2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅲ）（含解析版）下载

2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5 分）已知集合 A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则 A∩B 中元素的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（5 分）复平面内表示复数 z=i（﹣2+i）的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（　　） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 4．（5 分）已知 sinα﹣cosα= ，则 sin2α=（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 5．（5 分）设 x，y 满足约束条件则 z=x﹣y 的取值范围是（　　） A．[﹣3，0] B．[﹣3，2] C．[0，2] D．[0，3] 第 1 页（共 30 页） 6．（5 分）函数 f（x）= sin（x+ ）+cos（x﹣ ）的最大值为（　　） A． B．1 C． D． 7．（5 分）函数 y=1+x+ 的部分图象大致为（　　） A． B． C． D． 8．（5 分）执行如图的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为（　　）第 2 页（共 30 页） A．5 B．4 C．3 D．2 9．（5 分）已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　） A．π 10．（5 分）在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为棱 CD 的中点，则（　　） A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC 11．（5 分）已知椭圆 C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为 A1，A2， B． C． D．且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx﹣ay+2ab=0 相切，则 C 的离心率为（　　） A． B． C． D． 12．（5 分）已知函数 f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则 a=（　　） A．﹣ B． C． D．1 　二、填空题 13．（5 分）已知向量 =（﹣2，3）， =（3，m），且，则 m=　　． 14．（5 分）双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为 y= x，则 a=　　．第 3 页（共 30 页） 15．（5 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 C=60°，b= c=3，则 A=　．，16．（5 分）设函数 f（x）= ，则满足 f（x）+f（x﹣ ）＞1 的 x 的取值范围是　．　三、解答题 17．（12 分）设数列{an}满足 a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{ }的前 n 项和． 18．（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 216 36 25 74天数以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率．第 4 页（共 30 页） 19．（12 分）如图四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AE ⊥EC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比． 20．（12 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 y=x2+mx﹣2 与 x 轴交于 A、B 两点，点 C 的坐标为（0，1），当 m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现 AC⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过 A、B、C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值． 21．（12 分）已知函数 f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．（1）讨论 f（x）的单调性；（2）当 a＜0 时，证明 f（x）≤﹣ ﹣2．第 5 页（共 30 页）　[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为，（t 为参数），直线 l2 的参数方程为，（m 为参数）．设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C．（1）写出 C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：ρ（cosθ+sinθ） =0，M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径． ﹣　[选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式 f（x）≥1 的解集；（2）若不等式 f（x）≥x2﹣x+m 的解集非空，求 m 的取值范围．　第 6 页（共 30 页） 2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析　一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5 分）已知集合 A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则 A∩B 中元素的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用交集定义先求出 A∩B，由此能求出 A∩B 中元素的个数．【解答】解：∵集合 A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}， ∴A∩B={2，4}， ∴A∩B 中元素的个数为 2．故选：B．【点评】本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．　2．（5 分）复平面内表示复数 z=i（﹣2+i）的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：z=i（﹣2+i）=﹣2i﹣1 对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．故选：C．第 7 页（共 30 页）【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．　3．（5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（　　） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳【考点】2K：命题的真假判断与应用；B9：频率分布折线图、密度曲线．菁优网版权所有【专题】27：图表型；2A：探究型；5I：概率与统计．