2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）（含解析版）下载

2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1．（5 分）已知集合 M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则 M∩N=（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣2，3） 2．（5 分）若 tanα＞0，则（　　） A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0 3．（5 分）设 z= +i，则|z|=（　　） A． B． C． D．2 4．（5 分）已知双曲线 ﹣=1（a＞0）的离心率为 2，则实数 a=（　　） A．2 B． C． D．1 5．（5 分）设函数 f（x），g（x）的定义域都为 R，且 f（x）是奇函数，g（x） 是偶函数，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）•g（x）是偶函数 C．f（x）•|g（x）|是奇函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数 6．（5 分）设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则 A． B． C． D． +=（　　） 7．（5 分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+ ），④y=tan（2x﹣ ）中，最小正周期为 π 的所有函数为（　　） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ 8．（5 分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的 三视图，则这个几何体是（　　） 第 1 页（共 29 页） A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 9．（5 分）执行如图的程序框图，若输入的 a，b，k 分别为 1，2，3，则输出的 M=（　　） A． B． C． D． 10．（5 分）已知抛物线 C：y2=x 的焦点为 F，A（x0，y0）是 C 上一点，AF=| x0| ，则 x0=（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 11．（5 分）设 x，y 满足约束条件 且 z=x+ay 的最小值为 7，则 a=（　　） A．﹣5 B．3 C．﹣5 或 3 D．5 或﹣3 12．（5 分）已知函数 f（x）=ax3﹣3×2+1，若 f（x）存在唯一的零点 x0，且 x0＞ 第 2 页（共 29 页） 0，则实数 a 的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2） 　二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13．（5 分）将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本 数学书相邻的概率为　． 14．（5 分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为　 　． 15．（5 分）设函数 f（x）= ，则使得 f（x）≤2 成立的 x 的取值 范围是　 　． 16．（5 分）如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座的山顶 C 为测量观测点， 从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°，C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°； 从 C 点测得∠MCA=60°，已知山高 BC=100m，则山高 MN=　 　m． 　三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17．（12 分）已知{an}是递增的等差数列，a2，a4 是方程 x2﹣5x+6=0 的根． （1）求{an}的通项公式； （2）求数列{ }的前 n 项和． 第 3 页（共 29 页） 18．（12 分）从某企业生产的产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指 标值，由测量结果得如下频数分布表： 质量指标值分组 [75，85） [85，95） [95，105） [105，115） [115，125） 626 38 22 8频数 （1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图； （2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中 点值作代表）； （3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值 不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定？ 第 4 页（共 29 页） 19．（12 分）如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形，B1C 的中点为 O，且 AO⊥平面 BB1C1C． （1）证明：B1C⊥AB； （2）若 AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高． 20．（12 分）已知点 P（2，2），圆 C：x2+y2﹣8y=0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点． （1）求 M 的轨迹方程； （2）当|OP|=|OM|时，求 l 的方程及△POM 的面积． 21．（12 分）设函数 f（x）=alnx+ x2﹣bx（a≠1），曲线 y=f（x）在点（1， f（1））处的切线斜率为 0， （1）求 b； （2）若存在 x0≥1，使得 f（x0）＜ ，求 a 的取值范围． 　第 5 页（共 29 页） 请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。 【选修 4-1：几何证明选讲】 22．（10 分）如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延 长线交于点 E，且 CB=CE． （Ⅰ）证明：∠D=∠E； （Ⅱ）设 AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为 M，且 MB=MC，证明：△ADE 为等 边三角形． 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 23．已知曲线 C： +=1，直线 l： （t 为参数） （Ⅰ）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程． （Ⅱ）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最 大值与最小值． 　第 6 页（共 29 页） 【选修 4-5：不等式选讲】 24．