2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析 数学Ⅰ试题 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题——第 14 题）、解答题（第 15 题——第 20 题）。本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。 5.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。 参考公式： 锥体的体积公式: V 锥体 13=Sh，其中 S 是锥体的底面积，h 是高。 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位 置上. 1、设集合 A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数 a=______▲_____. 2、设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i（其中 i 为虚数单位），则 z 的模为______▲_____. 3、盒子中有大小相同的 3 只白球，1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同 的概率是_ ▲__. 4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取 了 100 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质 量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率 分布直方图如图所示，则其抽样的 100 根中，有_▲ ___根在棉花纤维的长度小于 20mm。 5 、设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x a=_______▲_________ R) 是偶函数，则实数 x2 y2 6、在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 1上一点 M，点 M 的横坐标是 3，则 M 到 412 1双曲线右焦点的距离是___▲_______ 7、右图是一个算法的流程图，则输出 S 的值是______▲_______ 8、函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数， a1=16，则 a1+a3+a5=____▲_____ 9、在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2 y2 4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的 距离为 1，则实数 c 的取值范围是______▲_____ 210、定义在区间 0, 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P，过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1，直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为_______▲_____。 211、已知函数 ,则满足不等式 f (1 x2 ) f (2x)的 x 的范围是__▲___。 x 1, x 0 f (x) 1, x 0 x2 yx3 y4 12、设实数 x,y 满足 3≤ xy2 ≤8，4≤ ≤9，则 的最大值是 ▲。bab13 、在锐角三角形 ABC ，A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ， 6cosC ，则 atanC tanC =____▲_____。 tan A tan B 14、将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 2(梯形的周长） S ,则 S 的最小值是____▲____。 梯形的面积 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15、（本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。 (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； 2(2)设实数 t 满足( AB tOC )·OC =0，求 t 的值。 16、（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥平面 ABCDP，D=DC=BC=1A，B=2A，B ∥DC，∠BCD=900。 (1)求证：PC⊥BC； (2)求点 A 到平面 PBC 的距离。 17、（本小题满分 14 分） 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m， 仰角∠ABE= ，∠ADE= 。(1)该小组已经测得一组 、的值，tan =1.24，tan =1.20，请据此算出 H 的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d（单位：m），使 之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔 的实际高度为 125m，试问 d 为多少时， 最大？ 与 -18、（本小题满分 16 分） x2 y2 在平面直角坐标系 xoy 中，如图，已知椭圆 1的左、右顶点为 A、B，右焦点为 95F。设过点 T（t,m ）的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M (x1, y1 ) 、N(x2 , y2 )，其中 m>0, y1 0, y2 0 。（1）设动点 P 满足 PF 2 PB2 4 ,求点 P 的轨迹； 1（2）设 x1 2, x2 ，求点 T 的坐标； 33（3）设t 9 ,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与 m 无关）。 19、（本小题满分 16 分） 设各项均为正数的数列 的等差数列。 