2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）（含解析版）下载

2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1．（5 分）设集合 A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则 A∩B=（　　） A．（﹣3，﹣ ） B．（﹣3， ） C．（1， ） D．（ ，3） 2．（5 分）设（1+i）x=1+yi，其中 x，y 是实数，则|x+yi|=（　　） A．1 B． C． D．2 3．（5 分）已知等差数列{an}前 9 项的和为 27，a10=8，则 a100=（　　） A．100 B．99 C．98 D．97 4．（5 分）某公司的班车在 7：00，8：00，8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不 超过 10 分钟的概率是（　　） A． B． C． D． 5．（5 分）已知方程 ﹣=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距 离为 4，则 n 的取值范围是（　　） A．（﹣1，3） B．（﹣1， ）C．（0，3） D．（0， ）6．（5 分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互 垂直的半径．若该几何体的体积是 ，则它的表面积是（　　） A．17π B．18π C．20π D．28π 7．（5 分）函数 y=2×2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（　　） 第 1 页（共 35 页） A． C． B． D． 8．（5 分）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（　　） A．ac＜bc B．abc＜bac D．logac＜logbc C．alogbc＜blogac 9．（5 分）执行下面的程序框图，如果输入的 x=0，y=1，n=1，则输出 x，y 的 值满足（　　） A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x 10．（5 分）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、 E 两点．已知|AB|=4 ，|DE|=2 ，则 C 的焦点到准线的距离为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 第 2 页（共 35 页） 11．（5 分）平面 α 过正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点 A，α∥平面 CB1D1，α∩平 面 ABCD=m，α∩平面 ABB1A1=n，则 m、n 所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 12．（5 分）已知函数 f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤ ），x=﹣ 为 f（ x）的零点，x= 为 y=f（x）图象的对称轴，且 f（x）在（ ，则 ω 的最大值为（　　） ，）上单调 A．11 B．9 C．7 D．5 　二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．（5 分）设向量 =（m，1）， =（1，2），且| + |2=| |2+| |2，则 m=　 14．（5 分）（2x+ ）5 的展开式中，x3 的系数是　 　． 　．（用数字填写答案） 15．（5 分）设等比数列{an}满足 a1+a3=10，a2+a4=5，则 a1a2…an 的最大值为　 ．　16．（5 分）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产 一件产品 A 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需 要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大 值为　 　元． 　三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答须写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosC（ acosB+bcosA）=c． （Ⅰ）求 C； （Ⅱ）若 c= ，△ABC 的面积为 ，求△ABC 的周长． 第 3 页（共 35 页） 18．（12 分）如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正 方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角 D﹣AF﹣E 与二面角 C﹣BE﹣F 都是 60° ．（Ⅰ）证明平面 ABEF⊥平面 EFDC； （Ⅱ）求二面角 E﹣BC﹣A 的余弦值． 19．（12 分）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器 有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元．现需决策在购 买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三 年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生 的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机 器的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求 X 的分布列； （Ⅱ）若要求 P（X≤n）≥0.5，确定 n 的最小值； （Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n=19 与 n=20 之中选其 一，应选用哪个？ 第 4 页（共 35 页） 20．（12 分）设圆 x2+y2+2x﹣15=0 的圆心为 A，直线 l 过点 B（1，0）且与 x 轴 不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E． （Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程； （Ⅱ）设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直 线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围． 21．（12 分）已知函数 f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2 有两个零点． （Ⅰ）求 a 的取值范围； （Ⅱ）设 x1，x2 是 f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2． 　请考生在 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[ 选修 4-1：几何证明选讲] 第 5 页（共 35 页） 22．