2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）（含解析版）下载

2013 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 一、选择题共 12 小题．每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的一项． 1．（5 分）已知集合 A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则 A∩B=（　　） A．{1，4} B．{2，3} =（　　） C．{9，16} D．{1，2} 2．（5 分） A．﹣1﹣ i B．﹣1+ i C．1+ i D．1﹣ i 3．（5 分）从 1，2，3，4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值 为 2 的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（5 分）已知双曲线 C： （a＞0，b＞0）的离心率为 ，则C 的渐 近线方程为（　　） A．y= B．y= C．y=±x D．y= 5．（5 分）已知命题 p：∀x∈R，2x＜3x；命题 q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题 中为真命题的是（　　） A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q 6．（5 分）设首项为 1，公比为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则（　　） A．Sn=2an﹣1 B．Sn=3an﹣2 C．Sn=4﹣3an D．Sn=3﹣2an 7．（5 分）执行程序框图，如果输入的 t∈[﹣1，3]，则输出的 s 属于（　　） 第 1 页（共 30 页） A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5] 8．（5 分）O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2=4 x的焦点，P 为 C 上一点，若 |PF|=4 ，则△POF 的面积为（　　） A．2 B．2 C．2 D．4 9．（5 分）函数 f（x）=（1﹣cosx）sinx 在[﹣π，π]的图象大致为（　　） A． C． B． D． 10．（5 分）已知锐角△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，23cos2A+cos2A=0 ，a=7，c=6，则 b=（　　） A．10 B．9 C．8 D．5 11．（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） 第 2 页（共 30 页） A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π 12．（5 分）已知函数 f（x）= ，若|f（x）|≥ax，则 a 的取值 范围是（　　） A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0] 　二．填空题：本大题共四小题，每小题 5 分． 13．（5 分）已知两个单位向量 ， 的夹角为60°， =t +（1﹣t） ．若 • =0， 则 t=　 　． 14．（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x﹣y 的最大值为　 　． 15．（5 分）已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面 α，H 为垂足，α 截球 O 所得截面的面积为 π，则球 O 的表面积为　． 16．（5 分）设当 x=θ 时，函数 f（x）=sinx﹣2cosx 取得最大值，则 cosθ=　 　． 　三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12 分）已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0，S5=﹣5． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{ }的前 n 项和． 第 3 页（共 30 页） 18．（12 分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为 A 药，B 药）的疗效， 随机地选取 20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这 40 位患者服用一段 时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下： 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 0.6 2.5 1.2 2.6 2.7 1.2 1.5 2.7 2.8 1.5 1.8 2.9 2.2 3.0 2.3 3.1 3.2 2.3 3.5 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 3.2 1.6 1.7 0.5 1.9 1.8 0.8 0.6 0.9 2.1 2.4 1.1 1.2 2.5 2.6 1.2 1.3 2.7 1.4 0.5 （Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ （Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？ 19．（12 分）如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60° （Ⅰ）证明：AB⊥A1C； （Ⅱ）若 AB=CB=2，A1C= ，求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积． 第 4 页（共 30 页） 20．（12 分）已知函数 f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线 y=f（x）在点（0，f（ 0））处切线方程为 y=4x+4． （Ⅰ）求 a，b 的值； （Ⅱ）讨论 f（x）的单调性，并求 f（x）的极大值． 2221．（12 分）已知圆 M：（x+1）+y2=1，圆 N：（x﹣1）+y2=9，动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C． （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ）l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|． 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如 果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选 题号后的方框涂黑。 22．（10 分）（选修 4﹣1：几何证明选讲） 如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，∠ABC 的角平分线 BE 交圆 于点 E，DB 垂直 BE 交圆于 D． （Ⅰ）证明：DB=DC； （Ⅱ）设圆的半径为 1，BC= ，延长 CE 交 AB 于点 F，求△BCF 外接圆的半径． 