an 的前 n 项和为 Sn ，已知 2a2 a1 a3 ，数列 Sn 是公差为 d（1）求数列 （2）设 an 的通项公式（用 n,d 表示）； c为实数，对满足 m n 3k且m n 的任意正整数 m,n,k ，不等式 Sm Sn cSk 9都成立。求证： c的最大值为 。220、（本小题满分 16 分） f (x) 是定义在区间 (1,) 上的函数，其导函数为 f ‘(x) 。如果存在实数 a 和函数 h(x) ，其中 h(x) 对任意的 x (1,)都有 h(x) >0，使得 f ‘(x) h(x)(x2 ax 1) ，则称 函数 f (x) 具有性质 P(a) 设。b 2 x 1 (1)设函数 f (x) ln x (x 1) ，其中b 为实数。 (i)求证：函数 f (x) 具有性质 P(b) ； (ii)求函数 f (x) 的单调区间。 (2)已知函数 g(x) 具有性质 P(2) 。给定 x1, x2 (1,), x1 x2 , 为实数， mx1 (1 m)x2 (1 m)x1 mx2 ，且 1, 1 若| g() g()|<| g(x1 ) g(x2 ) |，求 设m，，m的取值范围。 数学Ⅱ（附加题） 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。 若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 4A． 选修 4-1：几何证明选讲 D（本小题满分 10 分） CBAAB 是圆 O 的直径，D 为圆 O 上一点，过 D 作圆 O 的切 线交 AB 延长线于点 C ，若 DA=DC，求证：AB=2BC。 OB．选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设 k 为非零实数，矩阵 M= k 0 0 1 1 0 ,N= ，点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1、B1、C1，△ 0 1 A1B1C1 的面积是△ABC 面积的 2 倍，求 k 的值。 C．选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 10 分） 设 a、b 是非负实数，求证： a3 b3 ab(a2 b2 ) 。[必做题]第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22、（本小题满分 10 分） 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为 80%，二等品率为 20%；乙产品的一等 品率为 90%，二等品率为 10%。生产 1 件甲产品，若是一等品则获得利润 4 万元，若是二 等品则亏损 1 万元；生产 1 件乙产品，若是一等品则获得利润 6 万元，若是二等品则亏损 2 万元。设生产各种产品相互独立。 （1）记 X（单位：万元）为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润，求 X 的分布列； （2）求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率。 523、（本小题满分 10 分） 已知△ABC 的三边长都是有理数。 （1）求证 cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数 n，cosnA 是有理数。 6一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位 置上. 1、设集合 A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数 a=______▲_____. [解析] 考查集合的运算推理。3 B,a+2=3, a=1. 2、设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i（其中 i 为虚数单位），则 z 的模为______▲_____. [解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与 3+2 i 的模相等，z 的模为 2。 3、盒子中有大小相同的 3 只白球，1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同 的概率是_ ▲__. 3612[解析]考查古典概型知识。 p 4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取 了 100 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质 量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率 分布直方图如图所示，则其抽样的 100 根中，有_▲ ___根在棉花纤维的长度小于 20mm。 [解析]考查频率分布直方图的知识。 100×（0.001+0.001+0.004）×5=30 5、设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x R)是偶函数，则实数 a=_______▲_________ [解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x 为奇函数，由 g(0)=0，得 a=－1。 x2 y2 6、在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 双曲线右焦点的距离是___▲_______ 1上一点 M，点 M 的横坐标是 3，则 M 到 412 MF d4[解析]考查双曲线的定义。 ，d为点 M 到右准线 x 1的距离， d=2，MF=4。 e 2 277、右图是一个算法的流程图，则输出 S 的值是______▲_______ [解析]考查流程图理解。1 2 22 24 31 33, 输出 S 1 2 22 25 63 。8、函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数， a1=16，则 a1+a3+a5=____▲_____ [解析]考查函数的切线方程、数列的通项。 ak 2在点(ak,ak2)处的切线方程为： y ak 2ak (x ak ), 当y 0时，解得 x ，2ak 所以 ak1 ,a1 a3 a5 16 4 1 21 。