（10 分）如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°．以 O 为圆心， OA 为 半径作圆． （Ⅰ）证明：直线 AB 与⊙O 相切； （Ⅱ）点 C，D 在⊙O 上，且 A，B，C，D 四点共圆，证明：AB∥CD． 　[选修 4-4：坐标系与参数方程] 23．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数，a＞0） ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ=4cosθ． （Ⅰ）说明 C1 是哪种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线 C3 的极坐标方程为 θ=α0，其中 α0 满足 tanα0=2，若曲线 C1 与 C2 的公 共点都在 C3 上，求 a． 　[选修 4-5：不等式选讲] 24．已知函数 f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|． （Ⅰ）在图中画出 y=f（x）的图象； （Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1 的解集． 第 6 页（共 35 页） 　第 7 页（共 35 页） 2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 参考答案与试题解析 　一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1．（5 分）设集合 A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则 A∩B=（　　） A．（﹣3，﹣ ） B．（﹣3， ） C．（1， ） D．（ ，3） 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；4O：定义法；5J：集合． 【分析】解不等式求出集合 A，B，结合交集的定义，可得答案． 【解答】解：∵集合 A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3）， B={x|2x﹣3＞0}=（ ，+∞）， ∴A∩B=（ ，3）， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题． 　2．（5 分）设（1+i）x=1+yi，其中 x，y 是实数，则|x+yi|=（　　） A．1 B． C． D．2 【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数． 【分析】根据复数相等求出 x，y 的值，结合复数的模长公式进行计算即可． 【解答】解：∵（1+i）x=1+yi， ∴x+xi=1+yi， 即，解得 ，即|x+yi|=|1+i|= ，第 8 页（共 35 页） 故选：B． 【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出 x，y 的值是解决本 题的关键． 　3．（5 分）已知等差数列{an}前 9 项的和为 27，a10=8，则 a100=（　　） A．100 B．99 C．98 D．97 【考点】83：等差数列的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列． 【分析】根据已知可得 a5=3，进而求出公差，可得答案． 【解答】解：∵等差数列{an}前 9 项的和为 27，S9= ==9a5． ∴9a5=27，a5=3， 又∵a10=8， ∴d=1， ∴a100=a5+95d=98， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的 关键． 　4．（5 分）某公司的班车在 7：00，8：00，8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不 超过 10 分钟的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】求出小明等车时间不超过 10 分钟的时间长度，代入几何概型概率计算 公式，可得答案． 【解答】解：设小明到达时间为 y， 第 9 页（共 35 页） 当 y 在 7：50 至 8：00，或 8：20 至 8：30 时， 小明等车时间不超过 10 分钟， 故 P= =， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题． 　5．（5 分）已知方程 ﹣=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距 离为 4，则 n 的取值范围是（　　） A．（﹣1，3） B．（﹣1， ）C．（0，3） D．（0， ）【考点】KB：双曲线的标准方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性 质与方程． 【分析】由已知可得 c=2，利用 4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得 m2=1，又（m2+n ）（3m2﹣n）＞0，从而可求 n 的取值范围． 【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为 4，∴c=2， 当焦点在 x 轴上时， 可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1， ∵方程 ﹣=1 表示双曲线， ∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0， 解得：﹣1＜n＜3，即 n 的取值范围是：（﹣1，3）． 当焦点在 y 轴上时， 可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1， 无解． 故选：A． 第 10 页（共 35 页） 【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题． 　6．（5 分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互 垂直的半径．若该几何体的体积是 ，则它的表面积是（　　） A．17π B．18π C．20π D．28π 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位 置关系与距离． 【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求 解几何体的表面积． 【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉 后的几何体，如图 ：可得： =，R=2． 它的表面积是： ×4π•22+ 故选：A． =17π． 【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想 象能力． 　7．（5 分）函数 y=2×2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（　　） 第 11 页（共 35 页） A． B． D． C． 【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用 排除法，可得答案． 