2011年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）（含解析版）下载

2011 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）已知集合 M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则 P 的子 集共有（　　） A．2 个 B．4 个 C．6 个 D．8 个 2．（5 分）复数 =（　　） A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i 3．（5 分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（　　） A．y=2×3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x| 4．（5 分）椭圆 A． =1 的离心率为（　　） B． C． D． 5．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是（　　） A．120 B．720 C．1440 D．5040 6．（5 分）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同 学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（　　 第 1 页（共 28 页） ）A． B． C． D． 7．（5 分）已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直 线 y=2x 上，则 cos2θ=（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 8．（5 分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧 视图可以为（　　） A． B． C． D． 9．（5 分）已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直．l 与 C 交于 A， B 两点，|AB|=12，P 为 C 的准线上一点，则△ABP 的面积为（　　） A．18 B．24 C．36 D．48 10．（5 分）在下列区间中，函数 f（x）=ex+4x﹣3 的零点所在的区间为（　　） A．（ ， ） B．（﹣ ，0） C．（0， ） D．（ ， ） 11．（5 分）设函数，则 f（x）=sin（2x+ ）+cos（2x+ ），则（　　） A．y=f（x）在（0， ）单调递增，其图象关于直线x= 对称 B．y=f（x）在（0， ）单调递增，其图象关于直线x= 对称 C．y=f（x）在（0， ）单调递减，其图象关于直线x= 对称 D．y=f（x）在（0， ）单调递减，其图象关于直线x= 对称 12．（5 分）已知函数 y=f（x）的周期为 2，当 x∈[﹣1，1]时 f（x）=x2，那么 函数 y=f（x）的图象与函数 y=|lgx|的图象的交点共有（　　） A．10 个 B．9 个 C．8 个 D．1 个 第 2 页（共 28 页） 　二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．（5 分）已知 a 与 b 为两个垂直的单位向量，k 为实数，若向量 + 与向量 k ﹣ 垂直，则 k=　 　． 14．（5 分）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+2y 的最小值为　 　．15．（5 分）△ABC 中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为　 　． 16．（5 分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同 一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的 ，则这两个圆锥中，体积 较小者的高与体积较大者的高的比值为　 　． 　三、解答题（共 8 小题，满分 70 分） 17．（12 分）已知等比数列{an}中，a1= ，公比 q= ． （Ⅰ）Sn 为{an}的前 n 项和，证明：Sn= （Ⅱ）设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式． 18．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形．∠DAB=60° ，AB=2AD，PD⊥底面 ABCD． （Ⅰ）证明：PA⊥BD （Ⅱ）设 PD=AD=1，求棱锥 D﹣PBC 的高． 第 3 页（共 28 页） 19．（12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量 越好，且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品，现用两种新配方（分 别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件 产品的质量指标值，得到下面试验结果： A 配方的频数分布表 指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110] 820 42 22 8频数 B 配方的频数分布表 指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110] 12 4232 10 （Ⅰ）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率； 4频数 （Ⅱ）已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y（单位：元）与其质量指标值 t 的 关系式为 y= 从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X（单位：元），求 X 的分布列 及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质 量指标值落入相应组的概率） 第 4 页（共 28 页） 20．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y=x2﹣6x+1 与坐标轴的交点都在 圆 C 上． （Ⅰ）求圆 C 的方程； （Ⅱ）若圆 C 与直线 x﹣y+a=0 交与 A，B 两点，且 OA⊥OB，求 a 的值． 21．（12 分）已知函数 f（x）= + ，曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的 切线方程为 x+2y﹣3=0． （Ⅰ）求 a、b 的值； （Ⅱ）证明：当 x＞0，且 x≠1 时，f（x）＞ ．22．（10 分）如图，D，E 分别为△ABC 的边 AB，AC 上的点，且不与△ABC 的 顶点重合．已知 AE 的长为 m，AC 的长为 n，AD，AB 的长是关于 x 的方程 x2﹣14x+mn=0 的两个根． （Ⅰ）证明：C，B，D，E 四点共圆； 第 5 页（共 28 页） （Ⅱ）若∠A=90°，且 m=4，n=6，求 C，B，D，E 所在圆的半径． 