹣3）， 由则 z=2x+y 的最小值是：﹣15． 故选：A． 【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力． 　6．（5 分）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（　　） A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；49：综合法；5O：排列组合． 【分析】把工作分成 3 组，然后安排工作方式即可． 【解答】解：4 项工作分成 3 组，可得： =6， 第 11 页（共 31 页） 安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成， 可得：6× =36 种． 故选：D． 【点评】本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别， 考查计算能力． 　7．（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师 说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙 看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩． 根据以上信息，则（　　） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有 【专题】2A：探究型；35：转化思想；48：分析法；5M：推理和证明． 【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出 正确答案 【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩 →乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会 知道自己的成绩） →乙看到了丙的成绩，知自己的成绩 →丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩， 给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优， 则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙 看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道 自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲 丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已 的成绩了 第 12 页（共 31 页） 故选：D． 【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师 所说及最后甲说话，属于中档题． 　8．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 a=﹣1，则输出的 S=（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图． 【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S，K 值，当 K=7 时，程序终 止即可得到结论． 【解答】解：执行程序框图，有 S=0，K=1，a=﹣1，代入循环， 第一次满足循环，S=﹣1，a=1，K=2； 第 13 页（共 31 页） 满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，K=3； 满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，K=4； 满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，K=5； 满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，K=6； 满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，K=7； K≤6 不成立，退出循环输出 S 的值为 3． 故选：B． 【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础． 　9．（5 分）若双曲线 C： ﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2） 2+y2=4 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（　　） A．2 B． C． D． 【考点】KC：双曲线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性 质与方程． 【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲 线的离心率即可． 【解答】解：双曲线 C： ﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0 ，圆（x﹣2）2+y2=4 的圆心（2，0），半径为：2， 双曲线 C： ﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4 所截得 的弦长为 2， 第 14 页（共 31 页） 可得圆心到直线的距离为： =，解得： ，可得 e2=4，即 e=2． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力． 　10．（5 分）已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则 异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；4O：定义法；5G：空间角． 【分析】【解法一】设 M、N、P 分别为 AB，BB1 和 B1C1 的中点，得出 AB1、BC1 夹角为 MN 和 NP 夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出 AC、MQ ，MP 和∠MNP 的余弦值即可． 【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁． 【解答】解：【解法一】如图所示，设 M、N、P 分别为 AB，BB1 和 B1C1 的中点 ，则 AB1、BC1 夹角为 MN 和 NP 夹角或其补角 （因异面直线所成角为（0， ]）， 可知 MN= AB1= NP= BC1= ，；作 BC 中点 Q，则△PQM 为直角三角形； ∵PQ=1，MQ= AC， △ABC 中，由余弦定理得 AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC 第 15 页（共 31 页） =4+1﹣2×2×1×（﹣ ） =7， ∴AC= ，∴MQ= ；在△MQP 中，MP= =；在△PMN 中，由余弦定理得 cos∠MNP= ==﹣ ；又异面直线所成角的范围是（0， ]， ∴AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 ．【解法二】如图所示， 补成四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D 即可； BC1= ，BD= =，C1D= ，∴+BD2= ，∴∠DBC1=90°， ∴cos∠BC1D= =．故选：C． 第 16 页（共 31 页） 【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间 中的平行关系应用问题，是中档题． 　11．（5 分）若 x=﹣2 是函数 f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1 的极值点，则 f（x）的极 小值为（　　） A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1 【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出 a，然后判断函数的单调性，求解 函数的极小值即可． 