2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）（含解析版）下载

2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分） 1．（5 分）设集合 M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则 M∩N 中 元素的个数为（　　） A．2 B．3 C．5 D．7 2．（5 分）已知角 α 的终边经过点（﹣4，3），则 cosα=（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 3．（5 分）不等式组 的解集为（　　） A．{x|﹣2＜x＜﹣1} C．{x|0＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|x＞1} 4．（5 分）已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成 角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 5．（5 分）函数 y=ln（ +1）（x＞﹣1）的反函数是（　　） A．y=（1﹣ex）3（x＞﹣1） C．y=（1﹣ex）3（x∈R） B．y=（ex﹣1）3（x＞﹣1） D．y=（ex﹣1）3（x∈R） 6．（5 分）已知 ， 为单位向量，其夹角为60°，则（2 ﹣ ）• =（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 7．（5 分）有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成 一个医疗小组，则不同的选法共有（　　） A．60 种 8．（5 分）设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn．若 S2=3，S4=15，则 S6=（　　） A．31 B．32 C．63 D．64 B．70 种 C．75 种 D．150 种 9．（5 分）已知椭圆 C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点为 F1、F2，离心率 第 1 页（共 22 页） 为，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若△AF1B 的周长为 4 ，则 C 的方 程为（　　） A． =1 +B． +y2=1 C． +=1 D． +=1 10．（5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2 ，则该球的表面积为（　　） A． B．16π C．9π D． 11．（5 分）双曲线 C： ﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为 2，焦点到渐近线 的距离为 ，则C 的焦距等于（　　） A．2 B．2 C．4 D．4 12．（5 分）奇函数 f（x）的定义域为 R，若 f（x+2）为偶函数，且 f（1）=1， 则 f（8）+f（9）=（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 　二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分) 13．（5 分）（x﹣2）6 的展开式中 x3 的系数是　 14．（5 分）函数 y=cos2x+2sinx 的最大值是　 　．（用数字作答） 　． 15．（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+4y 的最大值为　 　． 16．（5 分）直线 l1 和 l2 是圆 x2+y2=2 的两条切线，若 l1 与 l2 的交点为（1，3）， 则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于　． 　三、解答题 17．（10 分）数列{an}满足 a1=1，a2=2，an+2=2an+1﹣an+2． （Ⅰ）设 bn=an+1﹣an，证明{bn}是等差数列； （Ⅱ）求{an}的通项公式． 第 2 页（共 22 页） 18．（12 分）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 3acosC=2ccosA ，tanA= ，求 B． 19．（12 分）如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，点 A1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2． （Ⅰ）证明：AC1⊥A1B； （Ⅱ）设直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离为 ，求二面角A1﹣AB﹣C 的大小． 20．（12 分）设每个工作日甲，乙，丙，丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立． （Ⅰ）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率； （Ⅱ）实验室计划购买 k 台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需 使用设备的人数大于 k”的概率小于 0.1，求 k 的最小值． 第 3 页（共 22 页） 21．（12 分）函数 f（x）=ax3+3×2+3x（a≠0）． （Ⅰ）讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）若 f（x）在区间（1，2）是增函数，求 a 的取值范围． 22．（12 分）已知抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点为 F，直线 y=4 与 y 轴的交 点为 P，与 C 的交点为 Q，且|QF|= |PQ|． （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ）过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M 、N 两点，且 A、M、B、N 四点在同一圆上，求 l 的方程． 　第 4 页（共 22 页） 2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版） 参考答案与试题解析 　一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分） 1．（5 分）设集合 M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则 M∩N 中 元素的个数为（　　） A．2 B．3 C．5 D．7 【考点】1A：集合中元素个数的最值；1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】根据 M 与 N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可． 