第 5 页（共 30 页） 23．已知曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ． （1）把 C1 的参数方程化为极坐标方程； （2）求 C1 与 C2 交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）． 24．已知函数 f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3． （Ⅰ）当 a=﹣2 时，求不等式 f（x）＜g（x）的解集； （Ⅱ）设 a＞﹣1，且当 x∈[﹣ ， ]时，f（x）≤g（x），求 a 的取值范围． 　第 6 页（共 30 页） 2013 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 参考答案与试题解析 　一、选择题共 12 小题．每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的一项． 1．（5 分）已知集合 A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则 A∩B=（　　） A．{1，4} B．{2，3} C．{9，16} D．{1，2} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】由集合 A 中的元素分别平方求出 x 的值，确定出集合 B，找出两集合的 公共元素，即可求出交集． 【解答】解：根据题意得：x=1，4，9，16，即 B={1，4，9，16}， ∵A={1，2，3，4}， ∴A∩B={1，4}． 故选：A． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　2．（5 分） A．﹣1﹣ i =（　　） B．﹣1+ i C．1+ i D．1﹣ i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用分式的分母平方，复数分母实数化，运算求得结果． 【解答】解： ====﹣1+ i． 故选：B． 【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数的乘方运算，考查计算能力． 第 7 页（共 30 页） 　3．（5 分）从 1，2，3，4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值 为 2 的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从 4 个不同的数 2中随机的抽 2 个，共有 C4 种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值 等于 2 的有两种，得到概率． 【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率， 2试验发生包含的事件是从 4 个不同的数中随机的抽 2 个，共有 C4 =6 种结果， 满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于 2，有 2 种结果，分别是（1，3） ，（2，4）， ∴要求的概率是 = ． 故选：B． 【点评】本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题解题的关键是事件数 是一个组合数，若都按照排列数来理解也可以做出正确的结果． 　4．（5 分）已知双曲线 C： （a＞0，b＞0）的离心率为 ，则C 的渐 近线方程为（　　） A．y= B．y= C．y=±x D．y= 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由离心率和 abc 的关系可得 b2=4a2，而渐近线方程为 y=± x，代入可 第 8 页（共 30 页） 得答案． 【解答】解：由双曲线 C： （a＞0，b＞0）， 则离心率 e= = =，即 4b2=a2， x， 故渐近线方程为 y=± x= 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题． 　5．（5 分）已知命题 p：∀x∈R，2x＜3x；命题 q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题 中为真命题的是（　　） A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q 【考点】2E：复合命题及其真假．菁优网版权所有 【专题】21：阅读型；5L：简易逻辑． 【分析】举反例说明命题 p 为假命题，则￢p 为真命题．引入辅助函数 f（x） =x3+x2﹣1，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题 q 为 真命题，由复合命题的真假得到答案． 【解答】解：因为 x=﹣1 时，2﹣1＞3﹣1，所以命题 p：∀x∈R，2x＜3x 为假命题， 则￢p 为真命题． 令 f（x）=x3+x2﹣1，因为 f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函数 f（x）=x3+x2﹣1 在（0，1）上存在零点， 即命题 q：∃x∈R，x3=1﹣x2 为真命题． 则￢p∧q 为真命题． 故选：B． 【点评】本题考查了复合命题的真假，考查了指数函数的性质及函数零点的判断 方法，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题． 　第 9 页（共 30 页） 6．（5 分）设首项为 1，公比为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则（　　） A．Sn=2an﹣1 B．Sn=3an﹣2 C．Sn=4﹣3an D．Sn=3﹣2an 【考点】89：等比数列的前 n 项和．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】由题意可得数列的通项公式，进而可得其求和公式，化简可得要求的关 系式． 【解答】解：由题意可得 an=1× =，∴Sn= =3﹣ =3﹣2 =3﹣2an， 故选：D． 【点评】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及指数的运算，属中档题 ．　7．（5 分）执行程序框图，如果输入的 t∈[﹣1，3]，则输出的 s 属于（　　） A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5] 第 10 页（共 30 页） 【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图． 【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再 根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值， 由条件为 t＜1 我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支 上对应的语句行，我们易得函数的解析式． 