【解答】解：∵f（x）=y=2×2﹣e|x|， ∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2×2﹣e|x|， 故函数为偶函数， 当 x=±2 时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除 A，B； 当 x∈[0，2]时，f（x）=y=2×2﹣ex， ∴f′（x）=4x﹣ex=0 有解， 故函数 y=2×2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除 C， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除 法解答． 　8．（5 分）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则（　　） A．ac＜bc B．abc＜bac 第 12 页（共 35 页） C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc 【考点】R3：不等式的基本性质．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用； 5T：不等式． 【分析】根据已知中 a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分 析各个结论的真假，可得答案． 【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1， ∴函数 f（x）=xc 在（0，+∞）上为增函数，故 ac＞bc，故 A 错误； 函数 f（x）=xc﹣1 在（0，+∞）上为减函数，故 ac﹣1＜bc﹣1，故 bac＜abc，即 abc＞ bac；故 B 错误；　 logac＜0，且 logbc＜0，logab＜1，即 =＜1，即 logac＞logbc．故 D 错误； 0＜﹣logac＜﹣logbc，故﹣blogac＜﹣alogbc，即 blogac＞alogbc，即 alogbc＜blogac ，故 C 正确； 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的 单调性，是解答的关键． 　9．（5 分）执行下面的程序框图，如果输入的 x=0，y=1，n=1，则输出 x，y 的 值满足（　　） 第 13 页（共 35 页） A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图． 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变 量 x，y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得 答案． 【解答】解：输入 x=0，y=1，n=1， 则 x=0，y=1，不满足 x2+y2≥36，故 n=2， 则 x= ，y=2，不满足 x2+y2≥36，故 n=3， 则 x= ，y=6，满足 x2+y2≥36， 故 y=4x， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采 用模拟循环的方法解答． 　10．（5 分）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、 E 两点．已知|AB|=4 ，|DE|=2 ，则 C 的焦点到准线的距离为（　　） 第 14 页（共 35 页） A．2 B．4 C．6 D．8 【考点】K8：抛物线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5D：圆锥 曲线的定义、性质与方程． 【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解 即可． 【解答】解：设抛物线为 y2=2px，如图：|AB|=4 ，|AM|=2 |DE|=2 ，|DN|= ，|ON|= ， ，xA= |OD|=|OA|， +5， = ， =解得：p=4． C 的焦点到准线的距离为：4． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计 算能力．转化思想的应用． 　11．（5 分）平面 α 过正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点 A，α∥平面 CB1D1，α∩平 第 15 页（共 35 页） 面 ABCD=m，α∩平面 ABB1A1=n，则 m、n 所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间 角． 【分析】画出图形，判断出 m、n 所成角，求解即可． 【解答】解：如图：α∥平面 CB1D1，α∩平面 ABCD=m，α∩平面 ABA1B1=n， 可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1 是正三角形．m、n 所成角就是∠CD1B1=60° ．则 m、n 所成角的正弦值为： 故选：A． ．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 　12．（5 分）已知函数 f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤ ），x=﹣ 为 f（ x）的零点，x= 为 y=f（x）图象的对称轴，且 f（x）在（ ，则 ω 的最大值为（　　） ，）上单调 A．11 B．9 C．7 D．5 【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质． 第 16 页（共 35 页） 【分析】根据已知可得 ω 为正奇数，且 ω≤12，结合 x=﹣ 为 f（x）的零点，x= 为 y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合 f（x）在（ ）上单调，可得 ω 的最大值． ，【解答】解：∵x=﹣ 为 f（x）的零点，x= 为 y=f（x）图象的对称轴， ∴，即 ，（n∈N） 即 ω=2n+1，（n∈N） 即 ω 为正奇数， ∵f（x）在（ 即 T= 当 ω=11 时，﹣ ，）上单调，则 ﹣=≤ ， ≥，解得：ω≤12， +φ=kπ，k∈Z， ∵|φ|≤ ∴φ=﹣ ，，此时 f（x）在（ 当 ω=9 时，﹣ ，）不单调，不满足题意； +φ=kπ，k∈Z， ∵|φ|≤ ∴φ= 此时 f（x）在（ ，，，）单调，满足题意； 故 ω 的最大值为 9， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较 大． 　二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．（5 分）设向量 =（m，1）， =（1，2），且| + |2=| |2+| |2，则 m=　﹣2　 第 17 页（共 35 页） ．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5A：平面向量及应用． 【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可 ．【解答】解：| + |2=| |2+| |2， 可得 • =0． 