2015年江苏高考数学试题及答案下载

2015 年江苏省高考数学试卷 　一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分） 1．（5 分）（2015•江苏）已知集合 A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合 A∪B 中元素的个数 为　　　　　　． 　2．（5 分）（2015•江苏）已知一组数据 4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数 为　　　　　　． 　3．（5 分）（2015•江苏）设复数 z 满足 z2=3+4i（i 是虚数单位），则 z 的模 为　　　　　　． 　4．（5 分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为　　　　　　． 　5．（5 分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球、1 只红球、2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为　　　　　　． 　6．（5 分）（2015•江苏）已知向量 =（2，1）， =（1，﹣2），若 m +n =（9，﹣8）（m， n∈R），则 m﹣n 的值为　　　　　　． 　7．（5 分）（2015•江苏）不等式 2 ＜4 的解集为　　　　　　． 　8．（5 分）（2015•江苏）已知 tanα=﹣2，tan（α+β）= ，则 tanβ 的值为　　　　　　． 　9．（5 分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2， 高为 8 的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的 圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为　　　　　　． 　10．（5 分）（2015•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，以点（1，0）为圆心且与直线 mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为　　　　　　． 　第 1 页（共 20 页） 11．（5 分）（2015•江苏）设数列{an}满足 a1=1，且 an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{ }的前 10 项的和为　　　　　　． 　12．（5 分）（2015•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线 x2﹣y2=1 右支上的一个动 点，若点 P 到直线 x﹣y+1=0 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为　　　　　　． 　13．（5 分）（2015•江苏）已知函数 f（x）=|lnx|，g（x）= ，则方程|f （x）+g（x）|=1 实根的个数为　　　　　　． 　14．（5 分）（2015•江苏）设向量 =（cos ，sin +cos ）（k=0，1，2，…，12）， 则（ak•ak+1）的值为　　　　　　． 　　二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（14 分）（2015•江苏）在△ABC 中，已知 AB=2，AC=3，A=60°． （1）求 BC 的长； （2）求 sin2C 的值． 　16．（14 分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，已知 AC⊥BC，BC=CC1， 设 AB1 的中点为 D，B1C∩BC1=E． 求证： （1）DE∥平面 AA1C1C； （2）BC1⊥AB1． 　17．（14 分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的 交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 l1，l2，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l，如图所示，M，N 为 C 的两个端点，测得 点 M 到 l1，l2 的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l1，l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千 第 2 页（共 20 页） 米，以 l2，l1 在的直线分别为 x，y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，假设曲线 C 符合函数 y= （其中 a，b 为常数）模型． （1）求 a，b 的值； （2）设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点，P 的横坐标为 t． ①请写出公路 l 长度的函数解析式 f（t），并写出其定义域； ②当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度． 　18．（16 分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 +=1（a＞b＞ 0）的离心率为 ，且右焦点F 到左准线 l 的距离为 3． （1）求椭圆的标准方程； （2）过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P，C，若 PC=2AB，求直线 AB 的方程． 　19．（16 分）（2015•江苏）已知函数 f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）． （1）试讨论 f（x）的单调性； （2）若 b=c﹣a（实数 c 是与 a 无关的常数），当函数 f（x）有三个不同的零点时，a 的取值 范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1， ）∪（ ，+∞），求 c 的值． 　20．（16 分）（2015•江苏）设 a1，a2，a3．a4 是各项为正数且公差为 d（d≠0）的等差数 列． （1）证明： 2a1 ,2a2 ,2a3 ,2a4 依次构成等比数列； 2（2）是否存在 a1,d ，使得 a1,a2 ,a33,a44 依次构成等比数列？并说明理由； 第 3 页（共 20 页） （3）是否存在 a1,d 及正整数 n,k ，使得 a1n ,a2nk ,a3n2k ,a4n3k 依次构成等比数列？并说明 理由。 　