23．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （α 为参数）M 是 C1 上的动点，P 点满足 =2 ，P 点的轨迹为曲线 C2 （Ⅰ）求 C2 的方程； （Ⅱ）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 θ= 与 C1 的异 于极点的交点为 A，与 C2 的异于极点的交点为 B，求|AB|． 24．设函数 f（x）=|x﹣a|+3x，其中 a＞0． （Ⅰ）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥3x+2 的解集 （Ⅱ）若不等式 f（x）≤0 的解集为{x|x≤﹣1}，求 a 的值． 　第 6 页（共 28 页） 2011 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标） 参考答案与试题解析 　一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）已知集合 M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则 P 的子 集共有（　　） A．2 个 B．4 个 C．6 个 D．8 个 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用集合的交集的定义求出集合 P；利用集合的子集的个数公式求出 P 的子集个数． 【解答】解：∵M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}， ∴P=M∩N={1，3} ∴P 的子集共有 22=4 故选：B． 【点评】本题考查利用集合的交集的定义求交集、考查一个集合含 n 个元素，则 其子集的个数是 2n． 　2．（5 分）复数 A．2﹣i =（　　） B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】将分子、分母同时乘以 1+2i，再利用多项式的乘法展开，将 i2 用﹣1 代 替即可． 【解答】解： =﹣2+i 第 7 页（共 28 页） 故选：C． 【点评】本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数． 　3．（5 分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（　　） A．y=2×3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x| 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用． 【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得 到既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数． 【解答】解：对于 A．y=2×3，由 f（﹣x）=﹣2×3=﹣f（x），为奇函数，故排除 A ；对于 B．y=|x|+1，由 f（﹣x）=|﹣x|+1=f（x），为偶函数，当 x＞0 时，y=x+1， 是增函数，故 B 正确； 对于 C．y=﹣x2+4，有 f（﹣x）=f（x），是偶函数，但 x＞0 时为减函数，故排 除 C； 对于 D．y=2﹣|x|，有 f（﹣x）=f（x），是偶函数，当 x＞0 时，y=2﹣x，为减函数 ，故排除 D． 故选：B． 【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意 定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题． 　4．（5 分）椭圆 A． =1 的离心率为（　　） B． C． D． 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 第 8 页（共 28 页） 【专题】11：计算题． 【分析】根据椭圆的方程，可得 a、b 的值，结合椭圆的性质，可得 c 的值，有 椭圆的离心率公式，计算可得答案． 【解答】解：根据椭圆的方程 则 c= =2 =1，可得 a=4，b=2 ，；则椭圆的离心率为 e= = ，故选：D． 【点评】本题考查椭圆的基本性质：a2=b2+c2，以及离心率的计算公式，注意与 双曲线的对应性质的区分． 　5．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是（　　） A．120 B．720 C．1440 D．5040 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】5K：算法和程序框图． 【分析】执行程序框图，写出每次循环 p，k 的值，当 k＜N 不成立时输出 p 的值 即可． 第 9 页（共 28 页） 【解答】解：执行程序框图，有 N=6，k=1，p=1 P=1，k＜N 成立，有 k=2 P=2，k＜N 成立，有 k=3 P=6，k＜N 成立，有 k=4 P=24，k＜N 成立，有 k=5 P=120，k＜N 成立，有 k=6 P=720，k＜N 不成立，输出 p 的值为 720． 故选：B． 【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题． 　6．（5 分）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同 学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（　　 ）A． B． C． D． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是 3×3 种结果，满足条 件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有 3 种结果，根据古典概型概率 公式得到结果． 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件数是 3×3=9 种结果， 满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组， 由于共有三个小组，则有 3 种结果， 根据古典概型概率公式得到 P= 故选：A． ，【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试 验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分 第 10 页（共 28 页） 题目． 　7．（5 分）已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直 线 y=2x 上，则 cos2θ=（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 【考点】GS：二倍角的三角函数；I5：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系． 菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到 tanθ 的 值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出 cosθ 的平方，然后根据二倍角 的余弦函数公式把所求的式子化简后，把 cosθ 的平方代入即可求出值． 