2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）（含解析版）下载

2013 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．（5 分）设集合 A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则 M 中元素的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（5 分） =（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣8i D．8i 3．（5 分）已知向量 =（λ+1，1）， =（λ+2，2），若（ + ）⊥（ ﹣ ）， 则 λ=（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 4．（5 分）已知函数 f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数 f（2x+1）的定义域 为（　　） A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0） D． 5．（5 分）函数 f（x）=log2（1+ ）（x＞0）的反函数 f﹣1（x）=（　　） C．2x﹣1（x∈R） D．2x﹣1（x＞0） A． B． 6．（5 分）已知数列{an}满足 3an+1+an=0，a2=﹣ ，则{an}的前 10 项和等于（　　） A．﹣6（1﹣3﹣10 C．3（1﹣3﹣10 B． ））D．3（1+3﹣10 ）7．（5 分）（1+x）3（1+y）4 的展开式中 x2y2 的系数是（　　） A．5 B．8 C．12 D．18 8．（5 分）椭圆 C： 的左、右顶点分别为 A1、A2，点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线 PA1 斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 第 1 页（共 25 页） 9．（5 分）若函数 f（x）=x2+ax+ 是增函数，则 a 的取值范围是（　　 ）A．[﹣1，0] B．[﹣1，+∞） C．[0，3] D．[3，+∞） 10．（5 分）已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1=2AB，则 CD 与平面 BDC1 所 成角的正弦值等于（　　） A． 11．（5 分）已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，点 M（﹣2，2），过点 F 且斜率 为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点，若 ，则k=（　　） A． B． D．2 B． C． D． C． 12．（5 分）已知函数 f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（　　） A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称 B． C． D．f（x）既是奇函数，又是周期函数 　二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13．（5 分）已知 α 是第三象限角，sinα=﹣ ，则 cotα=　 　． 14．（5 分）6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有　 　种 ．（用数字作答） 15．（5 分）记不等式组 所表示的平面区域为 D．若直线 y=a（x+1） 与 D 有公共点，则 a 的取值范围是　 　． 16．（5 分）已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 O 的半 径， ．，则球 O 的表面积等于　 　　第 2 页（共 25 页） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 217．（10 分）等差数列{an}的前 n 项和为 Sn．已知 S3=a2 ，且 S1，S2，S4 成等比 数列，求{an}的通项式． 18．（12 分）设△ABC 的内角 A，B，C 的内角对边分别为 a，b，c，满足（a+b+c ）（a﹣b+c）=ac． （Ⅰ）求 B． （Ⅱ）若 sinAsinC= ，求 C． 19．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB 与△PAD 都是等边三角形． （Ⅰ）证明：PB⊥CD； （Ⅱ）求二面角 A﹣PD﹣C 的大小． 20．（12 分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁 判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率 均为 ，各局比赛的结果都相互独立，第1 局甲当裁判． （Ⅰ）求第 4 局甲当裁判的概率； （Ⅱ）X 表示前 4 局中乙当裁判的次数，求 X 的数学期望． 第 3 页（共 25 页） 21．（12 分）已知双曲线 C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1， F2，离心率为 3，直线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为 （I）求 a，b； ．（II）设过 F2 的直线 l 与 C 的左、右两支分别相交于 A、B 两点，且|AF1|=|BF1|， 证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列． 22．（12 分）已知函数 ．（I）若 x≥0 时，f（x）≤0，求 λ 的最小值； （II）设数列{an}的通项 an=1+ ．　第 4 页（共 25 页） 2013 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版） 参考答案与试题解析 　一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．