三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括 21-24 题，请选定其 中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤【选修 4-1：几何证明选讲】 21．（10 分）（2015•江苏）如图，在△ABC 中，AB=AC，△ABC 的外接圆⊙O 的弦 AE 交 BC 于点 D． 求证：△ABD∽△AEB． 　【选修 4-2：矩阵与变换】 22．（10 分）（2015•江苏）已知 x，y∈R，向量 =是矩阵 的属于特征值﹣2 的 一个特征向量，求矩阵 A 以及它的另一个特征值． 　　【选修 4-4：坐标系与参数方程】 23．（2015•江苏）已知圆 C 的极坐标方程为 ρ2+2 ρsin（θ﹣ ）﹣4=0，求圆 C 的半 径． 　[选修 4-5：不等式选讲】 24．（2015•江苏）解不等式 x+|2x+3|≥2． 　　【必做题】每题 10 分，共计 20 分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤 25．（10 分）（2015•江苏）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，已知 PA⊥平面 ABCD，且四边形 ABCD 为直角梯形，∠ABC=∠BAD= ，PA=AD=2，AB=BC=1． （1）求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值； （2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成的角最小时，求线段 BQ 的长． 第 4 页（共 20 页） 　26．（10 分）（2015•江苏）已知集合 X={1，2，3}，Yn={1，2，3，…，n）（n∈N*），设 Sn={（a，b）|a 整除 b 或整除 a，a∈X，B∈Yn}，令 f（n）表示集合 Sn 所含元素的个数． （1）写出 f（6）的值； （2）当 n≥6 时，写出 f（n）的表达式，并用数学归纳法证明． 2015 年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 　一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分） 1．（5 分） 考点：并集及其运算．菁优网版权所有 专题：集合． 分析：求出 A∪B，再明确元素个数 解答：解：集合 A={1，2，3}，B={2，4，5}，则 A∪B={1，2，3，4，5}； 所以 A∪B 中元素的个数为 5； 故答案为：5 点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题 2．（5 分） 考点：众数、中位数、平均数．菁优网版权所有 专题：概率与统计． 分析：直接求解数据的平均数即可． 解答：解：数据 4，6，5，8，7，6， 那么这组数据的平均数为： =6． 故答案为：6． 点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查． 3．（5 分） 考点：复数求模．菁优网版权所有 专题：数系的扩充和复数． 分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可． 第 5 页（共 20 页） 2解答： 解：复数 z 满足 z =3+4i， 可得|z||z|=|3+4i|= =5， ∴|z|= ．故答案为： ．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力． 4．（5 分） 考点：伪代码．菁优网版权所有 专题：图表型；算法和程序框图． 分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 I，S 的值，当 I=10 时不满足条件 I＜ 8，退出循环，输出 S 的值为 7． 解答：解：模拟执行程序，可得 S=1，I=1 满足条件 I＜8，S=3，I=4 满足条件 I＜8，S=5，I=7 满足条件 I＜8，S=7，I=10 不满足条件 I＜8，退出循环，输出 S 的值为 7． 故答案为：7． 点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础 题． 5．（5 分） 考点：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 专题：概率与统计． 分析：根据题意，把 4 个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即 可． 解答： 解：根据题意，记白球为 A，红球为 B，黄球为 C1、C2，则 一次取出 2 只球，基本事件为 AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2 共 6 种， 其中 2 只球的颜色不同的是 AB、AC1、AC2、BC1、BC2 共 5 种； 所以所求的概率是 P= ． 故答案为： ． 点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目． 6．（5 分） 考点：平面向量的基本定理及其意义．菁优网版权所有 专题：平面向量及应用． 分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可． 解答： 解：向量 =（2，1）， =（1，﹣2），若 m +n =（9，﹣8） 可得 ，解得 m=2，n=5， ∴m﹣n=﹣3． 故答案为：﹣3． 点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力． 第 6 页（共 20 页） 7．（5 分） 考点：指、对数不等式的解法．菁优网版权所有 专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 利用指数函数的单调性转化为 x2﹣x＜2，求解即可． 分析： 解答： 解；∵2 ＜4， ∴x2﹣x＜2， 即 x2﹣x﹣2＜0， 解得：﹣1＜x＜2 故答案为：（﹣1，2） 点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不 大． 8．（5 分） 考点：两角和与差的正切函数．菁优网版权所有 专题：三角函数的求值． 分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可． 解答： 解：tanα=﹣2，tan（α+β）= ， 可知 tan（α+β）= = ， 即= ， 解得 tanβ=3． 故答案为：3． 点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查． 9．（5 分） 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 专题：计算题；空间位置关系与距离． 