2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅱ）（含解析版）下载

2013 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） \一、选择题：本大题共 12 小题．每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的． 1．（5 分）已知集合 M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则 M∩N=（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0} D．{﹣3，﹣2，﹣1} 2．（5 分） A．2 =（　　） B．2 C． D．1 3．（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x﹣3y 的最小值是（　　） A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3 4．（5 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b=2，B= ，C= ，则△ABC 的面积为（　　） A．2 +2 5．（5 分）设椭圆 C： C 上的点 PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则 C 的离心率为（　　） B． C．2 ﹣2 D． ﹣1 =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，P 是 A． 6．（5 分）已知 sin2α= ，则 cos2（α+ ）=（　　） A． B． C． B． C． D． D． 7．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 N=4，那么输出的 S=（　　） 第 1 页（共 31 页） A．1+ + + B．1+ + +C．1+ + + + D．1+ + ++8．（5 分）设 a=log32，b=log52，c=log23，则（　　） A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 9．（5 分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O﹣xyz 中的坐标分别是（1，0 ，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的 正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（　　） A． B． 第 2 页（共 31 页） C． D． 10．（5 分）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与 C 交于 A，B 两点． 若|AF|=3|BF|，则 l 的方程为（　　） A．y=x﹣1 或 y=﹣x+1 B．y= （x﹣1）或 y=﹣ （x﹣1） C．y= （x﹣1）或 y=﹣ （x﹣1） D．y= （x﹣1）或 y=﹣ （x﹣1） 11．（5 分）已知函数 f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（　　） A．∃x0∈R，f（x0）=0 B．函数 y=f（x）的图象是中心对称图形 C．若 x0 是 f（x）的极小值点，则 f（x ）在区间（﹣∞，x0）上单调递减 D．若 x0 是 f（x）的极值点，则 f′（x0 ）=0 12．（5 分）若存在正数 x 使 2x（x﹣a）＜1 成立，则 a 的取值范围是（　　） A．（﹣∞，+∞） B．（﹣2，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣1，+∞） 　二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分． 13．（4 分）从 1，2，3，4，5 中任意取出两个不同的数，其和为 5 的概率是　 　． 　． 14．（4 分）已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则 15．（4 分）已知正四棱锥 O﹣ABCD 的体积为 •=　 ，底面边长为 ，则以O 为 球心，OA 为半径的球的表面积为　 　． 16．（4 分）函数 y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移 个单位后， 与函数 y=sin（2x+ ）的图象重合，则 φ=　 　． 　第 3 页（共 31 页） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12 分）已知等差数列{an}的公差不为零，a1=25，且 a1，a11，a13 成等比数 列． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求 a1+a4+a7+…+a3n﹣2 ．18．（12 分）如图，直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，D，E 分别是 AB，BB1 的中点 （Ⅰ）证明：BC1∥平面 A1CD； （Ⅱ）AA1=AC=CB=2，AB= ，求三棱锥 C﹣A1DE 的体积． 第 4 页（共 31 页） 19．（12 分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1t 该产品获 利润 500 元，未售出的产品，每 1t 亏损 300 元．根据历史资料，得到销售季 度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购 进了 130t 该农产品．以 X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内 的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． （Ⅰ）将 T 表示为 X 的函数； （Ⅱ）根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率． 