2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）（含解析版）下载

2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1．（5 分）已知集合 A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合 A∩ B 中元素的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（5 分）已知点 A（0，1），B（3，2），向量 =（﹣4，﹣3），则向量 =（　　） A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） 3．（5 分）已知复数 z 满足（z﹣1）i=1+i，则 z=（　　） A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i C．（﹣1，4） D．（1，4） D．2+i 4．（5 分）如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个 数为一组勾股数．从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成 一组勾股数的概率为（　　） A． B． C． D． 5．（5 分）已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为 ，E 的右焦点与抛物线 C： y2=8x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|=（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 6．（5 分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问 题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思 为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部 的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（　　） 第 1 页（共 31 页） A．14 斛 B．22 斛 C．36 斛 D．66 斛 7．（5 分）已知{an}是公差为 1 的等差数列，Sn 为{an}的前 n 项和，若 S8=4S4， 则 a10=（　　） A． B． C．10 D．12 8．（5 分）函数 f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则 f（x）的单调递 减区间为（　　） A．（kπ﹣ ，kπ+ ），k∈z C．（k﹣ ，k+ ），k∈z B．（2kπ﹣ ，2kπ+ ），k∈z D．（ ，2k+ ），k∈z 9．（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=（　　） 第 2 页（共 31 页） A．5 B．6 C．7 D．8 10．（5 分）已知函数 f（x）= ，且 f（a）=﹣3，则 f（6﹣a ）=（　　） A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣ 11．（5 分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体， 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为 16+20π，则 r=（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 12．（5 分）设函数 y=f（x）的图象与 y=2x+a 的图象关于 y=﹣x 对称，且 f（﹣2） 第 3 页（共 31 页） +f（﹣4）=1，则 a=（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．4 　二、本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13．（5 分）在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn 为{an}的前 n 项和，若 Sn=126， 则 n=　． 14．（5 分）已知函数 f（x）=ax3+x+1 的图象在点（1，f（1））处的切线过点（ 2，7），则 a=　． 15．（5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x+y 的最大值为　 　． 16．（5 分）已知 F 是双曲线 C：x2﹣ =1 的右焦点，P 是 C 的左支上一点，A（ 0，6 ）．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为　． 　三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12 分）已知 a，b，c 分别是△ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2B=2sinAsinC ．（Ⅰ）若 a=b，求 cosB； （Ⅱ）设 B=90°，且 a= ，求△ABC 的面积． 18．（12 分）如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE⊥平面 ABCD ．第 4 页（共 31 页） （Ⅰ）证明：平面 AEC⊥平面 BED； （Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥 E﹣ACD 的体积为 ，求该三棱锥的侧 面积． 19．（12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x （单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响， 对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得 到下面的散点图及一些统计量的值． （xi﹣ ）2 （wi﹣ ）2 （xi﹣ ）（yi﹣ ） （wi﹣ ）（yi﹣ ） 第 5 页（共 31 页） 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 wi= i， = （Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣 传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利润 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果 回答下列问题： （i）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（un vn），其回归线 v=α+βu 的斜率和 截距的最小二乘估计分别为： =，= ﹣ ．220．（12 分）已知过点 A（0，1）且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：（x﹣2）+（y﹣3 ）2=1 交于点 M、N 两点． （1）求 k 的取值范围； （2）若 •=12，其中 O 为坐标原点，求|MN|． 