2014年江苏高考数学试题及答案下载

2014 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共计 70分．请把答案填写在答题卡相应位置 上． 1. 已知集合 A={ 2,1,3,4 }， B {1,2,3}，则 A  B  ▲ . 开始 n  0 2. 已知复数 z  (5  2i)2 (i 为虚数单位),则 z的实部为 ▲ . n  n 1 3. 右图是一个算法流程图,则输出的 n的值是 ▲ . N2n  20 Y4. 从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 输出 n ▲.结束 5. 已知函数 y  cos x 与 y  sin(2x  ) (0≤   ),zxxk 它们的图象有一个横坐标为 （第 3 题） 3的交点,则 的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的 60 株树木中,有 ▲株树木的底部周长小于 100cm. 频率 组距 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 130 120 底部周长/cm 80 100 110 90 （第 6 题） 7. 在各项均为正数的等比数列{an } 中, a2 1, a8  a6  2a4 ,则 a6 的值是 ▲ . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为 S1 ，S2 ，体积分别为V1 ，V2 ，若它们的侧面积相等， S1 S2 V1 V2 94且，则 的值是 ▲ . 9. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x  2y  3  0 被圆 (x  2)2  (y 1)2  4 截得的弦长为 ▲.10. 已知函数 f (x)  x2  mx 1, 若对于任意 x[m, m 1] ,都有 f (x)  0成立,则实数 值范围是 m的取 ▲.b11. 在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y  ax2  (a，b 为常数) zxxk 过点 P(2,5) ，且该曲 x线在点 P 处的切线与直线 7x  2y  3  0 平行，则 a  b 的值是 ▲.12. 如 图 ， 在 平 行 四 边 形ABCD 中 ， 已 知AB  8 ，PDCAD  5 ， ， CP  3PD AP  BP  2，则 AB  AD 的值 是▲.AB（第 12 题） 13. 已 知f (x) 是 定 义 在R 上 且 周 期 为3 的 函 数 , 当 1x[0,3) 时, f (x) | x2  2x  |.若函数 y  f (x)  a 在区间 [3,4]上有 10 个零点(互不 2相同),则实数 a的取值范围是 ▲ . 14. 若△ ABC 的内角满足sin A  2 sin B  2sin C ,则 cosC 的最小值是 ▲.二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分．请在答题卡指定区域内作答，学科网解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分 14 分) 25已知 ( , ) ,sin  .5(1)求sin(  ) 的值； 45 6(2)求 cos(  2) 的值. 16.(本小题满分 14 分) 如图，在三棱锥 P  ABC 中， PA  AC PA  6, BC  8, DF  5. D，E ，F 分 zxxk 别为棱 PC, AC, AB 的中点. 已知 ,求证: (1)直线 PA// 平面 DEF ；(2)平面 BDE  平面 ABC .PDEACFB（第16题） 17.(本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, F1, F2 分别是椭圆 x2 y3 a2 b2 1(a  b  0) 的左、右焦点， 顶点 B的坐标为 (0,b) ，连结 BF2 并延长交椭圆于点 A，过点 A 作 x轴的垂线交椭圆于 另一点 C，连结 F1C .4 1 (1)若点 C 的坐标为 ( , ),且 BF2  2 ,求椭圆的方程； 3 3 y(2)若 F1C  AB, 求椭圆离心率 e 的值. BCOxF1 F2 A(第 17 题) 18.(本小题满分 16 分) 如图,为了保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形学科网保护区.规划 要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆. 且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m. 经测量，点 A 位于点 O 正 4北方向 60m 处, 点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸), tan BCO  .3(1)求新桥 BC 的长； (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大？ 北BA60 m MOC170 m 东（第 18 题） 19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f (x)  ex  ex ,其中 e 是自然对数的底数. (1)证明: f (x) 是 R 上的偶函数； (2)若关于 (3)已知正数 的大小，并证明你的结论. x的不等式 mf (x) ≤ex  m 1 在(0,) 上恒成立，学科网求实数 m的取值范围； ae1 a满足：存在 x0 [1,) ，使得 f (x0 )  a(x03  3×0 ) 成立.试比较 ea1 与20.(本小题满分 16 分) 设数列 {an } 的前 Sn  am ，则称{an } 是“H 数列”. (1)若数列{an } 的前 n 项和 Sn  2n (2)设{an } 是等差数列,其首项 a1 1,公差 d  0 .若{an } 是“H 数列”,求 (3)证明：对任意的等差数列{an } ，总存在两个“H 数列”{bn } {cn } ，使得 an  bn  cn nN )成立. nn m 项和为 Sn .