若 a＞0，b＞0，且 + = ．（Ⅰ）求 a3+b3 的最小值； （Ⅱ）是否存在 a，b，使得 2a+3b=6？并说明理由． 　第 7 页（共 29 页） 2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 参考答案与试题解析 　一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1．（5 分）已知集合 M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则 M∩N=（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣2，3） 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】根据集合的基本运算即可得到结论． 【解答】解：M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}， 则 M∩N={x|﹣1＜x＜1}， 故选：B． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 　2．（5 分）若 tanα＞0，则（　　） A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0 【考点】GC：三角函数值的符号．菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案． 【解答】解：∵tanα＞0， ∴，则 sin2α=2sinαcosα＞0． 故选：C． 第 8 页（共 29 页） 【点评】本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题． 　3．（5 分）设 z= A． +i，则|z|=（　　） B． C． D．2 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5N：数系的扩充和复数． 【分析】先求 z，再利用求模的公式求出|z|． 【解答】解：z= +i= +i= ．故|z|= =．故选：B． 【点评】本题考查复数代数形式的运算，属于容易题． 　4．（5 分）已知双曲线 ﹣=1（a＞0）的离心率为 2，则实数 a=（　　） A．2 B． C． D．1 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由双曲线方程找出 a，b，c，代入离心率，从而求出 a． 【解答】解：由题意， e= = =2， 解得，a=1． 故选：D． 【点评】本题考查了双曲线的定义，属于基础题． 　5．（5 分）设函数 f（x），g（x）的定义域都为 R，且 f（x）是奇函数，g（x） 第 9 页（共 29 页） 是偶函数，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）•g（x）是偶函数 C．f（x）•|g（x）|是奇函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论． 【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数， ∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）， f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故 A 错误， |f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故 B 错误， f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故 C 正确． |f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故 D 错误， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的 关键． 　6．（5 分）设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则 +=（　　） A． B． C． D． 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】利用向量加法的三角形法则，将 ，分解为 +和+的形式， 进而根据 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，结合数乘向量及 向量加法的平行四边形法则得到答案． 【解答】解：∵D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点， 第 10 页（共 29 页） ∴+=（ +）+（ +）= += （ +）= ，故选：A． 【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，熟练掌握向量加法的三角形 法则和平行四边形法则是解答的关键． 　7．（5 分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+ ），④y=tan（2x﹣ ）中，最小正周期为 π 的所有函数为（　　） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ 【考点】H1：三角函数的周期性．菁优网版权所有 【专题】57：三角函数的图像与性质． 【分析】根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论． 【解答】解：∵函数①y=cos 丨 2x 丨=cos2x，它的最小正周期为 =π， ②y=丨 cosx 丨的最小正周期为 ③y=cos（2x+ ）的最小正周期为 ④y=tan（2x﹣ ）的最小正周期为 故选：A． =π， =π， ，第 11 页（共 29 页） 【点评】本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题． 　8．（5 分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的 三视图，则这个几何体是（　　） A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】由题意画出几何体的图形即可得到选项． 【解答】解：根据网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三 视图， 可知几何体如图：几何体是三棱柱． 故选：B． 第 12 页（共 29 页） 【点评】本题考查三视图复原几何体的直观图的判断方法，考查空间想象能力． 　9．（5 分）执行如图的程序框图，若输入的 a，b，k 分别为 1，2，3，则输出的 M=（　　） A． B． C． D． 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出 M 的值． 【解答】解：由程序框图知：第一次循环 M=1+ = ，a=2，b= ，n=2； 第二次循环 M=2+ = ，a= ，b= ，n=3； 第 13 页（共 29 页） 第三次循环 M= + = ，a= ，b= ，n=4． 不满足条件 n≤3，跳出循环体，输出 M= 故选：D． ．