2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）（含解析版）下载

2012 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．（5 分）已知集合 A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（　　） A．A⊊B B．B⊊A C．A=B D．A∩B=∅ 2．（5 分）复数 z= 的共轭复数是（　　） A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 3．（5 分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1， x2，…，xn 不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n） 都在直线 y= x+1 上，则这组样本数据的样本相关系数为（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 4．（5 分）设 F1、F2 是椭圆 E： 上一点，△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形，则 E 的离心率为（　　） A． B． C． D． +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P 为直线 x= 5．（5 分）已知正三角形 ABC 的顶点 A（1，1），B（1，3），顶点 C 在第一象 限，若点（x，y）在△ABC 内部，则 z=﹣x+y 的取值范围是（　　） A．（1﹣ ，2） B．（0，2） C．（ ﹣1，2） D．（0，1+ ）6．（5 分）如果执行下边的程序框图，输入正整数 N（N≥2）和实数 a1，a2，… ，an，输出 A，B，则（　　） 第 1 页（共 28 页） A．A+B 为 a1，a2，…，an 的和 B． 为 a1，a2，…，an 的算术平均数 C．A 和 B 分别是 a1，a2，…，an 中最大的数和最小的数 D．A 和 B 分别是 a1，a2，…，an 中最小的数和最大的数 7．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视 图，则此几何体的体积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 8．（5 分）平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 α 的距离为 第 2 页（共 28 页） ，则此球的体积为（　　） A． B．4 ππC．4 πD．6 π9．（5 分）已知 ω＞0，0＜φ＜π，直线 x= 和 x= ）图象的两条相邻的对称轴，则 φ=（　　） 是函数 f（x）=sin（ωx+φ A． B． C． D． 10．（5 分）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2=16x 的 准线交于点 A 和点 B，|AB|=4 ，则 C 的实轴长为（　　） A． B． C．4 D．8 11．（5 分）当 0＜x≤ 时，4x＜logax，则 a 的取值范围是（　　） A．（0， 12．（5 分）数列{an}满足 an+1+（﹣1）an=2n﹣1，则{an}的前 60 项和为（　　） A．3690 B．3660 C．1845 D．1830 ）B．（ ，1） C．（1， ）D．（ ，2） n　二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．（5 分）曲线 y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为　 14．（5 分）等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3+3S2=0，则公比 q=　 　． 　． =　． 15．（5 分）已知向量 夹角为 45°，且 ，则 16．（5 分）设函数 f（x）= 的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m=　 　．　三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17 ．（12 分）已知 a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角 A ，B ，C 的对边， c= asinC﹣ccosA． （1）求 A； （2）若 a=2，△ABC 的面积为 ，求b，c． 第 3 页（共 28 页） 18．（12 分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以 每枝 10 元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理． （Ⅰ）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需 求量 n（单位：枝，n∈N）的函数解析式． （Ⅱ）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表： 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10 日需求量 n 频数 （i）假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花，求这 100 天的日利润（单位 ：元）的平均数； （ii）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求 量发生的概率，求当天的利润不少于 75 元的概率． 19．（12 分）如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC= AA1，D 是棱 AA1 的中点． （Ⅰ）证明：平面 BDC1⊥平面 BDC （Ⅱ）平面 BDC1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． 第 4 页（共 28 页） 20．（12 分）设抛物线 C：x2=2py（p＞0）的焦点为 F，准线为 l，A∈C，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点； （1）若∠BFD=90°，△ABD 的面积为 ，求 p 的值及圆 F 的方程； （2）若 A，B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个 公共点，求坐标原点到 m，n 距离的比值． 21．