20．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 ，在 y 轴上截得线段长为 2 ．（Ⅰ）求圆心 P 的轨迹方程； （Ⅱ）若 P 点到直线 y=x 的距离为 ，求圆P 的方程． 第 5 页（共 31 页） 21．（12 分）已知函数 f（x）=x2e﹣x （Ⅰ）求 f（x）的极小值和极大值； （Ⅱ）当曲线 y=f（x）的切线 l 的斜率为负数时，求 l 在 x 轴上截距的取值范围． 　选做题．请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的 第一部分，作答时请写清题号． 22．【选修 4﹣1 几何证明选讲】 如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线 CD 于点 D，E、F 分别为 弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BC•AE=DC•AF，B、E、F、C 四点共圆． （1）证明：CA 是△ABC 外接圆的直径； （2）若 DB=BE=EA，求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比 值． 第 6 页（共 31 页） 23．已知动点 P、Q 都在曲线 （β 为参数）上，对应参数分别为 β=α 与 β=2α（0＜α＜2π），M 为 PQ 的中点． （1）求 M 的轨迹的参数方程； （2）将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标 原点． 24．（14 分）【选修 4﹣﹣5；不等式选讲】 设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c=1，证明： （Ⅰ） （Ⅱ） ．　第 7 页（共 31 页） 2013 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 参考答案与试题解析 　一、选择题：本大题共 12 小题．每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的． 1．（5 分）已知集合 M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则 M∩N=（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0} C．{﹣2，﹣1 ，0} D．{﹣3，﹣2，﹣1} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】找出集合 M 与 N 的公共元素，即可求出两集合的交集． 【解答】解：∵集合 M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}， ∴M∩N={﹣2，﹣1，0}． 故选：C． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　2．（5 分） A．2 =（　　） B．2 C． D．1 【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果． 【解答】解： ===．故选：C． 第 8 页（共 31 页） 【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力． 　3．（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x﹣3y 的最小值是（　　） A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】先画出满足约束条件： ，的平面区域，求出平面区域的各角 点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数 z=2x﹣3y 的 最小值． 【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如下图所示， 由得，由图可知目标函数在点 A（3，4）取最小值 z=2×3﹣3×4=﹣6． 故选：B． 【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和 目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出 第 9 页（共 31 页） 不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可 行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解． 　4．（5 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b=2，B= ，C= ，则△ABC 的面积为（　　） A．2 +2 B． C．2 ﹣2 D． ﹣1 【考点】%H：三角形的面积公式；HP：正弦定理．菁优网版权所有 【专题】58：解三角形． 【分析】由 sinB，sinC 及 b 的值，利用正弦定理求出 c 的值，再求出 A 的度数， 由 b，c 及 sinA 的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积． 【解答】解：∵b=2，B= ，C= ，∴由正弦定理 =得：c= ==2 ，A= ，∴sinA=sin（ +）=cos =，则 S△ABC= bcsinA= ×2×2 故选：B． ×=+1． 【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，以及两角和与差的余弦函数 公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 　5．