2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅲ）（含解析版）下载

2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．（5 分）设集合 S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则 S∩T=（　　） A．[2，3] B．（﹣∞，2]∪[3，+∞） D．（0，2]∪[3，+∞） C．[3，+∞） 2．（5 分）若 z=1+2i，则 A．1 B．﹣1 3．（5 分）已知向量 =（ ，）， =（ ，），则∠ABC=（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° =（　　） C．i D．﹣i 4．（5 分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均 最高气温和平均最低气温的雷达图，图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为 5℃，下面叙述不正确的是（　　） A．各月的平均最低气温都在 0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于 20℃的月份有 5 个 5．（5 分）若 tanα= ，则 cos2α+2sin2α=（　　） 第 1 页（共 35 页） A． B． C．1 D． 6．（5 分）已知 a= ，b= ，c= A．b＜a＜c B．a＜b＜c ，则（　　） C．b＜c＜a D．c＜a＜b 7．（5 分）执行如图程序框图，如果输入的 a=4，b=6，那么输出的 n=（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（5 分）在△ABC 中，B= ，BC 边上的高等于 BC，则 cosA 等于（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 9．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三 视图，则该多面体的表面积为（　　） 第 2 页（共 35 页） A．18+36 B．54+18 C．90 D．81 10．（5 分）在封闭的直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 内有一个体积为 V 的球，若 AB⊥BC ，AB=6，BC=8，AA1=3，则 V 的最大值是（　　） A．4π B． C．6π D． 11．（5 分）已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C： +=1（a＞b＞0）的左焦点， A，B 分别为 C 的左，右顶点．P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E．若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的 离心率为（　　） A． B． C． D． 12．（5 分）定义“规范 01 数列”{an}如下：{an}共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意 k≤2m，a1，a2，…，ak 中 0 的个数不少于 1 的个数，若 m=4 ，则不同的“规范 01 数列”共有（　　） A．18 个 B．16 个 C．14 个 D．12 个 　二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13．（5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为　 　． 14．（5 分）函数 y=sinx﹣ cosx 的图象可由函数 y=sinx+ cosx 的图象至少向 右平移　个单位长度得到． 15．（5 分）已知 f（x）为偶函数，当 x＜0 时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线 y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是　． 第 3 页（共 35 页） 16．（5 分）已知直线 l：mx+y+3m﹣ =0 与圆 x2+y2=12 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，若|AB|=2 ，则|CD|=　． 　三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12 分）已知数列{an}的前 n 项和 Sn=1+λan，其中 λ≠0． （1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式； （2）若 S5= ，求 λ． 18．（12 分）如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿 吨）的折线图． 注：年份代码 1﹣7 分别对应年份 2008﹣2014． （Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以 证明； （Ⅱ）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃 圾无害化处理量． 附注： 参考数据： yi=9.32， tiyi=40.17， =0.55， ≈2.646． 参考公式：相关系数 r= ，第 4 页（共 35 页） 回归方程 = + t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： =， = ﹣ ．19．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3 ，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点． （1）证明：MN∥平面 PAB； （2）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值． 第 5 页（共 35 页） 20．（12 分）已知抛物线 C：y2=2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l2 分 别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点． （Ⅰ）若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 AR∥FQ； （Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程． 21．（12 分）设函数 f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中 a＞0，记|f（x） |的最大值为 A． （Ⅰ）求 f′（x）； （Ⅱ）求 A； （Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A． 第 6 页（共 35 页） 　请考生在第 22-24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修 4-1：几何证明选讲] 22．（10 分）如图，⊙O 中 的中点为P，弦 PC，PD 分别交 AB 于 E，F 两点． （1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD 的大小； （2）若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G，证明：OG⊥CD． 　[选修 4-4：坐标系与参数方程] 23．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （α 为参数），以 坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标 方程为 ρsin（θ+ ）=2 ．