2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）（含解析版）下载

2014 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分） 1．（5 分）已知集合 A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则 A∩B=（　　） A．[1，2） 2．（5 分） B．[﹣1，1] =（　　） C．[﹣1，2） D．[﹣2，﹣1] A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 3．（5 分）设函数 f（x），g（x）的定义域都为 R，且 f（x）是奇函数，g（x） 是偶函数，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）•g（x）是偶函数 C．f（x）•|g（x）|是奇函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数 4．（5 分）已知 F 为双曲线 C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为（　　） A． B．3 C． mD．3m 5．（5 分）4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、 周日都有同学参加公益活动的概率为（　　） A． B． C． D． 6．（5 分）如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的 始边为射线 OA，终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M，将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f（x），则 y=f（x）在[0，π]的图象大致 为（　　） 第 1 页（共 29 页） A． C． B． D． 7．（5 分）执行如图的程序框图，若输入的 a，b，k 分别为 1，2，3，则输出的 M=（　　） A． B． C． D． ，则（　　） D．2α+β= 的解集记为 D，有下列四个命题： 8．（5 分）设 α∈（0， ），β∈（0， ），且tanα= A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= 9．（5 分）不等式组 p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2 p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1 其中真命题是（　　） 第 2 页（共 29 页） A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3 10．（5 分）已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直 线 PF 与 C 的一个交点，若 =4 ，则|QF|=（　　） A． B．3 C． D．2 11．（5 分）已知函数 f（x）=ax3﹣3×2+1，若 f（x）存在唯一的零点 x0，且 x0＞ 0，则实数 a 的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2） 12．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的 三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（　　） A．6 B．6 C．4 D．4 　二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分） 13．（5 分）（x﹣y）（x+y）8 的展开式中 x2y7 的系数为　 　．（用数字填写 答案） 14．（5 分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为　 15．（5 分）已知 A，B，C 为圆 O 上的三点，若 = （ 夹角为　． 　． +），则 与的第 3 页（共 29 页） 16．（5 分）已知 a，b，c 分别为△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，a=2 且（2+b ）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC 面积的最大值为　． 　三、解答题 17．（12 分）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中 λ 为常数． （Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ （Ⅱ）是否存在 λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． 18．（12 分）从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质 量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： （Ⅰ）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差s2（同一组中数据 用该组区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N（μ，σ2）， 其中 μ 近似为样本平均数 ，σ2 近似为样本方差 s2． （i）利用该正态分布，求 P（187.8＜Z＜212.2）； 第 4 页（共 29 页） （ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100 件产品中质量指 标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求 EX． 附： ≈12.2． 若 Z～N（μ，σ2）则 P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544 ．19．（12 分）如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形，AB⊥B1C． （Ⅰ）证明：AC=AB1； （Ⅱ）若 AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角 A﹣A1B1﹣C1 的余弦值． 20．（12 分）已知点 A（0，﹣2），椭圆 E： +=1（a＞b＞0）的离心率为 ，O 为坐标原点． ，F 是椭圆的右焦点，直线 AF 的斜率为 （Ⅰ）求 E 的方程； （Ⅱ）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求 l 的方程． 第 5 页（共 29 页） 21．（12 分）设函数 f（x）=aexlnx+ 得切线方程为 y=e（x﹣1）+2． ，曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处 （Ⅰ）求 a、b； （Ⅱ）证明：f（x）＞1． 　