（5 分）设椭圆 C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，P 是 C 上的点 PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则 C 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 第 10 页（共 31 页） 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设|PF2|=x，在直角三角形 PF1F2 中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用 椭圆离心率的性质即可求得答案． 【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°， ∴|PF1|=2x，|F1F2|= x， 又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c ∴2a=3x，2c= x， ∴C 的离心率为：e= 故选：D． =．【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理 解与应用能力，属于中档题． 　6．（5 分）已知 sin2α= ，则 cos2（α+ ）=（　　） A． B． C． D． 【考点】GE：诱导公式；GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角 函数．菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已 知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵sin2α= ， ∴cos2（α+ ）= [1+cos（2α+ ）]= （1﹣sin2α）= ×（1﹣ ）= ． 故选：A． 【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公 式是解本题的关键． 　7．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 N=4，那么输出的 S=（　　） 第 11 页（共 31 页） A．1+ + + B．1+ + +C．1+ + + + D．1+ + ++【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】27：图表型． 【分析】由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序可知当条件满 足时，用 S+ 的值代替 S 得到新的 S，并用 k+1 代替 k，直到条件不能满足时 输出最后算出的 S 值，由此即可得到本题答案． 【解答】解：根据题意，可知该按以下步骤运行 第一次：S=1， 第二次：S=1+ ， 第 12 页（共 31 页） 第三次：S=1+ + 第四次：S=1+ + ，+．此时 k=5 时，符合 k＞N=4，输出 S 的值． ∴S=1+ + 故选：B． +【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构 和直到型循环结构，以及表格法的运用，属于基础题． 　8．（5 分）设 a=log32，b=log52，c=log23，则（　　） A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】判断对数值的范围，然后利用换底公式比较对数式的大小即可． 第 13 页（共 31 页） 【解答】解：由题意可知：a=log32∈（0，1），b=log52∈（0，1），c=log23＞1， 所以 a=log32，b=log52= ，所以 c＞a＞b， 故选：C． 【点评】本题考查对数值的大小比较，换底公式的应用，基本知识的考查． 　9．（5 分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O﹣xyz 中的坐标分别是（1，0 ，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的 正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（　　） A． C． B． D． 【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；13：作图题． 【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以 zOx 平面为投影面，则得到正 视图即可． 【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O﹣xyz 中的坐标分别是（ 1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如 图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以 zOx 平面为投影面，则 第 14 页（共 31 页） 得到正视图为： 故选：A． 【点评】本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题 的关键，考查空间想象能力． 　10．（5 分）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与 C 交于 A，B 两点． 若|AF|=3|BF|，则 l 的方程为（　　） A．y=x﹣1 或 y=﹣x+1 B．y= （x﹣1）或 y=﹣ （x﹣1） C．y= （x﹣1）或 y=﹣ （x﹣1） D．y= （x﹣1）或 y=﹣ （x﹣1） 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据题意，可得抛物线焦点为 F（1，0），由此设直线 l 方程为 y=k（x﹣1 ），与抛物线方程联解消去 x，得 ﹣y﹣k=0．再设 A（x1，y1），B（x2，y2 ），由根与系数的关系和|AF|=3|BF|，建立关于 y1、y2 和 k 的方程组，解之 可得 k 值，从而得到直线 l 的方程． 