2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）（含解析版）下载

2016 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．（5 分）设集合 A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则 A∩B=（　　） A．{1，3} 2．（5 分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a 等于（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7} 3．（5 分）为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一 个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花 坛的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（5 分）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知 a= ，c=2，cosA= ，则 b=（　　） A． B． C．2 D．3 5．（5 分）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其 短轴长的 ，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 6．（5 分）将函数 y=2sin（2x+ ）的图象向右平移 个周期后，所得图象对应 的函数为（　　） A．y=2sin（2x+ C．y=2sin（2x﹣ ）B．y=2sin（2x+ D．y=2sin（2x﹣ ）））7．（5 分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互 垂直的半径．若该几何体的体积是 ，则它的表面积是（　　） 第 1 页（共 33 页） A．17π 8．（5 分）若 a＞b＞0，0＜c＜1，则（　　） A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc B．18π C．20π D．28π D．ca＞cb 9．（5 分）函数 y=2×2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（　　） A． C． B． D． 10．（5 分）执行下面的程序框图，如果输入的 x=0，y=1，n=1，则输出 x，y 的 值满足（　　） 第 2 页（共 33 页） A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x 11．（5 分）平面 α 过正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点 A，α∥平面 CB1D1，α∩平 面 ABCD=m，α∩平面 ABB1A1=n，则 m、n 所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 12．（5 分）若函数 f（x）=x﹣ sin2x+asinx 在（﹣∞，+∞）单调递增，则 a 的 取值范围是（　　） A．[﹣1，1] B．[﹣1， ] C．[﹣ ， ] D．[﹣1，﹣ ] 　二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13．（5 分）设向量 =（x，x+1）， =（1，2），且 ⊥ ，则x=　 14．（5 分）已知 θ 是第四象限角，且 sin（θ+ ）= ，则 tan（θ﹣ ）=　 15．（5 分）设直线 y=x+2a 与圆 C：x2+y2﹣2ay﹣2=0 相交于 A，B 两点，若|AB|=2 ，则圆 C 的面积为　． 　． 　． 16．（5 分）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产 一件产品 A 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需 要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 第 3 页（共 33 页） 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大 值为　 　元． 　三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12 分）已知{an}是公差为 3 的等差数列，数列{bn}满足 b1=1，b2= ， anbn+1+bn+1=nbn． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求{bn}的前 n 项和． 18．（12 分）如图，已知正三棱锥 P﹣ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并 延长交 AB 于点 G． （Ⅰ）证明：G 是 AB 的中点； （Ⅱ）在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由），并求四面 体 PDEF 的体积． 第 4 页（共 33 页） 19．（12 分）某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器 有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元．现需决策在购 买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三 年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图： 记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买 易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）若 n=19，求 y 与 x 的函数解析式； （Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于 0.5，求 n 的最小值； （Ⅲ）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购 买 20 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均 数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零 件？ 第 5 页（共 33 页） 20．（12 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l：y=t（t≠0）交 y 轴于点 M，交抛物 线 C：y2=2px（p＞0）于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连结 ON 并延长交 C 于点 H． （Ⅰ）求 ；（Ⅱ）除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由． 21．（12 分）已知函数 f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2． （Ⅰ）讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围． 　第 6 页（共 33 页） 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． [选修 4-1：几何证明选讲] 22．