（12 分）设函数 f（x）=ex﹣ax﹣2． （Ⅰ）求 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若 a=1，k 为整数，且当 x＞0 时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求 k 的最大 值． 22．（10 分）如图，D，E 分别为△ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交△ABC 的 外接圆于 F，G 两点，若 CF∥AB，证明： （1）CD=BC； （2）△BCD∽△GBD． 第 5 页（共 28 页） 23．选修 4﹣4；坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 （φ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C2 的坐标系方程是 ρ=2，正方形 ABCD 的顶 点都在 C2 上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2， ）．（1）求点 A，B，C，D 的直角坐标； （2）设 P 为 C1 上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围． 24．已知函数 f（x）=|x+a|+|x﹣2| ①当 a=﹣3 时，求不等式 f（x）≥3 的解集； ②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求 a 的取值范围． 　第 6 页（共 28 页） 2012 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标） 参考答案与试题解析 　一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．（5 分）已知集合 A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（　　） A．A⊊B B．B⊊A C．A=B D．A∩B=∅ 【考点】18：集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】先求出集合 A，然后根据集合之间的关系可判断 【解答】解：由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}， ∵B={x|﹣1＜x＜1}， 在集合 B 中的元素都属于集合 A，但是在集合 A 中的元素不一定在集合 B 中，例 如 x= ∴B⊊A． 故选：B． 【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题． 　2．（5 分）复数 z= A．2+i 的共轭复数是（　　） B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 【考点】A1：虚数单位 i、复数；A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为 a+bi 的形式， 然后求法共轭复数即可． 第 7 页（共 28 页） 【解答】解：复数 z= ===﹣1+i． 所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i． 故选：D． 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力 ．　3．（5 分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1， x2，…，xn 不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n） 都在直线 y= x+1 上，则这组样本数据的样本相关系数为（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 【考点】BS：相关系数．菁优网版权所有 【专题】29：规律型． 【分析】所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线 y= x+1 上，故这组样 本数据完全正相关，故其相关系数为 1． 【解答】解：由题设知，所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线 y= x+1 上， ∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为 1， 故选：D． 【点评】本题主要考查样本的相关系数，是简单题． 　4．（5 分）设 F1、F2 是椭圆 E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P 为直线 x= 上一点，△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形，则 E 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 第 8 页（共 28 页） 【专题】11：计算题． 【分析】利用△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据 P 为 直线 x= 上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率． 【解答】解：∵△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形， ∴|PF2|=|F2F1| ∵P 为直线 x= 上一点 ∴∴故选：C． 【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于 基础题． 　5．（5 分）已知正三角形 ABC 的顶点 A（1，1），B（1，3），顶点 C 在第一象 限，若点（x，y）在△ABC 内部，则 z=﹣x+y 的取值范围是（　　） A．（1﹣ ，2） B．（0，2） C．（ ﹣1，2） D．（0，1+ ）【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由 A，B 及△ABC 为正三角形可得，可求 C 的坐标，然后把三角形的各 第 9 页（共 28 页） 顶点代入可求 z 的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围 【解答】解：设 C（a，b），（a＞0，b＞0） 由 A（1，1），B（1，3），及△ABC 为正三角形可得，AB=AC=BC=2 即（a﹣1）2+（b﹣1）2=（a﹣1）2+（b﹣3）2=4 ∴b=2，a=1+ 即 C（1+ ，2） 则此时直线 AB 的方程 x=1，AC 的方程为 y﹣1= （x﹣1）， 直线 BC 的方程为 y﹣3=﹣ （x﹣1） 当直线 x﹣y+z=0 经过点 A（1，1）时，z=0，经过点 B（1，3）z=2，经过点 C（1+ ，2）时，z=1﹣ ∴故选：A． 