向量 =（m，1）， =（1，2）， 可得 m+2=0，解得 m=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力 ．　14．（5 分）（2x+ ）5 的展开式中，x3 的系数是　10　．（用数字填写答案） 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5P：二项式定理． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数为 3，求出 r， 即可求出展开式中 x3 的系数． 5【解答】解：（2x+ ） 的展开式中，通项公式为：Tr+1= =25﹣r ，令 5﹣ =3，解得 r=4 ∴x3 的系数 2 =10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础 第 18 页（共 35 页） 题． 　15．（5 分）设等比数列{an}满足 a1+a3=10，a2+a4=5，则 a1a2…an 的最大值为　64　 ．【考点】87：等比数列的性质；8I：数列与函数的综合．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列． 【分析】求出数列的等比与首项，化简 a1a2…an，然后求解最值． 【解答】解：等比数列{an}满足 a1+a3=10，a2+a4=5， 可得 q（a1+a3）=5，解得 q= ． a1+q2a1=10，解得 a1=8． n则 a1a2…an=a1 •q1+2+3+…+（n﹣1）=8n• ==，当 n=3 或 4 时，表达式取得最大值： 故答案为：64． =26=64． 【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查 计算能力． 　16．（5 分）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产 一件产品 A 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需 要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大 值为　216000　元． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思 想． 【分析】设 A、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，根据题干的等量关系建立不等式 第 19 页（共 35 页） 组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求 出其最大值即可； 【解答】解：（1）设 A、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，获利为 z 元． 由题意，得 ，z=2100x+900y． 不等式组表示的可行域如图：由题意可得 ，解得： ，A（60， 100）， 目标函数 z=2100x+900y．经过 A 时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100 ×60+900×100=216000 元． 故答案为：216000． 【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解 法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答 时求出最优解是解题的关键． 　三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答须写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosC（ acosB+bcosA）=c． 第 20 页（共 35 页） （Ⅰ）求 C； （Ⅱ）若 c= ，△ABC 的面积为 ，求△ABC 的周长． 【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形． 【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数 公式及诱导公式化简，根据 sinC 不为 0 求出 cosC 的值，即可确定出出 C 的度 数； （2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出 a+b 的 值，即可求△ABC 的周长． 【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，0＜C＜π，∴sinC≠0 已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC， 整理得：2cosCsin（A+B）=sinC， 即 2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC 2cosCsinC=sinC ∴cosC= ， ∴C= ；（Ⅱ）由余弦定理得 7=a2+b2﹣2ab• ， ∴（a+b）2﹣3ab=7， ∵S= absinC=ab= ，∴ab=6， ∴（a+b）2﹣18=7， ∴a+b=5， ∴△ABC 的周长为 5+ ．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等 变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 　第 21 页（共 35 页） 18．（12 分）如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正 方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角 D﹣AF﹣E 与二面角 C﹣BE﹣F 都是 60°． （Ⅰ）证明平面 ABEF⊥平面 EFDC； （Ⅱ）求二面角 E﹣BC﹣A 的余弦值． 【考点】MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5H：空间向量及应用；5Q： 立体几何． 【分析】（Ⅰ）证明 AF⊥平面 EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面 ABEF⊥平面 EFDC； （Ⅱ）证明四边形 EFDC 为等腰梯形，以 E 为原点，建立如图所示的坐标系，求 出平面 BEC、平面 ABC 的法向量，代入向量夹角公式可得二面角 E﹣BC﹣A 的 余弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF 为正方形，∴AF⊥EF． ∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF， ∵DF∩EF=F， ∴AF⊥平面 EFDC， ∵AF⊂平面 ABEF， ∴平面 ABEF⊥平面 EFDC； （Ⅱ）解：由 AF⊥DF，AF⊥EF， 可得∠DFE 为二面角 D﹣AF﹣E 的平面角； 由 ABEF 为正方形，AF⊥平面 EFDC， ∵BE⊥EF， ∴BE⊥平面 EFDC 即有 CE⊥BE， 第 22 页（共 35 页） 可得∠CEF 为二面角 C﹣BE﹣F 的平面角． 可得∠DFE=∠CEF=60°． ∵AB∥EF，AB⊄平面 EFDC，EF⊂平面 EFDC， ∴AB∥平面 EFDC， ∵平面 EFDC∩平面 ABCD=CD，AB⊂平面 ABCD， ∴AB∥CD， ∴CD∥EF， ∴四边形 EFDC 为等腰梯形． 