29、在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2 y2 4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的 距离为 1，则实数 c 的取值范围是______▲_____ [解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为 2， | c | 圆心（0，0）到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1， 1 ， c 的取值范围是（-13，13）。 13 210、定义在区间 0, 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P，过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1，直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为_______▲_____。 [解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段 P1P2 的长即为 sinx 的值， 223且其中的 x 满足 6cosx=5tanx，解得 sinx= 。线段 P1P2 的长为 3211、已知函数 ,则满足不等式 f (1 x2 ) f (2x)的 x 的范围是__▲___。 x 1, x 0 f (x) 1, x 0 21 x 2x [解析] 考查分段函数的单调性。 x(1, 21) 1 x2 0 x2 yx3 y4 12、设实数 x,y 满足 3≤ xy2 ≤8，4≤ ≤9，则 的最大值是 ▲。[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。 x2 y1 11 [ , ] xy2 8 3 x3 y4 x2 1xy2 x3 y4 ()2 [16,81] ，， ( )2 [2,27] ，的最大值是 27。 y8baab13 、在锐角三角形 ABC ，A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ， 6cosC ，则 tanC tanC =____▲_____。 tan A tan B [解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。 （方法一）考虑已知条件和所求结论对于角 A、B 和边 a、b 具有轮换性。 13C1 cosC 1 cosC 12C2当 A=B 或 a=b 时满足题意，此时有： cosC ，tan2 ，tan ，2221tanC tanC tan A tan B 2 ，二= 4。 Ctan A tan B tan 2bab（方法） 6cosC 6abcosC a2 b2 ，aa2 b2 c2 2ab 3c2 6ab a2 b2,a2 b2 2tanC tanC sinC cos Bsin A sin Bcos A sinC sin(A B) 1sin2 C tan A tan B cosC sin Asin B cosC sin Asin B cosC sin Asin B 1c2 c2 (a2 b2 ) c2 由正弦定理，得：上式= 4 1 3c2 16cosC ab 6214、将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 2(梯形的周长） S ,则 S 的最小值是____▲____。 梯形的面积 [解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。 (3 x)2 4(3 x)2 1 x2 设剪成的小正三角形的边长为 x ，则： S (0 x 1) 1233(x 1) (1 x) 2（方法一）利用导数求函数最小值。 4 (3 x)2 4 (2x 6)(1 x2 ) (3 x)2 (2x) S(x) ，S (x) 1 x2 (1 x2 )2 334 (2x 6)(1 x2 ) (3 x)2 (2x) 4 2(3x 1)(x 3) (1 x2 )2 (1 x2 )2 33913S (x) 0,0 x 1, x ，11当x(0, ]时， S (x) 0, 递减；当 x[ ,1)时， S (x) 0, 递增； 33132 3 3故当 x 时，S 的最小值是 。3（方法二）利用函数的方法求最小值。 11 1 3 x t,t (2,3), ( , )，则： S 3 2 4t2 41令t2 6t 8 8t2 6t33 1 t1 3 132 3 3故当 , x 时，S 的最小值是 。t83二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15、（本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。 (3)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (4)设实数 t 满足( AB tOC )·OC =0，求 t 的值。 [解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分 14 分。 （1）（方法一）由题设知 AB (3,5), AC (1,1) ，则 AB AC (2,6), AB AC (4,4). 所以| AB AC | 2 10,|AB AC | 4 2. 故所求的两条对角线的长分别为 4 2 、 2 10。 （方法二）设该平行四边形的第四个顶点为 D，两条对角线的交点为 E，则: E 为 B、C 的中点，E（0，1） 又 E（0，1）为 A、D 的中点，所以 D（1，4） 故所求的两条对角线的长分别为 BC= 4 2、AD= 2 10 ； （2）由题设知：OC =(－2,－1)， AB tOC (3 2t,5 t) 。10 由( AB tOC )·OC =0，得： (3 2t,5 t)(2,1) 0 ，11 从而5t 11, 所以 。t 5 | OC |2 或者： AB·OC tOC2 ，AB (3,5), ABOC 11 5 t 16、（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD ⊥平面 ABCD ，PD=DC=BC=1 ，AB=2 ， AB ∥DC ，∠BCD=900。 (3)求证：PC⊥BC； (4)求点 A 到平面 PBC 的距离。 [解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空 间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分 14 分。 （1）证明：因为 PD⊥平面 ABCD，BC 由∠BCD=900，得 CD⊥BC， 又 PD DC=D，PD、DC 平面 PCD， 所以 BC⊥平面 PCD。 因为 PC 平面 PCD，故 PC⊥BC。 平面 ABCD，所以 PD⊥BC。 （2）（方法一）分别取 AB、PC 的中点 E、F，连 DE、DF，则： 易证 DE∥CB，DE∥平面 PBC，点 D、E 到平面 PBC 的距离相 等。 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍。 由（1）知：BC⊥平面 PCD，所以平面 PBC⊥平面 PCD 于 PC， 因为 PD=DC，PF=FC，所以 DF⊥PC，所以 DF⊥平面 PBC 于 F。 2易知 DF= ，故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。 2（方法二）体积法：连结 AC。设点 A 到平面 PBC 的距离为 h。 因为 AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。 从而 AB=2，BC=1，得 ABC 的面积 SABC 1 。113由 PD⊥平面 ABCD 及 PD=1，得三棱锥 P-ABC 的体积V SABC PD 。3因为 PD⊥平面 ABCD，DC 平面 ABCD，所以 PD⊥DC。 又 PD=DC=1，所以 PC PD2 DC2 2 。11 2由 PC⊥BC，BC=1，得 PBC 的面积 SPBC 。2131由VAPBC VPABC ，SPBC h V ，得 h 2 ，3故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。 17、（本小题满分 14 分） 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m， 仰角∠ABE= ，∠ADE= 。(3)该小组已经测得一组 、的值，tan =1.24，tan =1.20，请据此算出 H 的值； (4)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d（单位：m），使 之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔 的实际高度为 125m，试问 d 为多少时， 最大？ [解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 与 -HHH（ 1 ） tan AD ， 同 理 ：AB ，AD tan tan hBD 。tan HHhh tan tan tan 1.24 1.20 41.24 AD—AB=DB，故得 ，解得： H 124 。tan tan tan 因此，算出的电视塔的高度 H 是 124m。 HHhH h d（2）由题设知 d AB ，得 tan , tan ，dAD DB HdH h dtan tan 1 tan tan hd htan( ) d2 H(H h) H H h H(H h) 1 d dddH(H h) d 2 H(H h) ，（当且仅当 d H(H h) 125121 55 5时，取等号） d故当 d 55 5时， tan( ) 最大。 22因为 0 ，则 0 ，所以当 d 55 5时， -最大。 12 故所求的 d 是55 5m。 18、（本小题满分 16 分） x2 y2 在平面直角坐标系 xoy 中，如图，已知椭圆 1的左、右顶点为 A、B，右焦点为 95F。设过点 T（t,m ）的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M (x1, y1 ) 、 N(x2 , y2 )，其中 m>0, y1 0, y2 0 。（1）设动点 P 满足 PF 2 PB2 4 ,求点 P 的轨迹； 1（2）设 x1 2, x2 ，求点 T 的坐标； 3（3）设t 9 ,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐 标与 m 无关）。 [解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运 算求解能力和探究问题的能力。满分 16 分。 （1）设点 P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。 9由PF 2 PB2 4 ，得 (x 2)2 y2 [(x 3)2 y2 ] 4, 化简得 x 。29故所求点 P 的轨迹为直线 x 。21513（2）将 x1 2, x2 分别代入椭圆方程，以及 y1 0, y2 0得：M（2， ）、N（ ，3320 9）y 0 x 3 1直线 MTA 方程为： ，即 y x 1 ，52 3 3 0 3y 0 20 x 3 552直线 NTB 方程为： ，即 y x 。16 0 3 93x 7 联立方程组，解得： ，10 y 310 3所以点 T 的坐标为 (7, )。13 （3）点 T 的坐标为 (9,m) y 0 x 3 m 0 9 3 m直线 MTA 方程为： 直线 NTB 方程为： x2 y2 ，即 y (x 3) ，。12 y 0 x 3 m，即 y (x 3) m 0 93 6分别与椭圆 1联立方程组，同时考虑到 x1 3, x2 3 ，953(80 m2 ) 40m 3(m2 20) 20 m2 20m 20 m2 解得： M ( ,)、N( , )。80 m2 80 m2 20m 3(m2 20) 20 m2 y x 20 m2 （方法一）当 x1 x2 时，直线 MN 方程为： 3(80 m2 ) 3(m2 20) 40m 20m 80 m2 20 m2 80 m2 20 m2 令y 0，解得： x 1。此时必过点 D（1，0）； 当x1 x2 时，直线 MN 方程为： x 1，与 x 轴交点为 D（1，0）。 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D（1，0）。 240 3m2 3m2 60 （方法二）若 x1 x2 ，则由 及m 0，得 m 2 10 ，80 m2 20 m2 此时直线 MN 的方程为 x 1，过点 D（1，0）。 