【解答】解：∵抛物线 C 方程为 y2=4x，可得它的焦点为 F（1，0）， ∴设直线 l 方程为 y=k（x﹣1） 第 15 页（共 31 页） 由消去 x，得 ﹣y﹣k=0 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 可得 y1+y2= ，y1y2=﹣4…（*） ∵|AF|=3|BF|， 2∴y1+3y2=0，可得 y1=﹣3y2，代入（*）得﹣2y2= 且﹣3y2 =﹣4， 消去 y2 得 k2=3，解之得 k= ∴直线 l 方程为 y= （x﹣1）或 y=﹣ （x﹣1） 故选：C． 【点评】本题给出抛物线的焦点弦 AB 被焦点 F 分成 1：3 的两部分，求直线 AB 的方程，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的 位置关系等知识，属于中档题． 　11．（5 分）已知函数 f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（　　） A．∃x0∈R，f（x0）=0 B．函数 y=f（x）的图象是中心对称图形 C．若 x0 是 f（x）的极小值点，则 f（x ）在区间（﹣∞，x0）上单调递减 D．若 x0 是 f（x）的极值点，则 f′（x0 ）=0 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用． 第 16 页（共 31 页） 【分析】对于 A，对于三次函数 f（x ）=x3+ax2+bx+c，由于当 x→﹣∞时，y→﹣ ∞，当 x→+∞时，y→+∞，故在区间（﹣∞，+∞）肯定存在零点； 对于 B，根据对称变换法则，求出对应中心坐标，可以判断； 对于 C：采用取特殊函数的方法，若取 a=﹣1，b=﹣1，c=0，则 f（x）=x3﹣x2﹣x ，利用导数研究其极值和单调性进行判断； D：若 x0 是 f（x）的极值点，根据导数的意义，则 f′（x0 ）=0，正确． 【解答】解： A、对于三次函数 f （x ）=x3+ax2+bx+c， A：由于当 x→﹣∞时，y→﹣∞，当 x→+∞时，y→+∞， 故∃x0∈R，f（x0）=0，故 A 正确； B、∵f（﹣ ﹣x）+f（x）=（﹣ ﹣x）3+a（﹣ ﹣x）2+b（﹣ ﹣x） +c+x3+ax2+bx+c= ﹣+2c， f（﹣ ）=（﹣ ）3+a（﹣ ）2+b（﹣ ）+c= ∵f（﹣ ﹣x）+f（x）=2f（﹣ ）， ﹣+c， ∴点 P（﹣ ，f（﹣ ））为对称中心，故 B 正确． C、若取 a=﹣1，b=﹣1，c=0，则 f（x）=x3﹣x2﹣x， 对于 f（x）=x3﹣x2﹣x，∵f′（x）=3×2﹣2x﹣1 ∴由 f′（x）=3×2﹣2x﹣1＞0 得 x∈（﹣∞，﹣ ）∪（1，+∞） 由 f′（x）=3×2﹣2x﹣1＜0 得 x∈（﹣ ，1） ∴函数 f（x）的单调增区间为：（﹣∞，﹣ ），（1，+∞），减区间为：（﹣ ，1）， 故 1 是 f（x）的极小值点，但 f（x ）在区间（﹣∞，1）不是单调递减，故 C 错 误； D：若 x0 是 f（x）的极值点，根据导数的意义，则 f′（x0 ）=0，故 D 正确． 第 17 页（共 31 页） 由于该题选择错误的，故选：C． 【点评】本题考查了导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间， 及导数的运算． 　12．（5 分）若存在正数 x 使 2x（x﹣a）＜1 成立，则 a 的取值范围是（　　） A．（﹣∞，+∞） B．（﹣2，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣1，+∞） 【考点】3E：函数单调性的性质与判断；7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】转化不等式为 ，利用 x 是正数，通过函数的单调性，求出 a 的 范围即可． 【解答】解：因为 2x（x﹣a）＜1，所以 ，函数 y= 是增函数，x＞0，所以 y＞﹣1，即 a＞﹣1， 所以 a 的取值范围是（﹣1，+∞）． 故选：D． 【点评】本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的 能力． 　二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分． 第 18 页（共 31 页） 13．（4 分）从 1，2，3，4，5 中任意取出两个不同的数，其和为 5 的概率是　0.2　 ．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】由题意结合组合数公式可得总的基本事件数，再找出和为 5 的情形，由 古典概型的概率公式可得答案． 【解答】解：从 1，2，3，4，5 中任意取出两个不同的数共有 =10 种情况， 和为 5 的有（1，4）（2，3）两种情况， 故所求的概率为： =0.2 故答案为：0.2 【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题． 　14．（4 分）已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则 •=　2　． 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（ ）•（ ），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果． 【解答】解：∵已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则 =0， 故=（ ）•（ ）=（ =2， ）•（ ）= ﹣+﹣=4+0﹣0﹣ 故答案为 2． 【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂 直的性质，属于中档题． 　15．（4 分）已知正四棱锥 O﹣ABCD 的体积为 ，底面边长为 ，则以O 为 第 19 页（共 31 页） 球心，OA 为半径的球的表面积为　24π　． 