分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径 r，求出体积， 由前后体积相等列式求得 r． 解答： 解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为： ．设新圆锥和圆柱的底面半径为 r， 则新圆锥和圆柱的体积和为： ．∴，解得： ．故答案为： ．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题． 10．（5 分） 考点：圆的标准方程；圆的切线方程．菁优网版权所有 专题：计算题；直线与圆． 分析：求出圆心到直线的距离 d 的最大值，即可求出所求圆的标准方程． 第 7 页（共 20 页） 解答： 解：圆心到直线的距离 d= =≤，∴m=1 时，圆的半径最大为 ，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2． 故答案为：（x﹣1）2+y2=2． 点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基 础． 11．（5 分） 考点：数列的求和；数列递推式．菁优网版权所有 专题：等差数列与等比数列． 分析： 数列{an}满足 a1=1，且 an+1﹣an=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得 an= ．再 利用“裂项求和”即可得出． 解：∵数列{a }满足 a =1，且 an+1﹣an=n+1（n∈N*）， 解答： n1∴当 n≥2 时，an=（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1= 当 n=1 时，上式也成立， ．∴an= ．∴=2 ．∴数列{ }的前 n 项的和 Sn= ==．∴数列{ }的前 10 项的和为 故答案为： ．．点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前 n 项和公式，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．（5 分） 考点：双曲线的简单性质．菁优网版权所有 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 双曲线 x2﹣y2=1 的渐近线方程为 x±y=0，c 的最大值为直线 x﹣y+1=0 与直线 x﹣y=0 分析： 的距离． 解：由题意，双曲线 x2﹣y2=1 的渐近线方程为 x±y=0， 解答： 因为点 P 到直线 x﹣y+1=0 的距离大于 c 恒成立， 所以 c 的最大值为直线 x﹣y+1=0 与直线 x﹣y=0 的距离，即 ．第 8 页（共 20 页） 故答案为： ．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础． 13．（5 分） 考点：根的存在性及根的个数判断．菁优网版权所有 专题：综合题；函数的性质及应用． ：由|f（x）+g（x）|=1 可得 g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结 分析： 论． 解：由|f（x）+g（x）|=1 可得 g（x）=﹣f（x）±1． 解答： g（x）与 h（x）=﹣f（x）+1 的图象如图所示，图象有两个交点； g（x）与 φ（x）=﹣f（x）﹣1 的图象如图所示，图象有两个交点； 所以方程|f（x）+g（x）|=1 实根的个数为 4． 故答案为：4． 点评：本题考查求方程|f（x）+g（x）|=1 实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生 分析解决问题的能力，属于中档题． 14．（5 分） 考点： 数列的求和．菁优网版权所有 专题： 等差数列与等比数列；平面向量及应用． 分析： 利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期 性即可得出． 解答： 解： =+第 9 页（共 20 页） =++++==++++，+∴（ak•ak+1）= ++++++…+ ++++++…+ ==+0+0 ．故答案为：9 ．点评： 本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数 的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（14 分） 考点：余弦定理的应用；二倍角的正弦．菁优网版权所有 专题：解三角形． 分析：（1）直接利用余弦定理求解即可． （2）利用正弦定理求出 C 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可． 解答： 解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3× =7， 所以 BC= ．（2）由正弦定理可得： ∵AB＜BC，∴C 为锐角， ，则 sinC= ==，则 cosC= ==．因此 sin2C=2sinCcosC=2× =．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解 题的关键． 　16．（14 分） 第 10 页（共 20 页） 考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．菁优网版权所有 专题：证明题；空间位置关系与距离． 分析： （1）根据中位线定理得 DE∥AC，即证 DE∥平面 AA1C1C； （2）先由直三棱柱得出 CC1⊥平面 ABC，即证 AC⊥CC1；再证明 AC⊥平面 BCC1B1， 即证 BC1⊥AC；最后证明 BC1⊥平面 B1AC，即可证出 BC1⊥AB1． 解答：证明：（1）根据题意，得； E 为 B1C 的中点，D 为 AB1 的中点，所以 DE∥AC； 又因为 DE⊄平面 AA1C1C，AC⊂平面 AA1C1C， 所以 DE∥平面 AA1C1C； （2）因为棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱， 所以 CC1⊥平面 ABC， 因为 AC⊂平面 ABC， 所以 AC⊥CC1； 又因为 AC⊥BC， CC1⊂平面 BCC1B1， BC⊂平面 BCC1B1， BC∩CC1=C， 所以 AC⊥平面 BCC1B1； 又因为 BC1⊂平面平面 BCC1B1， 所以 BC1⊥AC； 因为 BC=CC1，所以矩形 BCC1B1 是正方形， 所以 BC1⊥平面 B1AC； 又因为 AB1⊂平面 B1AC， 所以 BC1⊥AB1． 点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象 能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目． 