【解答】解：根据题意可知：tanθ=2， 所以 cos2θ= == ， 则 cos2θ=2cos2θ﹣1=2× ﹣1=﹣ ． 故选：B． 【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角 函数间的基本关系化简求值，是一道中档题． 　8．（5 分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧 视图可以为（　　） A． B． C． D． 第 11 页（共 28 页） 【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有 【专题】13：作图题． 【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱 锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的 侧视图． 【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体， 是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成， ∴侧视图是一个中间有分界线的三角形， 故选：D． 【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得 到余下的三视图，本题是一个基础题． 　9．（5 分）已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直．l 与 C 交于 A， B 两点，|AB|=12，P 为 C 的准线上一点，则△ABP 的面积为（　　） A．18 B．24 C．36 D．48 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】44：数形结合法． 【分析】首先设抛物线的解析式 y2=2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴 以及准线，然后根据通径|AB|=2p，求出 p，△ABP 的面积是|AB|与 DP 乘积 一半． 【解答】解：设抛物线的解析式为 y2=2px（p＞0）， 则焦点为 F（ ，0），对称轴为 x 轴，准线为 x=﹣ ∵直线 l 经过抛物线的焦点，A、B 是 l 与 C 的交点， 又∵AB⊥x 轴 ∴|AB|=2p=12 ∴p=6 又∵点 P 在准线上 ∴DP=（ +| |）=p=6 第 12 页（共 28 页） ∴S△ABP= （DP•AB）= ×6×12=36 故选：C． 【点评】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线 和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法． 　10．（5 分）在下列区间中，函数 f（x）=ex+4x﹣3 的零点所在的区间为（　　） A．（ ， ） B．（﹣ ，0） C．（0， ） D．（ ， ） 【考点】52：函数零点的判定定理．菁优网版权所有 【专题】52：导数的概念及应用． 【分析】根据导函数判断函数 f（x）=ex+4x﹣3 单调递增，运用零点判定定理， 判定区间． 【解答】解：∵函数 f（x）=ex+4x﹣3 ∴f′（x）=ex+4 当 x＞0 时，f′（x）=ex+4＞0 ∴函数 f（x）=ex+4x﹣3 在（﹣∞，+∞）上为 f（0）=e0﹣3=﹣2＜0 f（ ）= ﹣1＞0 f（ ）= ﹣2= ﹣＜0 ∵f（ ）•f（ ）＜0， 第 13 页（共 28 页） ∴函数 f（x）=ex+4x﹣3 的零点所在的区间为（ ， ） 故选：A． 【点评】本题考察了函数零点的判断方法，借助导数，函数值，属于中档题． 　11．（5 分）设函数，则 f（x）=sin（2x+ ）+cos（2x+ ），则（　　） A．y=f（x）在（0， ）单调递增，其图象关于直线x= 对称 B．y=f（x）在（0， ）单调递增，其图象关于直线x= 对称 C．y=f（x）在（0， ）单调递减，其图象关于直线x= 对称 D．y=f（x）在（0， ）单调递减，其图象关于直线x= 对称 【考点】H5：正弦函数的单调性；H6：正弦函数的奇偶性和对称性．菁优网版权所有 【专题】57：三角函数的图像与性质． 【分析】利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数 f（x）=sin（2x+ ）+cos（2x+ ），然后求出对称轴方程，判断 y=f（x）在（0， ）单调性， 即可得到答案． 【解答】解：因为 f（x）=sin（2x+ ）+cos（2x+ ）= sin（2x+ ）= cos2x ．由于 y=cos2x 的对称轴为 x= kπ（k∈Z），所以 y= cos2x的对称轴方程是： x= （k∈Z），所以 A，C 错误；y= cos2x的单调递减区间为 2kπ≤2x≤π+2kπ （k∈Z），即 （k∈Z），函数 y=f（x）在（0， ）单调递减 ，所以 B 错误，D 正确． 故选：D． 【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调 性，考查计算能力，常考题型． 　12．（5 分）已知函数 y=f（x）的周期为 2，当 x∈[﹣1，1]时 f（x）=x2，那么 第 14 页（共 28 页） 函数 y=f（x）的图象与函数 y=|lgx|的图象的交点共有（　　） A．10 个 B．9 个 C．8 个 D．1 个 【考点】3Q：函数的周期性；4N：对数函数的图象与性质．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；31：数形结合． 【分析】根据对数函数的性质与绝对值的非负性质，作出两个函数图象，再通过 计算函数值估算即可． 【解答】解：作出两个函数的图象如上 ∵函数 y=f（x）的周期为 2，在[﹣1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数 ∴函数 y=f（x）在区间[0，10]上有 5 次周期性变化， 在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数， 在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数， 且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]， 再看函数 y=|lgx|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数， 且当 x=1 时 y=0； x=10 时 y=1， 再 结 合 两 个 函 数 的 草 图 ， 可 得 两 图 象 的 交 点 一 共 有10 个 ， 故选：A． 【点评】本题着重考查了基本初等函数的图象作法，以及函数图象的周期性，属 于基本题． 　