以 E 为原点，建立如图所示的坐标系，设 FD=a， 则 E（0，0，0），B（0，2a，0），C（ ，0， a），A（2a，2a，0）， ∴=（0，2a，0）， =（ ，﹣2a， a）， =（﹣2a，0，0） 设平面 BEC 的法向量为 =（x1，y1，z1），则 ，则，取 =（ ，0，﹣1）． 设平面 ABC 的法向量为 =（x2，y2，z2），则 ，则，取 =（0， ，4）． 设二面角 E﹣BC﹣A 的大小为 θ，则 cosθ= =﹣ 则二面角 E﹣BC﹣A 的余弦值为﹣ =，．第 23 页（共 35 页） 【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建 立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键． 　19．（12 分）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器 有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元．现需决策在购 买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三 年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生 的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机 器的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求 X 的分布列； （Ⅱ）若要求 P（X≤n）≥0.5，确定 n 的最小值； （Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n=19 与 n=20 之中选其 一，应选用哪个？ 【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）由已知得 X 的可能取值为 16，17，18，19，20，21，22，分别 第 24 页（共 35 页） 求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列． （Ⅱ）由 X 的分布列求出 P（X≤18）= ，P（X≤19）= ．由此能确定满足 P （X≤n）≥0.5 中 n 的最小值． （Ⅲ）法一：由 X 的分布列得 P（X≤19）= ．求出买 19 个所需费用期望 EX1 和买 20 个所需费用期望 EX2，由此能求出买 19 个更合适． 法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部 分为备件不足时额外购买的费用，分别求出 n=19 时，费用的期望和当 n=20 时，费用的期望，从而得到买 19 个更合适． 【解答】解：（Ⅰ）由已知得 X 的可能取值为 16，17，18，19，20，21，22， P（X=16）=（ P（X=17）= ）2= ，，P（X=18）=（ P（X=19）= ）2+2（ ）2= ，=，P（X=20）= == ， P（X=21）= =，P（X=22）= ，∴X 的分布列为： XP16 17 18 19 20 21 22 （Ⅱ）由（Ⅰ）知： P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18） ==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19） =+=．∴P（X≤n）≥0.5 中，n 的最小值为 19． 第 25 页（共 35 页） （Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得 P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19） =+=．买 19 个所需费用期望： EX1=200× +（200×19+500）× +（200×19+500×2）× +（200× 19+500×3）× =4040， 买 20 个所需费用期望： EX2= +（200×20+500）× +（200×20+2×500）× =4080， ∵EX1＜EX2， ∴买 19 个更合适． 解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用， 另一部分为备件不足时额外购买的费用， 当 n=19 时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040， 当 n=20 时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080， ∴买 19 个更合适． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题 ，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用． 　20．（12 分）设圆 x2+y2+2x﹣15=0 的圆心为 A，直线 l 过点 B（1，0）且与 x 轴 不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E． （Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程； （Ⅱ）设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直 线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围． 【考点】J2：圆的一般方程；KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、 性质与方程． 【分析】（Ⅰ）求得圆 A 的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性 质，可得 EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得 E 的轨迹为以 A，B 为焦 第 26 页（共 35 页） 点的椭圆，求得 a，b，c，即可得到所求轨迹方程； （Ⅱ）设直线 l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN| ，由 PQ⊥l，设 PQ：y=﹣m（x﹣1），求得 A 到 PQ 的距离，再由圆的弦长公 式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可 得到所求范围． 