2016年江苏高考数学试题及答案下载

2016 年江苏省高考数学试卷 　一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分） 1．（5 分）（2016•江苏）已知集合 A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则 A∩B=______ ．2．（5 分）（2016•江苏）复数 z=（1+2i）（3﹣i），其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是______ ．3．（5 分）（2016•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 ﹣=1 的焦距是______． 4．（5 分）（2016•江苏）已知一组数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是______ ．5．（5 分）（2016•江苏）函数 y= 的定义域是______． 6．（5 分）（2016•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是______． 7．（5 分）（2016•江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5， 6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是______． 28．（5 分）（2016•江苏）已知{an}是等差数列，Sn 是其前 n 项和，若 a1+a2 =﹣3，S5=10， 则 a9 的值是______． 9．（5 分）（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的 交点个数是______． 10．（5 分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆 +=1（a＞b＞ 0）的右焦点，直线 y= 与椭圆交于 B，C 两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是______ ．11．（5 分）（2016•江苏）设 f（x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[﹣1，1）上 ，f（x）= ，其中 a∈R，若 f（﹣ ）=f（ ），则f（5a）的值是______ ．12．（5 分）（2016•江苏）已知实数 x，y 满足 ______． ，则 x2+y2 的取值范围是 13．（5 分）（2016•江苏）如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三 等分点， =4， =﹣1，则 的值是______． •••14．（5 分）（2016•江苏）在锐角三角形 ABC 中，若 sinA=2sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的 最小值是______． 　二、解答题（共 6 小题，满分 90 分） 15．（14 分）（2016•江苏）在△ABC 中，AC=6，cosB= ，C= （1）求 AB 的长； ．（2）求 cos（A﹣ ）的值． 16．（14 分）（2016•江苏）如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证： （1）直线 DE∥平面 A1C1F； （2）平面 B1DE⊥平面 A1C1F． 17．（14 分）（2016•江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正 四棱锥 P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正 四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1 的 4 倍． （1）若 AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为 6m，则当 PO1 为多少时，仓库的容积最大？ 18．（16 分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M： x2+y2﹣12x﹣14y+60=0 及其上一点 A（2，4）． （1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x=6 上，求圆 N 的标准方程； （2）设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B、C 两点，且 BC=OA，求直线 l 的方程； （3）设点 T（t，0）满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得 +=，求实数 t 的取值 范围． 19．（16 分）（2016•江苏）已知函数 f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）． （1）设 a=2，b= ．①求方程 f（x）=2 的根； ②若对于任意 x∈R，不等式 f（2x）≥mf（x）﹣6 恒成立，求实数 m 的最大值； （2）若 0＜a＜1，b＞1，函数 g（x）=f（x）﹣2 有且只有 1 个零点，求 ab 的值． 20．（16 分）（2016•江苏）记 U={1，2，…，100}，对数列{an}（n∈N*）和 U 的子集 T， 若 T=∅，定义 ST=0；若 T={t1，t2，…，tk}，定义 ST= ++…+ ．例如：T={1，3， 66}时，ST=a1+a3+a66．现设{an}（n∈N*）是公比为 3 的等比数列，且当 T={2，4}时，ST=30 ．