2013年江苏高考数学试题及答案下载

2013 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 参考公式： nn11样本数据 x1, x2 ,, xn 的方差 s2  (x  x)2 ，其中 x  x 。 in  n  ii1 i1 1棱锥的体积公式：V  Sh ，其中 S是锥体的底面积， h为高。 3棱柱的体积公式：V  Sh ，其中 S是柱体的底面积， h 为高。 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分，请把答案填写在答题卡的相应 位置上。 41、函数 y  3sin(2x  ) 的最小正周期为 ▲。2、设 z  (2 i)2 (i为虚数单位)，则复数 z的模为 ▲。x2 y2 3、双曲线 1的两条渐近线的方程为 ▲。16 94、集合{-1，0，1}共有 ▲个子集。 5、右图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是 ▲。6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩（单位：环），结果 如下： 运动员 第1 次 第2 次 第3 次 第4 次 第5 次 87 89 91 90 90 91 89 88 93 92 甲乙则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲。7、现有某类病毒记作为 XmYn ，其中正整数 m,n(m  7,n  9) 可以任意选 取，则 m,n 都取到奇数的概率为 ▲。8、如图，在三棱柱 A1B1C1 -ABC 中，D、E、F 分别为 AB、AC、A A1 的中点， 设三棱锥 F-ADE 的体积为 1 ，三棱柱 A1B1C1 -ABC 的体积为 2 ，则 VVV ：V2 = 1▲。9、抛物线 y  x2 若点 P(x，y)是区域 D 内的任意一点，则 x  2y 的取值范围是 在x 1处的切线与坐标轴围成三角形区域为 D(包含三角形内部与边界)。 ▲。1210 、 设D 、 E 分 别 是 △ ABC 的 边AB 、 BC 上 的 点 ， 且AD  AB, BE  BC 。 若 23   DE  1 AB  2 AC (1 、2 均为实数)，则 1 +2 的值为 ▲。11、已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数。当 x  0 时， f (x)  x2  4x ，则不等式 f (x)  x 的解集用区间表示为 ▲。x2 y2 12、在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 C 的方程为 1(a  b  0) ，右焦点为 F，右准 a2 b2 线为 l ，短轴的一个端点为 B。设原点到直线 BF 的距离为 d1 ，F 到 l 的距离为 d2 。若 d2  6d1 ，则椭圆 C 的离心率为 ▲。113、在平面直角坐标系 xoy 中，设定点 A(a,a)，P 是函数 y  (x  0)图象上的一动点。若 x点 P、A 之间的最短距离为 2 2，则满足条件的实数 a 的所有值为= ▲。114、在正项等比数列 最大正整数 n 的值为 a中， a5  ,a6  a7  3，则满足 a1  a2  an  a1a2 an 的   n2▲。二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说 明、证明或演算步骤. 15、（本小题满分 14 分） 已知向量 a  (cos,sin),b  (cos ,sin ),0       。  ；（1）若| a b | 2 ，求证： a  b   （2）设 c  (0,1)，若 a  b  c ，求,  的值。 16、（本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥 S-ABC 中，平面 SAB  平面 SBC, AB  BC ，AS=AB。过 A 作 AF  SB 垂足为 F，点 E、G 分别为线段 SA、SC 的中点。 ，求证：（1）平面 EFG//平面 ABC； （2） BC  SA 。17、（本小题满分 14 分） 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，点 A(0,3)，直线l : y  2x  4 ，设圆 C 的半径为 1，圆心 在直线 上。 l（1）若圆心 C 也在直线 y  x 1上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程； （2）若圆 C 上存在点 M，使 MA=2MO，求圆心 C 的横坐标 的取值范围。 a18、（本小题满分 16 分） 如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径。