【点评】考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本 题型． 　6．（5 分）如果执行右边的程序框图，输入正整数 N（N≥2）和实数 a1，a2，… ，an，输出 A，B，则（　　） 第 10 页（共 28 页） A．A+B 为 a1，a2，…，an 的和 B． 为 a1，a2，…，an 的算术平均数 C．A 和 B 分别是 a1，a2，…，an 中最大的数和最小的数 D．A 和 B 分别是 a1，a2，…，an 中最小的数和最大的数 【考点】E7：循环结构．菁优网版权所有 【专题】5K：算法和程序框图． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是求出 a1，a2，…，an 中最大的数和最小的数． 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序， 可知，该程序的作用是：求出 a1，a2，…，an 中最大的数和最小的数 其中 A 为 a1，a2，…，an 中最大的数，B 为 a1，a2，…，an 中最小的数 故选：C． 第 11 页（共 28 页） 【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分 析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题． 　7．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视 图，则此几何体的体积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即 可． 【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为 3； 底面三角形斜边长为 6，高为 3 的等腰直角三角形， 此几何体的体积为 V= 故选：B． ×6×3×3=9． 【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算 能力． 　8．（5 分）平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 α 的距离为 ，则此球的体积为（　　） A． πB．4 πC．4 πD．6 π第 12 页（共 28 页） 【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 α 的距离 为，求出球的半径，然后求解球的体积． 【解答】解：因为平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 α 的 距离为 ，所以球的半径为： 所以球的体积为： 故选：B． =．=4 π． 【点评】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力． 　9．（5 分）已知 ω＞0，0＜φ＜π，直线 x= 和 x= ）图象的两条相邻的对称轴，则 φ=（　　） 是函数 f（x）=sin（ωx+φ A． B． C． D． 【考点】HK：由 y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及 φ 的范围，确定 φ 的值即可． 【解答】解：因为直线 x= 和 x= 是函数 f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相 邻的对称轴， 所以 T= 是最大值与最小值，0＜φ＜π， =2π．所以 ω=1，并且 sin（ +φ）与 sin（ +φ）分别 所以 φ= ．故选：A． 【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算 能力． 第 13 页（共 28 页） 　10．（5 分）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2=16x 的 准线交于点 A 和点 B，|AB|=4 ，则 C 的实轴长为（　　） A． B． C．4 D．8 【考点】KI：圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】设等轴双曲线 C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x 的准线 l：x=﹣4，由 C 与 抛物线 y2=16x 的准线交于 A，B 两点， ，能求出 C 的实轴长． 【解答】解：设等轴双曲线 C：x2﹣y2=a2（a＞0）， y2=16x 的准线 l：x=﹣4， ∵C 与抛物线 y2=16x 的准线 l：x=﹣4 交于 A，B 两点， ∴A（﹣4，2 ），B（﹣4，﹣2 ）， 将 A 点坐标代入双曲线方程得 =4， ∴a=2，2a=4． 故选：C． 【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖 掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化． 　11．（5 分）当 0＜x≤ 时，4x＜logax，则 a 的取值范围是（　　） A．（0， ）B．（ ，1） C．（1， ）D．（ ，2） 【考点】7J：指、对数不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成 立问题加以解决即可 第 14 页（共 28 页） 【解答】解：∵0＜x≤ 时，1＜4x≤2 要使 4x＜logax，由对数函数的性质可得 0＜a＜1， 数形结合可知只需 2＜logax， ∴即∴对 0＜x≤ 时恒成立 解得 ＜a＜1 故选：B． 【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题 的一般解法，属基础题 　n12．（5 分）数列{an}满足 an+1+（﹣1）an=2n﹣1，则{an}的前 60 项和为（　　） A．3690 B．3660 C．1845 D．1830 【考点】8E：数列的求和．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】由题意可得 a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11 第 15 页（共 28 页） ，…a50﹣a49=97，变形可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56 ，…利用 数列的结构特征，求出{an}的前 60 项和． n【解答】解：由于数列{an}满足 an+1+（﹣1） an=2n﹣1，故有 a2﹣a1=1，a3+a2=3 ，a4﹣a3=5， a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97． 