选修 4-1：几何证明选讲 22．（10 分）如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延 长线交于点 E，且 CB=CE． （Ⅰ）证明：∠D=∠E； （Ⅱ）设 AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为 M，且 MB=MC，证明：△ADE 为等 边三角形． 　选修 4-4：坐标系与参数方程 23．已知曲线 C： +=1，直线 l： （t 为参数） （Ⅰ）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程． （Ⅱ）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最 大值与最小值． 第 6 页（共 29 页） 　选修 4-5：不等式选讲 24．若 a＞0，b＞0，且 + = ．（Ⅰ）求 a3+b3 的最小值； （Ⅱ）是否存在 a，b，使得 2a+3b=6？并说明理由． 　第 7 页（共 29 页） 2014 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 参考答案与试题解析 　一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分） 1．（5 分）已知集合 A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则 A∩B=（　　） A．[1，2） B．[﹣1，1] C．[﹣1，2） D．[﹣2，﹣1] 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A，找出 A 与 B 的交集即可． 【解答】解：由 A 中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0， 解得：x≥3 或 x≤﹣1，即 A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）， ∵B=[﹣2，2）， ∴A∩B=[﹣2，﹣1]． 故选：D． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　2．（5 分） A．1+i =（　　） B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】5N：数系的扩充和复数． 【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，计 算求得结果． 【解答】解： ==﹣（1+i）=﹣1﹣i， 第 8 页（共 29 页） 故选：D． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质， 属于基础题． 　3．（5 分）设函数 f（x），g（x）的定义域都为 R，且 f（x）是奇函数，g（x） 是偶函数，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）•g（x）是偶函数 C．f（x）•|g（x）|是奇函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论． 【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数， ∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）， f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故 A 错误， |f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故 B 错误， f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故 C 正确． |f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故 D 错误， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的 关键． 　4．（5 分）已知 F 为双曲线 C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为（　　） A． B．3 C． mD．3m 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 第 9 页（共 29 页） 【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到 直线的距离公式，可得结论． 【解答】解：双曲线 C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为 ∴一个焦点为（ ，0），一条渐近线方程为 ，=0， ∴点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 故选：A． =．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题 ．　5．（5 分）4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、 周日都有同学参加公益活动的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5I：概率与统计． 【分析】求得 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、 周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可． 【解答】解：4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有 24=16 种情况， 周六、周日都有同学参加公益活动，共有 24﹣2=16﹣2=14 种情况， ∴所求概率为 = ． 故选：D． 【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先 要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件 A 包含的基本事件的 个数和试验中基本事件的总数． 　第 10 页（共 29 页） 6．（5 分）如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的 始边为射线 OA，终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M，将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f（x），则 y=f（x）在[0，π]的图象大致 为（　　） A． C． B． D． 【考点】3P：抽象函数及其应用．菁优网版权所有 【专题】57：三角函数的图像与性质． 【分析】在直角三角形 OMP 中，求出 OM，注意长度、距离为正，再根据直角 三角形的锐角三角函数的定义即可得到 f（x）的表达式，然后化简，分析周 期和最值，结合图象正确选择． 