21．（12 分）设函数 f（x）=e2x﹣alnx． （Ⅰ）讨论 f（x）的导函数 f′（x）零点的个数； （Ⅱ）证明：当 a＞0 时，f（x）≥2a+aln ． 第 6 页（共 31 页） 　四、请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 记分．【选修 4-1：几何证明选讲】 22．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点 E． （Ⅰ）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； （Ⅱ）若 OA= CE，求∠ACB 的大小． 　五、【选修 4-4：坐标系与参数方程】 2223．在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x=﹣2，圆 C2：（x﹣1） +（y﹣2） =1，以 坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求 C1，C2 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线 C3 的极坐标方程为 θ= （ρ∈R），设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求△ C2MN 的面积． 第 7 页（共 31 页） 　六、【选修 4-5：不等式选讲】 24．已知函数 f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0． （Ⅰ）当 a=1 时，求不等式 f（x）＞1 的解集； （Ⅱ）若 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围． 　第 8 页（共 31 页） 2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 参考答案与试题解析 　一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1．（5 分）已知集合 A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合 A∩ B 中元素的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】根据集合的基本运算进行求解． 【解答】解：A={x|x=3n+2，n∈N}={2，5，8，11，14，17，…}， 则 A∩B={8，14}， 故集合 A∩B 中元素的个数为 2 个， 故选：D． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 　2．（5 分）已知点 A（0，1），B（3，2），向量 =（﹣4，﹣3），则向量 =（　　） A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4） 【考点】9J：平面向量的坐标运算．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】顺序求出有向线段 ，然后由 =求之． 【解答】解：由已知点 A（0，1），B（3，2），得到 =（3，1），向量 =（ ﹣4，﹣3）， 第 9 页（共 31 页） 则向量 ==（﹣7，﹣4）； 故选：A． 【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有 向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒． 　3．（5 分）已知复数 z 满足（z﹣1）i=1+i，则 z=（　　） A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】5N：数系的扩充和复数． 【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z﹣1， 进一步求得 z． 【解答】解：由（z﹣1）i=1+i，得 z﹣1= ，∴z=2﹣i． 故选：C． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题． 　4．（5 分）如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个 数为一组勾股数．从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成 一组勾股数的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可． 【解答】解：从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，有（1，2，3），（1，2， 4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4）， 第 10 页（共 31 页） （2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共 10 种， 其中只有（3，4，5）为勾股数， 故这 3 个数构成一组勾股数的概率为 故选：C． ．【点评】本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本 事件，属于基础题． 　5．（5 分）已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为 ，E 的右焦点与抛物线 C： y2=8x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|=（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；KI：圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求 解抛物线的准线方程，求出 A，B 坐标，即可求解所求结果． 【解答】解：椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为 ，E 的右焦点（c，0）与抛 物线 C：y2=8x 的焦点（2，0）重合， 可得 c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为： 抛物线的准线方程为：x=﹣2， ，由，解得 y=±3，所以 A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）． |AB|=6． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． 　6．（5 分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问 第 11 页（共 31 页） 题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思 为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部 的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（　　） A．