若对任意正整数 ，学科网总存在正整数，使得 (nN ),证明: {an } 是“H 数列”; d的值； 和(三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括 21、22、23、24 四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修 4-1：几 何证明选讲】 21．（10 分）（2014•江苏）如图，AB 是圆 O 的直径，C，D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两 点，证明：∠OCB=∠D． 　【选修 4-2：矩阵与变换】 22．（10 分）（2014•江苏）已知矩阵 A= ，B= ，向量 =，x，y 为 实数，若 A =B ，求 x+y 的值． 　【选修 4-3：极坐标及参数方程】 23．（2014•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 参数），直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长． （t 为 　【选修 4-4：不等式选讲】 24．（2014•江苏）已知 x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy． 　(二）必做题（本部分包括 25、26 两题，每题 10 分，共计 20 分） 25．（10 分）（2014•江苏）盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球，3 个黄球和 2 个绿球，这 些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率 P； （2）从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 x1，x2，x3，随 机变量 X 表示 x1，x2，x3 中的最大数，求 X 的概率分布和数学期望 E（X）． 　26．（10 分）（2014•江苏）已知函数 f0（x）= （x＞0），设 fn（x）为 fn﹣1（x）的 导数，n∈N*． （1）求 2f1（ ）+ f2（ ）的值； （2）证明：对任意 n∈N*，等式|nfn﹣1 （）+ fn（ ）|= 都成立． 2014 年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 　一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分） 1．（5 分）（2014•江苏）已知集合 A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则 A∩B=　{﹣1 ，3}　． 考点：交集及其运算．菁优网版权所有 专题：集合． 分析：根据集合的基本运算即可得到结论． 解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}， 解答： ∴A∩B={﹣1，3}， 故答案为：{﹣1，3} 点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 　2．（5 分）（2014•江苏）已知复数 z=（5+2i）2（i 为虚数单位），则 z 的实部为　21　． 考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有 专题：数系的扩充和复数． 分析：根据复数的有关概念，即可得到结论． 解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i， 解答： 故 z 的实部为 21， 故答案为：21 点评：本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础． 　3．（5 分）（2014•江苏）如图是一个算法流程图，则输出的 n 的值是　5　． 考点：程序框图．菁优网版权所有 专题：算法和程序框图． n分析： 算法的功能是求满足 2 ＞20 的最小的正整数 n 的值，代入正整数 n 验证可得答案． n解答： 解：由程序框图知：算法的功能是求满足 2 ＞20 的最小的正整数 n 的值， ∵24=16＜20，25=32＞20， ∴输出 n=5． 故答案为：5． 点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关 键． 　4．（5 分）（2014•江苏）从 1，2，3，6 这 4 个数中一次随机抽取 2 个数，则所取 2 个数 的乘积为 6 的概率是　． 考点：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 专题：概率与统计． 分析：首先列举并求出“从 1，2，3，6 这 4 个数中一次随机抽取 2 个数”的基本事件的个数 再从中找到满足“所取 2 个数的乘积为 6”的事件的个数，利用概率公式计算即可． 解答：解：从 1，2，3，6 这 4 个数中一次随机抽取 2 个数的所有基本事件有（1，2），（1 ，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共 6 个， 所取 2 个数的乘积为 6 的基本事件有（1，6），（2，3）共 2 个， 故所求概率 P= ．故答案为： ． 点评：本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件． 　5．（5 分）（2014•江苏）已知函数 y=cosx 与 y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一 个横坐标为 的交点，则φ 的值是　． 考点：三角方程；函数的零点．菁优网版权所有 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 分析： 由于函数 y=cosx 与 y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为 的交点，可得 = ．根据 φ 的范围和正弦函数的单调性即可得出． 解答： 解：∵函数 y=cosx 与 y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为 的交点， ∴= ． ∵0≤φ＜π，∴ ，∴+φ= 解得 φ= 故答案为： ，．．点评：本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题． 　