【解答】解：在直角三角形 OMP 中，OP=1，∠POM=x，则 OM=|cosx|， ∴点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f（x）=OM|sinx| =|cosx|•|sinx|= |sin2x|， 其周期为 T= ，最大值为 ，最小值为0， 故选：C． 【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的 关键，同时考查二倍角公式的运用． 　第 11 页（共 29 页） 7．（5 分）执行如图的程序框图，若输入的 a，b，k 分别为 1，2，3，则输出的 M=（　　） A． B． C． D． 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出 M 的值． 【解答】解：由程序框图知：第一次循环 M=1+ = ，a=2，b= ，n=2； 第二次循环 M=2+ = ，a= ，b= ，n=3； 第三次循环 M= + = ，a= ，b= ，n=4． 不满足条件 n≤3，跳出循环体，输出 M= 故选：D． ．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是 解答此类问题的常用方法． 　8．（5 分）设 α∈（0， ），β∈（0， ），且tanα= ，则（　　） 第 12 页（共 29 页） A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β= 【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】化切为弦，整理后得到 sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系 可排除选项 A，B，然后验证 C 满足等式 sin（α﹣β）=cosα，则答案可求． 【解答】解：由 tanα= ，得： ，即 sinαcosβ=cosαsinβ+cosα， sin（α﹣β）=cosα=sin（ ）， ∵α∈（0， ），β∈（0， ）， ∴当 时，sin（α﹣β）=sin（ ）=cosα 成立． 故选：C． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题 ，是基础题． 　9．（5 分）不等式组 的解集记为 D，有下列四个命题： p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2 p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1 其中真命题是（　　） A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3 【考点】2K：命题的真假判断与应用；7A：二元一次不等式的几何意义．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑． 【分析】作出不等式组 的表示的区域 D，对四个选项逐一分析即可． 第 13 页（共 29 页） 【解答】解：作出图形如下： 由图知，区域 D 为直线 x+y=1 与 x﹣2y=4 相交的上部角型区域， p1：区域 D 在 x+2y≥﹣2 区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 成立； p2：在直线 x+2y=2 的右上方和区域 D 重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2， 故 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2 正确； p3：由图知，区域 D 有部分在直线 x+2y=3 的上方，因此 p3：∀（x，y）∈D，x+2y ≤3 错误； p4：x+2y≤﹣1 的区域（左下方的虚线区域）恒在区域 D 下方，故 p4：∃（x，y）∈ D，x+2y≤﹣1 错误； 综上所述，p1、p2 正确； 故选：C． 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确 分析是关键，属于难题． 　10．（5 分）已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直 线 PF 与 C 的一个交点，若 =4 ，则|QF|=（　　） A． B．3 C． D．2 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 第 14 页（共 29 页） 【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求得直线 PF 的方程，与 y2=8x 联立可得 x=1，利用|QF|=d 可求． 【解答】解：设 Q 到 l 的距离为 d，则|QF|=d， ∵=4 ，∴|PQ|=3d， ∴不妨设直线 PF 的斜率为﹣ =﹣2 ，∵F（2，0）， ∴直线 PF 的方程为 y=﹣2 （x﹣2）， 与 y2=8x 联立可得 x=1， ∴|QF|=d=1+2=3， 故选：B． 【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础 题． 　11．（5 分）已知函数 f（x）=ax3﹣3×2+1，若 f（x）存在唯一的零点 x0，且 x0＞ 0，则实数 a 的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2） 【考点】53：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用． 【分析】由题意可得 f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函 数的零点的个数及位置即可． 【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3×2+1， ∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1； ①当 a=0 时，f（x）=﹣3×2+1 有两个零点，不成立； 第 15 页（共 29 页） ②当 a＞0 时，f（x）=ax3﹣3×2+1 在（﹣∞，0）上有零点，故不成立； ③当 a＜0 时，f（x）=ax3﹣3×2+1 在（0，+∞）上有且只有一个零点； 故 f（x）=ax3﹣3×2+1 在（﹣∞，0）上没有零点； 而当 x= 时，f（x）=ax3﹣3×2+1 在（﹣∞，0）上取得最小值； 故 f（ ）= ﹣3• +1＞0； 故 a＜﹣2； 综上所述， 实数 a 的取值范围是（﹣∞，﹣2）； 故选：D． 【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的 零点的判定的应用，属于基础题． 　12．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的 三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（　　） A．6 B．6 C．4 D．4 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可． 