【解答】解：∵M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}， ∴M∩N={1，2，6}，即 M∩N 中元素的个数为 3． 故选：B． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　2．（5 分）已知角 α 的终边经过点（﹣4，3），则 cosα=（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 【考点】G9：任意角的三角函数的定义．菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得 cosα 的值． 【解答】解：∵角 α 的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r= =5． ∴cosα= = =﹣ ， 故选：D． 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属 于基础题． 第 5 页（共 22 页） 　3．（5 分）不等式组 的解集为（　　） A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1} 【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的 解集，再取交集，即得所求． 【解答】解：由不等式组 可得 ，解得 0＜x＜1， 故选：C． 【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题． 　4．（5 分）已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成 角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 【专题】5G：空间角． 【分析】由 E 为 AB 的中点，可取 AD 中点 F，连接 EF，则∠CEF 为异面直线 CE 与 BD 所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF 的三边长，然后利用余弦定 理求解异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值． 【解答】解：如图， 取 AD 中点 F，连接 EF，CF， ∵E 为 AB 的中点， ∴EF∥DB， 则∠CEF 为异面直线 BD 与 CE 所成的角， 第 6 页（共 22 页） ∵ABCD 为正四面体，E，F 分别为 AB，AD 的中点， ∴CE=CF． 设正四面体的棱长为 2a， 则 EF=a， CE=CF= ．在△CEF 中，由余弦定理得： =．故选：B． 【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用 ，是中档题． 　5．（5 分）函数 y=ln（ +1）（x＞﹣1）的反函数是（　　） A．y=（1﹣ex）3（x＞﹣1） C．y=（1﹣ex）3（x∈R） B．y=（ex﹣1）3（x＞﹣1） D．y=（ex﹣1）3（x∈R） 【考点】4R：反函数．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】由已知式子解出 x，然后互换 x、y 的位置即可得到反函数． 【解答】解：∵y=ln（ +1）， ∴+1=ey，即 =ey﹣1， ∴x=（ey﹣1）3， 第 7 页（共 22 页） ∴所求反函数为 y=（ex﹣1）3， 故选：D． 【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题． 　6．（5 分）已知 ， 为单位向量，其夹角为60°，则（2 ﹣ ）• =（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得 、的值，可得（2 ﹣ ）• 的值． 【解答】解：由题意可得， =1×1×cos60°= ， =1， ∴（2 ﹣ ）• =2 故选：B． ﹣=0， 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题． 　7．（5 分）有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成 一个医疗小组，则不同的选法共有（　　） A．60 种 B．70 种 C．75 种 D．150 种 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 【专题】5O：排列组合． 【分析】根据题意，分 2 步分析，先从 6 名男医生中选 2 人，再从 5 名女医生中 选出 1 人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算 可得答案． 2【解答】解：根据题意，先从 6 名男医生中选 2 人，有 C6 =15 种选法， 1再从 5 名女医生中选出 1 人，有 C5 =5 种选法， 第 8 页（共 22 页） 则不同的选法共有 15×5=75 种； 故选：C． 【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同． 　8．（5 分）设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn．若 S2=3，S4=15，则 S6=（　　） A．31 B．32 C．63 D．64 【考点】89：等比数列的前 n 项和．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】由等比数列的性质可得 S2，S4﹣S2，S6﹣S4 成等比数列，代入数据计算 可得． 【解答】解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4， 所以 S2，S4﹣S2，S6﹣S4 成等比数列， 即 3，12，S6﹣15 成等比数列， 可得 122=3（S6﹣15）， 解得 S6=63 故选：C． 【点评】本题考查等比数列的性质，得出 S2，S4﹣S2，S6﹣S4 成等比数列是解决 问题的关键，属基础题． 　9．（5 分）已知椭圆 C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点为 F1、F2，离心率 为，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若△AF1B 的周长为 4 ，则 C 的方 程为（　　） A． =1 +B． +y2=1 C． +=1 D． +=1 第 9 页（共 22 页） 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用△AF1B 的周长为 4 ，求出 a= ，根据离心率为 ，可得c=1， 求出 b，即可得出椭圆的方程． 