【考点】L3：棱锥的结构特征；LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离． 【分析】先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥 O﹣ABCD 的高，再利用 直角三角形求出正四棱锥 O﹣ABCD 的侧棱长 OA，最后根据球的表面积公式 计算即得． 【解答】解：如图，正四棱锥 O﹣ABCD 的体积 V= sh= （ ×）×OH= ，∴OH= ，在直角三角形 OAH 中，OA= ==所以表面积为 4πr2=24π； 故答案为：24π． 【点评】本题考查锥体的体积、球的表面积计算，考查学生的运算能力，属基础 题． 　16．（4 分）函数 y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移 个单位后， 与函数 y=sin（2x+ ）的图象重合，则 φ=　 　． 【考点】HJ：函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题；57：三角函数的图像与性质． 第 20 页（共 31 页） 【分析】根据函数图象平移的公式，可得平移后的图象为 y=cos[2（x﹣ ）+φ] 的图象，即 y=cos（2x+φ﹣π）的图象．结合题意得函数 y=sin（2x+ ）= 的图象与 y=cos（2x+φ﹣π）图象重合，由此结合三角函数的 诱导公式即可算出 φ 的值． 【解答】解：函数 y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移 个单位后， 得平移后的图象的函数解析式为 y=cos[2（x﹣ ）+φ]=cos（2x+φ﹣π）， 而函数 y=sin（2x+ ）= ，由函数 y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移 （2x+ ）的图象重合，得 个单位后，与函数 y=sin 2x+φ﹣π= ，解得：φ= ．符合﹣π≤φ＜π． 故答案为 ．【点评】本题给出函数 y=cos（2x+φ）的图象平移，求参数 φ 的值．着重考查了 函数图象平移的公式、三角函数的诱导公式和函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变 换等知识，属于基础题． 　三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12 分）已知等差数列{an}的公差不为零，a1=25，且 a1，a11，a13 成等比数 列． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求 a1+a4+a7+…+a3n﹣2 ．【考点】84：等差数列的通项公式；88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和 ．菁优网版权所有 第 21 页（共 31 页） 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】（I）设等差数列{an}的公差为 d≠0，利用成等比数列的定义可得， ，再利用等差数列的通项公式可得 ，化 为 d（2a1+25d）=0，解出 d 即可得到通项公式 an； （II）由（I）可得 a3n﹣2=﹣2（3n﹣2）+27=﹣6n+31，可知此数列是以 25 为首项 ， ﹣6 为 公 差 的 等 差 数 列 ． 利 用 等 差 数 列 的 前n 项 和 公 式 即 可 得 出 a1+a4+a7+…+a3n﹣2 ．【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为 d≠0， 由题意 a1，a11，a13 成等比数列，∴ ，∴，化为 d（2a1+25d）=0， ∵d≠0，∴2×25+25d=0，解得 d=﹣2． ∴an=25+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+27． （II）由（I）可得 a3n﹣2=﹣2（3n﹣2）+27=﹣6n+31，可知此数列是以 25 为首项 ，﹣6 为公差的等差数列． ∴Sn=a1+a4+a7+…+a3n﹣2 ===﹣3n2+28n． 【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式是解题的 关键． 　18．（12 分）如图，直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，D，E 分别是 AB，BB1 的中点 （Ⅰ）证明：BC1∥平面 A1CD； （Ⅱ）AA1=AC=CB=2，AB= ，求三棱锥 C﹣A1DE 的体积． 第 22 页（共 31 页） 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）连接 AC1 交 A1C 于点 F，则 DF 为三角形 ABC1 的中位线，故 DF∥ BC1．再根据直线和平面平行的判定定理证得 BC1∥平面 A1CD． （Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面 ABC 为等腰直角三角形，由 D 为 AB 的中点 可得 CD⊥平面 ABB1A1．求得 CD 的值，利用 勾股定理求得 A1D、DE 和 A1E 的值，可得 A1D⊥DE．进而求得 的值，再 根据三棱锥 C﹣A1DE 的体积 为 • •CD，运算求得结果． 【解答】解：（Ⅰ）证明：连接 AC1 交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1 的中点． ∵直棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，D，E 分别是 AB，BB1 的中点，故 DF 为三角形 ABC1 的 中位线，故 DF∥BC1． 由于 DF⊂平面 A1CD，而 BC1 不在平面 A1CD 中，故有 BC1∥平面 A1CD． 第 23 页（共 31 页） （Ⅱ）∵AA1=AC=CB=2，AB=2 ，故此直三棱柱的底面 ABC 为等腰直角三角形． 