【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C 到 BD 的中点的距离为：4， 第 16 页（共 29 页） ∴．AC= =6，AD=4 ，显然 AC 最长．长为 6． 故选：B． 【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力． 　二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分） 13．（5 分）（x﹣y）（x+y）8 的展开式中 x2y7 的系数为　﹣20　．（用数字填 写答案） 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5P：二项式定理． 【分析】由题意依次求出（x+y）8 中 xy7，x2y6，项的系数，求和即可． 【解答】解：（x+y）8 的展开式中，含 xy7 的系数是：8． 含 x2y6 的系数是 28， ∴（x﹣y）（x+y）8 的展开式中 x2y7 的系数为：8﹣28=﹣20． 故答案为：﹣20 【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力． 　14．（5 分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为　A　． 第 17 页（共 29 页） 【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有 【专题】5M：推理和证明． 【分析】可先由乙推出，可能去过 A 城市或 B 城市，再由甲推出只能是 A，B 中 的一个，再由丙即可推出结论． 【解答】解：由乙说：我没去过 C 城市，则乙可能去过 A 城市或 B 城市， 但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市，则乙只能是去过 A，B 中的任 一个， 再由丙说：我们三人去过同一城市， 则由此可判断乙去过的城市为 A． 故答案为：A． 【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题 ．　15．（5 分）已知 A，B，C 为圆 O 上的三点，若 = （ 夹角为　90°　． +），则 与的【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论． 【解答】解：在圆中若 = （ ）， +即 2 =+，即+的和向量是过 A，O 的直径， 则以 AB，AC 为邻边的四边形是矩形， 则即⊥与，的夹角为 90°， 故答案为：90° 【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的 第 18 页（共 29 页） 关键，比较基础． 　16．（5 分）已知 a，b，c 分别为△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，a=2 且（2+b ）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC 面积的最大值为　． 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；58：解三角形． 【分析】由正弦定理化简已知可得 2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求 A 的值， 由基本不等式可求 bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解． 【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC ⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c ⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc， 又因为：a=2， 所以： ，△ABC 面积 ，而 b2+c2﹣a2=bc ⇒b2+c2﹣bc=a2 ⇒b2+c2﹣bc=4 ⇒bc≤4 所以： ，即△ABC 面积的最大值为 ．故答案为： ．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在 解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 　三、解答题 17．（12 分）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中 第 19 页（共 29 页） λ 为常数． （Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ （Ⅱ）是否存在 λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． 【考点】83：等差数列的性质；8H：数列递推式．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）利用 anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，相减即可得出； （Ⅱ）假设存在 λ，使得{an}为等差数列，设公差为 d．可得 λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1 ）+（an+1﹣an）=2d， ．得到 λSn= ，解得 λ 即可． ，根据{an} 为等差数列的充要条件是 【解答】（Ⅰ）证明：∵anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1， ∴an+1（an+2﹣an）=λan+1 ∵an+1≠0， ∴an+2﹣an=λ． （Ⅱ）解：假设存在 λ，使得{an}为等差数列，设公差为 d． 则 λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d， ∴∴．，，∴λSn=1+ =，根据{an}为等差数列的充要条件是 此时可得 ，an=2n﹣1． 因此存在 λ=4，使得{an}为等差数列． ，解得 λ=4． 【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、等 第 20 页（共 29 页） 差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、 分类讨论的思想方法，属于难题． 　18．（12 分）从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质 量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： （Ⅰ）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差s2（同一组中数据 用该组区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N（μ，σ2）， 其中 μ 近似为样本平均数 ，σ2 近似为样本方差 s2． （i）利用该正态分布，求 P（187.8＜Z＜212.2）； （ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100 件产品中质量指 标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求 EX． 