（5 分）设集合 A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则 M 中元素的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】13：集合的确定性、互异性、无序性；1A：集合中元素个数的最值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用已知条件，直接求出 a+b，利用集合元素互异求出 M 中元素的个 数即可． 【解答】解：因为集合 A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}， 所以 a+b 的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8， 所以 M 中元素只有：5，6，7，8．共 4 个． 故选：B． 【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计 算能力． 　2．（5 分） A．﹣8 =（　　） B．8 C．﹣8i D．8i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【分析】复数分子、分母同乘﹣8，利用 1 的立方虚根的性质（ ），化简即可． 第 5 页（共 25 页） 【解答】解： 故选：A． 【点评】复数代数形式的运算，是基础题． 　3．（5 分）已知向量 =（λ+1，1）， =（λ+2，2），若（ + ）⊥（ ﹣ ）， 则 λ=（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出． 【解答】解：∵ ，．∴∵∴=（2λ+3，3）， ．，=0， ∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得 λ=﹣3． 故选：B． 【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键． 　4．（5 分）已知函数 f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数 f（2x+1）的定义域 为（　　） A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0） D． 【考点】33：函数的定义域及其求法．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 第 6 页（共 25 页） 【分析】原函数的定义域，即为 2x+1 的范围，解不等式组即可得解． 【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0）， ∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣ ． ∴则函数 f（2x+1）的定义域为 故选：B． ．【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题． 　5．（5 分）函数 f（x）=log2（1+ ）（x＞0）的反函数 f﹣1（x）=（　　） A． B． C．2x﹣1（x∈R） D．2x﹣1（x＞0） 【考点】4R：反函数．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】把 y 看作常数，求出 x：x= ，x，y 互换，得到 y=log2（1+ ）的反 函数．注意反函数的定义域． 【解答】解：设 y=log2（1+ ）， 把 y 看作常数，求出 x： 1+ =2y，x= ，其中 y＞0， x，y 互换，得到 y=log2（1+ ）的反函数：y= 故选：A． ，【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和 指数式的相互转化． 　6．（5 分）已知数列{an}满足 3an+1+an=0，a2=﹣ ，则{an}的前 10 项和等于（　　） A．﹣6（1﹣3﹣10 ）B． C．3（1﹣3﹣10 ）D．3（1+3﹣10 ）第 7 页（共 25 页） 【考点】89：等比数列的前 n 项和．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列． 【分析】由已知可知，数列{an}是以﹣ 为公比的等比数列，结合已知 可求 a1，然后代入等比数列的求和公式可求 【解答】解：∵3an+1+an=0 ∴∴数列{an}是以﹣ 为公比的等比数列 ∵∴a1=4 由等比数列的求和公式可得，S10= =3（1﹣3﹣10 ）故选：C． 【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础 试题 　7．（5 分）（1+x）3（1+y）4 的展开式中 x2y2 的系数是（　　） A．5 B．8 C．12 D．18 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令 x 的指数为 2，写出出展开式中 x2 的系数，第二个因式 y2 的系数，即可得到结果． r【解答】解：（x+1）3 的展开式的通项为 Tr+1=C3 xr 2令 r=2 得到展开式中 x2 的系数是 C3 =3， r（1+y）4 的展开式的通项为 Tr+1=C4 yr 2令 r=2 得到展开式中 y2 的系数是 C4 =6， （1+x）3（1+y）4 的展开式中 x2y2 的系数是：3×6=18， 第 8 页（共 25 页） 故选：D． 【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，本 题解题的关键是写出二项式的展开式，所有的这类问题都是利用通项来解决 的． 　8．（5 分）椭圆 C： PA2 斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线 PA1 斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 的左、右顶点分别为 A1、A2，点 P 在 C 上且直线 【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由椭圆 C： 可知其左顶点 A1（﹣2，0），右顶点 A2（2，0）． 设 P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得 ．