（10 分）如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°．以 O 为圆心， OA 为 半径作圆． （Ⅰ）证明：直线 AB 与⊙O 相切； （Ⅱ）点 C，D 在⊙O 上，且 A，B，C，D 四点共圆，证明：AB∥CD． 　[选修 4-4：坐标系与参数方程] 23．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数，a＞0） ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ=4cosθ． （Ⅰ）说明 C1 是哪种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线 C3 的极坐标方程为 θ=α0，其中 α0 满足 tanα0=2，若曲线 C1 与 C2 的公 共点都在 C3 上，求 a． 　第 7 页（共 33 页） [选修 4-5：不等式选讲] 24．已知函数 f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|． （Ⅰ）在图中画出 y=f（x）的图象； （Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1 的解集． 　第 8 页（共 33 页） 2016 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 参考答案与试题解析 　一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．（5 分）设集合 A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则 A∩B=（　　） A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合． 【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可． 【解答】解：集合 A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}， 则 A∩B={3，5}． 故选：B． 【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力． 　2．（5 分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a 等于（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的乘法运算法则，通过复数相等的充要条件求解即可． 【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（2a+1）i 的实部与虚部相等， 可得：a﹣2=2a+1， 解得 a=﹣3． 故选：A． 【点评】本题考查复数的相等的充要条件的应用，复数的乘法的运算法则，考查 第 9 页（共 33 页） 计算能力． 　3．（5 分）为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一 个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花 坛的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】12：应用题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论． 【解答】解：从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余 下的 2 种花种在另一个花坛中，有 =6 种方法，红色和紫色的花在同一花坛 ，有 2 种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有 4 种方法，所以所求的概 率为 = ． 另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为 1，2，3，4， 即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34， 12）， 则 P= = ． 故选：C． 【点评】本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计 算能力，比较基础． 　4．（5 分）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知 a= ，c=2，cosA= ，则 b=（　　） A． B． C．2 D．3 【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形． 第 10 页（共 33 页） 【分析】由余弦定理可得 cosA= ，利用已知整理可得 3b2﹣8b﹣3=0， =，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0， 从而解得 b 的值． 【解答】解：∵a= ，c=2，cosA= ， ∴由余弦定理可得：cosA= = ∴解得：b=3 或﹣ （舍去）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用， 考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 　5．（5 分）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其 短轴长的 ，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性 质与方程． 【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解 椭圆的离心率． 【解答】解：设椭圆的方程为： 焦点， ，直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个 则直线方程为： 可得： ，椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ， ，4=b2（ ）， ∴，第 11 页（共 33 页） =3， ∴e= = ． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，椭圆的离 心率的求法，考查计算能力． 　6．（5 分）将函数 y=2sin（2x+ ）的图象向右平移 个周期后，所得图象对应 的函数为（　　） A．y=2sin（2x+ C．y=2sin（2x﹣ ）B．y=2sin（2x+ D．y=2sin（2x﹣ ）））【考点】HJ：函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】求得函数 y 的最小正周期，即有所对的函数式为 y=2sin[2（x﹣ ）+]，化简整理即可得到所求函数式． 【解答】解：函数 y=2sin（2x+ ）的周期为 T= =π， 由题意即为函数 y=2sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位， 可得图象对应的函数为 y=2sin[2（x﹣ ）+ ]， 即有 y=2sin（2x﹣ ）． 故选：D． 【点评】本题考查三角函数的图象平移变换，注意相位变换针对自变量 x 而言， 考查运算能力，属于基础题和易错题． 　7．（5 分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互 垂直的半径．若该几何体的体积是 ，则它的表面积是（　　） 第 12 页（共 33 页） A．17π B．18π C．20π D．28π 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位 置关系与距离． 