二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．（5 分）已知 a 与 b 为两个垂直的单位向量，k 为实数，若向量 + 与向量 k ﹣ 垂直，则 k=　1　． 第 15 页（共 28 页） 【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为 0；利用向量模的平方等于向量的 平方列出方程，求出 k 值． 【解答】解：∵ ∴∵垂直 ∴即∴k=1 故答案为：1 【点评】本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：向量模的平方等于 向量的平方． 　14．（5 分）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+2y 的最小值为　﹣6　 ．【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把 目标函数 z=x+2y 变化为 y=﹣ x+ ，当直线沿着 y 轴向上移动时，z 的值随着 增大，当直线过 A 点时，z 取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标 函数得到最小值． 【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域， 得到的图形是一个平行四边形， 目标函数 z=x+2y， 变化为 y=﹣ x+ ， 第 16 页（共 28 页） 当直线沿着 y 轴向上移动时，z 的值随着增大， 当直线过 A 点时，z 取到最小值， 由 y=x﹣9 与 2x+y=3 的交点得到 A（4，﹣5） ∴z=4+2（﹣5）=﹣6 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中， 找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值． 　15．（5 分）△ABC 中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为　 　． 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】58：解三角形． 【分析】先利用余弦定理和已知条件求得 BC，进而利用三角形面积公式求得答 案． 【解答】解：由余弦定理可知 cosB= 求得 BC=﹣8 或 3（舍负） =﹣ ， ∴△ABC 的面积为 •AB•BC•sinB= ×5×3× =第 17 页（共 28 页） 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在求三角形面积过程中， 利用两边和夹角来求解是常用的方法． 　16．（5 分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同 一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的 ，则这两个圆锥中，体积 较小者的高与体积较大者的高的比值为　． 【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】所成球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底 面半径，即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值． 【解答】解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：64π，圆锥的底面积为：12π ，圆锥的底面半径为：2 ；由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可 以构成一个直角三角形 由此可以求得球心到圆锥底面的距离是 ，所以圆锥体积较小者的高为：4﹣2=2，同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2=6； 所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为： ． 故答案为： 【点评】本题是基础题，考查旋转体的体积，球的内接圆锥的体积的计算，考查 计算能力，空间想象能力，常考题型． 　三、解答题（共 8 小题，满分 70 分） 17．（12 分）已知等比数列{an}中，a1= ，公比 q= ． （Ⅰ）Sn 为{an}的前 n 项和，证明：Sn= 第 18 页（共 28 页） （Ⅱ）设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式． 【考点】89：等比数列的前 n 项和．菁优网版权所有 【专题】15：综合题． 【分析】（I）根据数列{an}是等比数列，a1= ，公比 q= ，求出通项公式 an 和 前 n 项和 Sn，然后经过运算即可证明． （II）根据数列{an}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{bn}的通项公式． 【解答】证明：（I）∵数列{an}为等比数列，a1= ，q= ∴an= × =，Sn= 又∵ ==Sn ∴Sn= （II）∵an= ∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣nlog33） =﹣（1+2+…+n） =﹣ ∴数列{bn}的通项公式为：bn=﹣ 【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前 n 项和以及对数函数的运算性质 ．　18．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形．∠DAB=60° ，AB=2AD，PD⊥底面 ABCD． （Ⅰ）证明：PA⊥BD 第 19 页（共 28 页） （Ⅱ）设 PD=AD=1，求棱锥 D﹣PBC 的高． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；14：证明题；15：综合题． 【分析】（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得 BD= ，利用勾股 定理证明 BD⊥AD，根据 PD⊥底面 ABCD，易证 BD⊥PD，根据线面垂直的判 定定理和性质定理，可证 PA⊥BD； （II）要求棱锥 D﹣PBC 的高．只需证 BC⊥平面 PBD，然后得平面 PBC⊥平面 PBD ，作 DE⊥PB 于 E，则 DE⊥平面 PBC，利用勾股定理可求得 DE 的长． 【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得 BD= 从而 BD2+AD2=AB2，故 BD⊥AD ，又 PD⊥底面 ABCD，可得 BD⊥PD 所以 BD⊥平面 PAD．故 PA⊥BD． （II）解：作 DE⊥PB 于 E，已知 PD⊥底面 ABCD， 则 PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD，又 BC∥AD， ∴BC⊥BD． 故 BC⊥平面 PBD，BC⊥DE， 则 DE⊥平面 PBC． 