利用斜率计算公 式可得 ，再利用已知给出的 的范围即可解出． 【解答】解：由椭圆 C： 0）． 可知其左顶点 A1（﹣2，0），右顶点 A2（2， 设 P（x0，y0）（x0≠±2），则 ，得 ．∵=，=，∴∵==，，第 9 页（共 25 页） ∴，解得 ．故选：B． 【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等 是解题的关键． 　9．（5 分）若函数 f（x）=x2+ax+ 是增函数，则 a 的取值范围是（　　 ）A．[﹣1，0] B．[﹣1，+∞） C．[0，3] D．[3，+∞） 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】53：导数的综合应用． 【分析】由函数 在（ ，+∞）上是增函数，可得 ≥0 在（ ，+∞）上恒成立，进而可转化为 a≥ ﹣2x 在（ ，+∞）上恒成 立，构造函数求出 ﹣2x 在（ ，+∞）上的最值，可得 a 的取值范围． 【解答】解：∵ 故在（ ，+∞）上是增函数， ≥0 在（ ，+∞）上恒成立， 即 a≥ ﹣2x 在（ ，+∞）上恒成立， 令 h（x）= ﹣2x， 则 h′（x）=﹣ ﹣2， 当 x∈（ ，+∞）时，h′（x）＜0，则 h（x）为减函数． ∴h（x）＜h（ ）=3 ∴a≥3． 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数 第 10 页（共 25 页） 的综合应用，难度中档． 　10．（5 分）已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1=2AB，则 CD 与平面 BDC1 所 成角的正弦值等于（　　） A． B． C． D． 【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题；5G：空间角；5H：空间向量及应用． 【分析】设 AB=1，则 AA1=2，分别以 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设 =（x，y，z）为平面 BDC1 的一个法向 量，CD 与平面 BDC1 所成角为 θ， 则 sinθ=| |，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可． 【解答】解：设 AB=1，则 AA1=2，分别以 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 如下图所示： 则 D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2）， =（1，1，0）， =（1，0，﹣2）， =（1，0，0）， 设 =（x，y，z）为平面 BDC1 的一个法向量，则 2，﹣2，1）， ，即 ，取 =（ 第 11 页（共 25 页） 设 CD 与平面 BDC1 所成角为 θ，则 sinθ=| 故选：A． |= ， 【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解 线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键． 　11．（5 分）已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，点 M（﹣2，2），过点 F 且斜率 为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点，若 A． B． ，则 k=（　　） D．2 C． 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】斜率 k 存在，设直线 AB 为 y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用 =（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出 k 的值． 【解答】解：由抛物线 C：y2=8x 得焦点（2，0）， 由题意可知：斜率 k 存在，设直线 AB 为 y=k（x﹣2）， 代入抛物线方程，得到 k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）． ∴x1+x2=4+ ，x1x2=4． ∴y1+y2= ，y1y2=﹣16， 又∴=0， =（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）= =0 ∴k=2． 故选：D． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生 的计算能力，属于中档题． 第 12 页（共 25 页） 　12．（5 分）已知函数 f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（　　） A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称 B． C． D．f（x）既是奇函数，又是周期函数 【考点】H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质． 【分析】根据函数图象关于某点中心对称或关于某条直线对称的公式，对 A、B 两项加以验证，可得它们都正确．根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的 关系化简，得 f（x）=2sinx（1﹣sin2x），再换元：令 t=sinx，得到关于 t 的三 次函数，利用导数研究此函数的单调性可得 f（x）的最大值为 ，故 C 不 正确；根据函数周期性和奇偶性的定义加以验证，可得 D 项正确．由此可得 本题的答案． 