【分析】根据已知中 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．【解答】解：由已有中 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故 A 错误；年接待游客量逐年增加，故 B 正确；各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月，故 C 正确；各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平第 8 页（共 30 页）稳，故 D 正确；故选：A．【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，属于基础题．　4．（5 分）已知 sinα﹣cosα= ，则 sin2α=（　　） A．﹣ B．﹣ C． D．【考点】GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；56：三角函数的求值．【分析】由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出．【解答】解：∵sinα﹣cosα= ， ∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α= ∴sin2α=﹣ ，，故选：A．【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题．　5．（5 分）设 x，y 满足约束条件则 z=x﹣y 的取值范围是（　　） A．[﹣3，0] B．[﹣3，2] C．[0，2] D．[0，3] 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．【解答】解：x，y 满足约束条件的可行域如图：第 9 页（共 30 页）目标函数 z=x﹣y，经过可行域的 A，B 时，目标函数取得最值，由由解得 A（0，3），解得 B（2，0），目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3，目标函数的取值范围：[﹣3，2]．故选：B．【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键．　6．（5 分）函数 f（x）= sin（x+ ）+cos（x﹣ ）的最大值为（　　） A． B．1 C． D．【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．【解答】解：函数 f（x）= sin（x+ ）+cos（x﹣ ）= sin（x+ ）+cos（﹣x+ ）= sin（x+ ）+sin（x+ = sin（x+ ））．第 10 页（共 30 页）故选：A．【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查计算能力．　7．（5 分）函数 y=1+x+ 的部分图象大致为（　　） A． B． C．第 11 页（共 30 页） D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可．【解答】解：函数 y=1+x+ ，可知：f（x）=x+ 是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，则函数 y=1+x+ 的图象关于（0，1）对称，当 x→0+，f（x）＞0，排除 A、C，当 x=π 时，y=1+π，排除 B．故选：D．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点是常用方法．　8．（5 分）执行如图的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为（　　）第 12 页（共 30 页） A．5 B．4 C．3 D．2 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有【专题】11：计算题；39：运动思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．【分析】通过模拟程序，可得到 S 的取值情况，进而可得结论．【解答】解：由题可知初始值 t=1，M=100，S=0，要使输出 S 的值小于 91，应满足“t≤N”，则进入循环体，从而 S=100，M=﹣10，t=2，要使输出 S 的值小于 91，应接着满足“t≤N”，则进入循环体，从而 S=90，M=1，t=3，要使输出 S 的值小于 91，应不满足“t≤N”，跳出循环体，此时 N 的最小值为 2，故选：D．【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．　9．（5 分）已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　） A．π B． C． D．第 13 页（共 30 页）【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5Q：立体几何．【分析】推导出该圆柱底面圆周半径 r= =，由此能求出该圆柱的体积．【解答】解：∵圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上， ∴该圆柱底面圆周半径 r= =，∴该圆柱的体积：V=Sh= 故选：B． =．【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．　10．（5 分）在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为棱 CD 的中点，则（　　） A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC 【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．【分析】法一：连 B1C，推导出 BC1⊥B1C，A1B1⊥BC1，从而 BC1⊥平面 A1ECB1，由此得到 A1E⊥BC1．法二：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【解答】解：法一：连 B1C，由题意得 BC1⊥B1C， ∵A1B1⊥平面 B1BCC1，且 BC1⊂平面 B1BCC1，第 14 页（共 30 页） ∴A1B1⊥BC1， ∵A1B1∩B1C=B1， ∴BC1⊥平面 A1ECB1， ∵A1E⊂平面 A1ECB1， ∴A1E⊥BC1．故选：C．法二：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中棱长为 2，则 A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2， 2），A（2，0，0），C（0，2，0）， =（﹣2，1，﹣2）， =（﹣2，0，2）， =（﹣2，2，0）， =﹣2， =2， =0， =（0，2，2）， =（﹣2，﹣2，0）， ∵•=6， ∴A1E⊥BC1．故选：C．【点评】本题考查线线垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．　11．（5 分）已知椭圆 C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx﹣ay+2ab=0 相切，则 C 的离心率为（　　） A． B． C． D．第 15 页（共 30 页）【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx﹣ay+2ab=0 相切，可得原点到直线的距离 =a，化简即可得出．