（1）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； （2）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标． 　第 7 页（共 35 页） [选修 4-5：不等式选讲] 24．已知函数 f（x）=|2x﹣a|+a． （1）当 a=2 时，求不等式 f（x）≤6 的解集； （2）设函数 g（x）=|2x﹣1|，当 x∈R 时，f（x）+g（x）≥3，求 a 的取值范围． 　第 8 页（共 35 页） 2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 参考答案与试题解析 　一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．（5 分）设集合 S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则 S∩T=（　　） A．[2，3] B．（﹣∞，2]∪[3，+∞） C．[3，+∞） D． （0，2]∪[3，+∞） 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合． 【分析】求出 S 中不等式的解集确定出 S，找出 S 与 T 的交集即可． 【解答】解：由 S 中不等式解得：x≤2 或 x≥3，即 S=（﹣∞，2]∪[3，+∞）， ∵T=（0，+∞）， ∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞）， 故选：D． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　2．（5 分）若 z=1+2i，则 =（　　） C．i A．1 B．﹣1 D．﹣i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可． 第 9 页（共 35 页） 【解答】解：z=1+2i，则 故选：C． ===i． 【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力． 　3．（5 分）已知向量 =（ ，）， =（ ，），则∠ABC=（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用． 【分析】根据向量 的坐标便可求出，及 的值，从而根 据向量夹角余弦公式即可求出 cos∠ABC 的值，根据∠ABC 的范围便可得出∠ ABC 的值． 【解答】解： ，；∴；又 0°≤∠ABC≤180°； ∴∠ABC=30°． 故选：A． 【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向 量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角． 　4．（5 分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均 最高气温和平均最低气温的雷达图，图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为 5℃，下面叙述不正确的是（　　） 第 10 页（共 35 页） A．各月的平均最低气温都在 0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于 20℃的月份有 5 个 【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明． 【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可． 【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在 0℃以上，正确 B．七月的平均温差大约在 10°左右，一月的平均温差在 5°左右，故七月的平均 温差比一月的平均温差大，正确 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为 10°，正确 D．平均最高气温高于 20℃的月份有 7，8 两个月，故 D 错误， 故选：D． 【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的 雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键． 　5．（5 分）若 tanα= ，则 cos2α+2sin2α=（　　） A． B． C．1 D． 第 11 页（共 35 页） 【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值． 【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得 到答案． 【解答】解：∵tanα= ， ∴cos2α+2sin2α= 故选：A． ===．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题． 　6．（5 分）已知 a= ，b= ，c= A．b＜a＜c B．a＜b＜c ，则（　　） C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】b= 得到答案． =，c= =，结合幂函数的单调性，可比较 a，b，c，进而 【解答】解：∵a= =，b= c= ，=，综上可得：b＜a＜c， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象 和性质的综合应用，难度中档． 　7．（5 分）执行如图程序框图，如果输入的 a=4，b=6，那么输出的 n=（　　） 第 12 页（共 35 页） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图． 【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的 a，b，s ，n 的值，当 s=20 时满足条件 s＞16，退出循环，输出 n 的值为 4． 【解答】解：模拟执行程序，可得 a=4，b=6，n=0，s=0 执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1 不满足条件 s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2 不满足条件 s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3 不满足条件 s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4 满足条件 s＞16，退出循环，输出 n 的值为 4． 故选：B． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得 第 13 页（共 35 页） 到的 a，b，s 的值是解题的关键，属于基础题． 　8．（5 分）在△ABC 中，B= ，BC 边上的高等于 BC，则 cosA 等于（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 【考点】HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形． 【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得 cosθ= ==，sinθ= ，利用两角和的余弦即可求得答案． 【解答】解：设△ABC 中角 A、B、C、对应的边分别为 a、b、c，AD⊥BC 于 D， 令∠DAC=θ， ∵在△ABC 中，B= ，BC 边上的高 AD=h= BC= a， ∴BD=AD= a，CD= a， 在 Rt△ADC 中，cosθ= ==，故 sinθ= ，∴cosA=cos（ +θ）=cos cosθ﹣sin sinθ= 故选：C． ×﹣×=﹣ ．