从而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2 ，a16+a14=56，… 从第一项开始，依次取 2 个相邻奇数项的和都等于 2， 从第二项开始，依次取 2 个相邻偶数项的和构成以 8 为首项，以 16 为公差的等 差数列． {an}的前 60 项和为 15×2+（15×8+ 故选：D． ）=1830， 【点评】本题主要考查数列求和的方法，等差数列的求和公式，注意利用数列的 结构特征，属于中档题． 　二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．（5 分）曲线 y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为　y=4x﹣3　． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程． 【解答】解：求导函数，可得 y′=3lnx+4， 当 x=1 时，y′=4， ∴曲线 y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为 y﹣1=4（x﹣1），即 y=4x﹣3 ．第 16 页（共 28 页） 故答案为：y=4x﹣3． 【点评】本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题． 　14．（5 分）等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3+3S2=0，则公比 q=　﹣2　． 【考点】89：等比数列的前 n 项和．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由题意可得，q≠1，由 S3+3S2=0，代入等比数列的求和公式可求 q 【解答】解：由题意可得，q≠1 ∵S3+3S2=0 ∴∴q3+3q2﹣4=0 ∴（q﹣1）（q+2）2=0 ∵q≠1 ∴q=﹣2 故答案为：﹣2 【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，解题中要注意公比 q 是否 为 1 　15．（5 分）已知向量 夹角为 45°，且 ，则 =　3 　．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积表示两个向量的夹 角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【 分 析 】 由 已 知 可 得 ， =， 代 入 第 17 页（共 28 页） |2 |= ===可求 【解答】解：∵ ∴，=1 =∴|2 |= ===解得 故答案为：3 【点评】本题主要考查了向量的数量积 定义的应用，向量的数量积性质| |= 是求解向量的模常用的方法 　16．（5 分）设函数 f（x）= 2　． 的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m=　 【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题． 【分析】函数可化为 f（x）= =，令 ，则 为奇函数，从而函数 的最大值与最小值的和为 0 ，由此可得函数 f（x）= 的最大值与最小值的和． 【解答】解：函数可化为 f（x）= =，令∴，则 为奇函数， 的最大值与最小值的和为 0． ∴函数 f（x）= 的最大值与最小值的和为 1+1+0=2． 第 18 页（共 28 页） 即 M+m=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简， 转化为利用函数的奇偶性解题． 　三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17 ．（12 分）已知 a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角 A ，B ，C 的对边， c= asinC﹣ccosA． （1）求 A； （2）若 a=2，△ABC 的面积为 ，求b，c． 【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】（1）由正弦定理有： sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出 A； （2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出 b、c． 【解答】解：（1）c= asinC﹣ccosA，由正弦定理有： sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即 sinC•（ sinA﹣cosA﹣1）=0， 又，sinC≠0， 所以 sinA﹣cosA﹣1=0，即 2sin（A﹣ ）=1， 所以 A= ；（2）S△ABC= bcsinA=，所以 bc=4， a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即 4=b2+c2﹣bc， 即有 ，解得 b=c=2． 【点评】本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式 的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础， 第 19 页（共 28 页） 解题的关键是熟练掌握基本公式 　18．（12 分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以 每枝 10 元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理． （Ⅰ）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需 求量 n（单位：枝，n∈N）的函数解析式． （Ⅱ）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表： 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10 日需求量 n 频数 （i）假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花，求这 100 天的日利润（单位 ：元）的平均数； （ii）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求 量发生的概率，求当天的利润不少于 75 元的概率． 【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；BB：众数、中位数、平均数；CS： 概率的应用．