【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求 解几何体的表面积． 【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉 后的几何体，如图 ：可得： =，R=2． 它的表面积是： ×4π•22+ 故选：A． =17π． 【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想 象能力． 　8．（5 分）若 a＞b＞0，0＜c＜1，则（　　） A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb 【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 第 13 页（共 33 页） 【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四 个结论的真假，可得答案． 【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1， ∴logca＜logcb，故 B 正确； ∴当 a＞b＞1 时， 0＞logac＞logbc，故 A 错误； ac＞bc，故 C 错误； ca＜cb，故 D 错误； 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是指数函数，对数函数，幂函数的单调性，难度中档 ．　9．（5 分）函数 y=2×2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（　　） A． B． D． C． 【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用 排除法，可得答案． 【解答】解：∵f（x）=y=2×2﹣e|x|， 第 14 页（共 33 页） ∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2×2﹣e|x|， 故函数为偶函数， 当 x=±2 时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除 A，B； 当 x∈[0，2]时，f（x）=y=2×2﹣ex， ∴f′（x）=4x﹣ex=0 有解， 故函数 y=2×2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除 C， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除 法解答． 　10．（5 分）执行下面的程序框图，如果输入的 x=0，y=1，n=1，则输出 x，y 的 值满足（　　） A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图． 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变 第 15 页（共 33 页） 量 x，y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得 答案． 【解答】解：输入 x=0，y=1，n=1， 则 x=0，y=1，不满足 x2+y2≥36，故 n=2， 则 x= ，y=2，不满足 x2+y2≥36，故 n=3， 则 x= ，y=6，满足 x2+y2≥36， 故 y=4x， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采 用模拟循环的方法解答． 　11．（5 分）平面 α 过正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点 A，α∥平面 CB1D1，α∩平 面 ABCD=m，α∩平面 ABB1A1=n，则 m、n 所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间 角． 【分析】画出图形，判断出 m、n 所成角，求解即可． 【解答】解：如图：α∥平面 CB1D1，α∩平面 ABCD=m，α∩平面 ABA1B1=n， 可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1 是正三角形．m、n 所成角就是∠CD1B1=60° ．则 m、n 所成角的正弦值为： 故选：A． ．第 16 页（共 33 页） 【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 　12．（5 分）若函数 f（x）=x﹣ sin2x+asinx 在（﹣∞，+∞）单调递增，则 a 的 取值范围是（　　） A．[﹣1，1] B．[﹣1， ] C．[﹣ ， ] D．[﹣1，﹣ ] 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4C：分类法；53：导数的综合应用． 【分析】求出 f（x）的导数，由题意可得 f′（x）≥0 恒成立，设 t=cosx（﹣1≤t ≤1），即有 5﹣4t2+3at≥0，对 t 讨论，分 t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离 参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：函数 f（x）=x﹣ sin2x+asinx 的导数为 f′（x）=1﹣ cos2x+acosx， 由题意可得 f′（x）≥0 恒成立， 即为 1﹣ cos2x+acosx≥0， 即有 ﹣ cos2x+acosx≥0， 设 t=cosx（﹣1≤t≤1），即有 5﹣4t2+3at≥0， 当 t=0 时，不等式显然成立； 当 0＜t≤1 时，3a≥4t﹣ ， 由 4t﹣ 在（0，1]递增，可得 t=1 时，取得最大值﹣1， 第 17 页（共 33 页） 可得 3a≥﹣1，即 a≥﹣ ； 当﹣1≤t＜0 时，3a≤4t﹣ ， 由 4t﹣ 在[﹣1，0）递增，可得 t=﹣1 时，取得最小值 1， 可得 3a≤1，即 a≤ ． 综上可得 a 的范围是[﹣ ， ]． 另解：设 t=cosx（﹣1≤t≤1），即有 5﹣4t2+3at≥0， 由题意可得 5﹣4+3a≥0，且 5﹣4﹣3a≥0， 解得 a 的范围是[﹣ ， ]． 故选：C． 【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意 运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题． 　二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13．（5 分）设向量 =（x，x+1）， =（1，2），且 ⊥ ，则x=　． 【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用． 【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出 即可得出关于 x 的方程，解方程便可得出 x 的值． 【解答】解：∵ ，进行向量数量积的坐标运算 ；∴；即 x+2（x+1）=0； ∴．故答案为： ．【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，清楚向量坐标 第 18 页（共 33 页） 的概念． 　14．（5 分）已知 θ 是第四象限角，且 sin（θ+ ）= ，则 tan（θ﹣ ）=　 　．【考点】GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值． 【分析】由 θ 得范围求得 θ+ 的范围，结合已知求得 cos（θ+ ），再由诱导 公式求得 sin（ ）及 cos（ ），进一步由诱导公式及同角三角函 数基本关系式求得 tan（θ﹣ ）的值． 