【解答】解：∵△AF1B 的周长为 4 ，∵△AF1B 的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a， ∴4a=4 ∴a= ，，∵离心率为 ，∴，c=1， ∴b= =，∴椭圆 C 的方程为 故选：A． +=1． 【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能 力，属于基础题． 　10．（5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2 ，则该球的表面积为（　　） A． B．16π C．9π D． 【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离． 【分析】正四棱锥 P﹣ABCD 的外接球的球心在它的高 PO1 上，记为 O，求出 PO1 ，OO1，解出球的半径，求出球的表面积． 【解答】解：设球的半径为 R，则 ∵棱锥的高为 4，底面边长为 2， 第 10 页（共 22 页） ∴R2=（4﹣R）2+（ ）2， ∴R= ， ∴球的表面积为 4π•（ ）2= 故选：A． ．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题 ．　11．（5 分）双曲线 C： ﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为 2，焦点到渐近线 的距离为 ，则C 的焦距等于（　　） A．2 B．2 C．4 D．4 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到 结论． 【解答】解：∵： ﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为 2， ，双曲线的渐近线方程为 y= ，不妨取 y= ，即 bx﹣ay=0， 则 c=2a，b= ∵焦点 F（c，0）到渐近线 bx﹣ay=0 的距离为 ∴d= ∴e= ，，，第 11 页（共 22 页） 即，解得 c=2， 则焦距为 2c=4， 故选：C． 【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直 线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础． 　12．（5 分）奇函数 f（x）的定义域为 R，若 f（x+2）为偶函数，且 f（1）=1， 则 f（8）+f（9）=（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到 f（x+8）=f（x），即可得到结论． 【解答】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数， ∴设 g（x）=f（x+2）， 则 g（﹣x）=g（x）， 即 f（﹣x+2）=f（x+2）， ∵f（x）是奇函数， ∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2）， 即 f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x）， 则 f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1， ∴f（8）+f（9）=0+1=1， 故选：D． 【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称 轴是解决本题的关键． 　第 12 页（共 22 页） 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分) 13．（5 分）（x﹣2）6 的展开式中 x3 的系数是　﹣160　．（用数字作答） 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】根据题意，由二项式定理可得（x﹣2）6 的展开式的通项，令 x 的系数 为 3，可得 r=3，将 r=3 代入通项，计算可得 T4=﹣160×3，即可得答案． 6rr【解答】解：根据题意，（x﹣2） 的展开式的通项为 Tr+1=C6 x6﹣r（﹣2）=（﹣1 r）r•2r•C6 x6﹣r ，令 6﹣r=3 可得 r=3， 3此时 T4=（﹣1）3•23•C6 x3=﹣160×3，即 x3 的系数是﹣160； 故答案为﹣160． 【点评】本题考查二项式定理的应用，关键要得到（x﹣2）6 的展开式的通项． 　14．（5 分）函数 y=cos2x+2sinx 的最大值是　． 【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【 分 析 】 利 用 二 倍 角 公 式 对 函 数 化 简 可 得y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx= ，结合﹣1≤sinx≤1 及二次函数的性质可求函数有最大值 【解答】解：∵y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx= 又∵﹣1≤sinx≤1 当 sinx= 时，函数有最大值 故答案为： 第 13 页（共 22 页） 【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简，二次函数在闭 区间上的最值的求解，解题中要注意﹣1≤sinx≤1 的条件． 　15．（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+4y 的最大值为　5　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最 优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 C（1，1）． 化目标函数 z=x+4y 为直线方程的斜截式，得 ．由图可知，当直线 过 C 点时，直线在 y 轴上的截距最大，z 最大． 此时 zmax=1+4×1=5． 故答案为：5． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 ．　16．（5 分）直线 l1 和 l2 是圆 x2+y2=2 的两条切线，若 l1 与 l2 的交点为（1，3）， 第 14 页（共 22 页） 则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于　． 【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】设 l1 与 l2 的夹角为 2θ，由于 l1 与 l2 的交点 A（1，3）在圆的外部，由直 角三角形中的边角关系求得 sinθ= tan2θ= ，计算求得结果． 的值，可得 cosθ、tanθ 的值，再根据 【解答】解：设 l1 与 l2 的夹角为 2θ，由于 l1 与 l2 的交点 A（1，3）在圆的外部， 且点 A 与圆心 O 之间的距离为 OA= 圆的半径为 r= =，，∴sinθ= ∴cosθ= =，，tanθ= = ， = ， ∴tan2θ= =故答案为： ． 【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三 角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题． 　