6．（5 分）（2014•江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中 60 株树木的 底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则 在抽测的 60 株树木中，有　24　株树木的底部周长小于 100cm． 考点：频率分布直方图．菁优网版权所有 专题：概率与统计． 分析：根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于 100cm 的频率，再根据 频数=样本容量×频率求出底部周长小于 100cm 的频数． 解答：解：由频率分布直方图知：底部周长小于 100cm 的频率为（0.015+0.025）×10=0.4， ∴底部周长小于 100cm 的频数为 60×0.4=24（株）． 故答案为：24． 点评：本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高× 组距= ．　7．（5 分）（2014•江苏）在各项均为正数的等比数列{an}中，若 a2=1，a8=a6+2a4，则 a6 的 值是　4　． 考点：等比数列的通项公式．菁优网版权所有 专题：等差数列与等比数列． 分析：利用等比数列的通项公式即可得出． 解答： 解：设等比数列{an}的公比为 q＞0，a1＞0． ∵a8=a6+2a4， ∴，化为 q4﹣q2﹣2=0，解得 q2=2． ∴a6= =1×22=4． =故答案为：4． 点评：本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题． 　8．（5 分）（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1，S2，体积分别为 V1，V2， 若它们的侧面积相等，且 = ，则 的值是　　． 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版权所有 专题：立体几何． 分析：设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比． 解答：解：设两个圆柱的底面半径分别为 R，r；高分别为 H，h； ∵= ， ∴∴，它们的侧面积相等， ，∴=== ． 故答案为： ． 点评：本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目． 　29．（5 分）（2014•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x+2y﹣3=0 被圆（x﹣2）+（y+1 ）2=4 截得的弦长为　 　． 考点：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 专题：直线与圆． 求出已知圆的圆心为 C（2，﹣1），半径 r=2．利用点到直线的距离公式，算出点 C 分析： 到直线直线 l 的距离 d，由垂径定理加以计算，可得直线 x+2y﹣3=0 被圆截得的弦长． 解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4 的圆心为 C（2，﹣1），半径 r=2， 解答： ∵点 C 到直线直线 x+2y﹣3=0 的距离 d= =，∴根据垂径定理，得直线 x+2y﹣3=0 被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4 截得的弦长为 2 =2 =故答案为： ．点评：本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、 圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题． 　10．（5 分）（2014•江苏）已知函数 f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意 x∈[m，m+1]，都有 f（ x）＜0 成立，则实数 m 的取值范围是　（﹣ ，0）　． 考点：二次函数的性质．菁优网版权所有 专题：函数的性质及应用． 分析： 由条件利用二次函数的性质可得 ，由此 求得 m 的范围． 解：∵二次函数 f（x）=x2+mx﹣1 的图象开口向上， 解答： 对于任意 x∈[m，m+1]，都有 f（x）＜0 成立，∴ ，即，解得﹣ ＜m＜0， 故答案为：（﹣ ，0）． 点评：本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题． 　11．（5 分）（2014•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y=ax2+ （a，b 为常数）过 点 P（2，﹣5），且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行，则 a+b 的值是　﹣3　． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 专题：导数的概念及应用． 分析： 由曲线 y=ax2+ （a，b 为常数）过点 P（2，﹣5），且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行，可得 y|x=2=﹣5，且 y′|x=2 =，解方程可得答案． 解答： 解：∵直线 7x+2y+3=0 的斜率 k= ，曲线 y=ax2+ （a，b 为常数）过点 P（2，﹣5），且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行， ∴y′=2ax﹣ ，∴，解得： ，故 a+b=﹣3， 故答案为：﹣3 本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到 y|x=2=﹣5 点评： ，且 y′|x=2 =，是解答的关键． 　12．（5 分）（2014•江苏）如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB=8，AD=5， =3 =2，则 的值是　22　． ，••考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题：平面向量及应用． 分析： 由=3 ，可得 =+，=﹣，进而由 AB=8，AD=5， =3 ，•=2，构造方程，进而可得答案． 