（1）求数列{an}的通项公式； （2）对任意正整数 k（1≤k≤100），若 T⊆{1，2，…，k}，求证：ST＜ak+1 ；（3）设 C⊆U，D⊆U，SC≥SD，求证：SC+SC∩D≥2SD． 　附加题【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区 域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.A．【选修 4—1 几何证明选讲】 21．（10 分）（2016•江苏）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D 为垂足，E 为 BC 的中点，求证：∠EDC=∠ABD． 　B.【选修 4—2：矩阵与变换】 22．（10 分）（2016•江苏）已知矩阵 A= ，矩阵 B 的逆矩阵 B﹣1 =，求 矩阵 AB． 　C.【选修 4—4：坐标系与参数方程】 23．（2016•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 （t 为参 数），椭圆 C 的参数方程为 点，求线段 AB 的长． （θ 为参数），设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两 24．（2016•江苏）设 a＞0，|x﹣1|＜ ，|y﹣2|＜ ，求证：|2x+y﹣4|＜a． 　附加题【必做题】 25．（10 分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：x﹣y﹣2=0， 抛物线 C：y2=2px（p＞0）． （1）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程； （2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q． ①求证：线段 PQ 的中点坐标为（2﹣p，﹣p）； ②求 p 的取值范围． 26．（10 分）（2016•江苏）（1）求 7C ﹣4C 的值； （2）设 m，n∈N*，n≥m，求证：（m+1）C +（m+2）C +（m+3） C+…+nC +（n+1）C =（m+1）C ．　2016 年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 　一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分） 1．（5 分）（2016•江苏）已知集合 A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则 A∩B=　{﹣1 ，2}　． 【分析】根据已知中集合 A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，结合集合交集的定义可 得答案． 【解答】解：∵集合 A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}， ∴A∩B={﹣1，2}， 故答案为：{﹣1，2} 【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题． 　2．（5 分）（2016•江苏）复数 z=（1+2i）（3﹣i），其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是　5　 ．【分析】利用复数的运算法则即可得出． 【解答】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i， 则 z 的实部是 5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　3．（5 分）（2016•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 ﹣=1 的焦距是　2 　．【分析】确定双曲线的几何量，即可求出双曲线 ﹣=1 的焦距． 【解答】解：双曲线 ﹣=1 中，a= ，b= ，∴c= =，∴双曲线 ﹣=1 的焦距是 2 ．故答案为：2 ．【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础． 　4．（5 分）（2016•江苏）已知一组数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是　 0.1　． 【分析】先求出数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5 的平均数，由此能求出该组数据的方差． 【解答】解：∵数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5 的平均数为： （4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1， =∴该组数据的方差： S2= [（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1． 故答案为：0.1． 【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运 用． 　5．（5 分）（2016•江苏）函数 y= 的定义域是　[﹣3，1]　． 【分析】根据被开方数不小于 0，构造不等式，解得答案． 【解答】解：由 3﹣2x﹣x2≥0 得：x2+2x﹣3≤0， 解得：x∈[﹣3，1]， 故答案为：[﹣3，1] 【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题． 　6．（5 分）（2016•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是　9　． 