14 斛 B．22 斛 C．36 斛 D．66 斛 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可． 【解答】解：设圆锥的底面半径为 r，则 r=8， 解得 r= ，故米堆的体积为 × ×π×（ ）2×5≈ ∵1 斛米的体积约为 1.62 立方， ，∴÷1.62≈22， 故选：B． 【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础． 　7．（5 分）已知{an}是公差为 1 的等差数列，Sn 为{an}的前 n 项和，若 S8=4S4， 则 a10=（　　） A． B． C．10 D．12 【考点】83：等差数列的性质．菁优网版权所有 第 12 页（共 31 页） 【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列． 【分析】利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出． 【解答】解：∵{an}是公差为 1 的等差数列，S8=4S4， ∴8a1+ ×1=4×（4a1+ ）， 解得 a1= ． 则 a10= +9×1= 故选：B． ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题． 　8．（5 分）函数 f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则 f（x）的单调递 减区间为（　　） A．（kπ﹣ ，kπ+ ），k∈z C．（k﹣ ，k+ ），k∈z B．（2kπ﹣ ，2kπ+ ），k∈z D．（ ，2k+ ），k∈z 【考点】HA：余弦函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】57：三角函数的图像与性质． 【分析】由周期求出 ω，由五点法作图求出 φ，可得 f（x）的解析式，再根据余 弦函数的单调性，求得 f（x）的减区间． 【解答】解：由函数 f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为 （ ﹣ ）=2，∴ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）． =2 再根据函数的图象以及五点法作图，可得 +ϕ= ，k∈z，即 ϕ= ，f（x）=cos 第 13 页（共 31 页） （πx+ ）． 由 2kπ≤πx+ ≤2kπ+π，求得 2k﹣ ≤x≤2k+ ，故 f（x）的单调递减区间为（ ，2k+ ），k∈z， 故选：D． 【点评】本题主要考查由函数 y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求 出 ω，由五点法作图求出 φ 的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题． 　9．（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】5K：算法和程序框图． 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变 量 n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答 第 14 页（共 31 页） 案． 【解答】解：第一次执行循环体后，S= ，m= ，n=1，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S= ，m= ，n=2，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S= ，m= ，n=3，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S= ，m= ，n=4，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S= ，m= ，n=5，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S= ，m= ，n=6，不满足退出循环的条件； ，n=7，满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S= ，m= 故输出的 n 值为 7， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采 用模拟循环的方法解答． 　10．（5 分）已知函数 f（x）= ）=（　　） ，且 f（a）=﹣3，则 f（6﹣a A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣ 【考点】3T：函数的值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用． 【分析】利用分段函数，求出 a，再求 f（6﹣a）． 【解答】解：由题意，a≤1 时，2α﹣1﹣2=﹣3，无解； a＞1 时，﹣log2（a+1）=﹣3，∴α=7， ∴f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣ ． 故选：A． 第 15 页（共 31 页） 【点评】本题考查分段函数，考查学生的计算能力，比较基础． 　11．（5 分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体， 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为 16+20π，则 r=（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】5Q：立体几何． 【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可． 【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知， 截圆柱的平面过圆柱的轴线， 该几何体是一个半球拼接半个圆柱， ∴其表面积为： ×4πr2+ ×πr2 2r×2πr+2r×2r+ ×πr2=5πr2+4r2， 又∵该几何体的表面积为 16+20π， ∴5πr2+4r2=16+20π，解得 r=2， 故选：B． 【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的 积累，属于中档题． 　第 16 页（共 31 页） 12．（5 分）设函数 y=f（x）的图象与 y=2x+a 的图象关于 y=﹣x 对称，且 f（﹣2） +f（﹣4）=1，则 a=（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．4 【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】26：开放型；51：函数的性质及应用． 【分析】先求出与 y=2x+a 的反函数的解析式，再由题意 f（x）的图象与 y=2x+a 的 反函数的图象关于原点对称，继而求出函数 f（x）的解析式，问题得以解决． 