解答： 解：∵ =3 ，，∴=+=﹣，又∵AB=8，AD=5， =（ ∴•+）•（ ﹣）=| |2﹣ •﹣||2=25﹣ •﹣12=2， 故•=22， 故答案为：22． 点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得 到=+，=﹣，是解答的关键． 　13．（5 分）（2014•江苏）已知 f（x）是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x∈[0，3）时， f（x）=|x2﹣2x+ |，若函数 y=f（x）﹣a 在区间[﹣3，4]上有 10 个零点（互不相同），则实 数 a 的取值范围是　（0， ）　． 考点：根的存在性及根的个数判断．菁优网版权所有 专题：函数的性质及应用． 分析：在同一坐标系中画出函数的图象与直线 y=a 的图象，利用数形结合判断 a 的范围即可 ．解答： 解：f（x）是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+ |， 若函数 y=f（x）﹣a 在区间[﹣3，4]上有 10 个零点（互不相同），在同一坐标系中画 出函数 f（x）与 y=a 的图象如图：由图象可知 故答案为：（0， ）． ．点评：本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用． 　14．（5 分）（2014•江苏）若△ABC 的内角满足 sinA+ sinB=2sinC，则 cosC 的最小值是　 　． 考点：余弦定理；正弦定理．菁优网版权所有 专题：三角函数的图像与性质；解三角形． 分析：根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论． 解答： 解：由正弦定理得 a+ b=2c，得 c= （a+ b）， 由余弦定理得 cosC= ===≥=，当且仅当 故时，取等号， ≤cosC＜1，故 cosC 的最小值是 ．故答案为： ．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，利用基本不等式是解决本题的关键． 　二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分） 15．（14 分）（2014•江苏）已知 α∈（ ，π），sinα= （1）求 sin（ +α）的值； ．（2）求 cos（ ﹣2α）的值． 考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．菁优网版权所有 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 分析： （1）通过已知条件求出 cosα，然后利用两角和的正弦函数求 sin（ +α）的值； （2）求出 cos2α，然后利用两角差的余弦函数求 cos（ ﹣2α）的值． 解答： 解：α∈（ ，π），sinα= ．∴cosα=﹣ =（1）sin（ +α）=sin cosα+cos sinα= =﹣ ；∴sin（ +α）的值为：﹣ ．（2）∵α∈（ ，π），sinα= ．∴cos2α=1﹣2sin2α= ，sin2α=2sinαcosα=﹣ ∴cos（ ﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α= =﹣ ．cos（ ﹣2α）的值为：﹣ ．点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力． 　16．（14 分）（2014•江苏）如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点，已知 PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证： （1）直线 PA∥平面 DEF； （2）平面 BDE⊥平面 ABC． 考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．菁优网版权所有 专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何． 分析：（1）由 D、E 为 PC、AC 的中点，得出 DE∥PA，从而得出 PA∥平面 DEF； （2）要证平面 BDE⊥平面 ABC，只需证 DE⊥平面 ABC，即证 DE⊥EF，且 DE⊥AC 即可． 解答：证明：（1）∵D、E 为 PC、AC 的中点，∴DE∥PA， 又∵PA⊄平面 DEF，DE⊂平面 DEF， ∴PA∥平面 DEF； （2）∵D、E 为 PC、AC 的中点，∴DE= PA=3； 又∵E、F 为 AC、AB 的中点，∴EF= BC=4； ∴DE2+EF2=DF2， ∴∠DEF=90°， ∴DE⊥EF； ∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC； ∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面 ABC； ∵DE⊂平面 BDE，∴平面 BDE⊥平面 ABC． 点评：本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间 的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目． 　17．（14 分）（2014•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2 分别为椭圆 +=1 （a＞b＞0）的左、右焦点，顶点 B 的坐标为（0，b），连接 BF2 并延长交椭圆于点 A，过 点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连接 F1C． （1）若点 C 的坐标为（ ， ），且BF2= ，求椭圆的方程； （2）若 F1C⊥AB，求椭圆离心率 e 的值． 考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．菁优网版权所有 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出 a，b 的值． （2）求出 C 的坐标，利用 F1C⊥AB 建立斜率之间的关系，解方程即可求出 e 的值． 