三、解答题 17．（10 分）数列{an}满足 a1=1，a2=2，an+2=2an+1﹣an+2． （Ⅰ）设 bn=an+1﹣an，证明{bn}是等差数列； （Ⅱ）求{an}的通项公式． 【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式；8H：数列递推式．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）将 an+2=2an+1﹣an+2 变形为：an+2﹣an+1=an+1﹣an+2，再由条件得 第 15 页（共 22 页） bn+1=bn+2，根据条件求出 b1，由等差数列的定义证明{bn}是等差数列； （Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出 bn，代入 bn=an+1﹣an 并令 n 从 1 开 始取值，依次得（n﹣1）个式子，然后相加，利用等差数列的前 n 项和公式 求出{an}的通项公式 an． 【解答】解：（Ⅰ）由 an+2=2an+1﹣an+2 得， an+2﹣an+1=an+1﹣an+2， 由 bn=an+1﹣an 得，bn+1=bn+2， 即 bn+1﹣bn=2， 又 b1=a2﹣a1=1， 所以{bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1， 由 bn=an+1﹣an 得，an+1﹣an=2n﹣1， 则 a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，…，an﹣an﹣1=2（n﹣1）﹣1， 所以，an﹣a1=1+3+5+…+2（n﹣1）﹣1 ==（n﹣1）2， 又 a1=1， 所以{an}的通项公式 an=（n﹣1）2+1=n2﹣2n+2． 【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前 n 项和公式，及累加法求数 列的通项公式和转化思想，属于中档题． 　18．（12 分）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 3acosC=2ccosA ，tanA= ，求 B． 【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．菁优网版权所有 【专题】58：解三角形． 第 16 页（共 22 页） 【分析】由 3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同 角的三角函数基本关系式可得 tanC，利用 tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C） 即可得出． 【解答】解：∵3acosC=2ccosA， 由正弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA， ∴3tanA=2tanC， ∵tanA= ， ∴2tanC=3× =1，解得 tanC= ． ∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣ =﹣ =﹣1， ∵B∈（0，π）， ∴B= 【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公 式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属 于中档题． 　19．（12 分）如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，点 A1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2． （Ⅰ）证明：AC1⊥A1B； （Ⅱ）设直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离为 ，求二面角A1﹣AB﹣C 的大小． 第 17 页（共 22 页） 【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得； （Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD 为二面角 A1﹣AB﹣C 的平面角，解三角形由反三角 函数可得． 【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面 ABC，A1D⊂平面 AA1C1C， ∴平面 AA1C1C⊥平面 ABC，又 BC⊥AC ∴BC⊥平面 AA1C1C，连结 A1C， 由侧面 AA1C1C 为菱形可得 AC1⊥A1C， 又 AC1⊥BC，A1C∩BC=C， ∴AC1⊥平面 A1BC，AB1⊂平面 A1BC， ∴AC1⊥A1B； （Ⅱ）∵BC⊥平面 AA1C1C，BC⊂平面 BCC1B1， ∴平面 AA1C1C⊥平面 BCC1B1， 作 A1E⊥CC1，E 为垂足，可得 A1E⊥平面 BCC1B1， 又直线 AA1∥平面 BCC1B1， ∴A1E 为直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离，即 A1E= ，∵A1C 为∠ACC1 的平分线，∴A1D=A1E= 作 DF⊥AB，F 为垂足，连结 A1F， 又可得 AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1， ∴AB⊥平面 A1DF，∵A1F⊂平面 A1DF ∴A1F⊥AB， ，∴∠A1FD 为二面角 A1﹣AB﹣C 的平面角， 由 AD= =1 可知 D 为 AC 中点， ∴DF= ==，，∴tan∠A1FD= ∴二面角 A1﹣AB﹣C 的大小为 arctan 第 18 页（共 22 页） 【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键 ，属中档题． 　20．（12 分）设每个工作日甲，乙，丙，丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立． （Ⅰ）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率； （Ⅱ）实验室计划购买 k 台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需 使用设备的人数大于 k”的概率小于 0.1，求 k 的最小值． 【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）把 4 个人都需使用设备的概率、4 个人中有 3 个人使用设备的概 率相加，即得所求． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得若 k=2，不满足条件．