【解答】解：由判断框中的条件为 t＜1，可得： 函数分为两段，即 t＜1 与 t≥1， 又由满足条件时函数的解析式为：s=3t； 不满足条件时，即 t≥1 时，函数的解析式为：s=4t﹣t2 故分段函数的解析式为：s= ，如果输入的 t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在 t∈[﹣1，3]时的图象， 则输出的 s 属于[﹣3，4]． 故选：A． 【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的 结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框 中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析 第 11 页（共 30 页） 函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式． 　8．（5 分）O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2=4 x的焦点，P 为 C 上一点，若 |PF|=4 ，则△POF 的面积为（　　） A．2 B．2 C．2 D．4 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据抛物线方程，算出焦点 F 坐标为（ ）．设P（m，n），由抛 物线的定义结合|PF|=4 ，算出 m=3 ，从而得到 n= ，得到△POF 的 边 OF 上的高等于 2 ，最后根据三角形面积公式即可算出△POF 的面积． 【解答】解：∵抛物线 C 的方程为 y2=4 ∴2p=4 ，可得 = ，得焦点 F（ x）设 P（m，n） 根据抛物线的定义，得|PF|=m+ =4 ，即 m+ =4 ，解得 m=3 ∵点 P 在抛物线 C 上，得 n2=4 ×3 =24 ∴n= =∵|OF|= ∴△POF 的面积为 S= |OF|×|n|= 故选：C． =2 第 12 页（共 30 页） 【点评】本题给出抛物线 C：y2=4 x上与焦点 F 的距离为 4 的点 P，求△POF 的面积．着重考查了三角形的面积公式、抛物线的标准方程和简单几何性质 等知识，属于基础题． 　9．（5 分）函数 f（x）=（1﹣cosx）sinx 在[﹣π，π]的图象大致为（　　） A． C． B． D． 【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】由函数的奇偶性可排除 B，再由 x∈（0，π）时，f（x）＞0，可排除 A， 求导数可得 f′（0）=0，可排除 D，进而可得答案． 【解答】解：由题意可知：f（﹣x）=（1﹣cosx）sin（﹣x）=﹣f（x）， 故函数 f（x）为奇函数，故可排除 B， 又因为当 x∈（0，π）时，1﹣cosx＞0，sinx＞0， 故 f（x）＞0，可排除 A， 第 13 页（共 30 页） 又 f′（x）=（1﹣cosx）′sinx+（1﹣cosx）（sinx）′ =sin2x+cosx﹣cos2x=cosx﹣cos2x， 故可得 f′（0）=0，可排除 D， 故选：C． 【点评】本题考查三角函数的图象，涉及函数的奇偶性和某点的导数值，属基础 题． 　10．（5 分）已知锐角△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，23cos2A+cos2A=0 ，a=7，c=6，则 b=（　　） A．10 B．9 C．8 D．5 【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】58：解三角形． 【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出 cosA 的值，再由 a 与 c 的值，利用余弦定理即可求出 b 的值． 【解答】解：∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A﹣1=0，即 cos2A= ，A 为锐角， ∴cosA= ， 又 a=7，c=6， 根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即 49=b2+36﹣ b， 解得：b=5 或 b=﹣ （舍去）， 则 b=5． 故选：D． 【点评】此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解 本题的关键． 　11．（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） 第 14 页（共 30 页） A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；27：图表型． 【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的 数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积． 【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其 中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为 2，母线长为 4 ．∴长方体的体积=4×2×2=16， 半个圆柱的体积= ×22×π×4=8π 所以这个几何体的体积是 16+8π； 故选：A． 【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系， 柱体体积计算公式，空间想象能力 　第 15 页（共 30 页） 12．（5 分）已知函数 f（x）= ，若|f（x）|≥ax，则 a 的取值 范围是（　　） A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0] 【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用． 【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数 y=|f（x）|的 图象，和函数 y=ax 的图象，由导数求切线斜率可得 l 的斜率，进而数形结合 可得 a 的范围． 【解答】解：由题意可作出函数 y=|f（x）|的图象，和函数 y=ax 的图象， 由图象可知：函数 y=ax 的图象为过原点的直线，当直线介于 l 和 x 轴之间符合题 意，直线 l 为曲线的切线，且此时函数 y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为 y=x2﹣2x， 求其导数可得 y′=2x﹣2，因为 x≤0，故 y′≤﹣2，故直线 l 的斜率为﹣2， 故只需直线 y=ax 的斜率 a 介于﹣2 与 0 之间即可，即 a∈[﹣2，0] 故选：D． 【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题． 　二．填空题：本大题共四小题，每小题 5 分． 第 16 页（共 30 页） 13．（5 分）已知两个单位向量 ， 的夹角为60°， =t +（1﹣t） ．若 • =0， 则 t=　2　． 【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【 分 析 】 由 于• =0， 对 式 子=t + （ 1﹣t ） 两边 与作 数 量 积 可 得 =0，经过化简即可得出． 【解答】解：∵ ∴tcos60°+1﹣t=0，∴1 故答案为 2． ，，∴ =0， =0，解得 t=2． 