【解答】解：对于 A，因为 f（π+x）=cos（π+x）sin（2π+2x）=﹣cosxsin2x， f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin（2π﹣2x）=cosxsin2x，所以 f（π+x）+f（π﹣x）=0， 可得 y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，故 A 正确； 对于 B，因为 f（ +x）=cos（ +x）sin（π+2x）=﹣sinx（﹣sin2x）=sinxsin2x， f（ ﹣x）=cos（ ﹣x）sin（π﹣2x）=sinxsin2x，所以 f（ +x）=f（ ﹣x） ，可得 y=f（x）的图象关于直线 x= 对称，故 B 正确； 对于 C，化简得 f（x）=cosxsin2x=2cos2xsinx=2sinx（1﹣sin2x）， 令 t=sinx，f（x）=g（t）=2t（1﹣t2），﹣1≤t≤1， ∵g（t）=2t（1﹣t2）的导数 g’（t）=2﹣6t2=2（1+ t）（1﹣ t） 第 13 页（共 25 页） ∴当 t∈（﹣1，﹣ ）时或 t∈（ ，1）时 g’（t）＜0，函数 g（t）为减函数； 当 t∈（﹣ ）时 g’（t）＞0，函数 g（t）为增函数． 因此函数 g（t）的最大值为 t=﹣1 时或 t= 时的函数值， ，结合 g（﹣1）=0＜g（ ）= 由此可得 f（x）的最大值为 ，可得 g（t）的最大值为 而不是 ，故C 不正确； ．对于 D，因为 f（﹣x）=cos（﹣x）sin（﹣2x）=﹣cosxsin2x=﹣f（x），所以 f（x ）是奇函数． 因为 f（2π+x）=cos（2π+x）sin（4π+2x）=cosxsin2x=f（x）， 所以 2π 为函数的一个周期，得 f（x）为周期函数．可得 f（x）既是奇函数，又 是周期函数，得 D 正确． 综上所述，只有 C 项不正确． 故选：C． 【点评】本题给出三角函数式，研究函数的奇偶性、单调性和周期性．着重考查 了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数图象的对称性等知 识，属于中档题． 　二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13．（5 分）已知 α 是第三象限角，sinα=﹣ ，则 cotα=　2 　． 【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】根据 α 是第三象限的角，得到 cosα 小于 0，然后由 sinα 的值，利用同 角三角函数间的基本关系求出 cosα 的值，进而求出 cotα 的值． 【解答】解：由 α 是第三象限的角，得到 cosα＜0， 又 sinα=﹣ ，所以 cosα=﹣ 则 cotα= =2 =﹣ 第 14 页（共 25 页） 故答案为：2 【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基 础题．学生做题时注意 α 的范围． 　14．（5 分）6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有　480　种 ．（用数字作答） 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】排列好甲、乙两人外的 4 人，然后把甲、乙两人插入 4 个人的 5 个空位 中即可． 【解答】解：6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、 乙两人外的 4 人，有 中方法， 然后把甲、乙两人插入 4 个人的 5 个空位，有 种方法， 所以共有： =480． 故答案为：480． 【点评】本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题． 　15．（5 分）记不等式组 所表示的平面区域为 D．若直线 y=a（x+1） 与 D 有公共点，则 a 的取值范围是　[ ，4]　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用． 【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件 的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入 y=a（ x+1）中，求出 y=a（x+1）对应的 a 的端点值即可． 第 15 页（共 25 页） 【解答】解：满足约束条件 的平面区域如图示： 因为 y=a（x+1）过定点（﹣1，0）． 所以当 y=a（x+1）过点 B（0，4）时，得到 a=4， 当 y=a（x+1）过点 A（1，1）时，对应 a= ． 又因为直线 y=a（x+1）与平面区域 D 有公共点． 所以 ≤a≤4． 故答案为：[ ，4] 【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条 件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数 ⇒④验证，求出最优解． 　16．（5 分）已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 O 的半 径， ，则球 O 的表面积等于　 16π　． 【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离． 【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论． 【解答】解：如图所示，设球 O 的半径为 r，AB 是公共弦，∠OCK 是面面角 根据题意得 OC= ，CK= 在△OCK 中，OC2=OK2+CK2，即 第 16 页（共 25 页） ∴r2=4 ∴球 O 的表面积等于 4πr2=16π 故答案为 16π 【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 217．（10 分）等差数列{an}的前 n 项和为 Sn．已知 S3=a2 ，且 S1，S2，S4 成等比 数列，求{an}的通项式． 【考点】85：等差数列的前 n 项和；88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列． 【分析】由 ，结合等差数列的求和公式可求 a2，然后由 ，结 合等差数列的求和公式进而可求公差 d，即可求解通项公式 【解答】解：设数列的公差为 d 由得，3 ∴a2=0 或 a2=3 由题意可得， ∴若 a2=0，则可得 d2=﹣2d2 即 d=0 不符合题意 若 a2=3，则可得（6﹣d）2=（3﹣d）（12+2d） 第 17 页（共 25 页） 解可得 d=0 或 d=2 ∴an=3 或 an=2n﹣1 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的性 质的简单应用，属于基础试题 　18．