【解答】解：（Ⅰ）证明：圆 x2+y2+2x﹣15=0 即为（x+1）2+y2=16， 可得圆心 A（﹣1，0），半径 r=4， 由 BE∥AC，可得∠C=∠EBD， 由 AC=AD，可得∠D=∠C， 即为∠D=∠EBD，即有 EB=ED， 则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4， 故 E 的轨迹为以 A，B 为焦点的椭圆， 且有 2a=4，即 a=2，c=1，b= =，则点 E 的轨迹方程为 +=1（y≠0）； （Ⅱ）椭圆 C1： +=1，设直线 l：x=my+1， 由 PQ⊥l，设 PQ：y=﹣m（x﹣1）， 由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0， 设 M（x1，y1），N（x2，y2）， 可得 y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，则|MN|= •|y1﹣y2|= •=•=12• ，A 到 PQ 的距离为 d= =，第 27 页（共 35 页） |PQ|=2 =2 =，则四边形 MPNQ 面积为 S= |PQ|•|MN|= • •12• =24• =24 ，当 m=0 时，S 取得最小值 12，又 ＞0，可得 S＜24• =8 ，即有四边形 MPNQ 面积的取值范围是[12，8 ）． 【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆 方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查 不等式的性质，属于中档题． 　21．（12 分）已知函数 f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2 有两个零点． （Ⅰ）求 a 的取值范围； （Ⅱ）设 x1，x2 是 f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2． 【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数 的性质及应用． 2【分析】（Ⅰ）由函数 f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1） 可得：f′（x）=（x﹣1）ex+2a 第 28 页（共 35 页） （x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），对 a 进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案． （Ⅱ）设 x1，x2 是 f（x）的两个零点，则﹣a= =，令 g（x ）= 则 g（1+m）﹣g（1﹣m）= 设 h（m）= ，m＞0，利用导数法可得 h（m）＞h（0）=0 恒成立，即 g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令 m=1﹣x1＞0，可得结论． ，则 g（x1）=g（x2）=﹣a，分析 g（x）的单调性，令 m＞0， ，【解答】解：（Ⅰ）∵函数 f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2， ∴f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a）， ①若 a=0，那么 f（x）=0⇔（x﹣2）ex=0⇔x=2， 函数 f（x）只有唯一的零点 2，不合题意； ②若 a＞0，那么 ex+2a＞0 恒成立， 当 x＜1 时，f′（x）＜0，此时函数为减函数； 当 x＞1 时，f′（x）＞0，此时函数为增函数； 此时当 x=1 时，函数 f（x）取极小值﹣e， 由 f（2）=a＞0，可得：函数 f（x）在 x＞1 存在一个零点； 当 x＜1 时，ex＜e，x﹣2＜﹣1＜0， ∴f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1） ﹣e， 令 a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0 的两根为 t1，t2，且 t1＜t2， 则当 x＜t1，或 x＞t2 时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0， 故函数 f（x）在 x＜1 存在一个零点； 即函数 f（x）在 R 是存在两个零点，满足题意； ③若﹣ ＜a＜0，则 ln（﹣2a）＜lne=1， 第 29 页（共 35 页） 当 x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0， ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0， 即 f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0 恒成立，故 f（x）单调递增， 当 ln（﹣2a）＜x＜1 时，x﹣1＜0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0， 即 f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0 恒成立，故 f（x）单调递减， 当 x＞1 时，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0， 即 f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0 恒成立，故 f（x）单调递增， 故当 x=ln（﹣2a）时，函数取极大值， 由 f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a） ﹣2]2+1}＜0 得： 函数 f（x）在 R 上至多存在一个零点，不合题意； ④若 a=﹣ ，则 ln（﹣2a）=1， 当 x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0， 即 f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0 恒成立，故 f（x）单调递增， 当 x＞1 时，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0， 即 f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0 恒成立，故 f（x）单调递增， 故函数 f（x）在 R 上单调递增， 函数 f（x）在 R 上至多存在一个零点，不合题意； ⑤若 a＜﹣ ，则 ln（﹣2a）＞lne=1， 当 x＜1 时，x﹣1＜0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0， 即 f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0 恒成立，故 f（x）单调递增， 当 1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0， 即 f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0 恒成立，故 f（x）单调递减， 第 30 页（共 35 页） 当 x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0， 即 f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0 恒成立，故 f（x）单调递增， 故当 x=1 时，函数取极大值， 由 f（1）=﹣e＜0 得： 函数 f（x）在 R 上至多存在一个零点，不合题意； 综上所述，a 的取值范围为（0，+∞） 证明：（Ⅱ）∵x1，x2 是 f（x）的两个零点， ∴f（x1）=f（x2）=0，且 x1≠1，且 x2≠1， ∴﹣a= =，令 g（x）= ，则 g（x1）=g（x2）=﹣a， ∵g′（x）= ，∴当 x＜1 时，g′（x）＜0，g（x）单调递减； 当 x＞1 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增； 设 m＞0，则 g（1+m）﹣g（1﹣m）= ﹣=，设 h（m）= 则 h′（m）= ，m＞0， ＞0 恒成立， 即 h（m）在（0，+∞）上为增函数， h（m）＞h（0）=0 恒成立， 即 g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立， 令 m=1﹣x1＞0， 则 g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2， 第 31 页（共 35 页） 即 x1+x2＜2． 