【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键． 　14．（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x﹣y 的最大值为　3　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y 表示直 线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可． 【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示， 由得 A（3，3）， z=2x﹣y 可转换成 y=2x﹣z，z 最大时，y 值最小， 即：当直线 z=2x﹣y 过点 A（3，3）时， 在 y 轴上截距最小，此时 z 取得最大值 3． 故答案为：3． 第 17 页（共 30 页） 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础 题． 　15．（5 分）已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面 α，H 为垂足，α 截球 O 所得截面的面积为 π，则球 O 的表面积为　 　． 【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离． 【分析】本题考查的知识点是球的表面积公式，设球的半径为 R，根据题意知由 与球心距离为 R 的平面截球所得的截面圆的面积是 π，我们易求出截面圆的 半径为 1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理 ，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积． 【解答】解：设球的半径为 R，∵AH：HB=1：2，∴平面 α 与球心的距离为 R， ∵α 截球 O 所得截面的面积为 π， ∴d= R时，r=1， 故由 R2=r2+d2 得 R2=12+（ R）2，∴R2= ∴球的表面积 S=4πR2= 故答案为： ．．第 18 页（共 30 页） 【点评】若球的截面圆半径为 r，球心距为 d，球半径为 R，则球心距、截面圆 半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，即 R2=r2+d2 　16．（5 分）设当 x=θ 时，函数 f（x）=sinx﹣2cosx 取得最大值，则 cosθ=　﹣ 　．【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值． 【分析】f（x）解析式提取 ，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正 弦函数，由 x=θ 时，函数 f（x）取得最大值，得到 sinθ﹣2cosθ= ，与 sin2θ+cos2θ=1 联立即可求出 cosθ 的值． 【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx= 中 cosα= ，sinα= ）， （sinx﹣ cosx）= sin（x﹣α）（其 ∵x=θ 时，函数 f（x）取得最大值， ∴sin（θ﹣α）=1，即 sinθ﹣2cosθ= 又 sin2θ+cos2θ=1， ，联立得（2cosθ+ ）2+cos2θ=1，解得 cosθ=﹣ ．故答案为：﹣ 【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系， 以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键． 　三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12 分）已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0，S5=﹣5． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{ }的前 n 项和． 第 19 页（共 30 页） 【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）设出等差数列{an}的首项和公差，直接由 S3=0，S5=﹣5 列方程组 求出，然后代入等差数列的通项公式整理； （Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的通项公式，代入数列{ 理，则利用裂项相消可求数列{ }的前 n 项和． 【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的首项为 a1，公差为 d，则 }的通项中进行列项整 ．由已知可得 ，即 ，解得 a1=1，d=﹣1， 故{an}的通项公式为 an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）•（﹣1）=2﹣n； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 从而数列{ ．}的前 n 项和 Sn= =．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中 档题． 　18．（12 分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为 A 药，B 药）的疗效， 随机地选取 20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这 40 位患者服用一段 时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下： 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 0.6 2.5 1.2 2.6 2.7 1.2 1.5 2.7 2.8 1.5 1.8 2.9 2.2 3.0 2.3 3.1 3.2 2.3 3.5 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 3.2 1.6 1.7 0.5 1.9 1.8 0.8 0.6 0.9 2.1 2.4 1.1 1.2 2.5 2.6 1.2 1.3 2.7 1.4 0.5 第 20 页（共 30 页） （Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ （Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？ 【考点】BA：茎叶图；BB：众数、中位数、平均数．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）利用平均数的计算公式即可得出，据此即可判断出结论； （Ⅱ）利用已知数据和茎叶图的结构即可完成． 【解答】解：（Ⅰ）设 A 药观测数据的平均数据的平均数为 ，设B 药观测数据 的平均数据的平均数为 ， 则=×（0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2.3 +2.4）=2.3． ×（3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2.7 +0.5）=1.6． 由以上计算结果可知： ．