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；5I：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）根据卖出一枝可得利润 5 元，卖不出一枝可得赔本 5 元，即可建 立分段函数； （Ⅱ）（i）这 100 天的日利润的平均数，利用 100 天的销售量除以 100 即可得 到结论； （ii）当天的利润不少于 75 元，当且仅当日需求量不少于 16 枝，故可求当天的 利润不少于 75 元的概率． 【解答】解：（Ⅰ）当日需求量 n≥17 时，利润 y=85；当日需求量 n＜17 时， 利润 y=10n﹣85；（4 分） ∴利润 y 关于当天需求量 n 的函数解析式 （n∈N*）（6 分） （Ⅱ）（i）这 100 天的日利润的平均数为 元；（9 分） 第 20 页（共 28 页） （ii）当天的利润不少于 75 元，当且仅当日需求量不少于 16 枝，故当天的利润 不少于 75 元的概率为 P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7．（12 分） 【点评】本题考查函数解析式的确定，考查概率知识，考查利用数学知识解决实 际问题，属于中档题． 　19．（12 分）如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC= AA1，D 是棱 AA1 的中点． （Ⅰ）证明：平面 BDC1⊥平面 BDC （Ⅱ）平面 BDC1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． 【考点】L2：棱柱的结构特征；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面 垂直．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；14：证明题． 【分析】（Ⅰ）由题意易证 DC1⊥平面 BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得 平面 BDC1⊥平面 BDC； （Ⅱ）设棱锥 B﹣DACC1 的体积为 V1，AC=1，易求 V1= × ×1×1= ，三棱 柱 ABC﹣A1B1C1 的体积 V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案． 【解答】证明：（1）由题意知 BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C， ∴BC⊥平面 ACC1A1，又 DC1⊂平面 ACC1A1， ∴DC1⊥BC． 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°， 第 21 页（共 28 页） ∴∠CDC1=90°，即 DC1⊥DC，又 DC∩BC=C， ∴DC1⊥平面 BDC，又 DC1⊂平面 BDC1， ∴平面 BDC1⊥平面 BDC； （2）设棱锥 B﹣DACC1 的体积为 V1，AC=1，由题意得 V1= × ×1×1= ， 又三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积 V=1， ∴（V﹣V1）：V1=1：1， ∴平面 BDC1 分此棱柱两部分体积的比为 1：1． 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用 与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题． 　20．（12 分）设抛物线 C：x2=2py（p＞0）的焦点为 F，准线为 l，A∈C，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点； （1）若∠BFD=90°，△ABD 的面积为 ，求 p 的值及圆 F 的方程； （2）若 A，B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个 公共点，求坐标原点到 m，n 距离的比值． 【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题． 【分析】（1）由对称性知：△BFD 是等腰直角△，斜边|BD|=2p 点 A 到准线 l 的 距 离 ， 由 △ ABD 的 面 积S △ ABD =， 知 =，由此能求出圆 F 的方程． （2）由对称性设 ，则 点 A，B 关于点 F 对称得： ，得： ，由此能求出坐标 原点到 m，n 距离的比值． 【解答】解：（1）由对称性知：△BFD 是等腰直角△，斜边|BD|=2p 点 A 到准线 l 的距离 ，第 22 页（共 28 页） ∵△ABD 的面积 S△ABD =，∴=，解得 p=2，所以 F 坐标为（0，1）， ∴圆 F 的方程为 x2+（y﹣1）2=8． （2）由题设 ，则 ，∵A，B，F 三点在同一直线 m 上， 又 AB 为圆 F 的直径，故 A，B 关于点 F 对称． 由点 A，B 关于点 F 对称得： 得：，直线，切点 直线 坐标原点到 m，n 距离的比值为 ．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简 单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理 地进行等价转化． 　21．（12 分）设函数 f（x）=ex﹣ax﹣2． （Ⅰ）求 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若 a=1，k 为整数，且当 x＞0 时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求 k 的最大 值． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想． 【分析】（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母 第 23 页（共 28 页） a，故应按 a 的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间； （II）由题设条件结合（I），将不等式，（x﹣k） f´（x）+x+1＞0 在 x＞0 时成 立转化为 k＜ （x＞0）成立，由此问题转化为求 g（x）= 在 x＞ 0 上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出 k 的最大值； 【解答】解：（I）函数 f（x）=ex﹣ax﹣2 的定义域是 R，f′（x）=ex﹣a， 若 a≤0，则 f′（x）=ex﹣a≥0，所以函数 f（x）=ex﹣ax﹣2 在（﹣∞，+∞）上 单调递增． 