解答： 解：（1）∵C 的坐标为（ ， ）， ∴∵，即 ，，∴a2=（ ）2=2，即 b2=1， 则椭圆的方程为 +y2=1． （2）设 F1（﹣c，0），F2（c，0）， ∵B（0，b）， ∴直线 BF2：y=﹣ x+b，代入椭圆方程 +=1（a＞b＞0）得（ ）x2﹣ =0， 解得 x=0，或 x= ，∵A（ ∴C（ ，），且 A，C 关于 x 轴对称， ，﹣ ）， 则=﹣ =，∵F1C⊥AB， ∴×（ ）=﹣1， 由 b2=a2﹣c2 得 ，即 e= ．点评：本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜 率之间的关系，运算量较大． 　18．（16 分）（2014•江苏）如图，为保护河上古桥 OA，规划建一座新桥 BC，同时设立一 个圆形保护区，规划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆，且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m，经测量， 点 A 位于点 O 正北方向 60m 处，点 C 位于点 O 正东方向 170m 处（OC 为河岸），tan∠BCO= ．（1）求新桥 BC 的长； （2）当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？ 考点：圆的切线方程；直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 专题：直线与圆． 分析：（1）在四边形 AOCB 中，过 B 作 BE⊥OC 于 E，过 A 作 AF⊥BE 于 F，设出 AF，然 后通过解直角三角形列式求解 BE，进一步得到 CE，然后由勾股定理得答案； （2）设 BC 与⊙M 切于 Q，延长 QM、CO 交于 P，设 OM=xm，把 PC、PQ 用含有 x 的代数式表示，再结合古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m 列式 求得 x 的范围，得到 x 取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大． 解答：解：（1）如图， 过 B 作 BE⊥OC 于 E，过 A 作 AF⊥BE 于 F， ∵∠ABC=90°，∠BEC=90°， ∴∠ABF=∠BCE， ∴．设 AF=4x（m），则 BF=3x（m）． ∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°， ∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m）， ∴BE=（3x+60）m． ∵，∴CE= （m）． （m）． ∴∴，解得：x=20． ∴BE=120m，CE=90m， 则 BC=150m； （2）如图， 设 BC 与⊙M 切于 Q，延长 QM、CO 交于 P， ∵∠POM=∠PQC=90°， ∴∠PMO=∠BCO． 设 OM=xm，则 OP= m，PM= m． ∴PC= m，PQ= m． 设⊙M 半径为 R， ∴R=MQ= m= m． ∵A、O 到⊙M 上任一点距离不少于 80m， 则 R﹣AM≥80，R﹣OM≥80， ∴136﹣ ﹣（60﹣x）≥80，136﹣ ﹣x≥80． 解得：10≤x≤35． ∴当且仅当 x=10 时 R 取到最大值． ∴OM=10m 时，保护区面积最大． 点评：本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是 中档题． 　19．（16 分）（2014•江苏）已知函数 f（x）=ex+e﹣x，其中 e 是自然对数的底数． （1）证明：f（x）是 R 上的偶函数； （2）若关于 x 的不等式 mf（x）≤e﹣x+m﹣1 在（0，+∞）上恒成立，求实数 m 的取值范围 ；3（3）已知正数 a 满足：存在 x0∈[1，+∞），使得 f（x0）＜a（﹣x0 +3×0）成立，试比较 ea﹣1 与 ae﹣1 的大小，并证明你的结论． 考点：利用导数求闭区间上函数的最值．菁优网版权所有 专题：导数的综合应用． 分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可证明 f（x）是 R 上的偶函数； （2）利用参数分离法，将不等式 mf（x）≤e﹣x+m﹣1 在（0，+∞）上恒成立，进行 转化求最值问题即可求实数 m 的取值范围； （3）构 u 造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即 可得到结论． 解答： 解：（1）∵f（x）=ex+e﹣x ，∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函数：f（x）是 R 上的偶函数； （2）若关于 x 的不等式 mf（x）≤e﹣x+m﹣1 在（0，+∞）上恒成立， 即 m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1， ∵x＞0， ∴ex+e﹣x﹣1＞0， 即 m≤ 在（0，+∞）上恒成立， 设 t=ex，（t＞1），则 m≤ 在（1，+∞）上恒成立， =﹣ ∵=﹣ ，当且仅当 t=2 时等号成立， ∴m ．（3）令 g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x）， 则 g′（x）=ex﹣e﹣x+3a（x2﹣1）， 当 x＞1，g′（x）＞0，即函数 g（x）在[1，+∞）上单调递增， 故此时 g（x）的最小值 g（1）=e+ ﹣2a， 3由于存在 x0∈[1，+∞），使得 f（x0）＜a（﹣x0 +3×0）成立， 故 e+ ﹣2a＜0， 即 a＞ （e+ ）， 令 h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1， 则 h′（x）=1﹣ 由 h′（x）=1﹣ ，=0，解得 x=e﹣1， 当 0＜x＜e﹣1 时，h′（x）＜0，此时函数单调递减， 当 x＞e﹣1 时，h′（x）＞0，此时函数单调递增， ∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为 h（e﹣1）， 注意到 h（1）=h（e）=0， ∴当 x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0， 当 x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0， ∴h（x）＜0，对任意的 x∈（1，e）成立． ①a∈（ （e+ ），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即 a﹣1＜（e﹣1）lna，从而 ea﹣1 ＜ae﹣1 ，②当 a=e 时，ae﹣1=ea﹣1 ，③当 a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当 a＞e﹣1 时，h（a）＞h（e）=0，即 a﹣1＞ （e﹣1）lna，从而 ea﹣1＞ae﹣1 ．