【解答】解：以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx﹣ay+2ab=0 相切， ∴原点到直线的距离 =a，化为：a2=3b2． ∴椭圆 C 的离心率 e= = 故选：A． =．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　12．（5 分）已知函数 f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则 a=（　　） A．﹣ B． C． D．1 【考点】52：函数零点的判定定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】通过转化可知问题等价于函数 y=1﹣（x﹣1）2 的图象与 y=a（ex﹣1 +）的图象只有一个交点求 a 的值．分 a=0、a＜0、a＞0 三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．【解答】解：因为 f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1 +）=0， 2所以函数 f（x）有唯一零点等价于方程 1﹣（x﹣1） =a（ex﹣1 +）有唯一解，第 16 页（共 30 页）等价于函数 y=1﹣（x﹣1）2 的图象与 y=a（ex﹣1 +）的图象只有一个交点． ①当 a=0 时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾； ②当 a＜0 时，由于 y=1﹣（x﹣1）2 在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且 y=a（ex﹣1 +）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，所以函数 y=1﹣（x﹣1）2 的图象的最高点为 A（1，1），y=a（ex﹣1 +）的图象的最高点为 B（1，2a），由于 2a＜0＜1，此时函数 y=1﹣（x﹣1）2 的图象与 y=a（ex﹣1 +）的图象有两个交点，矛盾； ③当 a＞0 时，由于 y=1﹣（x﹣1）2 在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且 y=a（ex﹣1 +）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，所以函数 y=1﹣（x﹣1）2 的图象的最高点为 A（1，1），y=a（ex﹣1 象的最低点为 B（1，2a）， +）的图由题可知点 A 与点 B 重合时满足条件，即 2a=1，即 a= ，符合条件；综上所述，a= ，故选：C．【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．　二、填空题 13．（5 分）已知向量 =（﹣2，3）， =（3，m），且，则 m=　2　．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有第 17 页（共 30 页）【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．【解答】解：∵向量 =（﹣2，3）， =（3，m），且 =﹣6+3m=0，，∴解得 m=2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．　14．（5 分）双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为 y= x，则 a=　5　．【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线方程，求出渐近线方程，求解 a 即可．【解答】解：双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为 y= x，可得，解得 a=5．故答案为：5．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．　15．（5 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 C=60°，b= c=3，则 A=　75°　．，【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；58：解三角形．【分析】根据正弦定理和三角形的内角和计算即可【解答】解：根据正弦定理可得 =，C=60°，b= ，c=3，第 18 页（共 30 页） ∴sinB= =，∵b＜c， ∴B=45°， ∴A=180°﹣B﹣C=180°﹣45°﹣60°=75°，故答案为：75°．【点评】本题考查了三角形的内角和以及正弦定理，属于基础题　16．（5 分）设函数 f（x）= ，则满足 f（x）+f（x﹣ ）＞1 的 x 的取值范围是　（，+∞）　．【考点】3T：函数的值．菁优网版权所有【专题】32：分类讨论；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论 x 的取值范围，进行求解即可．【解答】解：若 x≤0，则 x﹣ ≤﹣ ，则 f（x）+f（x﹣ ）＞1 等价为 x+1+x﹣ +1＞1，即 2x＞﹣ ，则 x＞此时＜x≤0，，当 x＞0 时，f（x）=2x＞1，x﹣ ＞﹣ ，当 x﹣ ＞0 即 x＞时，满足f（x）+f（x﹣ ）＞1 恒成立，当 0≥x﹣ ＞﹣ ，即 ≥x＞0 时，f（x﹣ ）=x﹣ +1=x+ 此时 f（x）+f（x﹣ ）＞1 恒成立，，综上 x＞，故答案为：（，+∞）．【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键．第 19 页（共 30 页）　三、解答题 17．（12 分）设数列{an}满足 a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{ }的前 n 项和．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）利用数列递推关系即可得出．（2） ==﹣．利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：（1）数列{an}满足 a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n． n≥2 时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1=2（n﹣1）． ∴（2n﹣1）an=2．∴an= ．当 n=1 时，a1=2，上式也成立． ∴an= （2）．==﹣．∴数列{ }的前 n 项和= ++…+ =1﹣ =．【点评】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　18．（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶．为了确定六月第 20 页（共 30 页）份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 216 36 25 74天数以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20 ，25）和最高气温低于 20 的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率．（2）当温度大于等于 25°C 时，需求量为 500，求出 Y=900 元；当温度在[20，25 ）°C 时，需求量为 300，求出 Y=300 元；当温度低于 20°C 时，需求量为 200，求出 Y=﹣100 元，从而当温度大于等于 20 时，Y＞0，由此能估计估计 Y 大于零的概率．