【解答】解：函数 f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1 可得 f′（x）=（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1 ，，x=﹣2 是函数 f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1 的极值点， 可得：f′（﹣2）=（﹣4+a）e﹣3+（4﹣2a﹣1）e﹣3=0，即﹣4+a+（3﹣2a）=0． 解得 a=﹣1． 可得 f′（x）=（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1 ，=（x2+x﹣2）ex﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1， 当 x＜﹣2 或 x＞1 时，f′（x）＞0 函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函 第 17 页（共 31 页） 数， x=1 时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法， 考查计算能力． 　12．（5 分）已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 •（ +）的最小值是（　　） A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；4R：转化法；5A：平面向量及应用． 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的 公式进行计算即可． 【解答】解：建立如图所示的坐标系，以 BC 中点为坐标原点， 则 A（0， ），B（﹣1，0），C（1，0）， 设 P（x，y），则 =（﹣x， ﹣y）， =（﹣1﹣x，﹣y）， =（1﹣x，﹣y ）， 则•（ +）=2×2﹣2 y+2y2=2[x2+（y﹣ ）2﹣ ] ∴当 x=0，y= 时，取得最小值 2×（﹣ ）=﹣ ， 故选：B． 第 18 页（共 31 页） 【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐 标法是解决本题的关键． 　二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．（5 分）一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放 回地抽取 100 次．X 表示抽到的二等品件数，则 DX=　1.96　． 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计． 【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可． 【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型， 其中，p=0.02，n=100， 则 DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96． 故答案为：1.96． 【点评】本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二 项分布是解题的关键． 　14．（5 分）函数 f（x）=sin2x+ cosx﹣ （x∈[0， ]）的最大值是　1　． 【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；33：函数思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；57 ：三角函数的图像与性质． 【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出． 【解答】解：f（x）=sin2x+ cosx﹣ =1﹣cos2x+ cosx﹣ ， 令 cosx=t 且 t∈[0，1]， 则 y=﹣t2+ t+ =﹣（t﹣ ）2+1， 当 t= 时，f（t）max=1， 即 f（x）的最大值为 1， 第 19 页（共 31 页） 故答案为：1 【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题 　15．（5 分）等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，则 =　 　． 【考点】85：等差数列的前 n 项和；8E：数列的求和．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列． 【分析】利用已知条件求出等差数列的前 n 项和，然后化简所求的表达式，求 解即可． 【解答】解：等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10， 可得 a2=2，数列的首项为 1，公差为 1， Sn= ，=，则=2[1﹣ ++…+ ]=2（1﹣ ）= ．故答案为： ．【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力． 　16．（5 分）已知 F 是抛物线 C：y2=8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N．若 M 为 FN 的中点，则|FN|=　6　． 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出 M 坐标，然后求解即可． 【解答】解：抛物线 C：y2=8x 的焦点 F（2，0），M 是 C 上一点，FM 的延长线 交 y 轴于点 N．若 M 为 FN 的中点， 可知 M 的横坐标为：1，则 M 的纵坐标为： ，|FN|=2|FM|=2 =6． 第 20 页（共 31 页） 故答案为：6． 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力． 　三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据 要求作答．（一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin（A+C）=8sin2 ．（1）求 cosB； （2）若 a+c=6，△ABC 的面积为 2，求 b． 【考点】GS：二倍角的三角函数；HP：正弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形． 【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知 A+C=π﹣B，再利用诱导公式化简 sin （A+C），利用降幂公式化简 8sin2 ，结合 sin2B+cos2B=1，求出 cosB， （2）由（1）可知 sinB= ，利用勾面积公式求出 ac，再利用余弦定理即可求 出 b． 【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2 ，∴sinB=4（1﹣cosB）， ∵sin2B+cos2B=1， ∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1， ∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1=0， ∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）=0， ∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0， ∴cosB= ；第 21 页（共 31 页） （2）由（1）可知 sinB= ∵S△ABC= ac•sinB=2， ，∴ac= ，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2× ×=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4， ∴b=2． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和 同角的三角函数的关系，属于中档题 　18．（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收 获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频 率分布直方图如图： （1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低 于 50kg，新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A 的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖 方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精 确到 0.01）． 第 22 页（共 31 页） 附： P（K2≥k） 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 k10.828 K2= ．【考点】B8：频率分布直方图；BE：用样本的数字特征估计总体的数字特征；BL ：独立性检验．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5I：概率与统计． 【分析】（1）由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生的 频率，即可求得其概率； （2）完成 2×2 列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有 99%的把握 认为箱产量与养殖方法有关： （3）根据频率分布直方图即可求得其中位数． 【解答】解：（1）记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg”，C 表示事件“新 养殖法的箱产量不低于 50kg”， 由 P（A）=P（BC）=P（B）P（C）， 则旧养殖法的箱产量低于 50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62， 故 P（B）的估计值 0.62， 新养殖法的箱产量不低于 50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66， 故 P（C）的估计值为， 则事件 A 的概率估计值为 P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092； ∴A 发生的概率为 0.4092； （2）2×2 列联表： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 总计 100 100 200 62 34 96 38 66 旧养殖法 新养殖法 总计 104 则 K2= ≈15.705， 第 23 页（共 31 页） 由 15.705＞6.635， ∴有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； （3）由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 50kg 的直方图的面 积： （0.004+0.020+0.044）×5=0.34， 箱产量低于 55kg 的直方图面积为： （0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5， 故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+ ≈52.35（kg）， 新养殖法箱产量的中位数的估计值 52.35（kg）． 【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查独立性检验，考查计算能力， 属于中档题． 　19．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E 是 PD 的中点． （1）证明：直线 CE∥平面 PAB； （2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45°，求二面角 M﹣AB﹣D 的余弦值． 【考点】LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距 离；5G：空间角． 【分析】（1）取 PA 的中点 F，连接 EF，BF，通过证明 CE∥BF，利用直线与平 面平行的判定定理证明即可． 第 24 页（共 31 页） （2）利用已知条件转化求解 M 到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解 二面角 M﹣AB﹣D 的余弦值即可． 【解答】（1）证明：取 PA 的中点 F，连接 EF，BF，因为 E 是 PD 的中点， 所以 EF AD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥ AD， ∴BCEF 是平行四边形，可得 CE∥BF，BF⊂平面 PAB，CE⊄平面 PAB， ∴直线 CE∥平面 PAB； （2）解：四棱锥 P﹣ABCD 中， 侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC= AD， ∠BAD=∠ABC=90°，E 是 PD 的中点． 取 AD 的中点 O，M 在底面 ABCD 上的射影 N 在 OC 上，设 AD=2，则 AB=BC=1， OP= ，∴∠PCO=60°，直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45°， 可得：BN=MN，CN= MN，BC=1， 可得：1+ BN2=BN2，BN= ，MN= ，作 NQ⊥AB 于 Q，连接 MQ，AB⊥MN， 所以∠MQN 就是二面角 M﹣AB﹣D 的平面角，MQ= =，二面角 M﹣AB﹣D 的余弦值为： =．第 25 页（共 31 页） 【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法， 考查空间想象能力以及计算能力． 　20．（12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： +y2=1 上，过 M 作 x 轴的 垂线，垂足为 N，点 P 满足 （1）求点 P 的轨迹方程； =．（2）设点 Q 在直线 x=﹣3 上，且 过 C 的左焦点 F． •=1．证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 【考点】J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；48：分析法；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆． 【分析】（1）设 M（x0，y0），由题意可得 N（x0，0），设 P（x，y），运用 向量的坐标运算，结合 M 满足椭圆方程，化简整理可得 P 的轨迹方程； （2）设 Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数 量积的坐标表示，可得 m，即有 Q 的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得 OQ ，PF 的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为 0，即可得证． 【解答】解：（1）设 M（x0，y0），由题意可得 N（x0，0）， 设 P（x，y），由点 P 满足 =．