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的值， 模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：当 a=1，b=9 时，不满足 a＞b，故 a=5，b=7， 当 a=5，b=7 时，不满足 a＞b，故 a=9，b=5 当 a=9，b=5 时，满足 a＞b， 故输出的 a 值为 9， 故答案为：9 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程 序法进行解答． 　7．（5 分）（2016•江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5， 6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是　． 【分析】出现向上的点数之和小于 10 的对立事件是出现向上的点数之和不小于 10，由此利 用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于 10 的概率． 【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正 方体玩具）先后抛掷 2 次， 基本事件总数为 n=6×6=36， 出现向上的点数之和小于 10 的对立事件是出现向上的点数之和不小于 10， 出现向上的点数之和不小于 10 包含的基本事件有： （4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共 6 个， ∴出现向上的点数之和小于 10 的概率： p=1﹣ = ． 故答案为： ．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式 的合理运用． 　28．（5 分）（2016•江苏）已知{an}是等差数列，Sn 是其前 n 项和，若 a1+a2 =﹣3，S5=10， 则 a9 的值是　20　． 【分析】利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求 出 a9 的值． 2【解答】解：∵{an}是等差数列，Sn 是其前 n 项和，a1+a2 =﹣3，S5=10， ∴，解得 a1=﹣4，d=3， ∴a9=﹣4+8×3=20． 故答案为：20． 【点评】本题考查等差数列的第 9 项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列 的性质的合理运用． 　9．（5 分）（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的 交点个数是　7　． 【分析】画出函数 y=sin2x 与 y=cosx 在区间[0，3π]上的图象即可得到答案． 【解答】解：画出函数 y=sin2x 与 y=cosx 在区间[0，3π]上的图象如下： 由图可知，共 7 个交点． 故答案为：7． 【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数 y=sin2x 与 y=cosx 在区间[0，3π] 上的图象是关键，属于中档题． 　10．（5 分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆 +=1（a＞b＞ 0）的右焦点，直线 y= 与椭圆交于 B，C 两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是　 　．【分析】设右焦点 F（c，0），将 y= 代入椭圆方程求得 B，C 的坐标，运用两直线垂直的 条件：斜率之积为﹣1，结合离心率公式，计算即可得到所求值． 【解答】解：设右焦点 F（c，0）， 将 y= 代入椭圆方程可得 x=±a =± a， 可得 B（﹣ a， ），C（ a， ）， 由∠BFC=90°，可得 kBF•kCF=﹣1， 即有 •=﹣1， 化简为 b2=3a2﹣4c2， 由 b2=a2﹣c2，即有 3c2=2a2， 由 e= ，可得 e2= = ， 可得 e= ，故答案为： ．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考 查化简整理的运算能力，属于中档题． 　11．（5 分）（2016•江苏）设 f（x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[﹣1，1）上 ，f（x）= ，其中 a∈R，若 f（﹣ ）=f（ ），则f（5a）的值是　﹣ 　． 【分析】根据已知中函数的周期性，结合 f（﹣ ）=f（ ），可得a 值，进而得到 f（5a） 的值． 【解答】解：f（x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）= ，∴f（﹣ ）=f（﹣ ）=﹣ +a， f（ ）=f（ ）=| ∴a= ﹣|= ，，∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+ =﹣ 故答案为：﹣ ，【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出 a 值，是解答 的关键． 　12．（5 分）（2016•江苏）已知实数 x，y 满足 ，则 x2+y2 的取值范围是　[ ，13]　． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式 以及点到直线的距离公式进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域， 设 z=x2+y2，则 z 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方， 由图象知 A 到原点的距离最大， 点 O 到直线 BC：2x+y﹣2=0 的距离最小， ，即 A（2，3），此时 z=22+32=4+9=13， 由得点 O 到直线 BC：2x+y﹣2=0 的距离 d= =，则 z=d2=（ ）2= ，故 z 的取值范围是[ ，13]， 故答案为：[ ，13]． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键 ．　13．（5 分）（2016•江苏）如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三 等分点， •=4， •=﹣1，则 •的值是　． 【分析】由已知可得 +2 =+，=﹣ +，=+3 ，=﹣ +3 ，22=，=﹣ +2 ，结合已知求出 =，=，可得答案． 【解答】解：∵D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分点， ∴=+，=﹣ +，，=+3 ，=﹣ +3 2∴•=﹣2=﹣1， 2•=9 ﹣2=4， 22∴=，=，又∵ ∴=+2 ，=﹣ +2 ，22•=4 ﹣= ， 故答案为： 【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档． 　14．（5 分）（2016•江苏）在锐角三角形 ABC 中，若 sinA=2sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的 最小值是　8　． 【分析】结合三角形关系和式子 sinA=2sinBsinC 可推出 sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进 而得到 tanB+tanC=2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值． 【解答】解：由 sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC， 可得 sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，① 由三角形 ABC 为锐角三角形，则 cosB＞0，cosC＞0， 在①式两侧同时除以 cosBcosC 可得 tanB+tanC=2tanBtanC， 又 tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣ ②， 则 tanAtanBtanC=﹣ •tanBtanC， 由 tanB+tanC=2tanBtanC 可得 tanAtanBtanC=﹣ ，令 tanBtanC=t，由 A，B，C 为锐角可得 tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0， 由②式得 1﹣tanBtanC＜0，解得 t＞1， tanAtanBtanC=﹣ =﹣ ，=（ ）2﹣ ，由 t＞1 得，﹣ ≤＜0， 因此 tanAtanBtanC 的最小值为 8， 当且仅当 t=2 时取到等号，此时 tanB+tanC=4，tanBtanC=2， 解得 tanB=2+ ，tanC=2﹣ ，tanA=4，（或 tanB，tanC 互换），此时 A，B，C 均为锐 角． 【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性． 　二、解答题（共 6 小题，满分 90 分） 15．（14 分）（2016•江苏）在△ABC 中，AC=6，cosB= ，C= （1）求 AB 的长； ．（2）求 cos（A﹣ ）的值． 【分析】（1）利用正弦定理，即可求 AB 的长； （2）求出 cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求 cos（A﹣ ）的值． 【解答】解：（1）∵△ABC 中，cosB= ，∴sinB= ，∵，∴AB= =5 ；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣ ∵A 为三角形的内角， ．∴sinA= ，∴cos（A﹣ ）= cosA+ sinA= ．【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题 ．　16．（14 分）（2016•江苏）如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证： （1）直线 DE∥平面 A1C1F； （2）平面 B1DE⊥平面 A1C1F． 【分析】（1）通过证明 DE∥AC，进而 DE∥A1C1，据此可得直线 DE∥平面 A1C1F1； （2）通过证明 A1F⊥DE 结合题目已知条件 A1F⊥B1D，进而可得平面 B1DE⊥平面 A1C1F． 【解答】解：（1）∵D，E 分别为 AB，BC 的中点， ∴DE 为△ABC 的中位线， ∴DE∥AC， ∵ABC﹣A1B1C1 为棱柱， ∴AC∥A1C1， ∴DE∥A1C1， ∵A1C1⊂平面 A1C1F，且 DE⊄平面 A1C1F， ∴DE∥A1C1F； （2）∵ABC﹣A1B1C1 为直棱柱， ∴AA1⊥平面 A1B1C1， ∴AA1⊥A1C1， 又∵A1C1⊥A1B1，且 AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面 AA1B1B， ∴A1C1⊥平面 AA1B1B， ∵DE∥A1C1， ∴DE⊥平面 AA1B1B， 又∵A1F⊂平面 AA1B1B， ∴DE⊥A1F， 又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且 DE、B1D⊂平面 B1DE， ∴A1F⊥平面 B1DE， 又∵A1F⊂平面 A1C1F， ∴平面 B1DE⊥平面 A1C1F． 【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法 最关键，难度不大． 　