由此可看出 A 药的效果更好． （Ⅱ）根据两组数据得到下面茎叶图： 从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有 的叶集中在2，3 上．而 B 药 第 21 页（共 30 页） 疗效的试验结果由 的叶集中在0，1 上．由此可看出 A 药的疗效更好． 【点评】熟练掌握平均数的计算公式和茎叶图的结果及其功能是解题的关键． 　19．（12 分）如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60° （Ⅰ）证明：AB⊥A1C； （Ⅱ）若 AB=CB=2，A1C= ，求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）由题目给出的边的关系，可想到去 AB 中点 O，连结 OC，OA1， 可通过证明 AB⊥平面 OA1C 得要证的结论； （Ⅱ）在三角形 OCA1 中，由勾股定理得到 OA1⊥OC，再根据 OA1⊥AB，得到 OA1 为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公 式求体积． 【解答】（Ⅰ）证明：如图， 取 AB 的中点 O，连结 OC，OA1，A1B． 因为 CA=CB，所以 OC⊥AB． 由于 AB=AA1， 所以 OA1⊥AB． ，故△AA1B 为等边三角形， 因为 OC∩OA1=O，所以 AB⊥平面 OA1C． 又 A1C⊂平面 OA1C，故 AB⊥A1C； （Ⅱ）解：由题设知△ABC 与△AA1B 都是边长为 2 的等边三角形， 所以 ．第 22 页（共 30 页） 又，则 因为 OC∩AB=O，所以 OA1⊥平面 ABC，OA1 为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高． 又 △ ABC 的 面 积， 故 三 棱 柱ABC﹣A1B1C1 的 体 积 ，故 OA1⊥OC． ．【点评】题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查了棱柱的体积，考查空间想 象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题． 　20．（12 分）已知函数 f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线 y=f（x）在点（0，f（ 0））处切线方程为 y=4x+4． （Ⅰ）求 a，b 的值； （Ⅱ）讨论 f（x）的单调性，并求 f（x）的极大值． 【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方 程．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求导函数，利用导数的几何意义及曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处切线方程为 y=4x+4，建立方程，即可求得 a，b 的值； （Ⅱ）利用导数的正负，可得 f（x）的单调性，从而可求 f（x）的极大值． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x， ∴f′（x）=ex（ax+a+b）﹣2x﹣4， ∵曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为 y=4x+4 ∴f（0）=4，f′（0）=4 第 23 页（共 30 页） ∴b=4，a+b=8 ∴a=4，b=4； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4ex（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4ex（x+2）﹣2x﹣4=4（ x+2）（ex﹣ ）， 令 f′（x）=0，得 x=﹣ln2 或 x=﹣2 ∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（ x）＜0 ∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2， ﹣ln2） 当 x=﹣2 时，函数 f（x）取得极大值，极大值为 f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）． 【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算 能力，确定函数的解析式是关键． 　2221．（12 分）已知圆 M：（x+1）+y2=1，圆 N：（x﹣1）+y2=9，动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C． （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ）l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|． 【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】（I）设动圆的半径为 R，由已知动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，可 得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点 P 的 轨迹是以 M，N 为焦点，4 为长轴长的椭圆，求出即可； （II）设曲线 C 上任意一点 P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以 第 24 页（共 30 页） R≤2，当且仅当⊙P 的圆心为（2，0）R=2 时，其半径最大，其方程为（x﹣2） 2+y2=4．分①l 的倾斜角为 90°，此时 l 与 y 轴重合，可得|AB|．②若 l 的倾斜 角不为 90°，由于⊙M 的半径 1≠R，可知 l 与 x 轴不平行，设 l 与 x 轴的交点 为 Q，根据 ，可得 Q（﹣4，0），所以可设 l：y=k（x+4），与椭圆 的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出． 2【解答】解：（I）由圆 M：（x+1）+y2=1，可知圆心 M（﹣1，0）；圆 N：（x﹣1 ）2+y2=9，圆心 N（1，0），半径 3． 设动圆的半径为 R， ∵动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4， 而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点，4 为长轴长 的椭圆， ∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3． ∴曲线 C 的方程为 （x≠﹣2）． （II）设曲线 C 上任意一点 P（x，y）， 由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以 R≤2，当且仅当⊙P 的圆心为（2，0） R=2 时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4． ①l 的倾斜角为 90°，则 l 与 y 轴重合，可得|AB|= ．②若 l 的倾斜角不为 90°，由于⊙M 的半径 1≠R，可知 l 与 x 轴不平行， 设 l 与 x 轴的交点为 Q，则 ）， ，可得 Q（﹣4，0），所以可设 l：y=k（x+4 由 l 于 M 相切可得： ，解得 ．