由题设知 PD=1，则 BD= ，PB=2． 根据 DE•PB=PD•BD，得 DE= 即棱锥 D﹣PBC 的高为 ，．【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及点到面的 距离，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力． 第 20 页（共 28 页） 　19．（12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量 越好，且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品，现用两种新配方（分 别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件 产品的质量指标值，得到下面试验结果： A 配方的频数分布表 指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110] 820 42 22 8频数 B 配方的频数分布表 指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110] 12 4232 10 （Ⅰ）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率； 4频数 （Ⅱ）已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y（单位：元）与其质量指标值 t 的 关系式为 y= 从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X（单位：元），求 X 的分布列 及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质 量指标值落入相应组的概率） 【考点】B2：简单随机抽样；BB：众数、中位数、平均数；CH：离散型随机变 量的期望与方差．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；15：综合题． 【分析】（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得 到用两种配方的产品的优质品率的估计值． （II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出 变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值． 【解答】解：（Ⅰ）由试验结果知，用 A 配方生产的产品中优质的频率为 第 21 页（共 28 页） ∴用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3． 由试验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 ∴用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42； （Ⅱ）用 B 配方生产的 100 件产品中，其质量指标值落入区间 [90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为 0.04，0.54，0.42， ∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42， 即 X 的分布列为 ﹣2 XP240.04 0.54 0.42 ∴X 的数学期望值 EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本 容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问 题　20．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y=x2﹣6x+1 与坐标轴的交点都在 圆 C 上． （Ⅰ）求圆 C 的方程； （Ⅱ）若圆 C 与直线 x﹣y+a=0 交与 A，B 两点，且 OA⊥OB，求 a 的值． 【考点】J1：圆的标准方程；J8：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出 圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算 出半径，写出圆的方程； 法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求 出参数， 第 22 页（共 28 页） （Ⅱ）利用设而不求思想设出圆 C 与直线 x﹣y+a=0 的交点 A，B 坐标，通过 OA⊥ OB 建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于 a 的方程，通过解方程确定 出 a 的值． 【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线 y=x2﹣6x+1 与 y 轴的交点为（0，1），与 x 轴的 交点为（3+2 ，0），（3﹣2 ，0）．可知圆心在直线 x=3 上，故可设该 圆的圆心 C 为（3，t），则有 32+（t﹣1）2=（2 ）2+t2，解得 t=1，故圆 C 的半径为 ，所以圆 C 的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9． 法二：圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 x=0，y=1 有 1+E+F=0 y=0，x2 ﹣6x+1=0 与 x2+Dx+F=0 是同一方程，故有 D=﹣6，F=1，E=﹣2， 即圆方程为 x2+y2﹣6x﹣2y+1=0 （Ⅱ）设 A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组 ，消去 y，得到方程 2×2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，由已 知可得判别式△=56﹣16a﹣4a2＞0． 在此条件下利用根与系数的关系得到 x1+x2=4﹣a，x1x2= ①， 由于 OA⊥OB 可得 x1x2+y1y2=0，又 y1=x1+a，y2=x2+a，所以可得 2x1x2+a（x1+x2） +a2=0② 由①②可得 a=﹣1，满足△=56﹣16a﹣4a2＞0．故 a=﹣1． 【点评】本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思 想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解 决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题 型． 　21．（12 分）已知函数 f（x）= 切线方程为 x+2y﹣3=0． + ，曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的 第 23 页（共 28 页） （Ⅰ）求 a、b 的值； （Ⅱ）证明：当 x＞0，且 x≠1 时，f（x）＞ ．