附： ≈12.2． 若 Z～N（μ，σ2）则 P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544 ．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CP：正态分布曲线的特点及曲线 所表示的意义．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5I：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出； （Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知 Z～N（200，150），从而求出 P（187.8＜Z＜212.2）， 注意运用所给数据； 第 21 页（共 29 页） （ii）由（i）知 X～B（100，0.6826），运用 EX=np 即可求得． 【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差s2 分别为 ：=170 × 0.02+180 × 0.09+190 × 0.22+200 × 0.33+210 × 0.24+220 × 0.08+230 × 0.02=200， s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202× 0.08+302×0.02=150． （Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知 Z～N（200，150），从而 P（187.8＜Z＜212.2）=P（ 200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826； （ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为 0.6826 ，依题意知 X～B（100，0.6826），所以 EX=100×0.6826=68.26． 【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概 率求解，考查运算能力． 　19．（12 分）如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形，AB⊥B1C． （Ⅰ）证明：AC=AB1； （Ⅱ）若 AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角 A﹣A1B1﹣C1 的余弦值． 【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式；MJ：二面角的平面角及求法．菁优 网版权所有 【专题】5H：空间向量及应用． 【分析】（1）连结 BC1，交 B1C 于点 O，连结 AO，可证 B1C⊥平面 ABO，可得 B1C 第 22 页（共 29 页） ⊥AO，B10=CO，进而可得 AC=AB1； （2）以 O 为坐标原点， 的方向为x 轴的正方向，| |为单位长度， 的方 向为 y 轴的正方向， 的方向为z 轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可 得两平面的法向量，可得所求余弦值． 【解答】解：（1）连结 BC1，交 B1C 于点 O，连结 AO， ∵侧面 BB1C1C 为菱形， ∴BC1⊥B1C，且 O 为 BC1 和 B1C 的中点， 又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面 ABO， ∵AO⊂平面 ABO，∴B1C⊥AO， 又 B10=CO，∴AC=AB1， （2）∵AC⊥AB1，且 O 为 B1C 的中点，∴AO=CO， 又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB， ∴OA，OB，OB1 两两垂直， 以 O 为坐标原点， 的方向为x 轴的正方向，| |为单位长度， 的方向为 y 轴的正方向， 的方向为z 轴的正方向建立空间直角坐标系， ∵∠CBB1=60°，∴△CBB1 为正三角形，又 AB=BC， ∴A（0，0， ），B（1，0，0，），B1（0， ，0），C（0， =（0， ），=（1，0， ）， ，0）， 设向量 =（x，y，z）是平面 AA1B1 的法向量， ，0） ∴，===（﹣1， 则，可取 =（1， ，）， 同理可得平面 A1B1C1 的一个法向量 =（1，﹣ ∴cos＜ ， ＞= =， ∴二面角 A﹣A1B1﹣C1 的余弦值为 ，）， 第 23 页（共 29 页） 【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键， 属中档题． 　20．（12 分）已知点 A（0，﹣2），椭圆 E： +=1（a＞b＞0）的离心率为 ，O 为坐标原点． ，F 是椭圆的右焦点，直线 AF 的斜率为 （Ⅰ）求 E 的方程； （Ⅱ）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求 l 的方程． 【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）通过离心率得到 a、c 关系，通过 A 求出 a，即可求 E 的方程； （Ⅱ）设直线 l：y=kx﹣2，设 P（x1，y1），Q（x2，y2）将 y=kx﹣2 代入 ，利用△＞0，求出 k 的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ 的面 积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程． 【解答】解：（Ⅰ） 设F（c，0），由条件知 所以 a=2，b2=a2﹣c2=1，故 E 的方程 ，得 又 ，．…．（5 分） （Ⅱ）依题意当 l⊥x 轴不合题意，故设直线 l：y=kx﹣2，设 P（x1，y1），Q（x2 ，y2） 将 y=kx﹣2 代入 ，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0， 当△=16（4k2﹣3）＞0，即 时， 从而  又 点O 到 直 线PQ 的 距 离 ， 所 以 △ OPQ 的 面 积 =第 24 页（共 29 页） ，设，则 t＞0， ，当且仅当 t=2，k=± 等号成立，且满足△＞0， 所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y= x﹣2 或 y=﹣ x﹣2．…（12 分 ）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应 用，考查转化思想以及计算能力． 　21．（12 分）设函数 f（x）=aexlnx+ 得切线方程为 y=e（x﹣1）+2． ，曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处 （Ⅰ）求 a、b； （Ⅱ）证明：f（x）＞1． 【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方 程．