一种是从 A 沿直线步行到 C， 另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C。 现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 米/分钟。在甲出发 2 分钟后， 乙从 A 乘坐缆车到 B，在 B 处停留 1 分钟后，再从 B 匀速步行到 C。假设缆车速度为 130 米/ 分 钟 ， 山 路AC 的 长 为1260 米 ， 经 测 量 ， 12 3cos A  ,cosC  。13 5（1）求索道 AB 的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步 行的速度应控制在什么范围内？ 19、（本小题满分 16 分） 设{an }是 首 项 为 a、 公 差 为 d的 等 差 数 列(d  0) ， Sn 为 其 前n 项 和 。 记 nSn n2  c bn  ,n N ，其中 c 为实数。 （1）若 c=0，且b1 ,b2 ,b4 成等比数列，证明： Snk  n2 Sk (n, k  N  ) （2）若{ bn }为等差数列，证明：c=0。 20、（本小题满分 16 分） 设函数 f (x)  ln x  ax, g(x)  ex  ax ，其中 a 为实数。 （1）若 f (x) （2）若 g(x) 在在(1,) 上是单调减函数，且 g(x) 在(1,) 上有最小值，求 a 的取值范围； (1,) 上是单调增函数，试求 f (x) 的零点个数，并证明你的结论。 21．[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修 4 – 1：几何证明选讲]（本小题满分 10 分） 如图，AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D、C，AC 经过圆心 O，且 BC=2OC。 求证：AC=2AD。 B．[选修 4 – 2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分） 1 0 1 2 已知矩阵 A  ,B  ，求矩阵 A1B ．020 6 C．[选修 4 – 4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） x  t 1 y  2t 在平面直角坐标系 xoy 中，直线 l的参数方程为 （t 为参数），曲线 C 的参数方程为 2x  2tan  y  2tan （为参数）。试求直线l 和曲线 C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。 D．[选修 4 – 5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） ＞0，求证： 2a3 b3 已知 a≥b≥2ab2  a2b 。【必做题】第22 题、第23 题，每题10 分，共计20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分） 如图，在直三棱柱 A B C1  ABC 中，AB⊥AC，AB=AC=2， A A =4，点 D是 BC的中点。 111（1）求异面直线 A B 与C1D 所成角的余弦值； 1（2）求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值。 23．（本小题满分 10 分） k个  设数列 即a  n：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，…， (1)k1k,(1)k1k ，… （k- 1）k （k+1）k 当 n  (k  N ) 时，an  (1)k1k 。记22Sn  a1  a2  an (n N ) 。对于l  N ，定义集合 Pl =﹛ n|Sn 为 a n ≤l } n 的整数倍， n N, 且 1≤ (1)求 11 中元素个数； P(2)求集合 P2000 中元素个数。 参考答案 1．【答案】π 22ππ【解析】T＝| |＝| |＝π． 2ω2．【答案】5 【解析】z＝3－4i，i2＝－1，| z |＝ ＝5． 33．【答案】 y  x 4×2 y2 9×2 3【解析】令：  0 ，得 y    x ．16 916 44．【答案】8 【解析】23＝8． 5．【答案】3 【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4． 6．【答案】2 89  90  91 88  92 【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为： x   90 ．