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是 解答此类问题的常用方法． 　10．（5 分）已知抛物线 C：y2=x 的焦点为 F，A（x0，y0）是 C 上一点，AF=| x0| ，则 x0=（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出． 【解答】解：抛物线 C：y2=x 的焦点为 F ，∵A（x0，y0）是 C 上一点，AF=| x0|，x0＞0． ∴=x0+ ， 解得 x0=1． 故选：A． 【点评】本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题． 　11．（5 分）设 x，y 满足约束条件 A．﹣5 B．3 且 z=x+ay 的最小值为 7，则 a=（　　） C．﹣5 或 3 D．5 或﹣3 【考点】7F：基本不等式及其应用．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】如图所示，当 a≥1 时，由 ，解得 ．当直线 z=x+ay 第 14 页（共 29 页） 经过 A 点时取得最小值为 7，同理对 a＜1 得出． 【解答】解：如图所示， 当 a≥1 时，由 ，解得 ∴，y= ．．当直线 z=x+ay 经过 A 点时取得最小值为 7， ，化为 a2+2a﹣15=0， ∴解得 a=3，a=﹣5 舍去． 当 a＜1 时，不符合条件． 故选：B． 【点评】本题考查了线性规划的有关知识、直线的斜率与交点，考查了数形结合 的思想方法，属于中档题． 　12．（5 分）已知函数 f（x）=ax3﹣3×2+1，若 f（x）存在唯一的零点 x0，且 x0＞ 0，则实数 a 的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2） 【考点】53：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用． 第 15 页（共 29 页） 【分析】由题意可得 f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函 数的零点的个数及位置即可． 【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3×2+1， ∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1； ①当 a=0 时，f（x）=﹣3×2+1 有两个零点，不成立； ②当 a＞0 时，f（x）=ax3﹣3×2+1 在（﹣∞，0）上有零点，故不成立； ③当 a＜0 时，f（x）=ax3﹣3×2+1 在（0，+∞）上有且只有一个零点； 故 f（x）=ax3﹣3×2+1 在（﹣∞，0）上没有零点； 而当 x= 时，f（x）=ax3﹣3×2+1 在（﹣∞，0）上取得最小值； 故 f（ ）= ﹣3• +1＞0； 故 a＜﹣2； 综上所述， 实数 a 的取值范围是（﹣∞，﹣2）； 故选：D． 【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的 零点的判定的应用，属于基础题． 　二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13．（5 分）将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本 数学书相邻的概率为　． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】首先求出所有的基本事件的个数，再从中找到 2 本数学书相邻的个数， 最后根据概率公式计算即可． 第 16 页（共 29 页） 【解答】解：2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，所有的基 本事件有共有 =6 种结果， 其中 2 本数学书相邻的有（数学 1，数学 2，语文），（数学 2，数学 1，语文） ，（语文，数学 1，数学 2），（语文，数学 2，数学 1）共 4 个，故本数学 书相邻的概率 P= ．故答案为： ． 【点评】本题考查了古典概型的概率公式的应用，关键是不重不漏的列出满足条 件的基本事件． 　14．（5 分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为　A　． 【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有 【专题】5M：推理和证明． 【分析】可先由乙推出，可能去过 A 城市或 B 城市，再由甲推出只能是 A，B 中 的一个，再由丙即可推出结论． 【解答】解：由乙说：我没去过 C 城市，则乙可能去过 A 城市或 B 城市， 但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市，则乙只能是去过 A，B 中的任 一个， 再由丙说：我们三人去过同一城市， 则由此可判断乙去过的城市为 A． 故答案为：A． 【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题 ．　第 17 页（共 29 页） 15．（5 分）设函数 f（x）= 范围是　x≤8　． ，则使得 f（x）≤2 成立的 x 的取值 【考点】5B：分段函数的应用．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用． 【分析】利用分段函数，结合 f（x）≤2，解不等式，即可求出使得 f（x）≤2 成立的 x 的取值范围． 【解答】解：x＜1 时，ex﹣1≤2， ∴x≤ln2+1， ∴x＜1； x≥1 时， ≤2， ∴x≤8， ∴1≤x≤8， 综上，使得 f（x）≤2 成立的 x 的取值范围是 x≤8． 故答案为：x≤8． 【点评】本题考查不等式的解法，考查分段函数，考查学生的计算能力，属于基 础题． 　16．（5 分）如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座的山顶 C 为测量观测点， 从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°，C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°； 从 C 点测得∠MCA=60°，已知山高 BC=100m，则山高 MN=　150　m． 第 18 页（共 29 页） 【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有 【专题】12：应用题；58：解三角形． 【分析】△ABC 中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得 AC；△AMC 中， 由条件利用正弦定理求得 AM；Rt△AMN 中，根据 MN=AM•sin∠MAN，计算 求得结果． 【解答】解：△ABC 中，∵∠BAC=45°，∠ABC=90°，BC=100， ∴AC= =100 ．△AMC 中，∵∠MAC=75°，∠MCA=60°， ∴∠AMC=45°，由正弦定理可得 ，解得 AM=100 ．Rt△AMN 中，MN=AM•sin∠MAN=100 ×sin60°=150（m）， 故答案为：150． 【点评】本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题． 　三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17．