17．（14 分） 考点：函数与方程的综合运用．菁优网版权所有 专题：综合题；导数的综合应用． 分析：（1）由题意知，点 M，N 的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入 y= ，建立方程组，即可求 a，b 的值； （2）①求出切线 l 的方程，可得 A，B 的坐标，即可写出公路 l 长度的函数解析式 f （t），并写出其定义域； ②设 g（t）= ，利用导数，确定单调性，即可求出当 t 为何值时，公路 l 的长度最短，并求出最短长度． 解答：解：（1）由题意知，点 M，N 的坐标分别为（5，40），（20，2.5）， 将其分别代入 y= ，得 ，第 11 页（共 20 页） 解得 （2）①由（1）y= ∴y′=﹣ ∴切线 l 的方程为 y﹣ 设在点 P 处的切线 l 交 x，y 轴分别于 A，B 点，则 A（ ，0），B（0， ，（5≤x≤20），P（t， ）， ，=﹣ （x﹣t） ）， ∴f（t）= =，t∈[5，20]； =0，解得 t=10 ②设 g（t）= ，则 g′（t）=2t﹣ ，t∈（5，10 ）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10 ，20）时，g′（t）＞0，g （t）是增函数， 从而 t=10 时，函数 g（t）有极小值也是最小值， ∴g（t）min=300， ∴f（t）min=15 ，答：t=10 时，公路 l 的长度最短，最短长度为 15 千米． 点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正 确求导是关键． 18．（16 分） 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．菁优网版权所有 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得 a，c 的方程，解得 a，c，再由 a，b，c 的关 系，可得 b，进而得到椭圆方程； （2）讨论直线 AB 的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达 定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方 程． 解答： 解：（1）由题意可得，e= = ，且 c+ =3，解得 c=1，a= ，则 b=1，即有椭圆方程为 +y2=1； （2）当 AB⊥x 轴，AB= ，CP=3，不合题意； 当 AB 与 x 轴不垂直，设直线 AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）， 将 AB 方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0， 则 x1+x2= ，x1x2= ，第 12 页（共 20 页） 则 C（ ，），且|AB|= •=，若 k=0，则 AB 的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行，不合题意； 则 k≠0，故 PC：y+ =﹣ （x﹣ ），P（﹣2， ）， 从而|PC|= ，由|PC|=2|AB|，可得 =，解得 k=±1， 此时 AB 的方程为 y=x﹣1 或 y=﹣x+1． 点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程， 运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档 题． 19．（16 分） 考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．菁优网版权所有 专题：综合题；导数的综合应用． 分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出 f（x）的单调性； （2）由（1）知，函数 f（x）的两个极值为 f（0）=b，f（﹣ ）= 数 f（x）有三个不同的零点等价于 f（0）f（﹣ ）=b（ +b）＜0，进一步转 化为 a＞0 时， ﹣a+c＞0 或 a＜0 时， ﹣a+c＜0．设 g（a）= ﹣a+c， 利用条件即可求 c 的值． +b，则函 第 13 页（共 20 页） 32解答： 解：（1）∵f（x）=x +ax +b， ∴f′（x）=3×2+2ax， 令 f′（x）=0，可得 x=0 或﹣ ．a=0 时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增； a＞0 时，x∈（﹣∞，﹣ ）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣ ，0）时，f′（x）＜ 0， ∴函数 f（x）在（﹣∞，﹣ ），（0，+∞）上单调递增，在（﹣ ，0）上单调递减； a＜0 时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣ ，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣ ）时，f′（x）＜ 0， ∴函数 f（x）在（﹣∞，0），（﹣ ，+∞）上单调递增，在（0，﹣ ）上单调递减； （2）由（1）知，函数 f（x）的两个极值为 f（0）=b，f（﹣ ）= +b，则函 数 f（x）有三个不同的零点等价于 f（0）f（﹣ ）=b（ ∵b=c﹣a， +b）＜0， ∴a＞0 时， 设 g（a）= ﹣a+c＞0 或 a＜0 时， ﹣a+c， ﹣a+c＜0． ∵函数 f（x）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1， ）∪ （ ，+∞）， ∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0 且在（1， ）∪（ ，+∞）上 g（a）＞0 均恒成立， ∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且 g（ ）=c﹣1≥0， ∴c=1， 此时 f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]， ∵函数有三个零点， ∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0 有两个异于﹣1 的不等实根， ∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0， 解得 a∈（﹣∞，﹣3）∪（1， ）∪（ ，+∞）， 综上 c=1． 点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨 论的数学思想，难度大． 　20．（16 分） 第 14 页（共 20 页） 考点：等比关系的确定；等比数列的性质．