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；53：导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求出定义域，导数 f′（x），根据题意有 f（1）=2，f′（1）=e， 解出即可； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1 等价于 xlnx＞xe﹣x﹣ ，设函数 g（x）=xlnx，函 数 h（x）= ，只需证明 g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得 g （x）min，h（x）max ；【解答】解：（Ⅰ）函数 f（x）的定义域为（0，+∞）， f′（x）= +，由题意可得 f（1）=2，f′（1）=e， 故 a=1，b=2； 第 25 页（共 29 页） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=exlnx+ ∵f（x）＞1，∴exlnx+ ，＞1，∴lnx＞ ﹣，∴f（x）＞1 等价于 xlnx＞xe﹣x﹣ ，设函数 g（x）=xlnx，则 g′（x）=1+lnx， ∴当 x∈（0， ）时，g′（x）＜0；当 x∈（ ，+∞）时，g′（x）＞0． 故 g（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增，从而 g（x）在（ 0，+∞）上的最小值为 g（ ）=﹣ ． 设函数 h（x）=xe﹣x﹣ ，则 h′（x）=e﹣x（1﹣x）． ∴当 x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当 x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0， 故 h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 从而 h（x）在（0，+∞）上的最大值为 h（1）=﹣ ． 综上，当 x＞0 时，g（x）＞h（x），即 f（x）＞1． 【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考 查转化思想，考查学生分析解决问题的能力． 　选修 4-1：几何证明选讲 22．（10 分）如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延 长线交于点 E，且 CB=CE． （Ⅰ）证明：∠D=∠E； （Ⅱ）设 AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为 M，且 MB=MC，证明：△ADE 为等 边三角形． 第 26 页（共 29 页） 【考点】NB：弦切角；NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；5M：推理和证明． 【分析】（Ⅰ）利用四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由 CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E； （Ⅱ）设 BC 的中点为 N，连接 MN，证明 AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠ A=∠E，即可证明△ADE 为等边三角形． 【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠D=∠CBE， ∵CB=CE， ∴∠E=∠CBE， ∴∠D=∠E； （Ⅱ）设 BC 的中点为 N，连接 MN，则由 MB=MC 知 MN⊥BC， ∴O 在直线 MN 上， ∵AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为 M， ∴OM⊥AD， ∴AD∥BC， ∴∠A=∠CBE， ∵∠CBE=∠E， ∴∠A=∠E， 由（Ⅰ）知，∠D=∠E， ∴△ADE 为等边三角形． 【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中 档题． 　第 27 页（共 29 页） 选修 4-4：坐标系与参数方程 23．已知曲线 C： =1，直线 l： +（t 为参数） （Ⅰ）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程． （Ⅱ）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最 大值与最小值． 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】5S：坐标系和参数方程． 【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取 x=2cosθ、y=3sinθ 得曲线 C 的参数 方程，直接消掉参数 t 得直线 l 的普通方程； （Ⅱ）设曲线 C 上任意一点 P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到 P 到直线 l 的距离，除以 sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值． 【解答】解：（Ⅰ）对于曲线 C： 故曲线 C 的参数方程为 +=1，可令 x=2cosθ、y=3sinθ， ，（θ 为参数）． 对于直线 l： ，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0； （Ⅱ）设曲线 C 上任意一点 P（2cosθ，3sinθ）． P 到直线 l 的距离为 ．则，其中 α 为锐角． 当 sin（θ+α）=﹣1 时，|PA|取得最大值，最大值为 当 sin（θ+α）=1 时，|PA|取得最小值，最小值为 ．．【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体 现了数学转化思想方法，是中档题． 　第 28 页（共 29 页） 选修 4-5：不等式选讲 24．若 a＞0，b＞0，且 + = ．（Ⅰ）求 a3+b3 的最小值； （Ⅱ）是否存在 a，b，使得 2a+3b=6？并说明理由． 【考点】RI：平均值不等式．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得 ab≥2，再利用基本不等式求得 a3+b3 的最小值． （Ⅱ）根据 ab≥2 及基本不等式求的 2a+3b＞8，从而可得不存在 a，b，使得 2a+3b=6． 【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且 + = = + ≥2 ，∴ab≥2， ，∴当且仅当 a=b= 时取等号． ∵a3+b3 ≥2 ≥2 =4，当且仅当 a=b= 时取等号， ∴a3+b3 的最小值为 4 （Ⅱ）∵2a+3b≥2 而由（1）可知，2 ．=2 ，当且仅当 2a=3b 时，取等号． =4 ＞6， ≥2 故不存在 a，b，使得 2a+3b=6 成立． 【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是 否具备，属于基础题． 第 29 页（共 29 页）