【解答】解：∵与 y=2x+a 的图象关于 y=x 对称的图象是 y=2x+a 的反函数， y=log2x﹣a（x＞0）， 即 g（x）=log2x﹣a，（x＞0）． ∵函数 y=f（x）的图象与 y=2x+a 的图象关于 y=﹣x 对称， ∴f（x）=﹣g（﹣x）=﹣log2（﹣x）+a，x＜0， ∵f（﹣2）+f（﹣4）=1， ∴﹣log22+a﹣log24+a=1， 解得，a=2， 故选：C． 【点评】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方 法等相关知识和方法，属于基础题 　二、本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13．（5 分）在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn 为{an}的前 n 项和，若 Sn=126， 则 n=　6　． 【考点】89：等比数列的前 n 项和．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列． 第 17 页（共 31 页） 【分析】由 an+1=2an，结合等比数列的定义可知数列{an}是 a1=2 为首项，以 2 为 公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解． 【解答】解：∵an+1=2an， ∴，∵a1=2， ∴数列{an}是 a1=2 为首项，以 2 为公比的等比数列， ∴Sn= ==2n+1﹣2=126， ∴2n+1=128， ∴n+1=7， ∴n=6． 故答案为：6 【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，解题的关 键是熟练掌握基本公式． 　14．（5 分）已知函数 f（x）=ax3+x+1 的图象在点（1，f（1））处的切线过点（ 2，7），则 a=　1　． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】53：导数的综合应用． 【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可． 【解答】解：函数 f（x）=ax3+x+1 的导数为：f′（x）=3ax2+1，f′（1）=3a+1，而 f（1）=a+2， 切线方程为：y﹣a﹣2=（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7）， 所以 7﹣a﹣2=（3a+1）（2﹣1）， 解得 a=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力． 第 18 页（共 31 页） 　15．（5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x+y 的最大值为　4　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得 到最优解，代入最优解的坐标得答案． 【解答】解：由约束条件 作出可行域如图， 化目标函数 z=3x+y 为 y=﹣3x+z， 由图可知，当直线 y=﹣3x+z 过 B（1，1）时，直线在 y 轴上的截距最大， 此时 z 有最大值为 3×1+1=4． 故答案为：4． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 ．　16．（5 分）已知 F 是双曲线 C：x2﹣ =1 的右焦点，P 是 C 的左支上一点，A（ 0，6 ）．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为　12 　． 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 第 19 页（共 31 页） 【专题】11：计算题；26：开放型；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用双曲线的定义，确定△APF 周长最小时，P 的坐标，即可求出△APF 周长最小时，该三角形的面积． 【 解 答 】 解 ： 由 题 意 ， 设F′ 是 左 焦 点 ， 则 △ APF 周 长 =|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2 ≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号）， 直线 AF′的方程为 与 x2﹣ =1 联立可得 y2+6 y﹣96=0， ∴P 的纵坐标为 2 ，∴△APF 周长最小时，该三角形的面积为 故答案为：12 ﹣=12 ．．【点评】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定 P 的坐标是关键 ．　三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12 分）已知 a，b，c 分别是△ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2B=2sinAsinC ．（Ⅰ）若 a=b，求 cosB； （Ⅱ）设 B=90°，且 a= ，求△ABC 的面积． 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】58：解三角形． 【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可 得出． （II）利用（I）及勾股定理可得 c，再利用三角形面积计算公式即可得出． 【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC， 由正弦定理可得： ＞0， 代入可得（bk）2=2ak•ck， ∴b2=2ac， 第 20 页（共 31 页） ∵a=b，∴a=2c， 由余弦定理可得：cosB= （II）由（I）可得：b2=2ac， == ． ∵B=90°，且 a= ∴a2+c2=b2=2ac，解得 a=c= ∴S△ABC =1． ，．=【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题． 　18．（12 分）如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE⊥平面 ABCD ．（Ⅰ）证明：平面 AEC⊥平面 BED； （Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥 E﹣ACD 的体积为 ，求该三棱锥的侧 面积． 【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明：平面 AEC⊥平面 BED； （Ⅱ）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可． 