菁优网版权所有 专题：等差数列与等比数列． 分析：（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明； 23（2）利用反证法，假设存在 a1，d 使得 a1，a2 ，a3 ，a44 依次构成等比数列，推出矛 盾，否定假设，得到结论； n（3）利用反证法，假设存在 a1，d 及正整数 n，k，使得 a1 ，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k 依 n2（n+k） n+3k 次构成等比数列，得到 a1 （a1+2d）n+2k=（a1+2d） ，且（a1+d）n+k（a1+3d） =（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到 ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln （1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点 存在定理，推出假设不成立． 解答： 解：（1）证明：∵ ==2d，（n=1，2，3，）是同一个常数， ∴2 ，2 ，2 ，2 依次构成等比数列； （2）令 a1+d=a，则 a1，a2，a3，a4 分别为 a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d， d≠0） 23假设存在 a1，d 使得 a1，a2 ，a3 ，a44 依次构成等比数列， 则 a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4， 令 t= ，则 1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣ ＜t＜1，t≠0）， 化简得 t3+2t2﹣2=0（*），且 t2=t+1，将 t2=t+1 代入（*）式， t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则 t=﹣ ， 显然 t=﹣ 不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立， 23因此不存在 a1，d，使得 a1，a2 ，a3 ，a44 依次构成等比数列． n（3）假设存在 a1，d 及正整数 n，k，使得 a1 ，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k 依次构成等比数 列， n则 a1 （a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2 （n+2k） ，2（n+k） 2（n+2k） 分别在两个等式的两边同除以=a1 ，a1 ，并令 t= ，（t＞ ，t≠0）， 则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k） ，将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t）， 且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t）， 化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]， 且 3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]， 再将这两式相除，化简得， ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**） 令 g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）， 则 g′（t）= [（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t） 第 15 页（共 20 页） +3（1+t）2ln（1+t）]， 令 φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）， 则 φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]， 令 φ1（t）=φ′（t），则 φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]， 令 φ2（t）=φ1′（t），则 φ2′（t）= ＞0， 由 g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0， 知 g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣ ，0）和（0，+∞）上均单调， 故 g（t）只有唯一的零点 t=0，即方程（**）只有唯一解 t=0，故假设不成立， n所以不存在 a1，d 及正整数 n，k，使得 a1 ，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k 依次构成等比数 列． 点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数 推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题． 　三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括 21-24 题，请选定其 中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤【选修 4-1：几何证明选讲】 21．（10 分） 考点：相似三角形的判定．菁优网版权所有 专题：推理和证明． 分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似． 解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE 是公共角， 可知：△ABD∽△AEB． 点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力． 　【选修 4-2：矩阵与变换】 22．（10 分） 考点：特征值与特征向量的计算．菁优网版权所有 专题：矩阵和变换． 分析： 利用 A =﹣2 ，可得 A= ，通过令矩阵 A 的特征多项式为 0 即得结论． 解答： 解：由已知，可得 A =﹣2 ，即 ==，则，即 ，∴矩阵 A= ，从而矩阵 A 的特征多项式 f（λ）=（λ+2）（λ﹣1）， ∴矩阵 A 的另一个特征值为 1． 点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题． 　第 16 页（共 20 页） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 23．