点评：本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的 关键，综合性较强，运算量较大． 　20．（16 分）（2014•江苏）设数列{an}的前 n 项和为 Sn，若对任意的正整数 n，总存在正 整数 m，使得 Sn=am，则称{an}是“H 数列”． （1）若数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H 数列”； （2）设{an}是等差数列，其首项 a1=1，公差 d＜0，若{an}是“H 数列”，求 d 的值； （3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H 数列”{bn}和{cn}，使得 an=bn+cn（n∈N* ）成立． 考点：数列的应用；等差数列的性质．菁优网版权所有 专题：等差数列与等比数列． 分析： （1）利用“当 n≥2 时，an=Sn﹣Sn﹣1，当 n=1 时，a1=S1”即可得到 an，再利用“H”数列 的意义即可得出． （2）利用等差数列的前 n 项和即可得出 Sn，对∀n∈N*，∃m∈N*使 Sn=am，取 n=2 和 根据 d＜0 即可得出； （3）设{an}的公差为 d，构造数列：bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，cn=（n﹣1）（ a1+d），可证明{bn}和{cn}是等差数列．再利用等差数列的前 n 项和公式及其通项公 式、“H”的意义即可得出． 解答： 解：（1）当 n≥2 时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1 ，当 n=1 时，a1=S1=2． 当 n=1 时，S1=a1． 当 n≥2 时，Sn=an+1 ．∴数列{an}是“H”数列． （2）Sn= =，对∀n∈N*，∃m∈N*使 Sn=am，即 ，取 n=2 时，得 1+d=（m﹣1）d，解得 ，∵d＜0，∴m＜2， 又 m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1． （3）设{an}的公差为 d，令 bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1， 对∀n∈N*，bn+1﹣bn=﹣a1， cn=（n﹣1）（a1+d）， 对∀n∈N*，cn+1﹣cn=a1+d， 则 bn+cn=a1+（n﹣1）d=an，且数列{bn}和{cn}是等差数列． 数列{bn}的前 n 项和 Tn= ，令 Tn=（2﹣m）a1，则 ．当 n=1 时，m=1；当 n=2 时，m=1． 当 n≥3 时，由于 n 与 n﹣3 的奇偶性不同，即 n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*． 因此对∀n∈N*，都可找到 m∈N*，使 Tn=bm 成立，即{bn}为 H 数列． 数列{cn}的前 n 项和 Rn= ，令 cm=（m﹣1）（a1+d）=Rn，则 m= ．∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*． 因此对∀n∈N*，都可找到 m∈N*，使 Rn=cm 成立，即{cn}为 H 数列． 因此命题得证． 点评： 本题考查了利用“当 n≥2 时，an=Sn﹣Sn﹣1，当 n=1 时，a1=S1”求 an、等差数列的前 n 项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理 能力和计算能力、构造法，属于难题． 　三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括 21、22、23、24 四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修 4-1：几 何证明选讲】 21．（10 分）（2014•江苏）如图，AB 是圆 O 的直径，C，D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两 点，证明：∠OCB=∠D． 考点：弦切角．菁优网版权所有 专题：直线与圆． 分析：利用 OC=OB，可得∠OCB=∠B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论． 解答：证明：∵OC=OB， ∴∠OCB=∠B， ∵∠B=∠D， ∴∠OCB=∠D． 点评：本题考查同弧所对的圆周角相等，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 　【选修 4-2：矩阵与变换】 22．（10 分）（2014•江苏）已知矩阵 A= ，B= ，向量 =，x，y 为 实数，若 A =B ，求 x+y 的值． 考点：矩阵与向量乘法的意义．菁优网版权所有 专题：矩阵和变换． 分析： 利用矩阵的乘法，结合 A =B ，可得方程组，即可求 x，y 的值，从而求得 x+y 的值． 解答： 解：∵矩阵 A= ，B= ，向量 =，A =B ，∴，∴x=﹣ ，y=4， ∴x+y= 点评：本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，属于基础题． 　【选修 4-3：极坐标及参数方程】 23．（2014•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 （t 为 参数），直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长． 考点：直线的参数方程．菁优网版权所有 专题：计算题；坐标系和参数方程． 2分析： 直线 l 的参数方程化为普通方程，与抛物线 y =4x 联立，求出 A，B 的坐标，即可求 线段 AB 的长． 