【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AC⊥BD， ∵BE⊥平面 ABCD， 第 21 页（共 31 页） ∴AC⊥BE， 则 AC⊥平面 BED， ∵AC⊂平面 AEC， ∴平面 AEC⊥平面 BED； 解：（Ⅱ）设 AB=x，在菱形 ABCD 中，由∠ABC=120°，得 AG=GC= x，GB=GD= ，∵BE⊥平面 ABCD， ∴BE⊥BG，则△EBG 为直角三角形， ∴EG= AC=AG=x， 则 BE= =x， ∵三棱锥 E﹣ACD 的体积 V= ==，解得 x=2，即 AB=2， ∵∠ABC=120°， ∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosABC=4+4﹣2× =12， 即 AC= ，在三个直角三角形 EBA，EBD，EBC 中，斜边 AE=EC=ED， ∵AE⊥EC，∴△EAC 为等腰三角形， 则 AE2+EC2=AC2=12， 即 2AE2=12， ∴AE2=6， 则 AE= ，∴从而得 AE=EC=ED= ∴△EAC 的面积 S= ，=3， 在等腰三角形 EAD 中，过 E 作 EF⊥AD 于 F， 则 AE= ，AF= 则 EF= =，，第 22 页（共 31 页） ∴△EAD 的面积和△ECD 的面积均为 S= 故该三棱锥的侧面积为 3+2 =，．【点评】本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积的计算，要求熟练掌握 相应的判定定理以及体积公式． 　19．（12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x （单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响， 对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得 到下面的散点图及一些统计量的值． （xi﹣ ） （wi﹣ （xi﹣ ） （wi﹣ ） （yi﹣ ） （yi﹣ ） 22）46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 wi= i， = （Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣 传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； 第 23 页（共 31 页） （Ⅲ）已知这种产品的年利润 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果 回答下列问题： （i）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（un vn），其回归线 v=α+βu 的斜率和 截距的最小二乘估计分别为： =，= ﹣ ．【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出， （Ⅱ）先建立中间量 w= ，建立 y 关于 w 的线性回归方程，根据公式求出 w， 问题得以解决； （Ⅲ）（i）年宣传费 x=49 时，代入到回归方程，计算即可， （ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出． 【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d 适宜作为年销售量 y 关于年宣 传费 x 的回归方程类型； （Ⅱ）令 w= ，先建立 y 关于 w 的线性回归方程，由于 = =68， = ﹣ =563﹣68×6.8=100.6， 所以 y 关于 w 的线性回归方程为 =100.6+68w， 因此 y 关于 x 的回归方程为 =100.6+68 ，（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当 x=49 时，年销售量 y 的预报值 =100.6+68 =576.6 ，年利润 z 的预报值 =576.6×0.2﹣49=66.32， （ ii ） 根 据 （ Ⅱ ） 的 结 果 可 知 ， 年 利 润z 的 预 报 值=0.2 （ 100.6+68 ）第 24 页（共 31 页） ﹣x=﹣x+13.6 +20.12， =6.8 时，即当 x=46.24 时，年利润的预报值最大． 当=【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关 键，属于中档题． 　220．（12 分）已知过点 A（0，1）且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：（x﹣2）+（y﹣3 ）2=1 交于点 M、N 两点． （1）求 k 的取值范围； （2）若 •=12，其中 O 为坐标原点，求|MN|． 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 【专题】26：开放型；5B：直线与圆． 【分析】（1）由题意可得，直线 l 的斜率存在，用点斜式求得直线 l 的方程，根 据圆心到直线的距离等于半径求得 k 的值，可得满足条件的 k 的范围． （2）由题意可得，经过点 M、N、A 的直线方程为 y=kx+1，根据直线和圆相交 的弦长公式进行求解． 【解答】（1）由题意可得，直线 l 的斜率存在， 设过点 A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0． 由已知可得圆 C 的圆心 C 的坐标（2，3），半径 R=1． 故由 故当 ＜1， ＜k＜ ，过点 A（0，1）的直线与圆 C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1 相交于 M，N 两点． （2）设 M（x1，y1）；N（x2，y2）， 由题意可得，经过点 M、N、A 的直线方程为 y=kx+1，代入圆 C 的方程（x﹣2） 2+（y﹣3）2=1， 可得 （1+k2）x2﹣4（k+1）x+7=0， 第 25 页（共 31 页） ∴x1+x2= ，x1•x2= ，∴y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1 =•k2+k• +1= ，由•=x1•x2+y1•y2= =12，解得 k=1， 故直线 l 的方程为 y=x+1，即 x﹣y+1=0． 圆心 C 在直线 l 上，MN 长即为圆的直径． 所以|MN|=2． 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公 式的计算，考查学生的计算能力． 　21．（12 分）设函数 f（x）=e2x﹣alnx． （Ⅰ）讨论 f（x）的导函数 f′（x）零点的个数； （Ⅱ）证明：当 a＞0 时，f（x）≥2a+aln ． 【考点】53：函数的零点与方程根的关系；63：导数的运算；6E：利用导数研究 函数的最值．菁优网版权所有 【专题】26：开放型；53：导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）先求导，在分类讨论，当 a≤0 时，当 a＞0 时，根据零点存在定 理，即可求出； （Ⅱ）设导函数 f′（x）在（0，+∞）上的唯一零点为 x0，根据函数 f（x）的单 调性得到函数的最小值 f（x0），只要最小值大于 2a+aln ，问题得以证明． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）=e2x﹣alnx 的定义域为（0，+∞）， ∴f′（x）=2e2x﹣ ． 