（12 分）已知{an}是递增的等差数列，a2，a4 是方程 x2﹣5x+6=0 的根． （1）求{an}的通项公式； （2）求数列{ }的前 n 项和． 【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出 a2，a4 的值，从而解出通 项； （2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和． 【解答】解：（1）方程 x2﹣5x+6=0 的根为 2，3．又{an}是递增的等差数列， 故 a2=2，a4=3，可得 2d=1，d= ， 故 an=2+（n﹣2）× = n+1， 第 19 页（共 29 页） （2）设数列{ }的前 n 项和为 Sn， Sn= ，① Sn= ，② ①﹣②得 Sn= 解得 Sn= =，=2﹣ ．【点评】本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考查 的主要方式． 　18．（12 分）从某企业生产的产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指 标值，由测量结果得如下频数分布表： 质量指标值分组 [75，85） [85，95） [95，105） [105，115） [115，125） 626 38 22 8频数 （1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图； （2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中 点值作代表）； 第 20 页（共 29 页） （3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值 不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定？ 【考点】B8：频率分布直方图；BC：极差、方差与标准差．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】（1）根据频率分布直方图做法画出即可； （2）用样本平均数和方差来估计总体的平均数和方差，代入公式计算即可． （3）求出质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值，再和 0.8 比较即可． 【解答】解：（1）频率分布直方图如图所示： （2）质量指标的样本平均数为 =80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120 ×0.08=100， 质量指标的样本的方差为 S2=（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102× 0.22+202×0.08=104， 这种产品质量指标的平均数的估计值为 100，方差的估计值为 104． （3）质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68， 由于该估计值小于 0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低 于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定． 【点评】本题主要考查了频率分布直方图，样本平均数和方差，考查了学习的细 心的绘图能力和精确的计算能力． 　第 21 页（共 29 页） 19．（12 分）如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形，B1C 的中点为 O，且 AO⊥平面 BB1C1C． （1）证明：B1C⊥AB； （2）若 AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离． 【分析】（1）连接 BC1，则 O 为 B1C 与 BC1 的交点，证明 B1C⊥平面 ABO，可得 B1C⊥AB； （2）作 OD⊥BC，垂足为 D，连接 AD，作 OH⊥AD，垂足为 H，证明△CBB1 为 等边三角形，求出 B1 到平面 ABC 的距离，即可求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高． 【解答】（1）证明：连接 BC1，则 O 为 B1C 与 BC1 的交点， ∵侧面 BB1C1C 为菱形， ∴BC1⊥B1C， ∵AO⊥平面 BB1C1C， ∴AO⊥B1C， ∵AO∩BC1=O， ∴B1C⊥平面 ABO， ∵AB⊂平面 ABO， ∴B1C⊥AB； （2）解：作 OD⊥BC，垂足为 D，连接 AD，作 OH⊥AD，垂足为 H， ∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O， ∴BC⊥平面 AOD， ∴OH⊥BC， ∵OH⊥AD，BC∩AD=D， 第 22 页（共 29 页） ∴OH⊥平面 ABC， ∵∠CBB1=60°， ∴△CBB1 为等边三角形， ∵BC=1，∴OD= ，∵AC⊥AB1，∴OA= B1C= ， 由 OH•AD=OD•OA，可得 AD= =，∴OH= ，∵O 为 B1C 的中点， ∴B1 到平面 ABC 的距离为 ，∴三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高 ．【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查学生 分析解决问题的能力，属于中档题． 　20．（12 分）已知点 P（2，2），圆 C：x2+y2﹣8y=0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点． （1）求 M 的轨迹方程； （2）当|OP|=|OM|时，求 l 的方程及△POM 的面积． 【考点】%H：三角形的面积公式；J3：轨迹方程．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】（1）由圆 C 的方程求出圆心坐标和半径，设出 M 坐标，由 量积等于 0 列式得 M 的轨迹方程； 与数（2）设 M 的轨迹的圆心为 N，由|OP|=|OM|得到 ON⊥PM．求出 ON 所在直线 的斜率，由直线方程的点斜式得到 PM 所在直线方程，由点到直线的距离公 式求出 O 到 l 的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出 PM 的长度 第 23 页（共 29 页） ，代入三角形面积公式得答案． 【解答】解：（1）由圆 C：x2+y2﹣8y=0，得 x2+（y﹣4）2=16， ∴圆 C 的圆心坐标为（0，4），半径为 4． 设 M（x，y），则 ，．由题意可得： ．即 x（2﹣x）+（y﹣4）（2﹣y）=0． 整理得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2． ∴M 的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣3）2=2． （2）由（1）知 M 的轨迹是以点 N（1，3）为圆心， 为半径的圆， 由于|OP|=|OM|， 故 O 在线段 PM 的垂直平分线上， 又 P 在圆 N 上， 从而 ON⊥PM． ∵kON=3， ∴直线 l 的斜率为﹣ ． ∴直线 PM 的方程为 ，即 x+3y﹣8=0． 