5(89  90)2  (90  90)2  (91 90)2  (88  90)2  (92  90)2 方差为： S 2   2 ．57． 【答案】 20 63 【解析】m 取到奇数的有 1，3，5，7 共 4 种情况；n 取到奇数的有 1，3，5，7，9 共 5 种 45 20 79 63 情况，则 m，n 都取到奇数的概率为 ．8． 【答案】1：24 C1 【解析】三棱锥 F  ADE 与三棱锥 A  ABC 的相似比为 1：2，故体积之比为 B1 1A11：8．又因三棱锥 A  ABC 与三棱柱 A B1C1  ABC 的体积之比为 1：3．所 11FC以，三棱锥 F  ADE 与三棱柱 A B1C1  ABC 的体积之比为 1：24． 1BE9． AD1【答案】[—2， ] 21z【解析】抛物线 y  x2 在x  1处的切线易得为 y＝2x—1，令 z＝ x  2y ，y＝— x＋ ． 2 2 11画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，zmin＝—2，过点( ，0)时，zmax＝ ． 22yy＝2x—1 Ox1y＝— x 210． 12【答案】 1212【解析】 DE  DB  BE  AB  BC  AB  (BA  AC) 232312 AB  AC  1 AB  2 AC 63121623所以， 1   11． ，2  ，1  2  ．【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞) 【解析】做出 f (x)  x2  4x (x  0 )的图像，如下图所示。由于 f (x) 是定义在 R上的奇 函数，利用奇函数图像关于原点对称做出 x＜0 的图像。不等式 f (x)  x ，表示函数 y＝ f (x) 的图像在 y＝x 的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。 yP(5,5) y＝x y＝x2—4 x xQ(﹣5, ﹣5) 312． 【答案】 3lyBa2 ca2 cb2 ca【解析】如图，l：x＝ ，d2 ＝－c＝ ，由等 bcOFxbc b2 bc 面积得： 1 d＝。若 d2  6d1 ，则 ＝6，aca2bb   整理得： 6a2  ab  6b2  0 ，两边同除以： a2 ，得： 6 6  0，解之    aa   2ba6b3  得： ＝，所以，离心率为： e  1 ．  3a  313． 【答案】1 或 10 【解析】 14． 【答案】12 1a1q4  【解析】设正项等比数列{an}首项为 a1，公比为 q，则： ，得：a1＝ 2a1q5 (1 q)  3 2n 1 1－n，q＝2，an ＝26 ．记Tn  a1  a2  an  ，，25 32 111 (n1)n (n1)n 2n 1 n2  n5 n  a1a2 an  2 ．Tn  n ，则 13  121  2 ，化简得： 2n 1  22 22225 111 当n  n2  n  5时， n   12 ．当 n＝12 时，T12  12 ，当 n＝13 时， 222T13  13 ，故 nmax＝12． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． 15． 解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)， |a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2， 所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0， 所以， a  b ．1cos  cos   0 ①②（2） ，①2＋②2 得：cos(α－β)＝－ ． 2sin  sin   1 232所以，α－β＝ ，α＝ ＋β， 31233带入②得：sin( ＋β)＋sinβ＝ cosβ＋ sinβ＝sin( ＋β)＝1， 23232所以， ＋β＝ ．5 66所以，α＝ ，β＝ ．16． 证：（1）因为 SA＝AB 且 AF⊥SB， 所以 F 为 SB 的中点． SGE又 E，G 分别为 SA，SC 的中点， 所以，EF∥AB，EG∥AC． FC又 AB∩AC＝A，AB 所以，平面 EFG // 平面 ABC （2）因为平面 SAB⊥平面 SBC，平面 SAB∩平面 SBC＝BC， AF 平面 ASB，AF⊥SB． 所以，AF⊥平面 SBC． 又 BC 平面 SBC，   面 SBC，AC 面 ABC， A．B所以，AF⊥BC． 又 AB⊥BC，AF∩AB＝A， 所以，BC⊥平面 SAB． 又 SA 平面 SAB， 所以， BC  SA ．y  x 1 17． 解：（1）联立： ，得圆心为：C(3，2)． y  2x  4 y设切线为： y  kx  3 ，lA| 3k  3  2 | 34d＝  r  1，得： k  0 or k  ．