当 a≤0 时，f′（x）＞0 恒成立，故 f′（x）没有零点， 当 a＞0 时，∵y=e2x 为单调递增，y=﹣ 单调递增， 第 26 页（共 31 页） ∴f′（x）在（0，+∞）单调递增， 又 f′（a）＞0， 假设存在 b 满足 0＜b＜ln 时，且 b＜ ，f′（b）＜0， 故当 a＞0 时，导函数 f′（x）存在唯一的零点， （Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数 f′（x）在（0，+∞）上的唯一零点为 x0， 当 x∈（0，x0）时，f′（x）＜0， 当 x∈（x0+∞）时，f′（x）＞0， 故 f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0+∞）单调递增， 所欲当 x=x0 时，f（x）取得最小值，最小值为 f（x0）， 由于 ﹣=0， +2ax0+aln ≥2a+aln ． 所以 f（x0）= 故当 a＞0 时，f（x）≥2a+aln ． 【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系和最值的关系，以及函数的零点存 在定理，属于中档题． 　四、请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 记分．【选修 4-1：几何证明选讲】 22．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点 E． （Ⅰ）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； （Ⅱ）若 OA= CE，求∠ACB 的大小． 【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 第 27 页（共 31 页） 【分析】（Ⅰ）连接 AE 和 OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得 DE 是⊙O 的切线； （Ⅱ）设 CE=1，AE=x，由射影定理可得关于 x 的方程 x2= ，解方程可得 x 值，可得所求角度． 【解答】解：（Ⅰ）连接 AE，由已知得 AE⊥BC，AC⊥AB， 在 RT△ABC 中，由已知可得 DE=DC，∴∠DEC=∠DCE， 连接 OE，则∠OBE=∠OEB， 又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°， ∴∠OED=90°，∴DE 是⊙O 的切线； （Ⅱ）设 CE=1，AE=x， 由已知得 AB=2 ，BE= ，由射影定理可得 AE2=CE•BE， ∴x2= ，即 x4+x2﹣12=0， 解方程可得 x= ∴∠ACB=60° 【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题． 　五、【选修 4-4：坐标系与参数方程】 2223．在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x=﹣2，圆 C2：（x﹣1） +（y﹣2） =1，以 坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求 C1，C2 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线 C3 的极坐标方程为 θ= （ρ∈R），设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求△ 第 28 页（共 31 页） C2MN 的面积． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 【专题】5S：坐标系和参数方程． 【分析】（Ⅰ）由条件根据 x=ρcosθ，y=ρsinθ 求得 C1，C2 的极坐标方程． （Ⅱ）把直线 C3 的极坐标方程代入 ρ2﹣3 ρ+4=0，求得 ρ1 和 ρ2 的值，结合圆 的半径可得 C2M⊥C2N，从而求得△C2MN 的面积 •C2M•C2N 的值． 【解答】解：（Ⅰ）由于 x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的 极坐标方程为 ρcosθ=﹣2， 故 C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1 的极坐标方程为： （ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1， 化简可得 ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0． （Ⅱ）把直线 C3 的极坐标方程 θ= （ρ∈R）代入 圆 C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1， 可得 ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0， 求得 ρ1=2 ，ρ2= ，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|= ，由于圆 C2 的半径为 1，∴C2M⊥C2N， △C2MN 的面积为 •C2M•C2N= •1•1= ． 第 29 页（共 31 页） 【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题． 　六、【选修 4-5：不等式选讲】 24．已知函数 f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0． （Ⅰ）当 a=1 时，求不等式 f（x）＞1 的解集； （Ⅱ）若 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）当 a=1 时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等 式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函 数 f（x）的解析式，求得它的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标， 从而求得 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形面积；再根据 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，从而求得 a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当 a=1 时，不等式 f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1， 即或①，或 ③． ②， 解①求得 x∈∅，解②求得 ＜x＜1，解③求得 1≤x＜2． 综上可得，原不等式的解集为（ ，2）． （Ⅱ）函数 f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|= ，由此求得 f（x）的图象与 x 轴的交点 A （ B（2a+1，0）， ，0）， 故 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形的第三个顶点 C（a，a+1）， 由△ABC 的面积大于 6， 第 30 页（共 31 页） 可得 [2a+1﹣ ]•（a+1）＞6，求得 a＞2． 故要求的 a 的范围为（2，+∞）． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想 ，属于中档题． 第 31 页（共 31 页）