则 O 到直线 l 的距离为 ．又 N 到 l 的距离为 ，∴|PM|= =．∴．【点评】本题考查圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判断两个向量的 垂直关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题． 　21．（12 分）设函数 f（x）=alnx+ x2﹣bx（a≠1），曲线 y=f（x）在点（1， 第 24 页（共 29 页） f（1））处的切线斜率为 0， （1）求 b； （2）若存在 x0≥1，使得 f（x0）＜ ，求 a 的取值范围． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】53：导数的综合应用． 【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出； （2）对 a 分类讨论：当 a 时，当 a＜1 时，当 a＞1 时，再利用导数研究 函数的单调性极值与最值即可得出． 【解答】解：（1）f′（x）= （x＞0）， ∵曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为 0， ∴f′（1）=a+（1﹣a）×1﹣b=0，解得 b=1． （2）函数 f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+ ，∴=．①当 a 时，则 ，则当 x＞1 时，f′（x）＞0， ∴函数 f（x）在（1，+∞）单调递增， ∴存在 x0≥1，使得 f（x0）＜ 的充要条件是 ，即 ，解得 ②当 ；a＜1 时，则 ，则当 x∈ 当 x∈ 时，f′（x）＜0，函数 f（x）在 时，f′（x）＞0，函数 f（x）在 上单调递减； 上单调递增． ，∴存在 x0≥1，使得 f（x0）＜ 的充要条件是 而=+，不符合题意，应舍去． 第 25 页（共 29 页） ③若 a＞1 时，f（1）= ，成立． 综上可得：a 的取值范围是 ．【点评】本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等 基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和 计算能力，属于难题． 　请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 。【选修 4-1：几何证明选讲】 22．（10 分）如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延 长线交于点 E，且 CB=CE． （Ⅰ）证明：∠D=∠E； （Ⅱ）设 AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为 M，且 MB=MC，证明：△ADE 为等 边三角形． 【考点】NB：弦切角；NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；5M：推理和证明． 【分析】（Ⅰ）利用四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由 CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E； （Ⅱ）设 BC 的中点为 N，连接 MN，证明 AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠ A=∠E，即可证明△ADE 为等边三角形． 【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠D=∠CBE， ∵CB=CE， 第 26 页（共 29 页） ∴∠E=∠CBE， ∴∠D=∠E； （Ⅱ）设 BC 的中点为 N，连接 MN，则由 MB=MC 知 MN⊥BC， ∴O 在直线 MN 上， ∵AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为 M， ∴OM⊥AD， ∴AD∥BC， ∴∠A=∠CBE， ∵∠CBE=∠E， ∴∠A=∠E， 由（Ⅰ）知，∠D=∠E， ∴△ADE 为等边三角形． 【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中 档题． 　【选修 4-4：坐标系与参数方程】 23．已知曲线 C： +=1，直线 l： （t 为参数） （Ⅰ）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程． （Ⅱ）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最 大值与最小值． 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】5S：坐标系和参数方程． 第 27 页（共 29 页） 【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取 x=2cosθ、y=3sinθ 得曲线 C 的参数 方程，直接消掉参数 t 得直线 l 的普通方程； （Ⅱ）设曲线 C 上任意一点 P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到 P 到直线 l 的距离，除以 sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值． 【解答】解：（Ⅰ）对于曲线 C： 故曲线 C 的参数方程为 +=1，可令 x=2cosθ、y=3sinθ， ，（θ 为参数）． 对于直线 l： ，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0； （Ⅱ）设曲线 C 上任意一点 P（2cosθ，3sinθ）． P 到直线 l 的距离为 ．则，其中 α 为锐角． 当 sin（θ+α）=﹣1 时，|PA|取得最大值，最大值为 当 sin（θ+α）=1 时，|PA|取得最小值，最小值为 ．．【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体 现了数学转化思想方法，是中档题． 　【选修 4-5：不等式选讲】 24．若 a＞0，b＞0，且 + = （Ⅰ）求 a3+b3 的最小值； ．（Ⅱ）是否存在 a，b，使得 2a+3b=6？并说明理由． 【考点】RI：平均值不等式．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得 ab≥2，再利用基本不等式求得 a3+b3 的最小值． 第 28 页（共 29 页） （Ⅱ）根据 ab≥2 及基本不等式求的 2a+3b＞8，从而可得不存在 a，b，使得 2a+3b=6． 【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且 + = = + ≥2 ，∴ab≥2， ，∴当且仅当 a=b= 时取等号． ∵a3+b3 ≥2 ≥2 =4，当且仅当 a=b= 时取等号， ∴a3+b3 的最小值为 4 （Ⅱ）∵2a+3b≥2 而由（1）可知，2 ．=2 ，当且仅当 2a=3b 时，取等号． =4 ＞6， ≥2 故不存在 a，b，使得 2a+3b=6 成立． 【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是 否具备，属于基础题． 第 29 页（共 29 页）