（12 分）设△ABC 的内角 A，B，C 的内角对边分别为 a，b，c，满足（a+b+c ）（a﹣b+c）=ac． （Ⅰ）求 B． （Ⅱ）若 sinAsinC= ，求 C． 【考点】GP：两角和与差的三角函数；HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】58：解三角形． 【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式， 利用余弦定理表示出 cosB，将关系式代入求出 cosB 的值，由 B 为三角形的内 角，利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数； （II）由（I）得到 A+C 的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简 cos（A﹣C） ，变形后将 cos（A+C）及 2sinAsinC 的值代入求出 cos（A﹣C）的值，利用特 殊角的三角函数值求出 A﹣C 的值，与 A+C 的值联立即可求出 C 的度数． 【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac， ∴a2+c2﹣b2=﹣ac， ∴cosB= =﹣ ， 又 B 为三角形的内角， 则 B=120°； （II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC= ，cos（A+C）= ， ∴ cos （ A﹣C ） =cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos （ A+C ） 第 18 页（共 25 页） +2sinAsinC= +2× =，∴A﹣C=30°或 A﹣C=﹣30°， 则 C=15°或 C=45°． 【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角 函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 　19．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB 与△PAD 都是等边三角形． （Ⅰ）证明：PB⊥CD； （Ⅱ）求二面角 A﹣PD﹣C 的大小． 【考点】LW：直线与平面垂直；M5：共线向量与共面向量．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5G：空间角． 【分析】（I）取 BC 的中点 E，连接 DE，过点 P 作 PO⊥平面 ABCD 于 O，连接 OA 、OB、OD、OE．可证出四边形 ABED 是正方形，且 O 为正方形 ABED 的中心． 因此 OE⊥OB，结合三垂线定理，证出 OE⊥PB，而 OE 是△BCD 的中位线，可 得 OE∥CD，因此 PB⊥CD； （II）由（I）的结论，证出 CD⊥平面 PBD，从而得到 CD⊥PD．取 PD 的中点 F， PC 的中点 G，连接 FG，可得 FG∥CD，所以 FG⊥PD．连接 AF，可得 AF⊥PD， 因此∠AFG 为二面角 A﹣PD﹣C 的平面角，连接 AG、EG，则 EG∥PB，可得 EG ⊥OE．设 AB=2，可求出 AE、EG、AG、AF 和 FG 的长，最后在△AFG 中利用 余弦定理，算出∠AFG=π﹣arccos ，即得二面角 A﹣PD﹣C 的平面角大小． 【解答】解：（I）取 BC 的中点 E，连接 DE，可得四边形 ABED 是正方形 第 19 页（共 25 页） 过点 P 作 PO⊥平面 ABCD，垂足为 O，连接 OA、OB、OD、OE ∵△PAB 与△PAD 都是等边三角形，∴PA=PB=PD，可得 OA=OB=OD 因此，O 是正方形 ABED 的对角线的交点，可得 OE⊥OB ∵PO⊥平面 ABCD，得直线 OB 是直线 PB 在内的射影，∴OE⊥PB ∵△BCD 中，E、O 分别为 BC、BD 的中点，∴OE∥CD，可得 PB⊥CD； （II）由（I）知 CD⊥PO，CD⊥PB ∵PO、PB 是平面 PBD 内的相交直线，∴CD⊥平面 PBD ∵PD⊂平面 PBD，∴CD⊥PD 取 PD 的中点 F，PC 的中点 G，连接 FG， 则 FG 为△PCD 有中位线，∴FG∥CD，可得 FG⊥PD 连接 AF，由△PAD 是等边三角形可得 AF⊥PD，∴∠AFG 为二面角 A﹣PD﹣C 的 平面角 连接 AG、EG，则 EG∥PB ∵PB⊥OE，∴EG⊥OE， 设 AB=2，则 AE=2 ，EG= PB=1，故 AG= 在△AFG 中，FG= CD=，AF= ，AG=3 =3 ∴cos∠AFG= =﹣ ，得∠AFG=π﹣arccos ，即二面角 A﹣PD﹣C 的平面角大小是 π﹣arccos ．【点评】本题给出特殊的四棱锥，求证直线与直线垂直并求二面角平面角的大小 ，着重考查了线面垂直的判定与性质、三垂线定理和运用余弦定理求二面的 大小等知识，属于中档题． 　20．（12 分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁 判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率 第 20 页（共 25 页） 均为 ，各局比赛的结果都相互独立，第1 局甲当裁判． （Ⅰ）求第 4 局甲当裁判的概率； （Ⅱ）X 表示前 4 局中乙当裁判的次数，求 X 的数学期望． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差． 菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】（I）令 A1 表示第 2 局结果为甲获胜，A2 表示第 3 局甲参加比赛时，结 果为甲负，A 表示第 4 局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互 独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可． （II）X 的所有可能值为 0，1，2．分别求出 X 取每一个值的概率，列出分布列后 求出期望值即可． 【解答】解：（I）令 A1 表示第 2 局结果为甲获胜．A2 表示第 3 局甲参加比赛时 ，结果为甲负．A 表示第 4 局甲当裁判． 