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方 程．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想． 【分析】（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切 点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出 a，b 的值． （II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性， 求出函数的最值，证得不等式． 【解答】解：（I） ．由于直线 x+2y﹣3=0 的斜率为﹣ ，且过点（1，1） 所以 解得 a=1，b=1 （II）由（I）知 f（x）= 所以 考虑函数 则，所以当 x≠1 时，h′（x）＜0 而 h（1）=0， 当 x∈（0，1）时，h（x）＞0 可得 ；当从而当 x＞0 且 x≠1 时， 第 24 页（共 28 页） 【点评】本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通 过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成 立． 　22．（10 分）如图，D，E 分别为△ABC 的边 AB，AC 上的点，且不与△ABC 的 顶点重合．已知 AE 的长为 m，AC 的长为 n，AD，AB 的长是关于 x 的方程 x2﹣14x+mn=0 的两个根． （Ⅰ）证明：C，B，D，E 四点共圆； （Ⅱ）若∠A=90°，且 m=4，n=6，求 C，B，D，E 所在圆的半径． 【考点】N7：圆周角定理；NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；14：证明题． 【分析】（I）做出辅助线，根据所给的 AE 的长为 m，AC 的长为 n，AD，AB 的 长是关于 x 的方程 x2﹣14x+mn=0 的两个根，得到比例式，根据比例式得到三 角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论． （II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取 CE 的中点 G，DB 的中点 F，分别过 G，F 作 AC，AB 的垂线，两垂线相交于 H 点，连接 DH ，根据四点共圆得到半径的大小． 【解答】解：（I）连接 DE，根据题意在△ADE 和△ACB 中， AD×AB=mn=AE×AC， 即又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB ∴C，B，D，E 四点共圆． 第 25 页（共 28 页） （Ⅱ）m=4，n=6 时，方程 x2﹣14x+mn=0 的两根为 x1=2，x2=12． 故 AD=2，AB=12． 取 CE 的中点 G，DB 的中点 F，分别过 G，F 作 AC，AB 的垂线，两垂线相交于 H 点，连接 DH． ∵C，B，D，E 四点共圆， ∴C，B，D，E 四点所在圆的圆心为 H，半径为 DH． 由于∠A=90°，故 GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF= （12﹣2）=5． 故 C，B，D，E 四点所在圆的半径为 5 【点评】本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查一元二次方程的 解，考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题． 　23．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （α 为参数）M 是 C1 上的动点，P 点满足 =2 ，P 点的轨迹为曲线 C2 （Ⅰ）求 C2 的方程； （Ⅱ）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 θ= 与 C1 的异 于极点的交点为 A，与 C2 的异于极点的交点为 B，求|AB|． 【考点】J3：轨迹方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】（I）先设出点 P 的坐标，然后根据点 P 满足的条件代入曲线 C1 的方程 即可求出曲线 C2 的方程； （II）根据（I）将求出曲线 C1 的极坐标方程，分别求出射线 θ= 与 C1 的交点 A 第 26 页（共 28 页） 的极径为 ρ1 ，以及射线 θ= 与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2 ，最后根据 |AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求． 【解答】解：（I）设 P（x，y），则由条件知 M（ ， ）．由于M 点在 C1 上， 所以 即从而 C2 的参数方程为 （α 为参数） （Ⅱ）曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4sinθ，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=8sinθ． 射线 θ= 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1=4sin 射线 θ= 与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2=8sin ，．所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|= ．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的 度量，属于中档题． 　24．设函数 f（x）=|x﹣a|+3x，其中 a＞0． （Ⅰ）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥3x+2 的解集 （Ⅱ）若不等式 f（x）≤0 的解集为{x|x≤﹣1}，求 a 的值． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题；32：分类讨论． 【分析】（Ⅰ）当 a=1 时，f（x）≥3x+2 可化为|x﹣1|≥2．直接求出不等式 f（ x）≥3x+2 的解集即可． （Ⅱ）由 f（x）≤0 得|x﹣a|+3x≤0 分 x≥a 和 x≤a 推出等价不等式组，分别求 解，然后求出 a 的值． 【解答】解：（Ⅰ）当 a=1 时，f（x）≥3x+2 可化为 第 27 页（共 28 页） |x﹣1|≥2． 由此可得 x≥3 或 x≤﹣1． 故不等式 f（x）≥3x+2 的解集为 {x|x≥3 或 x≤﹣1}． （Ⅱ）由 f（x）≤0 得 |x﹣a|+3x≤0 此不等式化为不等式组 或即或因为 a＞0，所以不等式组的解集为{x|x 由题设可得﹣ =﹣1，故 a=2 }【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用， 考查计算能力，常考题型． 第 28 页（共 28 页）