【解答】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于 20 的天数为 2+16+36=54，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶，如果最高气温位于区间[20，25），需求量为 300 瓶，如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶， ∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率 p= =．（2）当温度大于等于 25°C 时，需求量为 500， Y=450×2=900 元，当温度在[20，25）°C 时，需求量为 300，第 21 页（共 30 页） Y=300×2﹣（450﹣300）×2=300 元，当温度低于 20°C 时，需求量为 200， Y=400﹣（450﹣200）×2=﹣100 元，当温度大于等于 20 时，Y＞0，由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于 20°C 的天数有： 90﹣（2+16）=72， ∴估计 Y 大于零的概率 P= ．【点评】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．　19．（12 分）如图四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AE ⊥EC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）取 AC 中点 O，连结 DO、BO，推导出 DO⊥AC，BO⊥AC，从而 AC ⊥平面 BDO，由此能证明 AC⊥BD．（2）法一：连结 OE，设 AD=CD= ，则 OC=OA=1，由余弦定理求出 BE=1，由 BE=ED ，四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到平面 BCD 的高 h，S△DCE=S△BCE ，由此能求出四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比．法二：设 AD=CD= ，则第 22 页（共 30 页） AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO= ，推导出 BO⊥DO，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，由 AE⊥EC，求出 DE=BE ，由此能求出四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比．【解答】证明：（1）取 AC 中点 O，连结 DO、BO， ∵△ABC 是正三角形，AD=CD， ∴DO⊥AC，BO⊥AC， ∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面 BDO， ∵BD⊂平面 BDO，∴AC⊥BD．解：（2）法一：连结 OE，由（1）知 AC⊥平面 OBD， ∵OE⊂平面 OBD，∴OE⊥AC，设 AD=CD= ，则 OC=OA=1，EC=EA， ∵AE⊥CE，AC=2，∴EC2+EA2=AC2， ∴EC=EA= =CD， ∴E 是线段 AC 垂直平分线上的点，∴EC=EA=CD= ，由余弦定理得： cos∠CBD= =，即，解得 BE=1 或 BE=2， ∵BE＜＜BD=2，∴BE=1，∴BE=ED， ∵四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到平面 BCD 的高 h， ∵BE=ED，∴S△DCE=S△BCE ，∴四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比为 1．法二：设 AD=CD= ，则 AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1， ∴BO= =，∴BO2+DO2=BD2，∴BO⊥DO，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），A（1，0，0），设 E（a，b，c），），解得 E（0，，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣1）=λ（0，，﹣1 ，1﹣λ）， ∴=（1，）， =（﹣1，），第 23 页（共 30 页） ∵AE⊥EC，∴ =﹣1+3λ2+（1﹣λ）2=0，，∴DE=BE，由 λ∈[0，1]，解得 ∵四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到平面 BCD 的高 h， ∵DE=BE，∴S△DCE=S△BCE ，∴四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比为 1．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查两个四面体的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．　20．（12 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 y=x2+mx﹣2 与 x 轴交于 A、B 两点，点 C 的坐标为（0，1），当 m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现 AC⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过 A、B、C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值．【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；43：待定系数法；5B：直线与圆．【分析】（1）设曲线 y=x2+mx﹣2 与 x 轴交于 A（x1，0），B（x2，0），运用韦达定理，再假设 AC⊥BC，运用直线的斜率之积为﹣1，即可判断是否存在这样的情况；第 24 页（共 30 页）（2）设过 A、B、C 三点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得 D=m，F=﹣2，代入（0，1），可得 E=1，再令 x=0，即可得到圆在 y 轴的交点，进而得到弦长为定值．【解答】解：（1）曲线 y=x2+mx﹣2 与 x 轴交于 A、B 两点，可设 A（x1，0），B（x2，0），由韦达定理可得 x1x2=﹣2，若 AC⊥BC，则 kAC•kBC=﹣1，即有 •=﹣1，即为 x1x2=﹣1 这与 x1x2=﹣2 矛盾，故不出现 AC⊥BC 的情况；（2）证明：设过 A、B、C 三点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得 y=0 时，x2+Dx+F=0 与 x2+mx﹣2=0 等价，可得 D=m，F=﹣2，圆的方程即为 x2+y2+mx+Ey﹣2=0，由圆过 C（0，1），可得 0+1+0+E﹣2=0，可得 E=1，则圆的方程即为 x2+y2+mx+y﹣2=0，另解：设过 A、B、C 三点的圆在 y 轴上的交点为 H（0，d），则由相交弦定理可得|OA|•|OB|=|OC|•|OH|，即有 2=|OH|，再令 x=0，可得 y2+y﹣2=0，解得 y=1 或﹣2．即有圆与 y 轴的交点为（0，1），（0，﹣2），则过 A、B、C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 3．第 25 页（共 30 页）【点评】本题考查直线与圆的方程的求法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，以及待定系数法，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题．　