由 D 为 AB 的中点可得 CD⊥平面 ABB1A1 ，∴CD= =．∵A1D= =，同理，利用勾股定理求得 DE= ，A1E=3． +DE2= ，∴A1D⊥DE． 再由勾股定理可得 ∴∴==，= • •CD=1． 【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求三棱锥的体积，体 现了数形结合的数学思想，属于中档题． 　19．（12 分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1t 该产品获 利润 500 元，未售出的产品，每 1t 亏损 300 元．根据历史资料，得到销售季 度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购 进了 130t 该农产品．以 X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内 的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． 第 24 页（共 31 页） （Ⅰ）将 T 表示为 X 的函数； （Ⅱ）根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率． 【考点】B8：频率分布直方图．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】（I）由题意先分段写出，当 X∈[100，130）时，当 X∈[130，150）时， 和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可． （II）由（I）知，利润 T 不少于 57000 元，当且仅当 120≤X≤150．再由直方图 知需求量 X∈[120，150]的频率为 0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个 销售季度的利润 T 不少于 57000 元的概率的估计值． 【解答】解：（I）由题意得，当 X∈[100，130）时，T=500X﹣300（130﹣X） =800X﹣39000， 当 X∈[130，150]时，T=500×130=65000， ∴T= ．（II）由（I）知，利润 T 不少于 57000 元，当且仅当 120≤X≤150． 由直方图知需求量 X∈[120，150]的频率为 0.7， 所以下一个销售季度的利润 T 不少于 57000 元的概率的估计值为 0.7． 【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是 对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义． 　第 25 页（共 31 页） 20．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 ，在 y 轴上截得线段长为 2 ．（Ⅰ）求圆心 P 的轨迹方程； （Ⅱ）若 P 点到直线 y=x 的距离为 ，求圆P 的方程． 【考点】J1：圆的标准方程；J3：轨迹方程．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）由题意，可直接在弦心距、弦的一半及半径三者组成的直角三角 形中利用勾股定理建立关于点 P 的横纵坐标的方程，整理即可得到所求的轨 迹方程； （Ⅱ）由题，可先由点到直线的距离公式建立关于点 P 的横纵坐标的方程，将此 方程与（I）所求的轨迹方程联立，解出点 P 的坐标，进而解出圆的半径即可 写出圆 P 的方程． 【解答】解：（Ⅰ）设圆心 P（x，y），由题意得圆心到 x 轴的距离与半径之间 的关系为 2=﹣y2+r2，同理圆心到 y 轴的距离与半径之间的关系为 3=﹣x2+r2， 由两式整理得 x2+3=y2+2，整理得 y2﹣x2=1 即为圆心 P 的轨迹方程，此轨迹是 等轴双曲线 （Ⅱ）由 P 点到直线 y=x 的距离为 得， =，即|x﹣y|=1，即 x=y+1 或 y=x+1，分别代入 y2﹣x2=1 解得 P（0，﹣1）或 P（0，1） 2若 P（0，﹣1），此时点 P 在 y 轴上，故半径为 ，所以圆P 的方程为（y+1）+x2=3 ；2若 P（0，1），此时点 P 在 y 轴上，故半径为 ，所以圆P 的方程为（y﹣1）+x2=3 ；综上，圆 P 的方程为（y+1）2+x2=3 或（y﹣1）2+x2=3 【点评】本题考查求轨迹方程的方法解析法及点的直线的距离公式、圆的标准方 程与圆的性质，解题的关键是理解圆的几何特征，将几何特征转化为方程 　第 26 页（共 31 页） 21．（12 分）已知函数 f（x）=x2e﹣x （Ⅰ）求 f（x）的极小值和极大值； （Ⅱ）当曲线 y=f（x）的切线 l 的斜率为负数时，求 l 在 x 轴上截距的取值范围． 【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；6D：利用导数研究函数的极值；6H： 利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；53：导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）利用导数的运算法则即可得出 f′（x），利用导数与函数单调性 的关系及函数的极值点的定义，即可求出函数的极值； （Ⅱ）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求 出与 x 轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x2e﹣x， ∴f′（x）=2xe﹣x﹣x2e﹣x=e﹣x（2x﹣x2）， 令 f′（x）=0，解得 x=0 或 x=2， 令 f′（x）＞0，可解得 0＜x＜2； 令 f′（x）＜0，可解得 x＜0 或 x＞2， 故函数在区间（﹣∞，0）与（2，+∞）上是减函数，在区间（0，2）上是增函 数． ∴x=0 是极小值点，x=2 极大值点，又 f（0）=0，f（2）= 故 f（x）的极小值和极大值分别为 0， ．．