17．（14 分）（2016•江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正 四棱锥 P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正 四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1 的 4 倍． （1）若 AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为 6m，则当 PO1 为多少时，仓库的容积最大？ 【分析】（1）由正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1 的 4 倍，可得 PO1=2m 时，O1O=8m ，进而可得仓库的容积； （2）设 PO1=xm，则 O1O=4xm，A1O1= m，A1B1= •m，代入体积公 式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值． 【解答】解：（1）∵PO1=2m，正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1 的 4 倍． ∴O1O=8m， ∴仓库的容积 V= ×62×2+62×8=312m3， （2）若正四棱锥的侧棱长为 6m， 设 PO1=xm， 则 O1O=4xm，A1O1= m，A1B1= •m， 22则仓库的容积 V= ×（ x＜6）， •）•x+（ •）•4x= x3+312x，（0＜ ∴V′=﹣26×2+312，（0＜x＜6）， 当 0＜x＜2 时，V′＞0，V（x）单调递增； 当 2 ＜x＜6 时，V′＜0，V（x）单调递减； 故当 x=2 时，V（x）取最大值； 即当 PO1=2 m时，仓库的容积最大． 【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档． 　18．（16 分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M： x2+y2﹣12x﹣14y+60=0 及其上一点 A（2，4）． （1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x=6 上，求圆 N 的标准方程； （2）设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B、C 两点，且 BC=OA，求直线 l 的方程； （3）设点 T（t，0）满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得 +=，求实数 t 的取值 范围． 【分析】（1）设 N（6，n），则圆 N 为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，从而得到 |7﹣n|=|n|+5，由此能求出圆 N 的标准方程． （2）由题意得 OA=2 ，kOA=2，设 l：y=2x+b，则圆心 M 到直线 l 的距离：d= 由此能求出直线 l 的方程． ，（3） =，即| |= ，2+2 ，又| |≤10，得 t∈[2﹣2 ，2+2 ]， 对于任意 t∈[2﹣2 ]，欲使 ，只需要作直线 TA 的平行线，使圆心到直 线的距离为 ，由此能求出实数 t 的取值范围． 【解答】解：（1）∵N 在直线 x=6 上，∴设 N（6，n）， ∵圆 N 与 x 轴相切，∴圆 N 为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0， 22又圆 N 与圆 M 外切，圆 M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圆 M：（（x﹣6）+（x﹣7）=25， ∴|7﹣n|=|n|+5，解得 n=1， ∴圆 N 的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1． （2）由题意得 OA=2 ，kOA=2，设 l：y=2x+b， 则圆心 M 到直线 l 的距离：d= =，则|BC|=2 =2 ，BC=2 ，即 2 =2 ，解得 b=5 或 b=﹣15， ∴直线 l 的方程为：y=2x+5 或 y=2x﹣15． （3） |= =，即 ，即| |=| |， |，又| |≤10，即 对于任意 t∈[2﹣2 ≤10，解得 t∈[2﹣2 ，2+2 ]， ，2+2 ]，欲使 ，此时，| |≤10， 只需要作直线 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为 ，必然与圆交于 P、Q 两点，此时| |=| |，即 ，因此实数 t 的取值范围为 t∈[2﹣2 ，2+2 ]，． 【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法 ，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用． 　19．（16 分）（2016•江苏）已知函数 f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）． （1）设 a=2，b= ．①求方程 f（x）=2 的根； ②若对于任意 x∈R，不等式 f（2x）≥mf（x）﹣6 恒成立，求实数 m 的最大值； （2）若 0＜a＜1，b＞1，函数 g（x）=f（x）﹣2 有且只有 1 个零点，求 ab 的值． 【分析】（1）①利用方程，直接求解即可．②列出不等式，利用二次函数的性质以及函 数的最值，转化求解即可． （2）求出 g（x）=f（x）﹣2=ax+bx﹣2，求出函数的导数，构造函数 h（x）= +，求出 g（x）的最小值为：g（x0）．