解答： 解：直线 l 的参数方程为 ，化为普通方程为 x+y=3， 与抛物线 y2=4x 联立，可得 x2﹣10x+9=0， ∴交点 A（1，2），B（9，﹣6）， ∴|AB|= =8 ．点评：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力， 属于基础题． 　【选修 4-4：不等式选讲】 24．（2014•江苏）已知 x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy． 考点：不等式的证明．菁优网版权所有 专题：证明题；不等式的解法及应用． 分析： 由均值不等式可得 1+x+y2≥3 ，1+x2+y≥ ，两式相乘可得结论． 解答： 证明：由均值不等式可得 1+x+y2≥3 ，1+x2+y≥ 分别当且仅当 x=y2=1，x2=y=1 时等号成立， ∴两式相乘可得（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy． 点评：本题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键． 　(二）必做题（本部分包括 25、26 两题，每题 10 分，共计 20 分） 25．（10 分）（2014•江苏）盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球，3 个黄球和 2 个绿球，这 些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率 P； （2）从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 x1，x2，x3，随 机变量 X 表示 x1，x2，x3 中的最大数，求 X 的概率分布和数学期望 E（X）． 考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 专题：概率与统计． 分析：（1）先求出取 2 个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式 计算即可； （2）先判断 X 的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数 学期望公式计算即可． 解答： 解（1）一次取 2 个球共有 =36 种可能，2 个球颜色相同共有 =10 种可 能情况 ∴取出的 2 个球颜色相同的概率 P= ．（2）X 的所有可能值为 4，3，2，则 P（X=4）= ，P（X=3）= 于是 P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）= ，X 的概率分布列为 X 23 4 P故 X 数学期望 E（X）= ．点评：本题考查了排列组合，概率公式以概率的分布列和数学期望，知识点比较多，属基础 题． 　26．（10 分）（2014•江苏）已知函数 f0（x）= （x＞0），设 fn（x）为 fn﹣1（x）的 导数，n∈N*． （1）求 2f1（ ）+ f2（ ）的值； （2）证明：对任意 n∈N*，等式|nfn﹣1 （）+ fn（ ）|= 都成立． 考点：三角函数中的恒等变换应用；导数的运算．菁优网版权所有 专题：函数的性质及应用；三角函数的求值． 分析： （1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf0（ x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，把 x= 代入式子求值； （2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx 和 2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，利用相同的 方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进 行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式 、求导公式以及题意进行证明，最后再把 x= 代入所给的式子求解验证． 解答： 解：（1）∵f0（x）= ，∴xf0（x）=sinx， 则两边求导，[xf0（x）]′=（sinx）′， ∵fn（x）为 fn﹣1（x）的导数，n∈N*， ∴f0（x）+xf1（x）=cosx， 两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx， 将 x= 代入上式得，2f1（ ）+ f2（ ）=﹣1， （2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+ ）， 恒成立两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx=sin（x+π）， 再对上式两边同时求导得，3f2（x）+xf3（x）=﹣cosx=sin（x+ ）， 同理可得，两边再同时求导得，4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π）， 猜想得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+ ）对任意 n∈N*恒成立， 下面用数学归纳法进行证明等式成立： ①当 n=1 时， 成立，则上式成立； ②假设 n=k（k＞1 且 k∈N*）时等式成立，即 ，∵[kfk﹣1（x）+xfk（x）]′=kfk﹣1′（x）+fk（x）+xfk′（x） =（k+1）fk（x）+xfk+1（x） 又===，∴那么 n=k+1（k＞1 且 k∈N*）时．等式 也成立， ）对任意 n∈N*恒成立， 由①②得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+ 令 x= 代入上式得，nfn﹣1 ）+ fn（ ）=sin（ 所以，对任意 n∈N*，等式|nfn﹣1 （+）=±cos =± ，（）+ fn（ ）|= 都成立． 点评：本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法证 明命题、转化思想等，本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题 ，难度很大，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力 ．