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求 cosA 是关键，也是亮点，属于中档题． 　9．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三 视图，则该多面体的表面积为（　　） 第 14 页（共 35 页） A．18+36 B．54+18 C．90 D．81 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何． 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱， 进而得到答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱 柱， 其底面面积为：3×6=18， 侧面的面积为：（3×3+3× ）×2=18+18 ，故棱柱的表面积为：18×2+18+18 =54+18 故选：B． ．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图， 判断几何体的形状是解答的关键． 　10．（5 分）在封闭的直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 内有一个体积为 V 的球，若 AB⊥BC ，AB=6，BC=8，AA1=3，则 V 的最大值是（　　） A．4π B． C．6π D． 第 15 页（共 35 页） 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何． 【分析】根据已知可得直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的内切球半径为 ，代入球的体积 公式，可得答案． 【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8， ∴AC=10． 故三角形 ABC 的内切圆半径 r= 又由 AA1=3， =2， 故直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的内切球半径为 ， 此时 V 的最大值 故选：B． =，【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答 的关键． 　11．（5 分）已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C： +=1（a＞b＞0）的左焦点， A，B 分别为 C 的左，右顶点．P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E．若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的 离心率为（　　） A． B． C． D． 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由题意可得 F，A，B 的坐标，设出直线 AE 的方程为 y=k（x+a），分别 令 x=﹣c，x=0，可得 M，E 的坐标，再由中点坐标公式可得 H 的坐标，运用 三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值． 第 16 页（共 35 页） 【解答】解：由题意可设 F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0）， 设直线 AE 的方程为 y=k（x+a）， 令 x=﹣c，可得 M（﹣c，k（a﹣c）），令 x=0，可得 E（0，ka）， 设 OE 的中点为 H，可得 H（0， ）， 由 B，H，M 三点共线，可得 kBH=kBM， 即为 =，化简可得 = ，即为 a=3c， 可得 e= = ． 另解：由△AMF∽△AEO， 可得 =，由△BOH∽△BFM， 可得 即有 ==，=即 a=3c， 可得 e= = ． 故选：A． 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线 方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于 中档题． 　12．（5 分）定义“规范 01 数列”{an}如下：{an}共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意 k≤2m，a1，a2，…，ak 中 0 的个数不少于 1 的个数，若 m=4 ，则不同的“规范 01 数列”共有（　　） A．18 个 B．16 个 C．14 个 D．12 个 【考点】8B：数列的应用．菁优网版权所有 第 17 页（共 35 页） 【专题】16：压轴题；23：新定义；38：对应思想；4B：试验法． 【分析】由新定义可得，“规范 01 数列”有偶数项 2m 项，且所含 0 与 1 的个数 相等，首项为 0，末项为 1，当 m=4 时，数列中有四个 0 和四个 1，然后一一 列举得答案． 【解答】解：由题意可知，“规范 01 数列”有偶数项 2m 项，且所含 0 与 1 的个 数相等，首项为 0，末项为 1，若 m=4，说明数列有 8 项，满足条件的数列有 ：0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1， 0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1； 0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0， 1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1； 0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0， 0，1，1； 故选：C． 0，1，0，1，0，1，0，1．共 14 个． 【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到 不重不漏，是压轴题． 　二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13．（5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在 y 轴的 截距最大值． 【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过 D 点时，z 最 大， 由得 D（1， ）， 第 18 页（共 35 页） 所以 z=x+y 的最大值为 1+ ；故答案为： ． 【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标 函数，确定求最值的条件． 　14．（5 分）函数 y=sinx﹣ cosx 的图象可由函数 y=sinx+ cosx 的图象至少向 右平移　 　个单位长度得到． 【考点】HJ：函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】令 f（x）=sinx+ cosx=2sin（x+ ），则 f（x﹣φ）=2sin（x+ ﹣φ） ，依题意可得 2sin（x+ ﹣φ）=2sin（x﹣ ），由 ﹣φ=2kπ﹣ （k∈Z） ，可得答案． 【解答】解：∵y=f（x）=sinx+ cosx=2sin（x+ ），y=sinx﹣ cosx=2sin（x﹣ ）， ∴f（x﹣φ）=2sin（x+ ﹣φ）（φ＞0）， 令 2sin（x+ ﹣φ）=2sin（x﹣ ）， 第 19 页（共 35 页） 则﹣φ=2kπ﹣ （k∈Z）， ﹣2kπ（k∈Z）， 即 φ= 当 k=0 时，正数 φmin 故答案为： =，．