（2015•江苏） 考点：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 专题：计算题；坐标系和参数方程． 分析：先根据 x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径． 解答： 解：圆的极坐标方程为 ρ2+2 ρsin（θ﹣ ）﹣4=0，可得 ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0， 化为直角坐标方程为 x2+y2﹣2x+2y﹣4=0， 化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6， 圆的半径 r= ．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关 键是利用公式 x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础， 　[选修 4-5：不等式选讲】 24．（2015•江苏） 考点：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 专题：不等式． 思路 1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或 f（x）≤﹣g（x）； 分析： 思路 2（零点分段法）：对 x 的值分“x≥ ”“x＜ ”进行讨论求解． 解法 1：x+|2x+3|≥2 变形为|2x+3|≥2﹣x， 解答： 得 2x+3≥2﹣x，或 2x+3≥﹣（2﹣x）， 即 x≥ ，或 x≤﹣5， 即原不等式的解集为{x|x≥ 解法 2：令|2x+3|=0，得 x= ，或 x≤﹣5}． ．①当 x≥ 所以 x≥ ②x＜ 时，原不等式化为 x+（2x+3）≥2，即 x≥ ，；时，原不等式化为 x﹣（2x+3）≥2，即 x≤﹣5， 所以 x≤﹣5． 综上，原不等式的解集为{x|x≥ ，或 x≤﹣5}． 点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪 种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些， 其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或 f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|≤g（x）⇔﹣g （x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时， 应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集． 　【必做题】每题 10 分，共计 20 分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 17 页（共 20 页） 25．（10 分）（ 考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有 专题：空间位置关系与距离；空间角． 以 A 为坐标原点，以 AB、AD、AP 所在直线分别为 x、y、z 轴建系 A﹣xyz． 分析： （1）所求值即为平面 PAB 的一个法向量与平面 PCD 的法向量的夹角的余弦值的绝 对值，计算即可； （2）利用换元法可得 cos2＜ ，＞≤ ，结合函数 y=cosx 在（0， ）上的单调 性，计算即得结论． 解：以 A 为坐标原点，以 AB、AD、AP 所在直线分别为 x、y、z 轴建系 A﹣xyz 如 解答： 图， 由题可知 B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）． （1）∵AD⊥平面 PAB，∴ =（0，2，0），是平面 PAB 的一个法向量， ∵=（1，1，﹣2）， =（0，2，﹣2）， 设平面 PCD 的法向量为 =（x，y，z）， 由，得 ，取 y=1，得 =（1，1，1）， ∴cos＜ ，＞= =，∴平面 PAB 与平面 PCD 所成两面角的余弦值为 ；（2）∵ =（﹣1，0，2），设 =λ =（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1）， 又又=（0，﹣1，0），则 =+=（﹣λ，﹣1，2λ）， =（0，﹣2，2），从而 cos＜ ，＞= =，设 1+2λ=t，t∈[1，3]， 则 cos2＜ ，＞= =≤，当且仅当 t= ，即 λ= 时，|cos＜ ，＞|的最大值为 ，因为 y=cosx 在（0， ）上是减函数，此时直线CQ 与 DP 所成角取得最小值． 第 18 页（共 20 页） 又∵BP= =，∴BQ= BP= ．点评：本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的 积累，属于中档题． 26．（10 分） 考点：数学归纳法．菁优网版权所有 专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法． 分析： （1）f（6）=6+2+ + =13； （2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论． 解答： 解：（1）f（6）=6+2+ + =13； （2）当 n≥6 时，f（n）= ．下面用数学归纳法证明： ①n=6 时，f（6）=6+2+ + =13，结论成立； ②假设 n=k（k≥6）时，结论成立，那么 n=k+1 时，Sk+1 在 Sk 的基础上新增加的元素 在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论： 1）若 k+1=6t，则 k=6（t﹣1）+5，此时有 f（k+1）=f（k）+3=（k+1） +2+ +，结论成立； 2）若 k+1=6t+1，则 k=6t+1，此时有 f（k+1）=f（k）+1=k+2+ + +1=（k+1）+2+ 第 19 页（共 20 页） +，结论成立； 3）若 k+1=6t+2，则 k=6t+1，此时有 f（k+1）=f（k）+2=k+2+ ，结论成立； 4）若 k+1=6t+3，则 k=6t+2，此时有 f（k+1）=f（k）+2=k+2+ + ，结论成立； 5）若 k+1=6t+4，则 k=6t+3，此时有 f（k+1）=f（k）+2=k+2+ ，结论成立； 6）若 k+1=6t+5，则 k=6t+4，此时有 f（k+1）=f（k）+2=k+2+ + ，结论成立． 综上所述，结论对满足 n≥6 的自然数 n 均成立． ++2=（k+1）+2+ +2=（k+1）+2+ + +2=（k+1）+2+ +2=（k+1）+2+ ++++点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键． 　第 20 页（共 20 页）