【解答】解：∵θ 是第四象限角， ∴，则 ，又 sin（θ+ ）= ， ∴cos（θ+ ）= ．∴cos（ ）=sin（θ+ ）= ，sin（ ）=cos（θ+ ）= ． 则 tan（θ﹣ ）=﹣tan（ 故答案为：﹣ ． ）=﹣ =．【点评】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式 的应用，是基础题． 　15．（5 分）设直线 y=x+2a 与圆 C：x2+y2﹣2ay﹣2=0 相交于 A，B 两点，若|AB|=2 ，则圆 C 的面积为　4π　． 【考点】J8：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有 第 19 页（共 33 页） 【专题】11：计算题；35：转化思想；5B：直线与圆． 【分析】圆 C：x2+y2﹣2ay﹣2=0 的圆心坐标为（0，a），半径为 ，利用圆 的弦长公式，求出 a 值，进而求出圆半径，可得圆的面积． 【解答】解：圆 C：x2+y2﹣2ay﹣2=0 的圆心坐标为（0，a），半径为 ，，∵直线 y=x+2a 与圆 C：x2+y2﹣2ay﹣2=0 相交于 A，B 两点，且|AB|=2 ∴圆心（0，a）到直线 y=x+2a 的距离 d= +3=a2+2， ，即解得：a2=2， 故圆的半径 r=2． 故圆的面积 S=4π， 故答案为：4π 【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度 中档． 　16．（5 分）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产 一件产品 A 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需 要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大 值为　216000　元． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思 想． 【分析】设 A、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，根据题干的等量关系建立不等式 组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求 出其最大值即可； 【解答】解：（1）设 A、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，获利为 z 元． 第 20 页（共 33 页） 由题意，得 ，z=2100x+900y． 不等式组表示的可行域如图：由题意可得 ，解得： ，A（60， 100）， 目标函数 z=2100x+900y．经过 A 时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100 ×60+900×100=216000 元． 故答案为：216000． 【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解 法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答 时求出最优解是解题的关键． 　三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12 分）已知{an}是公差为 3 的等差数列，数列{bn}满足 b1=1，b2= ， anbn+1+bn+1=nbn． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求{bn}的前 n 项和． 【考点】8H：数列递推式．菁优网版权所有 第 21 页（共 33 页） 【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）令 n=1，可得 a1=2，结合{an}是公差为 3 的等差数列，可得{an} 的通项公式； （Ⅱ）由（1）可得：数列{bn}是以 1 为首项，以 为公比的等比数列，进而可 得：{bn}的前 n 项和． 【解答】解：（Ⅰ）∵anbn+1+bn+1=nbn． 当 n=1 时，a1b2+b2=b1． ∵b1=1，b2= ， ∴a1=2， 又∵{an}是公差为 3 的等差数列， ∴an=3n﹣1， （Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）bn+1+bn+1=nbn． 即 3bn+1=bn． 即数列{bn}是以 1 为首项，以 为公比的等比数列， ∴{bn}的前 n 项和 Sn= = （1﹣3﹣n）= ﹣ ．【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前 n 项和 公式，难度中档． 　18．（12 分）如图，已知正三棱锥 P﹣ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并 延长交 AB 于点 G． （Ⅰ）证明：G 是 AB 的中点； （Ⅱ）在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由），并求四面 体 PDEF 的体积． 第 22 页（共 33 页） 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）根据题意分析可得 PD⊥平面 ABC，进而可得 PD⊥AB，同理可得 DE⊥AB，结合两者分析可得 AB⊥平面 PDE，进而分析可得 AB⊥PG，又由 PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明； （Ⅱ）由线面垂直的判定方法可得 EF⊥平面 PAC，可得 F 为 E 在平面 PAC 内的 正投影．由棱锥的体积公式计算可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC 为正三棱锥，且 D 为顶点 P 在平面 ABC 内 的正投影， ∴PD⊥平面 ABC，则 PD⊥AB， 又 E 为 D 在平面 PAB 内的正投影， ∴DE⊥面 PAB，则 DE⊥AB， ∵PD∩DE=D， ∴AB⊥平面 PDE，连接 PE 并延长交 AB 于点 G， 则 AB⊥PG， 又 PA=PB， ∴G 是 AB 的中点； （Ⅱ）在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F，F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影． ∵正三棱锥 P﹣ABC 的侧面是直角三角形， ∴PB⊥PA，PB⊥PC， 又 EF∥PB，所以 EF⊥PA，EF⊥PC，因此 EF⊥平面 PAC， 第 23 页（共 33 页） 即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影． 连结 CG，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 D 是正三角形 ABC 的中心． 由（Ⅰ）知，G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 CD= CG． 由题设可得 PC⊥平面 PAB，DE⊥平面 PAB，所以 DE∥PC，因此 PE= PG， DE= PC． 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA=6，可得 DE=2，PG=3 ，PE=2 在等腰直角三角形 EFP 中，可得 EF=PF=2． ．所以四面体 PDEF 的体积 V= ×DE×S△PEF= ×2× ×2×2= ． 