【点评】本题考查函数 y=sinx 的图象变换得到 y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0） 的图象，得到 ﹣φ=2kπ﹣ （k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题． 　15．（5 分）已知 f（x）为偶函数，当 x＜0 时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线 y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是　2x+y+1=0　． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用． 【分析】由偶函数的定义，可得 f（﹣x）=f（x），即有 x＞0 时，f（x）=lnx﹣3x ，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程． 【解答】解：f（x）为偶函数，可得 f（﹣x）=f（x）， 当 x＜0 时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有 x＞0 时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）= ﹣3， 可得 f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2， 则曲线 y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为 y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1）， 即为 2x+y+1=0． 故答案为：2x+y+1=0． 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和 运用，考查运算能力，属于中档题． 　16．（5 分）已知直线 l：mx+y+3m﹣ =0 与圆 x2+y2=12 交于 A，B 两点，过 A， 第 20 页（共 35 页） B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，若|AB|=2 ，则|CD|=　4　． 【考点】J8：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆． 【分析】先求出 m，可得直线 l 的倾斜角为 30°，再利用三角函数求出|CD|即可． 【解答】解：由题意，|AB|=2 ，∴圆心到直线的距离 d=3， ∴=3， ∴m=﹣ ∴直线 l 的倾斜角为 30°， ∵过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点， ∴|CD|= =4． 故答案为：4． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力 ，比较基础． 　三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12 分）已知数列{an}的前 n 项和 Sn=1+λan，其中 λ≠0． （1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式； （2）若 S5= ，求 λ． 【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）根据数列通项公式与前 n 项和公式之间的关系进行递推，结合等 比数列的定义进行证明求解即可． （2）根据条件建立方程关系进行求解就可． 【解答】解：（1）∵Sn=1+λan，λ≠0． ∴an≠0． 第 21 页（共 35 页） 当 n≥2 时，an=Sn﹣Sn﹣1=1+λan﹣1﹣λan﹣1=λan﹣λan﹣1 即（λ﹣1）an=λan﹣1 ∵λ≠0，an≠0．∴λ﹣1≠0．即 λ≠1， ，（n≥2）， ，，即=∴{an}是等比数列，公比 q= 当 n=1 时，S1=1+λa1=a1， ，即 a1= ∴an= ，n﹣1 •（ ）．（2）若 S5= 则若 S5=1+λ[ ，•（ ）4]= ，即（ 则）5= ﹣1=﹣ ，=﹣ ，得 λ=﹣1． 【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据 n≥2 时，an=Sn﹣Sn﹣1 的关系 进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力． 　18．（12 分）如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿 吨）的折线图． 注：年份代码 1﹣7 分别对应年份 2008﹣2014． （Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以 证明； （Ⅱ）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃 圾无害化处理量． 附注： 参考数据： yi=9.32， tiyi=40.17， =0.55， ≈2.646． 第 22 页（共 35 页） 参考公式：相关系数 r= ，回归方程 = + t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： =， = ﹣ ．【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计． 【分析】（1）由折线图看出，y 与 t 之间存在较强的正相关关系，将已知数据代 入相关系数方程，可得答案； （2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016 年对应的 t 值为 9，代入可预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量． 【解答】解：（1）由折线图看出，y 与 t 之间存在较强的正相关关系，理由如下 ：∵ r= =≈≈≈0.993， 第 23 页（共 35 页） ∵0.993＞0.75， 故 y 与 t 之间存在较强的正相关关系； （2） = =≈≈0.103， = ﹣ ≈1.331﹣0.103×4≈0.92， ∴y 关于 t 的回归方程 =0.10t+0.92， 2016 年对应的 t 值为 9， 故 =0.10×9+0.92=1.82， 预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量为 1.82 亿吨． 【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时 要细心． 　19．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3 ，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点． （1）证明：MN∥平面 PAB； （2）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值． 【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距 离；5G：空间角． 【分析】（1）法一、取 PB 中点 G，连接 AG，NG，由三角形的中位线定理可得 第 24 页（共 35 页） NG∥BC，且 NG= ，再由已知得 AM∥BC，且 AM= BC，得到 NG∥AM， 且 NG=AM，说明四边形 AMNG 为平行四边形，可得 NM∥AG，由线面平行的 判定得到 MN∥平面 PAB； 法二、证明 MN∥平面 PAB，转化为证明平面 NEM∥平面 PAB，在△PAC 中，过 N 作 NE⊥AC，垂足为 E，连接 ME，由已知 PA⊥底面 ABCD，可得 PA∥NE， 通过求解直角三角形得到 ME∥AB，由面面平行的判定可得平面 NEM∥平面 PAB，则结论得证； （2）连接 CM，证得 CM⊥AD，进一步得到平面 PNM⊥平面 PAD，在平面 PAD 内，过 A 作 AF⊥PM，交 PM 于 F，连接 NF，则∠ANF 为直线 AN 与平面 PMN 所成角．