1 k 2 Ox3故所求切线为： y  0 or y x  3 ．4（2）设点 M(x，y)，由 MA  2MO ，知： x2  (y  3)2  2 x2  y2 ，化简得： x2  (y 1)2  4 ，即：点 M 的轨迹为以(0，1)为圆心，2 为半径的圆，可记为圆 D． 又因为点 在圆上，故圆 C 圆 D 的关系为相交或相切． MC故：1≤|CD|≤3，其中 CD  a2  (2a  3)2 ．12 解之得：0≤a≤ ．5A18． 解：（1）如图作 BD⊥CA 于点 D， 设 BD＝20k，则 DC＝25k，AD＝48k， AB＝52k，由 AC＝63k＝1260m， MBNDC知：AB＝52k＝1040m． （2）设乙出发 x 分钟后到达点 M， 此时甲到达 N 点，如图所示． 则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)， 由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000， 35 其中 0≤x≤8，当 x＝ (min)时，MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短． 37 1260 126 ＝（3）由（1）知：BC＝500m，甲到 C 用时： (min)． 50 5126 141 86 5若甲等乙 3 分钟，则乙到 C 用时： (min) ． ＋3 ＝ (min) ，在 BC 上用时： 5586 1250 ＝5 43 此时乙的速度最小，且为：500÷ m/min． 126 111 56 5若乙等甲 3 分钟，则乙到 C 用时： (min) ． －3 ＝ (min) ，在 BC 上用时： 5556 625 ＝5 14 此时乙的速度最大，且为：500÷ m/min． 1250 625 ，43 14 故乙步行的速度应控制在[ ]范围内． 19． 证：（1）若 c  0，则 an  a  (n 1)d n[(n 1)d  2a] (n 1)d  2a ，Sn  ，bn  ．22当b，b2，b4 成等比数列， b2  b b ，1 4 122d3d 即： a   a a ，得： d 2  2ad ，又 d  0 ，故 d  2a ．22由此： Sn  n2a ，Snk  (nk)2 a  n2k 2a ，n2 Sk  n2k 2a ．故： Snk  n2Sk （k,n N* ）． (n 1)d  2a n2 n2 nSn n2  c 2（2）bn  ，n2  c (n 1)d  2a (n 1)d  2a (n 1)d  2a  c  c 222n2  c (n 1)d  2a c(n 1)d  2a 2．(※) n2  c 2若{bn}是等差数列，则bn  An  Bn 型． 观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂， (n 1)d  2a c(n 1)d  2a (n 1)d  2a 2故有：  0，即 c 0，而 ≠0， n2  c 22故c  0 ．经检验，当 c  0 时{bn}是等差数列． 20． 11解：（1） f (x)  a ≤0 在 (1,) 上恒成立，则 a≥，x  (1， ) ．xx故： a≥1． xg (x)  e  a ，x若 1≤ a≤e，则 g (x)  e  a ≥0 在 (1,) 上恒成立， 此时， g(x)  ex  ax (1,) 上是单调增函数，无最小值，不合； ＞e，则 g(x)  ex  ax (1，ln a) 上是单调减函数，在 (ln a， )上是单调 增函数， gmin (x)  g(lna) ，满足． 在若a在故a的取值范围为： ＞e． ax≤ex， （2） g (x)  e  a ≥0 在 (1,) 上恒成立，则 a1≤ ． 故： ae11 ax f (x)  a  (x  0) ．xx1≤ ，令 1(ⅰ)若 0＜ af (x) ＞0 得增区间为(0， )； ea1f (x) 令＜0 得减区间为( ，﹢∞)． a当 x→0 时，f(x)→﹣∞；当 x→﹢∞时，f(x)→﹣∞； 111＝ 时取等号． 当 x＝ 时，f( )＝﹣lna－1≥0，当且仅当 aaae11故：当 a＝ 时，f(x)有 1 个零点；当 0＜ a＜ 时，f(x)有 2 个零点． ee(ⅱ)若 a＝0，则 f(x)＝﹣lnx，易得 f(x)有 1 个零点． 1(ⅲ)若 a＜0，则 f (x)  a  0 在(0， ) 上恒成立， x即： f (x)  ln x  ax 在(0， ) 上是单调增函数， 当 x→0 时，f(x)→﹣∞；当 x→﹢∞时，f(x)→﹢∞． 此时，f(x)有 1 个零点． 11综上所述：当 点． a＝ 或a＜0 时，f(x)有 1 个零点；当 0＜ a＜ 时，f(x)有 2 个零 ee