（Ⅱ）设切点为（ 则切线方程为 y﹣ ）， =（x﹣x0）， 令 y=0，解得 x= =，∵曲线 y=f（x）的切线 l 的斜率为负数， 第 27 页（共 31 页） ∴（＜0， ∴x0＜0 或 x0＞2， 令，则=．①当 x0＜0 时， 0，即 f′（x0）＞0，∴f（x0）在（﹣∞，0）上单 调递增，∴f（x0）＜f（0）=0； ②当 x0＞2 时，令 f′（x0）=0，解得 ．当时，f′（x0）＞0，函数 f（x0）单调递增；当 时，f′（x0 ）＜0，函数 f（x0）单调递减． 故当 时，函数 f（x0）取得极小值，也即最小值，且 =．综上可知：切线 l 在 x 轴上截距的取值范围是（﹣∞，0）∪ ．【点评】本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、 函数的值域，综合性强，考查了推理能力和计算能力． 　选做题．请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的 第一部分，作答时请写清题号． 22．【选修 4﹣1 几何证明选讲】 如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线 CD 于点 D，E、F 分别为 弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BC•AE=DC•AF，B、E、F、C 四点共圆． （1）证明：CA 是△ABC 外接圆的直径； （2）若 DB=BE=EA，求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比 值． 第 28 页（共 31 页） 【考点】NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】（1）已知 CD 为△ABC 外接圆的切线，利用弦切角定理可得∠DCB=∠A ，及 BC•AE=DC•AF，可知△CDB∽△AEF，于是∠CBD=∠AFE． 利用 B、E、F、C 四点共圆，可得∠CFE=∠DBC，进而得到∠CFE=∠AFE=90°即可 证明 CA 是△ABC 外接圆的直径； （2）要求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．只需求出 其外接圆的直径的平方之比即可．由过 B、E、F、C 四点的圆的直径为 CE， 及 DB=BE，可得 CE=DC，利用切割线定理可得 DC2=DB•DA，CA2=CB2+BA2，都 用 DB 表示即可． 【解答】（1）证明：∵CD 为△ABC 外接圆的切线，∴∠DCB=∠A， ∵BC•AE=DC•AF，∴ ．∴△CDB∽△AEF，∴∠CBD=∠AFE． ∵B、E、F、C 四点共圆，∴∠CFE=∠DBC，∴∠CFE=∠AFE=90°． ∴∠CBA=90°，∴CA 是△ABC 外接圆的直径； （2）连接 CE，∵∠CBE=90°， ∴过 B、E、F、C 四点的圆的直径为 CE，由 DB=BE，得 CE=DC， 又 BC2=DB•BA=2DB2， ∴CA2=4DB2+BC2=6DB2． 而 DC2=DB•DA=3DB2， 故过 B、E、F、C 四点的圆的面积与△ABC 面积的外接圆的面积比值= =．【点评】熟练掌握弦切角定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的性质、直 径的判定、切割线定理、勾股定理等腰三角形的性质是解题的关键． 　23．已知动点 P、Q 都在曲线 （β 为参数）上，对应参数分别为 β=α 与 β=2α（0＜α＜2π），M 为 PQ 的中点． 第 29 页（共 31 页） （1）求 M 的轨迹的参数方程； （2）将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标 原点． 【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）利用参数方程与中点坐标公式即可得出； （2）利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性即可得出． 【解答】解：（1）依题意有 P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α）， 因此 M（cosα+cos2α，sinα+sin2α）． M 的轨迹的参数方程为 为参数，0＜α＜2π）． （0＜α＜2π）． （2）M 点到坐标原点的距离 d= 当 α=π 时，d=0，故 M 的轨迹过坐标原点． 【点评】本题考查了参数方程与中点坐标公式、两点之间的距离公式、三角函数 的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　24．（14 分）【选修 4﹣﹣5；不等式选讲】 设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c=1，证明： （Ⅰ） （Ⅱ） ．【考点】R6：不等式的证明．菁优网版权所有 【专题】14：证明题；16：压轴题． 【分析】（Ⅰ）依题意，由 a+b+c=1⇒（a+b+c）2=1⇒a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1， 利用基本不等式可得 3（ab+bc+ca）≤1，从而得证； （Ⅱ）利用基本不等式可证得： +b≥2a， +c≥2b， +a≥2c，三式累加即 可证得结论． 第 30 页（共 31 页） 【解答】证明：（Ⅰ）由 a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca 得： a2+b2+c2≥ab+bc+ca， 由题设得（a+b+c）2=1，即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1， 所以 3（ab+bc+ca）≤1，即 ab+bc+ca≤ ． （Ⅱ）因为 +b≥2a， +c≥2b， +a≥2c， 故+++（a+b+c）≥2（a+b+c），即 + ≥1． ++≥a+b+c． 所以 +【点评】本题考查不等式的证明，突出考查基本不等式与综合法的应用，考查推 理论证能力，属于中档题． 第 31 页（共 31 页）