然后求解直角三角形可得直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：法一、如图，取 PB 中点 G，连接 AG，NG， ∵N 为 PC 的中点， ∴NG∥BC，且 NG= ，又 AM= ，BC=4，且 AD∥BC， ∴AM∥BC，且 AM= BC， 则 NG∥AM，且 NG=AM， ∴四边形 AMNG 为平行四边形，则 NM∥AG， ∵AG⊂平面 PAB，NM⊄平面 PAB， ∴MN∥平面 PAB； 法二、 在△PAC 中，过 N 作 NE⊥AC，垂足为 E，连接 ME， 在△ABC 中，由已知 AB=AC=3，BC=4，得 cos∠ACB= ∵AD∥BC， ，∴cos ，则 sin∠EAM= ，在△EAM 中， ∵AM= ，AE= ，由余弦定理得：EM= =，第 25 页（共 35 页） ∴cos∠AEM= ，而在△ABC 中，cos∠BAC= ，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC， ∴AB∥EM，则 EM∥平面 PAB． 由 PA⊥底面 ABCD，得 PA⊥AC，又 NE⊥AC， ∴NE∥PA，则 NE∥平面 PAB． ∵NE∩EM=E， ∴平面 NEM∥平面 PAB，则 MN∥平面 PAB； （ 2 ） 解 ： 在 △ AMC 中 ， 由AM=2 ， AC=3 ， cos ∠ MAC= ， 得 CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC= ．∴AM2+MC2=AC2，则 AM⊥MC， ∵PA⊥底面 ABCD，PA⊂平面 PAD， ∴平面 ABCD⊥平面 PAD，且平面 ABCD∩平面 PAD=AD， ∴CM⊥平面 PAD，则平面 PNM⊥平面 PAD． 在平面 PAD 内，过 A 作 AF⊥PM，交 PM 于 F，连接 NF，则∠ANF 为直线 AN 与 平面 PMN 所成角． 在 Rt△PAC 中，由 N 是 PC 的中点，得 AN= =，在 Rt△PAM 中，由 PA•AM=PM•AF，得 AF= ，∴sin ．∴直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 ．第 26 页（共 35 页） 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查 数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题． 　20．（12 分）已知抛物线 C：y2=2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l2 分 别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点． （Ⅰ）若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 AR∥FQ； （Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程． 【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性 质与方程． 【分析】（Ⅰ）连接 RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证 明 AR∥FQ； （Ⅱ）利用△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求出 N 的坐标，利用点差法求 AB 中点的轨迹方程． 【解答】（Ⅰ）证明：连接 RF，PF， 由 AP=AF，BQ=BF 及 AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°， ∴∠PFQ=90°， ∵R 是 PQ 的中点， ∴RF=RP=RQ， ∴△PAR≌△FAR， ∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA， ∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR， ∴∠FQB=∠PAR， 第 27 页（共 35 页） ∴∠PRA=∠PQF， ∴AR∥FQ． （Ⅱ）设 A（x1，y1），B（x2，y2）， F（ ，0），准线为 x=﹣ ， S△PQF= |PQ|= |y1﹣y2|， 设直线 AB 与 x 轴交点为 N， ∴S△ABF= |FN||y1﹣y2|， ∵△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍， ∴2|FN|=1，∴xN=1，即 N（1，0）． 设 AB 中点为 M（x，y），由 得=2（x1﹣x2）， 又∴=，= ，即 y2=x﹣1． ∴AB 中点轨迹方程为 y2=x﹣1． 【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力， 属于中档题． 　21．（12 分）设函数 f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中 a＞0，记|f（x） |的最大值为 A． （Ⅰ）求 f′（x）； （Ⅱ）求 A； 第 28 页（共 35 页） （Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用； 53：导数的综合应用；56：三角函数的求值． 【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求 f′（x）； （Ⅱ）讨论 a 的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函 数的最值的性质进行求解； （Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A． 【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx． （II）当 a≥1 时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）| （cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0） ，因此 A=3a﹣2． 当 0＜a＜1 时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1， 令 g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1， 则 A 是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2， 且当 t= 时，g（t）取得极小值，极小值为 g（ ，（二次函数在对称轴处取得极值） ＜1，得 a＜ （舍）或a＞ ． ）=﹣ ﹣1=﹣ 令﹣1＜ ①当 0＜a≤ 时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a ，|g（﹣1）|＜|g（1）|， ∴A=2﹣3a， ②当 ＜a＜1 时，由 g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得 g（﹣1）＞g（1）＞ g（ ）， 第 29 页（共 35 页） 又|g（ ）|﹣|g（﹣1）|= ）|= ＞0， ∴A=|g（ ，综上，A= ．（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|， 当 0＜a≤ 时，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A， 当 ＜a＜1 时，A= = + +＞1， ∴|f′（x）|≤1+a≤2A， 当 a≥1 时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A， 综上：|f′（x）|≤2A． 