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论 思想，难度较大． 　请考生在 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[ 选修 4-1：几何证明选讲] 22．（10 分）如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°．以 O 为圆心， OA 为 半径作圆． （Ⅰ）证明：直线 AB 与⊙O 相切； （Ⅱ）点 C，D 在⊙O 上，且 A，B，C，D 四点共圆，证明：AB∥CD． 【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．菁优网版权所有 【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明． 【分析】（Ⅰ）设 K 为 AB 中点，连结 OK．根据等腰三角形 AOB 的性质知 OK⊥ AB，∠A=30°，OK=OAsin30°= OA，则 AB 是圆 O 的切线． （Ⅱ）设圆心为 T，证明 OT 为 AB 的中垂线，OT 为 CD 的中垂线，即可证明结论 ．【解答】证明：（Ⅰ）设 K 为 AB 中点，连结 OK， ∵OA=OB，∠AOB=120°， ∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°= OA， ∴直线 AB 与⊙O 相切； （Ⅱ）因为 OA=2OD，所以 O 不是 A，B，C，D 四点所在圆的圆心．设 T 是 A，B ，C，D 四点所在圆的圆心． ∵OA=OB，TA=TB， ∴OT 为 AB 的中垂线， 第 32 页（共 35 页） 同理，OC=OD，TC=TD， ∴OT 为 CD 的中垂线， ∴AB∥CD． 【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力 ．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质． 　[选修 4-4：坐标系与参数方程] 23．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数，a＞0） ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ=4cosθ． （Ⅰ）说明 C1 是哪种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线 C3 的极坐标方程为 θ=α0，其中 α0 满足 tanα0=2，若曲线 C1 与 C2 的公 共点都在 C3 上，求 a． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程 ．【分析】（Ⅰ）把曲线 C1 的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方 程，可知曲线 C1 是圆，化为一般式，结合 x2+y2=ρ2，y=ρsinθ 化为极坐标方程 ；（Ⅱ）化曲线 C2、C3 的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知 y=x 为圆 C1 与 C2 的公共弦所在直线方程，把 C1 与 C2 的方程作差，结合公共弦所在直线方程为 y=2x 可得 1﹣a2=0，则 a 值可求． 【解答】解：（Ⅰ）由 ）2=a2． ，得 ，两式平方相加得，x2+（y﹣1 ∴C1 为以（0，1）为圆心，以 a 为半径的圆． 化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．① 由 x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得 ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0； （Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘 ρ 得 ρ2=4ρcosθ， 第 33 页（共 35 页） ∴x2+y2=4x，② 即（x﹣2）2+y2=4． 由 C3：θ=α0，其中 α0 满足 tanα0=2，得 y=2x， ∵曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上， ∴y=2x 为圆 C1 与 C2 的公共弦所在直线方程， ①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为 C3 ， ∴1﹣a2=0， ∴a=1（a＞0）． 【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标 的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题． 　[选修 4-5：不等式选讲] 24．已知函数 f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|． （Ⅰ）在图中画出 y=f（x）的图象； （Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1 的解集． 【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出 f（x）的解析式，由分段函数的画法， 第 34 页（共 35 页） 即可得到所求图象； （Ⅱ）分别讨论当 x≤﹣1 时，当﹣1＜x＜ 时，当x≥ 时，解绝对值不等式， 取交集，最后求并集即可得到所求解集． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）= ，由分段函数的图象画法，可得 f（x）的图象，如右： （Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得 当 x≤﹣1 时，|x﹣4|＞1，解得 x＞5 或 x＜3，即有 x≤﹣1； 当﹣1＜x＜ 时，|3x﹣2|＞1，解得 x＞1 或 x＜ ， 即有﹣1＜x＜ 或1＜x＜ ； 当 x≥ 时，|4﹣x|＞1，解得 x＞5 或 x＜3，即有 x＞5 或 ≤x＜3． 综上可得，x＜ 或1＜x＜3 或 x＞5． 则|f（x）|＞1 的解集为（﹣∞， ）∪（1，3）∪（5，+∞）． 【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象 的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题． 第 35 页（共 35 页）