若 k=3，求得“同一工作日需使用设备 的人数大于 3”的概率为 0.06＜0.1，满足条件，从而得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得“同一工作日至少 3 人需使用设备”的概率为 0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6× 0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得若 k=2，则“同一工作日需使用设备的人数大于 2”的概率为 0.31＞0.1，不满足条件． 若 k=3，则“同一工作日需使用设备的人数大于 3”的概率为 0.6×0.5×0.5× 0.4=0.06＜0.1，满足条件． 故 k 的最小值为 3． 第 19 页（共 22 页） 【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，体现了分类讨论的数学思 想，属于中档题． 　21．（12 分）函数 f（x）=ax3+3×2+3x（a≠0）． （Ⅰ）讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）若 f（x）在区间（1，2）是增函数，求 a 的取值范围． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 【专题】53：导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为 0，利用二次函数的根，通过 a 的 范围讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）当 a＞0，x＞0 时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当 a＜0 时，f（x） 在区间（1，2）是增函数，推出 f′（1）≥0 且 f′（2）≥0，即可求 a 的取值 范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数 f（x）=ax3+3×2+3x， ∴f′（x）=3ax2+6x+3， 令 f′（x）=0，即 3ax2+6x+3=0，则△=36（1﹣a）， ①若 a≥1 时，则△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在 R 上是增函数； ②因为 a≠0，∴a≤1 且 a≠0 时，△＞0，f′（x）=0 方程有两个根，x1= ，x2= ，当 0＜a＜1 时，则当 x∈（﹣∞，x2）或（x1，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在（ ﹣∞，x2）或（x1，+∞）是增函数；在（x2，x1）是减函数； 当 a＜0 时，则当 x∈（﹣∞，x1）或（x2，+∞），f′（x）＜0，故函数在（﹣∞， x1）或（x2，+∞）是减函数；在（x1，x2）是增函数； （Ⅱ）当 a＞0，x＞0 时，f′（x）=3ax2+6x+3＞0 故 a＞0 时，f（x）在区间（1， 2）是增函数， 第 20 页（共 22 页） 当 a＜0 时，f（x）在区间（1，2）是增函数， 当且仅当：f′（1）≥0 且 f′（2）≥0，解得﹣ ，a 的取值范围[ ）∪（0，+∞）． 【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函 数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用． 　22．（12 分）已知抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点为 F，直线 y=4 与 y 轴的交 点为 P，与 C 的交点为 Q，且|QF|= |PQ|． （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ）过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M 、N 两点，且 A、M、B、N 四点在同一圆上，求 l 的方程． 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（Ⅰ）设点 Q 的坐标为（x0，4），把点 Q 的坐标代入抛物线 C 的方程 ，求得 x0= ，根据|QF|= |PQ|求得 p 的值，可得 C 的方程． （Ⅱ）设 l 的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、 中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线 l′的方程代入抛物线方程化简， 利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于 MN 垂直平分线段 AB，故 AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|= |MN|，由此求得 m 的值，可得直线 l 的方程． 【解答】解：（Ⅰ）设点 Q 的坐标为（x0，4），把点 Q 的坐标代入抛物线 C：y2=2px （p＞0）， 可得 x0= ，∵点 P（0，4），∴|PQ|= ． 又|QF|=x0+ = + ，|QF|= |PQ|， ∴ + = × ，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）． 故 C 的方程为 y2=4x． （Ⅱ）由题意可得，直线 l 和坐标轴不垂直，y2=4x 的焦点 F（1，0）， 第 21 页（共 22 页） 设 l 的方程为 x=my+1（m≠0）， 代入抛物线方程可得 y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m， y1•y2=﹣4． ∴AB 的 中 点 坐 标 为D （ 2m2+1 ， 2m ） ， 弦 长 |AB|= |y1﹣y2|= =4（m2+1）． 又直线 l′的斜率为﹣m，∴直线 l′的方程为 x=﹣ y+2m2+3． 过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M、N 两 点， 把线 l′的方程代入抛物线方程可得 y2+ y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4= ，y3•y4=﹣4 （2m2+3）． 故线段 MN 的中点 E 的坐标为（ +2m2+3， ），∴|MN|= |y3﹣y4|= ，∵MN 垂直平分线段 AB，故 AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|= |MN|， +DE2= MN2， ∴∴ 4 （ m2+1 ） 2 + m2﹣1=0， += × ， 化 简 可 得 ∴m=±1，∴直线 l 的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣1=0． 【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用 ，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题． 第 22 页（共 22 页）