【点评】本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键是 正确分析几何体的各种位置、距离关系． 　19．（12 分）某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器 有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元．现需决策在购 买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三 年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图： 第 24 页（共 33 页） 记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买 易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）若 n=19，求 y 与 x 的函数解析式； （Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于 0.5，求 n 的最小值； （Ⅲ）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购 买 20 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均 数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零 件？ 【考点】3H：函数的最值及其几何意义；5C：根据实际问题选择函数类型；B8： 频率分布直方图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；5I：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）若 n=19，结合题意，可得 y 与 x 的分段函数解析式； （Ⅱ）由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于 n”的频 率不小于 0.5，可得 n 的最小值； （Ⅲ）分别求出每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损零件时的平 均费用，比较后，可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）当 n=19 时， y= =（Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为 16 个频率为 0.06， 更换的易损零件数为 17 个频率为 0.16， 更换的易损零件数为 18 个频率为 0.24， 更换的易损零件数为 19 个频率为 0.24 又∵更换易损零件不大于 n 的频率为不小于 0.5． 则 n≥19 ∴n 的最小值为 19 件； （Ⅲ）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件， 所须费用平均数为： （70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元） 第 25 页（共 33 页） 假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 20 个易损零件， 所须费用平均数为 （90×4000+10×4500）=4050（元） ∵4000＜4050 ∴购买 1 台机器的同时应购买 19 台易损零件． 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，方案选择，难 度中档． 　20．（12 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l：y=t（t≠0）交 y 轴于点 M，交抛物 线 C：y2=2px（p＞0）于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连结 ON 并延长交 C 于点 H． （Ⅰ）求 ；（Ⅱ）除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由． 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性 质与方程． 【分析】（Ⅰ）求出 P，N，H 的坐标，利用 =，求 ；（Ⅱ）直线 MH 的方程为 y= x+t，与抛物线方程联立，消去 x 可得 y2﹣4ty+4t2=0 ，利用判别式可得结论． 【解答】解：（Ⅰ）将直线 l 与抛物线方程联立，解得 P（ ，t）， ∵M 关于点 P 的对称点为 N， ∴=，=t， ∴N（ ，t）， ∴ON 的方程为 y= x， 与抛物线方程联立，解得 H（ ，2t） 第 26 页（共 33 页） ∴==2； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 kMH =，∴直线 MH 的方程为 y= x+t，与抛物线方程联立，消去 x 可得 y2﹣4ty+4t2=0， ∴△=16t2﹣4×4t2=0， ∴直线 MH 与 C 除点 H 外没有其它公共点． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立方 程是关键． 　21．（12 分）已知函数 f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2． （Ⅰ）讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围． 【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合 应用． 【分析】（Ⅰ）求出 f（x）的导数，讨论当 a≥0 时，a＜﹣ 时，a=﹣ 时，﹣ ＜a＜0，由导数大于 0，可得增区间；由导数小于 0，可得减区间； （Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对 a 讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可 得到所求范围． 【解答】解：（Ⅰ）由 f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2， 可得 f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a）， ①当 a≥0 时，由 f′（x）＞0，可得 x＞1；由 f′（x）＜0，可得 x＜1， 即有 f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增（如右上图）； ②当 a＜0 时，（如右下图）若 a=﹣ ，则 f′（x）≥0 恒成立，即有 f（x）在 R 上递增； 第 27 页（共 33 页） 若 a＜﹣ 时，由 f′（x）＞0，可得 x＜1 或 x＞ln（﹣2a）； 由 f′（x）＜0，可得 1＜x＜ln（﹣2a）． 即有 f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增； 在（1，ln（﹣2a））递减； 若﹣ ＜a＜0，由 f′（x）＞0，可得 x＜ln（﹣2a）或 x＞1； 由 f′（x）＜0，可得 ln（﹣2a）＜x＜1． 