21．（12 分）已知函数 f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．（1）讨论 f（x）的单调性；（2）当 a＜0 时，证明 f（x）≤﹣ ﹣2．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有【专题】11：计算题；32：分类讨论；48：分析法；53：导数的综合应用．【分析】（1）题干求导可知 f′（x）= （x＞0），分 a=0、a＞0、a ＜0 三种情况讨论 f′（x）与 0 的大小关系可得结论；（2）通过（1）可知 f（x）max=f（﹣ ）=﹣1﹣ln2﹣ +ln（﹣ ），进而转化可知问题转化为证明：当 t＞0 时﹣ t+lnt≤﹣1+ln2．进而令 g（t）=﹣ t+lnt ，利用导数求出 y=g（t）的最大值即可．【解答】（1）解：因为 f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x，求导 f′（x）= +2ax+（2a+1）= =，（x＞0）， ①当 a=0 时，f′（x）= +1＞0 恒成立，此时 y=f（x）在（0，+∞）上单调递增； ②当 a＞0，由于 x＞0，所以（2ax+1）（x+1）＞0 恒成立，此时 y=f（x）在（0， +∞）上单调递增； ③当 a＜0 时，令 f′（x）=0，解得：x=﹣ ．因为当 x∈（0，﹣ ）f′（x）＞0、当 x∈（﹣ ，+∞）f′（x）＜0，所以 y=f（x）在（0，﹣ ）上单调递增、在（﹣ ，+∞）上单调递减．综上可知：当 a≥0 时 f（x）在（0，+∞）上单调递增，当 a＜0 时，f（x）在（0，﹣ ）上单调递增、在（﹣ ，+∞）上单调递减；（2）证明：由（1）可知：当 a＜0 时 f（x）在（0，﹣ ）上单调递增、在（﹣ 第 26 页（共 30 页），+∞）上单调递减，所以当 x=﹣ 时函数 y=f（x）取最大值 f（x）max=f（﹣ ）=﹣1﹣ln2﹣ +ln （﹣ ）．从而要证 f（x）≤﹣ ﹣2，即证 f（﹣ ）≤﹣ ﹣2，即证﹣1﹣ln2﹣ +ln（﹣ ）≤﹣ ﹣2，即证﹣ （﹣ ）+ln（﹣ ）≤ ﹣1+ln2．令 t=﹣ ，则 t＞0，问题转化为证明：﹣ t+lnt≤﹣1+ln2．…（*）令 g（t）=﹣ t+lnt，则 g′（t）=﹣ + ，令 g′（t）=0 可知 t=2，则当 0＜t＜2 时 g′（t）＞0，当 t＞2 时 g′（t）＜0，所以 y=g（t）在（0，2）上单调递增、在（2，+∞）上单调递减，即 g（t）≤g（2）=﹣ ×2+ln2=﹣1+ln2，即（*）式成立，所以当 a＜0 时，f（x）≤﹣ ﹣2 成立．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的思想，考查转化能力，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．　[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为，（t 为参数），直线 l2 的参数方程为，（m 为参数）．设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C．（1）写出 C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：ρ（cosθ+sinθ） =0，M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径． ﹣【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有第 27 页（共 30 页）【专题】34：方程思想；4Q：参数法；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】解：（1）分别消掉参数 t 与 m 可得直线 l1 与直线 l2 的普通方程为 y=k（ x﹣2）①与 x=﹣2+ky②；联立①②，消去 k 可得 C 的普通方程为 x2﹣y2=4；（2）将 l3 的极坐标方程为 ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0 化为普通方程：x+y﹣ =0，再与曲线 C 的方程联立，可得，即可求得 l3 与 C 的交点 M 的极径为 ρ= ．【解答】解：（1）∵直线 l1 的参数方程为，（t 为参数）， ∴消掉参数 t 得：直线 l1 的普通方程为：y=k（x﹣2）①；又直线 l2 的参数方程为，（m 为参数），同理可得，直线 l2 的普通方程为：x=﹣2+ky②；联立①②，消去 k 得：x2﹣y2=4，即 C 的普通方程为 x2﹣y2=4（x≠2 且 y≠0）；（2）∵l3 的极坐标方程为 ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0， ∴其普通方程为：x+y﹣ =0，联立得：，∴ρ2=x2+y2= + =5． ∴l3 与 C 的交点 M 的极径为 ρ= ．【点评】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等价转化思想的运用，属于中档题．　[选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式 f（x）≥1 的解集；第 28 页（共 30 页）（2）若不等式 f（x）≥x2﹣x+m 的解集非空，求 m 的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有【专题】32：分类讨论；33：函数思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．【分析】（1）由于 f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，解不等式 f（x）≥ 1 可分﹣1≤x≤2 与 x＞2 两类讨论即可解得不等式 f（x）≥1 的解集；（2）依题意可得 m≤[f（x）﹣x2+x]max，设 g（x）=f（x）﹣x2+x，分 x≤1、﹣1 ＜x＜2、x≥2 三类讨论，可求得 g（x）max= ，从而可得 m 的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ∴当﹣1≤x≤2 时，2x﹣1≥1，解得 1≤x≤2；，f（x）≥1，当 x＞2 时，3≥1 恒成立，故 x＞2；综上，不等式 f（x）≥1 的解集为{x|x≥1}．（2）原式等价于存在 x∈R 使得 f（x）﹣x2+x≥m 成立，即 m≤[f（x）﹣x2+x]max，设 g（x）=f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x）= ，当 x≤﹣1 时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为 x= ＞﹣1， ∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜x＜2 时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为 x= ∈（﹣1， 2）， ∴g（x）≤g（）=﹣ + ﹣1= ；第 29 页（共 30 页）当 x≥2 时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为 x= ＜2， ∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1；综上，g（x）max= ， ∴m 的取值范围为（﹣∞， ]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．第 30 页（共 30 页）