若 a＞0，则当 x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=ex﹣a＜0； 当 x∈（lna，+∞）时，f′（x）=ex﹣a＞0； 所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增． （II）由于 a=1，所以，（x﹣k） f´（x）+x+1=（x﹣k） （ex﹣1）+x+1 故当 x＞0 时，（x﹣k） f´（x）+x+1＞0 等价于 k＜ （x＞0）① 令 g（x）= ，则 g′（x）= 由（I）知，当 a=1 时，函数 h（x）=ex﹣x﹣2 在（0，+∞）上单调递增， 而 h（1）＜0，h（2）＞0， 所以 h（x）=ex﹣x﹣2 在（0，+∞）上存在唯一的零点， 故 g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为 α，则有 α∈（1，2） 当 x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当 x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0； 所以 g（x）在（0，+∞）上的最小值为 g（α）． 又由 g′（α）=0，可得 eα=α+2 所以 g（α）=α+1∈（2，3） 由于①式等价于 k＜g（α），故整数 k 的最大值为 2． 【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数研究函数的单调性，解题的 关键是第一小题应用分类的讨论的方法，第二小题将问题转化为求函数的最 小值问题，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，考查计算能力及推理 判断的能力，综合性强，是高考的重点题型，难度大，计算量也大，极易出 第 24 页（共 28 页） 错． 　22．（10 分）如图，D，E 分别为△ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交△ABC 的 外接圆于 F，G 两点，若 CF∥AB，证明： （1）CD=BC； （2）△BCD∽△GBD． 【考点】N4：相似三角形的判定．菁优网版权所有 【专题】14：证明题． 【分析】（1）根据 D，E 分别为△ABC 边 AB，AC 的中点，可得 DE∥BC，证明 四边形 ADCF 是平行四边形，即可得到结论； （2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD． 【解答】证明：（1）∵D，E 分别为△ABC 边 AB，AC 的中点 ∴DF∥BC，AD=DB ∵AB∥CF，∴四边形 BDFC 是平行四边形 ∴CF∥BD，CF=BD ∴CF∥AD，CF=AD ∴四边形 ADCF 是平行四边形 ∴AF=CD ∵，∴BC=AF，∴CD=BC． （2）由（1）知 ，所以 ．所以∠BGD=∠DBC． 因为 GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC． 所以△BCD～△GBD． 第 25 页（共 28 页） 【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似， 属于基础题． 　23．选修 4﹣4；坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 （φ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C2 的坐标系方程是 ρ=2，正方形 ABCD 的顶 点都在 C2 上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2， ）．（1）求点 A，B，C，D 的直角坐标； （2）设 P 为 C1 上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QL： 椭圆的参数方程．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题． 【分析】（1）确定点 A，B，C，D 的极坐标，即可得点 A，B，C，D 的直角坐标 ；（ 2 ） 利 用 参 数 方 程 设 出P 的 坐 标 ， 借 助 于 三 角 函 数 ， 即 可 求 得 |PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围． 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 点A ， B ， C ， D 的 极 坐 标 为 点 A，B，C，D 的直角坐标为 （2）设 P（x0，y0），则 为参数） 第 26 页（共 28 页） t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4×2+4y2+16=32+20sin2φ ∵sin2φ∈[0，1] ∴t∈[32，52] 【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中 档题． 　24．已知函数 f（x）=|x+a|+|x﹣2| ①当 a=﹣3 时，求不等式 f（x）≥3 的解集； ②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求 a 的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】17：选作题；59：不等式的解法及应用；5T：不等式． 【分析】①不等式等价于 ，或 ，或 ，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求． ②原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在[1，2]上恒成立，由此求得求 a 的取值范围． 【解答】解：（1）当 a=﹣3 时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即 ，可得 x≤1； ，可得 x∈∅； ，可得 x≥4． 取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1 或 x≥4}． （2）原命题即 f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x 在[1 ，2]上恒成立， 等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在[1，2]上恒成立． 故当 1≤x≤2 时，﹣2﹣x 的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x 的最小值为 0， 故 a 的取值范围为[﹣3，0]． 第 27 页（共 28 页） 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价 的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 第 28 页（共 28 页）