【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换 元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较 大． 　请考生在第 22-24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修 4-1：几何证明选讲] 22．（10 分）如图，⊙O 中 的中点为P，弦 PC，PD 分别交 AB 于 E，F 两点． （1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD 的大小； （2）若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G，证明：OG⊥CD． 第 30 页（共 35 页） 【考点】NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明． 【分析】（1）连接 PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA= ∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得 E，C，D，F 共圆， 再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD 的度数； （2）运用圆的定义和 E，C，D，F 共圆，可得 G 为圆心，G 在 CD 的中垂线上， 即可得证． 【解答】（1）解：连接 PB，BC， 设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3， ∠PBA=∠4，∠PAB=∠5， 由⊙O 中 的中点为P，可得∠4=∠5， 在△EBC 中，∠1=∠2+∠3， 又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5， 即有∠2=∠4，则∠D=∠1， 则四点 E，C，D，F 共圆， 可得∠EFD+∠PCD=180°， 由∠PFB=∠EFD=2∠PCD， 即有 3∠PCD=180°， 可得∠PCD=60°； （2）证明：由 C，D，E，F 共圆， 由 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G 可得 G 为圆心，即有 GC=GD， 则 G 在 CD 的中垂线，又 CD 为圆 G 的弦， 则 OG⊥CD． 第 31 页（共 35 页） 【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的 运用，考查推理能力，属于中档题． 　[选修 4-4：坐标系与参数方程] 23．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （α 为参数），以 坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标 方程为 ρsin（θ+ ）=2 ．（1）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； （2）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S： 坐标系和参数方程． 【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到 C1 的普通方程，运用 x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得 C2 的直角坐标方程； （2）由题意可得当直线 x+y﹣4=0 的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与 直线 x+y﹣4=0 平行的直线方程为 x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为 0， 求得 t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得 P 的直角坐 标． 另外：设 P（ cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦 函数的值域，即可得到所求最小值和 P 的坐标． 【解答】解：（1）曲线 C1 的参数方程为 移项后两边平方可得 +y2=cos2α+sin2α=1， 即有椭圆 C1： +y2=1； （α 为参数）， 曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin（θ+ ）=2 ，即有 ρ（ sinθ+ cosθ）=2 ，第 32 页（共 35 页） 由 x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得 x+y﹣4=0， 即有 C2 的直角坐标方程为直线 x+y﹣4=0； （2）由题意可得当直线 x+y﹣4=0 的平行线与椭圆相切时， |PQ|取得最值． 设与直线 x+y﹣4=0 平行的直线方程为 x+y+t=0， 联立 可得 4×2+6tx+3t2﹣3=0， 由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0， 解得 t=±2， 显然 t=﹣2 时，|PQ|取得最小值， 即有|PQ|= =，此时 4×2﹣12x+9=0，解得 x= ， 即为 P（ ， ）． 另解：设 P（ cosα，sinα）， 由 P 到直线的距离为 d= =，当 sin（α+ ）=1 时，|PQ|的最小值为 此时可取 α= ，即有 P（ ， ）． ，【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时 考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于 中档题． 　[选修 4-5：不等式选讲] 24．已知函数 f（x）=|2x﹣a|+a． 第 33 页（共 35 页） （1）当 a=2 时，求不等式 f（x）≤6 的解集； （2）设函数 g（x）=|2x﹣1|，当 x∈R 时，f（x）+g（x）≥3，求 a 的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用． 【分析】（1）当 a=2 时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式 f（x）≤6 的解集． （2）由 f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣ |+|x﹣ |≥ ，由此 能求出 a 的取值范围． 【解答】解：（1）当 a=2 时，f（x）=|2x﹣2|+2， ∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6， |2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2， ∴﹣2≤x﹣1≤2， 解得﹣1≤x≤3， ∴不等式 f（x）≤6 的解集为{x|﹣1≤x≤3}． （2）∵g（x）=|2x﹣1|， ∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3， 2|x﹣ |+2|x﹣ |+a≥3， |x﹣ |+|x﹣ |≥ 当 a≥3 时，成立， ，当 a＜3 时，|x﹣ |+|x﹣ |≥ |a﹣1|≥ ∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2， ＞0， 解得 2≤a＜3， ∴a 的取值范围是[2，+∞）． 第 34 页（共 35 页） 【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档 题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用． 第 35 页（共 35 页）