当时，联立 ，得到 7×2+8x﹣8=0． 第 25 页（共 30 页） ∴，．∴|AB|= ==由于对称性可知：当 时，也有|AB|= ．综上可知：|AB|= 或．【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其 性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式 等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法． 　请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如 果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选 题号后的方框涂黑。 22．（10 分）（选修 4﹣1：几何证明选讲） 如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，∠ABC 的角平分线 BE 交圆 于点 E，DB 垂直 BE 交圆于 D． （Ⅰ）证明：DB=DC； （Ⅱ）设圆的半径为 1，BC= ，延长 CE 交 AB 于点 F，求△BCF 外接圆的半径． 【考点】NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】（I）连接 DE 交 BC 于点 G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角 平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知 DB⊥BE， 可知 DE 为⊙O 的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到 DC=DB． 第 26 页（共 30 页） （II）由（I）可知：DG 是 BC 的垂直平分线，即可得到 BG= ．设 DE 的中点为 O ，连接 BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到 CF⊥BF．进 而得到 Rt△BCF 的外接圆的半径= ．【解答】（I）证明：连接 DE 交 BC 于点 G． 由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE， ∴∠CBE=∠BCE，BE=CE． 又∵DB⊥BE，∴DE 为⊙O 的直径，∠DCE=90°． ∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB． （II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC． 故 DG 是 BC 的垂直平分线，∴BG= ．设 DE 的中点为 O，连接 BO，则∠BOG=60°． 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°． ∴CF⊥BF． ∴Rt△BCF 的外接圆的半径= ．【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全 等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决 问题的能力． 　23．已知曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ． （1）把 C1 的参数方程化为极坐标方程； （2）求 C1 与 C2 交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 第 27 页（共 30 页） 【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）曲线 C1 的参数方程消去参数 t，得到普通方程，再由 ，能求出 C1 的极坐标方程． （2）曲线 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程，与 C1 的普通方程联立，求出 C1 与 C2 交点的直角坐标，由此能求出 C1 与 C2 交点的极坐标． 2【解答】解：（1）将 ，消去参数 t，化为普通方程（x﹣4） +（y﹣5 ）2=25， 即 C1：x2+y2﹣8x﹣10y+16=0， 将代入 x2+y2﹣8x﹣10y+16=0， 得 ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0． ∴C1 的极坐标方程为 ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0． （2）∵曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ． ∴曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y2﹣2y=0， 联立 解得 ，或，∴C1 与 C2 交点的极坐标为（ ）和（2， ）． 【点评】本题考查曲线极坐标方程的求法，考查两曲线交点的极坐标的求法，考 查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证 能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 　24．已知函数 f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3． （Ⅰ）当 a=﹣2 时，求不等式 f（x）＜g（x）的解集； （Ⅱ）设 a＞﹣1，且当 x∈[﹣ ， ]时，f（x）≤g（x），求 a 的取值范围． 第 28 页（共 30 页） 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【 分 析 】 （ Ⅰ ） 当a=﹣2 时 ， 求 不 等 式f （ x ） ＜ g （ x ） 化 为 |2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设 y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数 y 的图 象，数形结合可得结论． （Ⅱ）不等式化即 1+a≤x+3，故 x≥a﹣2 对 x∈[﹣ ， ]都成立，分析可得﹣ ≥a﹣2，由此解得 a 的取值范围． 【 解 答 】 解 ： （ Ⅰ ） 当a=﹣2 时 ， 求 不 等 式f （ x ） ＜ g （ x ） 化 为 |2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0． 设 y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则 y= ，它的图象如图所示： 结合图象可得，y＜0 的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）． （Ⅱ）设 a＞﹣1，且当 x∈[﹣ ， ]时，f（x）=1+a，不等式化为 1+a≤x+3， 故 x≥a﹣2 对 x∈[﹣ ， ]都成立． 故﹣ ≥a﹣2， 解得 a≤ ， 故 a 的取值范围为（﹣1， ]． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法与绝对值不等式的性质，关键是利用零点 第 29 页（共 30 页） 分段讨论法分析函数的解析式． 第 30 页（共 30 页）