可得（x﹣x0，y）= （0，y0）， 可得 x﹣x0=0，y= y0， 即有 x0=x，y0= ，第 26 页（共 31 页） 代入椭圆方程 +y2=1，可得 +=1， 即有点 P 的轨迹方程为圆 x2+y2=2； （2）证明：设 Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π）， •=1，可得（ cosα， sinα）•（﹣3﹣ cosα，m﹣ sinα）=1， 即为﹣3 cosα﹣2cos2α+ msinα﹣2sin2α=1， 当 α=0 时，上式不成立，则 0＜α＜2π， 解得 m= ，即有 Q（﹣3， ）， 椭圆 +y2=1 的左焦点 F（﹣1，0）， =（﹣1﹣ cosα，﹣ sinα）•（﹣3， 由•）=3+3 cosα﹣3（1+ cosα）=0． 可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F． 另解：设 Q（﹣3，t），P（m，n），由 •=1， 可得（m，n）•（﹣3﹣m，t﹣n）=﹣3m﹣m2+nt﹣n2=1， 又 P 在圆 x2+y2=2 上，可得 m2+n2=2， 即有 nt=3+3m， 又椭圆的左焦点 F（﹣1，0）， •=（﹣1﹣m，﹣n）•（﹣3，t）=3+3m﹣nt =3+3m﹣3﹣3m=0， 则⊥，可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F． 【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算， 考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示 和两直线垂直的条件：向量数量积为 0，考查化简整理的运算能力，属于中 第 27 页（共 31 页） 档题． 　21．（12 分）已知函数 f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且 f（x）≥0． （1）求 a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】（1）通过分析可知 f（x）≥0 等价于 h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，进而利 用 h′（x）=a﹣ 可得 h（x）min=h（ ），从而可得结论； （2）通过（1）可知 f（x）=x2﹣x﹣xlnx，记 t（x）=f′（x）=2x﹣2﹣lnx，解不 等式可知 t（x）min=t（ ）=ln2﹣1＜0，从而可知 f′（x）=0 存在两根 x0，x2， 利用 f（x）必存在唯一极大值点 x0 及 x0＜ 可知f（x0）＜ ，另一方面可知 f（x0）＞f（ ）= ．【解答】（1）解：因为 f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0）， 则 f（x）≥0 等价于 h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知 h′（x）=a﹣ ． 则当 a≤0 时 h′（x）＜0，即 y=h（x）在（0，+∞）上单调递减， 所以当 x0＞1 时，h（x0）＜h（1）=0，矛盾，故 a＞0． 因为当 0＜x＜ 时h′（x）＜0、当 x＞ 时h′（x）＞0， 所以 h（x）min=h（ ）， 又因为 h（1）=a﹣a﹣ln1=0， 所以 =1，解得 a=1； 另解：因为 f（1）=0，所以 f（x）≥0 等价于 f（x）在 x＞0 时的最小值为 f（1） ，所以等价于 f（x）在 x=1 处是极小值， 第 28 页（共 31 页） 所以解得 a=1； （2）证明：由（1）可知 f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx， 令 f′（x）=0，可得 2x﹣2﹣lnx=0，记 t（x）=2x﹣2﹣lnx，则 t′（x）=2﹣ ， 令 t′（x）=0，解得：x= ， 所以 t（x）在区间（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增， 所以 t（x）min=t（ ）=ln2﹣1＜0，从而 t（x）=0 有解，即 f′（x）=0 存在两根 x0 ，x2， 且不妨设 f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为 正， 所以 f（x）必存在唯一极大值点 x0，且 2×0﹣2﹣lnx0=0， 所以 f（x0）= ﹣x0﹣x0lnx0= ﹣x0+2×0﹣2 =x0﹣ ，由 x0＜ 可知f（x0）＜（x0﹣ 由 f′（ ）＜0 可知 x0＜ ＜ ， ）max=﹣ + = ； 所以 f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0， ）上单调递减， 所以 f（x0）＞f（ ）= ；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思 想，注意解题方法的积累，属于难题． 　（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 ρcosθ=4． （1）M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|•|OP|=16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程； 第 29 页（共 31 页） （2）设点 A 的极坐标为（2， ），点B 在曲线 C2 上，求△OAB 面积的最大值 ．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）设 P（x，y），利用相似得出 M 点坐标，根据|OM|•|OP|=16 列 方程化简即可； （2）求出曲线 C2 的圆心和半径，得出 B 到 OA 的最大距离，即可得出最大面积 ．【解答】解：（1）曲线 C1 的直角坐标方程为：x=4， 设 P（x，y），M（4，y0），则 ，∴y0= ，∵|OM||OP|=16， ∴=16， 即（x2+y2）（1+ ）=16， ∴x4+2x2y2+y4=16×2，即（x2+y2）2=16×2， 两边开方得：x2+y2=4x， 整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）， ∴点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）． （2）点 A 的直角坐标为 A（1， ），显然点A 在曲线 C2 上，|OA|=2， ∴曲线 C2 的圆心（2，0）到弦 OA 的距离 d= ∴△AOB 的最大面积 S= |OA|•（2+ ）=2+ =，．【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直 线与圆的位置关系，属于中档题． 　[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23．已知 a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明： 第 30 页（共 31 页） （1）（a+b）（a5+b5）≥4； （2）a+b≤2． 【考点】R6：不等式的证明．菁优网版权所有 【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式． 【分析】（1）由柯西不等式即可证明， （2）由 a3+b3=2 转化为 =ab，再由均值不等式可得： =ab≤ （）2，即可得到 （a+b）3≤2，问题得以证明． 【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（ 2=（a3+b3）2≥4， +）当且仅当 =，即 a=b=1 时取等号， （2）∵a3+b3=2， ∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2， ∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2， ∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2， ∴=ab， 由均值不等式可得： ∴（a+b）3﹣2≤ =ab≤（ ）2， ，∴ （a+b）3≤2， ∴a+b≤2，当且仅当 a=b=1 时等号成立． 【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属 于中档题 第 31 页（共 31 页）