同理①若 g（x0）＜0，g（x）至少有两个零点，与条 件矛盾．②若 g（x0）＞0，利用函数 g（x）=f（x）﹣2 有且只有 1 个零点，推出 g（x0）=0 ，然后求解 ab=1． 【解答】解：函数 f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）． （1）设 a=2，b= ．①方程 f（x）=2；即： ②不等式 f（2x）≥mf（x）﹣6 恒成立，即 令 t= ，t≥2． =2，可得 x=0． ≥m（ ）﹣6 恒成立． 不等式化为：t2﹣mt+4≥0 在 t≥2 时，恒成立．可得：△≤0 或 即：m2﹣16≤0 或 m≤4， ∴m∈（﹣∞，4]． 实数 m 的最大值为：4． （2）g（x）=f（x）﹣2=ax+bx﹣2， g′（x）=axlna+bxlnb=ax[ +]lnb， 0＜a＜1，b＞1 可得 ，令 h（x）= 因此，x0= +，则 h（x）是递增函数，而，lna＜0，lnb＞0， 时，h（x0）=0， 因此 x∈（﹣∞，x0）时，h（x）＜0，axlnb＞0，则 g′（x）＜0． x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，axlnb＞0，则 g′（x）＞0， 则 g（x）在（﹣∞，x0）递减，（x0，+∞）递增，因此 g（x）的最小值为：g（x0）． ①若 g（x0）＜0，x＜loga2 时，ax＞ =2，bx＞0，则 g（x）＞0， 因此 x1＜loga2，且 x1＜x0 时，g（x1）＞0，因此 g（x）在（x1，x0）有零点， 则 g（x）至少有两个零点，与条件矛盾． ②若 g（x0）＞0，函数 g（x）=f（x）﹣2 有且只有 1 个零点，g（x）的最小值为 g（x0）， 可得 g（x0）=0， 由 g（0）=a0+b0﹣2=0， 因此 x0=0，因此 =0，﹣ =1，即 lna+lnb=0，ln（ab）=0，则 ab=1． 可得 ab=1． 【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒 成立的应用，考查分析问题解决问题的能力． 　20．（16 分）（2016•江苏）记 U={1，2，…，100}，对数列{an}（n∈N*）和 U 的子集 T， 若 T=∅，定义 ST=0；若 T={t1，t2，…，tk}，定义 ST= ++…+ ．例如：T={1，3， 66}时，ST=a1+a3+a66．现设{an}（n∈N*）是公比为 3 的等比数列，且当 T={2，4}时，ST=30 ．（1）求数列{an}的通项公式； （2）对任意正整数 k（1≤k≤100），若 T⊆{1，2，…，k}，求证：ST＜ak+1 （3）设 C⊆U，D⊆U，SC≥SD，求证：SC+SC∩D≥2SD． ；【分析】（1）根据题意，由 ST 的定义，分析可得 ST=a2+a4=a2+9a2=30，计算可得 a2=3，进 而可得 a1 的值，由等比数列通项公式即可得答案； （2）根据题意，由 ST 的定义，分析可得 ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1，由等比数列的前 n 项和公式计算可得证明； （3）设 A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则 A∩B=∅，进而分析可以将原命题转化为证明 SC ≥2SB，分 2 种情况进行讨论：①、若 B=∅，②、若 B≠∅，可以证明得到 SA≥2SB，即可 得证明． 【解答】解：（1）当 T={2，4}时，ST=a2+a4=a2+9a2=30， 因此 a2=3，从而 a1= 故 an=3n﹣1 =1， ，（2）ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1 =＜3k=ak+1 ，（3）设 A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则 A∩B=∅， 分析可得 SC=SA+SC∩D，SD=SB+SC∩D，则 SC+SC∩D﹣2SD=SA﹣2SB， 因此原命题的等价于证明 SC≥2SB， 由条件 SC≥SD，可得 SA≥SB， ①、若 B=∅，则 SB=0，故 SA≥2SB， ②、若 B≠∅，由 SA≥SB 可得 A≠∅，设 A 中最大元素为 l，B 中最大元素为 m， 若 m≥l+1，则其与 SA＜ai+1≤am≤SB 相矛盾， 因为 A∩B=∅，所以 l≠m，则 l≥m+1， SB≤a1+a2+…am=1+3+32+…+3m﹣1 =≤=，即 SA≥2SB， 综上所述，SA≥2SB， 故 SC+SC∩D≥2SD． 【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定 义的描述． 　附加题【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区 域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.A．【选修 4—1 几何证明选讲】 21．（10 分）（2016•江苏）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D 为垂足，E 为 BC 的中点，求证：∠EDC=∠ABD． 【分析】依题意，知∠BDC=90°，∠EDC=∠C，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，可 得∠ABD=∠C，从而可证得结论． 【解答】解：由 BD⊥AC 可得∠BDC=90°， 因为 E 为 BC 的中点，所以 DE=CE= BC， 则：∠EDC=∠C， 由∠BDC=90°，可得∠C+∠DBC=90°， 由∠ABC=90°，可得∠ABD+∠DBC=90°， 因此∠ABD=∠C，而∠EDC=∠C， 所以，∠EDC=∠ABD． 