即有 f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增； 在（ln（﹣2a），1）递减； （Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当 a＞0 时， f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增， 且 f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞； 当 x→﹣∞时 f（x）＞0 或找到一个 x＜1 使得 f（x）＞0 对于 a＞0 恒成立， f（x）有两个零点； ②当 a=0 时，f（x）=（x﹣2）ex，所以 f（x）只有一个零点 x=2； ③当 a＜0 时， 若 a＜﹣ 时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减， 在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增， 又当 x≤1 时，f（x）＜0，所以 f（x）不存在两个零点； 当 a≥﹣ 时，在（﹣∞，ln（﹣2a））单调增，在（1，+∞）单调增， 在（1n（﹣2a），1）单调减， 只有 f（ln（﹣2a））等于 0 才有两个零点， 而当 x≤1 时，f（x）＜0，所以只有一个零点不符题意． 综上可得，f（x）有两个零点时，a 的取值范围为（0，+∞）． 第 28 页（共 33 页） 【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分 类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于 难题． 　请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 ．[选修 4-1：几何证明选讲] 22．（10 分）如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°．以 O 为圆心， OA 为 半径作圆． （Ⅰ）证明：直线 AB 与⊙O 相切； （Ⅱ）点 C，D 在⊙O 上，且 A，B，C，D 四点共圆，证明：AB∥CD． 第 29 页（共 33 页） 【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．菁优网版权所有 【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明． 【分析】（Ⅰ）设 K 为 AB 中点，连结 OK．根据等腰三角形 AOB 的性质知 OK⊥ AB，∠A=30°，OK=OAsin30°= OA，则 AB 是圆 O 的切线． （Ⅱ）设圆心为 T，证明 OT 为 AB 的中垂线，OT 为 CD 的中垂线，即可证明结论 ．【解答】证明：（Ⅰ）设 K 为 AB 中点，连结 OK， ∵OA=OB，∠AOB=120°， ∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°= OA， ∴直线 AB 与⊙O 相切； （Ⅱ）因为 OA=2OD，所以 O 不是 A，B，C，D 四点所在圆的圆心．设 T 是 A，B ，C，D 四点所在圆的圆心． ∵OA=OB，TA=TB， ∴OT 为 AB 的中垂线， 同理，OC=OD，TC=TD， ∴OT 为 CD 的中垂线， ∴AB∥CD． 【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力 ．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质． 　[选修 4-4：坐标系与参数方程] 23．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数，a＞0） ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ=4cosθ． （Ⅰ）说明 C1 是哪种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程； 第 30 页（共 33 页） （Ⅱ）直线 C3 的极坐标方程为 θ=α0，其中 α0 满足 tanα0=2，若曲线 C1 与 C2 的公 共点都在 C3 上，求 a． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程 ．【分析】（Ⅰ）把曲线 C1 的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方 程，可知曲线 C1 是圆，化为一般式，结合 x2+y2=ρ2，y=ρsinθ 化为极坐标方程 ；（Ⅱ）化曲线 C2、C3 的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知 y=x 为圆 C1 与 C2 的公共弦所在直线方程，把 C1 与 C2 的方程作差，结合公共弦所在直线方程为 y=2x 可得 1﹣a2=0，则 a 值可求． 【解答】解：（Ⅰ）由 ）2=a2． ，得 ，两式平方相加得，x2+（y﹣1 ∴C1 为以（0，1）为圆心，以 a 为半径的圆． 化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．① 由 x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得 ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0； （Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘 ρ 得 ρ2=4ρcosθ， ∴x2+y2=4x，② 即（x﹣2）2+y2=4． 由 C3：θ=α0，其中 α0 满足 tanα0=2，得 y=2x， ∵曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上， ∴y=2x 为圆 C1 与 C2 的公共弦所在直线方程， ①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为 C3 ， ∴1﹣a2=0， ∴a=1（a＞0）． 【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标 第 31 页（共 33 页） 的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题． 　[选修 4-5：不等式选讲] 24．已知函数 f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|． （Ⅰ）在图中画出 y=f（x）的图象； （Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1 的解集． 【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出 f（x）的解析式，由分段函数的画法， 即可得到所求图象； （Ⅱ）分别讨论当 x≤﹣1 时，当﹣1＜x＜ 时，当x≥ 时，解绝对值不等式， 取交集，最后求并集即可得到所求解集． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）= ，由分段函数的图象画法，可得 f（x）的图象，如右： （Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得 当 x≤﹣1 时，|x﹣4|＞1，解得 x＞5 或 x＜3，即有 x≤﹣1； 第 32 页（共 33 页） 当﹣1＜x＜ 时，|3x﹣2|＞1，解得 x＞1 或 x＜ ， 即有﹣1＜x＜ 或1＜x＜ ； 当 x≥ 时，|4﹣x|＞1，解得 x＞5 或 x＜3，即有 x＞5 或 ≤x＜3． 综上可得，x＜ 或1＜x＜3 或 x＞5． 则|f（x）|＞1 的解集为（﹣∞， ）∪（1，3）∪（5，+∞）． 【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象 的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题． 第 33 页（共 33 页）