则 A=A1•A2，P（A）=P（A1•A2）=P（A1）P（A2）= ； （Ⅱ）X 的所有可能值为 0，1，2．令 A3 表示第 3 局乙和丙比赛时，结果为乙胜 ．B1 表示第 1 局结果为乙获胜，B2 表示第 2 局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3 表 示第 3 局乙参加比赛时，结果为乙负， 则 P（X=0）=P（B1B2 ）=P（B1）P（B2）P（ ）= ． P（X=2）=P（ B3）=P（ ）P（B3）= ． P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）= ． 从而 EX=0× +1× +2× = ． 【点评】本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知 识，同时考查利用概率知识解决问题的能力． 　21．（12 分）已知双曲线 C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1， 第 21 页（共 25 页） F2，离心率为 3，直线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为 （I）求 a，b； ．（II）设过 F2 的直线 l 与 C 的左、右两支分别相交于 A、B 两点，且|AF1|=|BF1|， 证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列． 【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；5D：圆锥曲 线的定义、性质与方程． 【分析】（I）由题设，可由离心率为 3 得到参数 a，b 的关系，将双曲线的方程 用参数 a 表示出来，再由直线 参数 a 即可得到双曲线的方程； 建立方程求出 （II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线 l 的方程设 A（x1，y1），B（x2， y2），将其与双曲线 C 的方程联立，得出 x1+x2= ， ，再利 用|AF1|=|BF1|建立关于 A，B 坐标的方程，得出两点横坐标的关系 ，由此方程求出 k 的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2| ，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论． 【解答】解：（I）由题设知 =3，即 =9，故 b2=8a2 所以 C 的方程为 8×2﹣y2=8a2 将 y=2 代入上式，并求得 x=± ，由题设知，2 =，解得 a2=1 所以 a=1，b=2 （II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C 的方程为 8×2﹣y2=8 ①由题意，可设 l 的方程为 y=k（x﹣3），|k|＜2 代入①并化简得（k2﹣8） x2﹣6k2x+9k2+8=0 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 第 22 页（共 25 页） 则 x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2= ，，于是 |AF1|= |BF1|= =﹣（3×1+1）， =3×2+1， |AF1|=|BF1|得﹣（3×1+1）=3×2+1，即 故=，解得 ，从而 =﹣ 由于|AF2|= |BF2|= =1﹣3×1， =3×2﹣1， 故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16 因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转 化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一 般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程 中的共性，给以后解答此类题提供借鉴． 　22．（12 分）已知函数 ．（I）若 x≥0 时，f（x）≤0，求 λ 的最小值； （II）设数列{an}的通项 an=1+ ．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；8E：数列的求和；8K：数列与不等式的 综合．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；35：转化思想；53：导数的综合应用；54：等差数列与等 比数列． 【分析】（I）由于已知函数的最大值是 0，故可先求出函数的导数，研究其单调 性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于 0 求出参数 λ 的取值范围， 即可求得其最小值； 第 23 页（共 25 页） （II）根据（I）的证明，可取 λ= ，由于 x＞0 时，f（x）＜0 得出 ，考察发现，若取 x= ，则可得出 ，以此为依据，利用 放缩法，即可得到结论 【解答】解：（I）由已知，f（0）=0， f′（x）= =，∴f′（0）=0 欲使 x≥0 时，f（x）≤0 恒成立，则 f（x）在（0，+∞）上必为减函数，即在（ 0，+∞）上 f′（x）＜0 恒成立， 当 λ≤0 时，f′（x）＞0 在（0，+∞）上恒成立，为增函数，故不合题意， 若 0＜λ＜ 时，由f′（x）＞0 解得 x＜ ，则当 0＜x＜ ，f′（x）＞0， 所以当 0＜x＜ 时，f（x）＞0，此时不合题意， 若 λ≥ ，则当x＞0 时，f′（x）＜0 恒成立，此时 f（x）在（0，+∞）上必为减 函数，所以当 x＞0 时，f（x）＜0 恒成立， 综上，符合题意的 λ 的取值范围是 λ≥ ，即λ 的最小值为 （ II）令 λ= ，由（I）知，当 x＞0 时，f（x）＜0，即 取 x= ，则 于是 a2n﹣an+ =++…+ +====＞=ln2n﹣lnn=ln2 第 24 页（共 25 页） 所以 【点评】本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法，解题的 关键是充分利用已有的结论再结合放缩法，本题考查了推理判断的能力及转 化化归的思想，有一定的难度 第 25 页（共 25 页）