【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD= ∠C 是关键，属于中档题． 　B.【选修 4—2：矩阵与变换】 22．（10 分）（2016•江苏）已知矩阵 A= 矩阵 AB． ，矩阵 B 的逆矩阵 B﹣1 =，求 ﹣1 【分析】依题意，利用矩阵变换求得 B=（B﹣1 ）==，再利用矩阵乘法的性 质可求得答案． 【解答】解：∵B﹣1 =，﹣1 ∴B=（B﹣1 ）==，又 A= ，∴AB= =．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题． 　C.【选修 4—4：坐标系与参数方程】 23．（2016•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 （t 为参 数），椭圆 C 的参数方程为 点，求线段 AB 的长． （θ 为参数），设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两 【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交 点坐标，代入两点间的距离公式求得答案． 【解答】解：由 ，由②得 ，代入①并整理得， ．由，得 ，两式平方相加得 ．联立 ，解得 或．∴|AB|= ．【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位 置关系的应用，是基础题． 　24．（2016•江苏）设 a＞0，|x﹣1|＜ ，|y﹣2|＜ ，求证：|2x+y﹣4|＜a． 【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|，结合不等式的基本性质，即可得证． 【解答】证明：由 a＞0，|x﹣1|＜ ，|y﹣2|＜ 可得|2x+y﹣4|=|2（x﹣1）+（y﹣2）| ，≤2|x﹣1|+|y﹣2|＜ + =a， 则|2x+y﹣4|＜a 成立． 【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单 性质，考查运算能力，属于基础题． 　附加题【必做题】 25．（10 分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：x﹣y﹣2=0， 抛物线 C：y2=2px（p＞0）． （1）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程； （2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q． ①求证：线段 PQ 的中点坐标为（2﹣p，﹣p）； ②求 p 的取值范围． 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程． （2）：①设点 P（x1，y1），Q（x2，y2），通过抛物线方程，求解 kPQ，通过 P，Q 关于 直线 l 对称，点的 kPQ=﹣1，推出 ，PQ 的中点在直线 l 上，推出 =2﹣p ，即可证明线段 PQ 的中点坐标为（2﹣p，﹣p）； ②利用线段 PQ 中点坐标（2﹣p，﹣p）．推出 ，得到关于 y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出 p 的范围． 【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0，∴l 与 x 轴的交点坐标（2，0）， 即抛物线的焦点坐标（2，0）． ∴，∴抛物线 C：y2=8x． （2）证明：①设点 P（x1，y1），Q（x2，y2），则： ，即： ，kPQ ==，又∵P，Q 关于直线 l 对称，∴kPQ=﹣1，即 y1+y2=﹣2p，∴ ，又 PQ 的中点在直线 l 上，∴ ==2﹣p， ∴线段 PQ 的中点坐标为（2﹣p，﹣p）； ②因为 Q 中点坐标（2﹣p，﹣p）． ∴∴，即 ，即关于 y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根， ∴△＞0，（2p）2﹣4（4p2﹣4p）＞0， ∴p∈ ．【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及 计算能力． 　26．（10 分）（2016•江苏）（1）求 7C ﹣4C 的值； （2）设 m，n∈N*，n≥m，求证：（m+1）C +（m+2）C +…+nC +（n+1）C =（m+1）C 【分析】（1）由已知直接利用组合公式能求出 7 （2）对任意 m∈N*，当 n=m 时，验证等式成立；再假设 n=k（k≥m）时命题成立，推导出 +（m+3） C．的值． 当 n=k+1 时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明（m+1）C +（m+2）C ）C +…+nC +（n+1）C =（m+1）C 【解答】解：（1）7 ﹣4× =7×20﹣4×35=0． +（m+3 ．=证明：（2）对任意 m∈N*， ①当 n=m 时，左边=（m+1） =m+1， 右边=（m+1） =m+1，等式成立． ②假设 n=k（k≥m）时命题成立， 即（m+1）C +（m+2）C +（m+3）C +…+k +（k+1） =（m+1） +（k+1） +（k+2） ，当 n=k+1 时， 左边=（m+1） +（m+2） +（m+3） +=，右边= ∵=（m+1）[ =（m+1）× =（k+2） =（k+2） ∴﹣][k+3﹣（k﹣m+1）] ，=（m+1） ，∴左边=右边， ∴n=k+1 时，命题也成立， ∴m，n∈N*，n≥m，（m+1）C +（m+2）C +（m+3）C +…+nC +（n+1）C =（m+1）C ．【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和 数学归纳法的合理运用．