40m 80 m2 10m 若x1 x2 ，则 m 2 10，直线 MD 的斜率 kMD ，240 3m2 40 m2 1 80 m2 20m 20 m2 10m 直线 ND 的斜率 kND ，得 kMD kND ，所以直线 MN 过 D 点。 3m2 60 20 m2 40 m2 1 因此，直线 MN 必过 x 轴上的点（1，0）。 19、（本小题满分 16 分） 设各项均为正数的数列 的等差数列。 an 的前 n 项和为 Sn ，已知 2a2 a1 a3 ，数列 Sn 是公差为 d（1）求数列 an 的通项公式（用 n,d 表示）； 14 （2）设 c为实数，对满足 m n 3k且m n 的任意正整数 m,n,k ，不等式 Sm Sn cSk 9都成立。求证： c的最大值为 。2[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分 析及论证的能力。满分 16 分。 （1）由题意知： d 0 ，Sn S1 (n 1)d a1 (n 1)d 3[( a1 d)2 a1]2 ( a1 2d)2 , 化简，得： a1 2 a1 d d2 0, a1 d,a1 d2 Sn d (n 1)d nd, Sn n2d2 n 2 时， an Sn Sn1 n2d2 (n 1)2 d2 (2n 1)d2 ，适合 n 1情形。 2a2 a1 a3 3a2 S3 3(S2 S1) S3 ，，当故所求 an (2n 1)d2 （2）（方法一） m2 n2 Sm Sn cSk m2d2 n2d2 ck2d2 m2 n2 ck2 ，c 恒成立。 k2 m2 n2 9又m n 3k且m n ，2(m2 n2 ) (m n)2 9k2 ，k2 299故c ，即 c的最大值为 。22（方法二）由 a1 d 及Sn a1 (n 1)d ，得 d 0 m n ，有 ，Sn n2d2 。于是，对满足题设的 m,n,k ，(m n)2 99Sm Sn (m2 n2 )d2 d2 d2k2 Sk 。2229所以 c的最大值 cmax 。2933另一方面，任取实数 a 。设 k为偶数，令 m k 1,n k 1，则 m,n,k 符合条件， 222331且Sm Sn (m2 n2 )d2 d2[( k 1)2 ( k 1)2 ] d2 (9k2 4) 。22221于是，只要9k2 4 2ak2 ，即当 k 时， Sm Sn d2 2ak2 aSk 。22a 9 15 992所以满足条件的 c ，从而 cmax 。29因此 c的最大值为 。220、（本小题满分 16 分） f (x) 是定义在区间 (1,) 上的函数，其导函数为 f ‘(x) 。如果存在实数 a 和函数 h(x) ，其中 h(x) 对任意的 x (1,)都有 h(x) >0，使得 f ‘(x) h(x)(x2 ax 1) ，则称 函数 f (x) 具有性质 P(a) 设。b 2 x 1 (1)设函数 f (x) ln x (x 1) ，其中b 为实数。 (i)求证：函数 f (x) 具有性质 P(b) ； (ii)求函数 f (x) 的单调区间。 (2)已知函数 g(x) 具有性质 P(2) 。给定 x1, x2 (1,), x1 x2 , 为实数， mx1 (1 m)x2 (1 m)x1 mx2 ，且 1, 1 若| g() g()|<| g(x1 ) g(x2 ) |，求 设m，，m的取值范围。 [解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结 合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分。 1b 2 1（1）(i) f ‘(x) (x2 bx 1) x(x 1)2 x(x 1)2 1∵x 1时， h(x) 0 恒成立， x(x 1)2 ∴函数 f (x) 具有性质 P(b) ；bb2 (ii)（方法一）设(x) x2 bx 1 (x )2 1 ，(x) 与 f ‘(x) 的符号相同。 24b2 当当当1 0,2 b 2 时，(x) 0 ，f ‘(x) 0 ，故此时 f (x) 在区间 (1,) 上递增； 4b 2时，对于 x 1，有 f ‘(x) 0 ，所以此时 f (x) 在区间 (1,) 上递增； bb 2 时，(x) 图像开口向上，对称轴 x 1，而(0) 1 ，2对于 x 1，总有(x) 0 ，f ‘(x) 0 ，故此时 f (x) 在区间 (1,) 上递增； 16 （方法二）当b 2时，对于 x 1 ，(x) x2 bx 1 x2 2x 1 (x 1)2 0 所以 f ‘(x) 0 ，故此时 f (x) 在区间 (1,) 上递增； b当b 2 时 ， (x) 图 像 开 口 向 上 ， 对 称 轴x 1， 方 程 (x) 0的 两 根 为 ： 2b b2 4 b b2 4 b b2 4 b b2 4 2,，而 1, (0,1) b b2 4 2222b b2 4 b b2 4 当x(1, )时，(x) 0 ，f ‘(x) 0 ，故此时 f (x) 在区间 (1, )22b b2 4 上递减；同理得： f (x) 在区间 [,) 上递增。 2综上所述，当b 2时， f (x) 在区间 (1,) 上递增； b b2 4 b b2 4 当b 2 时， f (x) 在上递减； f (x) )在上递增。 [,) (1, 22(2)（方法一）由题意，得： g ‘(x) h(x)(x2 2x 1) h(x)(x 1)2 h(x) 对任意的 x (1,)都有 h(x) >0， 又所以对任意的 x (1,)都有 g (x) 0 ，g(x) 在(1,)上递增。 又当 x1 x2 , (2m 1)(x1 x2 ) 。1m ,m 1时， ，且 x (m1)x (1m)x2, x2 (1m)x (m1)x2 ，111217 综合以上讨论，得：所求 m 的取值范围是（0，1）。 （方法二）由题设知， g(x) 的导函数 g ‘(x) h(x)(x2 2x 1) ，其中函数 h(x) 0对于任 意的 x (1,)都成立。所以，当 x 1时， g ‘(x) h(x)(x 1)2 0，从而 g(x) 在区间 (1,) 上单调递增。 ①当 m(0,1) 时，有 mx1 (1 m)x2 mx1 (1 m)x1 x1 mx1 (1 m)x2 mx2 (1 m)x2 x2 ，得 (x1, x2 ) ，同理可得 (x1, x2 ) ，所以 g(x) 的单调性知 g() g() (g(x1), g(x2 )) ，由、，从而有| g() g()|<| g(x1 ) g(x2 ) |，符合题设。 ②当 m 0时， mx1 (1 m)x2 mx2 (1 m)x2 x2 ， (1 m)x1 mx2 (1 m)x1 mx1 x1 ， 于 是 由 1, 1 及 g(x) 的 单 调 性 知 g() g(x1) g(x2 ) g()，所以| g() g()|≥| g(x1 ) g(x2 ) |，与题设不符。 ③当 m 1时，同理可得 x1, x2 ，进而得| g() g()|≥| g(x1 ) g(x2 ) |，与题设 不符。 因此综合①、②、③得所求的 m的取值范围是（0，1）。 数学Ⅱ（附加题） 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。 若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 D． 选修 4-1：几何证明选讲 D（本小题满分 10 分） CBAAB 是圆 O 的直径，D 为圆 O 上一点，过 D 作圆 O 的切 线交 AB 延长线于点 C ，若 DA=DC，求证：AB=2BC。 [解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证 能力。 O18 （方法一）证明：连结 OD，则：OD⊥DC， 又 OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO， ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO， 所以∠DCO=300，∠DOC=600， 所以 OC=2OD，即 OB=BC=OD=OA，所以 AB=2BC。 （方法二）证明：连结 OD、BD。 因为 AB 是圆 O 的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。 因为 DC 是圆 O 的切线，所以∠CDO=900。 又因为 DA=DC，所以∠DAC=∠DCA， 于是△ADB≌△CDO，从而 AB=CO。 即 2OB=OB+BC，得 OB=BC。 故 AB=2BC。 E．选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设 k 为非零实数，矩阵 M= k 0 0 1 1 0 ,N= ，点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1、B1、C1，△ 0 1 A1B1C1 的面积是△ABC 面积的 2 倍，求 k 的值。 [解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分 10 分。 k 0 0 1 0 k 解：由题设得 MN 0 1 1 0 1 0 0 k 0 2 2 00k 由，可知 A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（ k ，-2）。 1 0 0 010 2 2 计算得△ABC 面积的面积是 1，△A1B1C1 的面积是| k |，则由题设知：| k | 21 2 所以 k 的值为 2 或-2。 。F． 选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分） 19 在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 相切，求实数 a 的值。 [解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分 10 分。 解： 2 2cos ，圆ρ=2cosθ的普通方程为： x2 y2 2x,(x 1)2 y2 1 ，直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 的普通方程为：3x 4y a 0 | 31 40 a | ，又圆与直线相切，所以 1, 解得： a 2 ，或 a 8 。32 42 G． 选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 10 分） 设 a、b 是非负实数，求证： a3 b3 ab(a2 b2 ) 。[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分 10 分。 （方法一）证明： a3 b3 ab(a2 b2 ) a2 a( a b) b2 b( b a) ( a b)[( a)5 ( b)5 ] ( a b)2[( a)4 ( a)3 ( b) ( a)2 ( b)2 ( a)( b)3 ( b)4 ] 因为实数 a、b≥0，( a b)2 0,[( a)4 ( a)3( b)( a)2( b)2 ( a)( b)3 ( b)4]0 所以上式≥0。即有 a3 b3 ab(a2 b2 ) 。（方法二）证明：由 a、b 是非负实数，作差得 a3 b3 ab(a2 b2 ) a2 a( a b) b2 b( b a) ( a b)[( a)5 ( b)5 ] 当当a b 时， a b ，从而 ( a)5 ( b)5 ，得 ( a b)[( a)5 ( b)5 ] 0 a b 时， a b ，从而 ( a)5 ( b)5 ，得 ( a b)[( a)5 ( b)5 ] 0 ；；所以 a3 b3 ab(a2 b2 ) 。[必做题]第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 20 23、（本小题满分 10 分） 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为 80%，二等品率为 20%；乙产品的一等 品率为 90%，二等品率为 10%。生产 1 件甲产品，若是一等品则获得利润 4 万元，若是二 等品则亏损 1 万元；生产 1 件乙产品，若是一等品则获得利润 6 万元，若是二等品则亏损 2 万元。设生产各种产品相互独立。 （3）记 X（单位：万元）为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润，求 X 的分布列； （4）求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率。 [解析] 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分 10 分。 解：（1）由题设知，X 的可能取值为 10，5，2，-3，且 P（X=10）=0.8×0.9=0.72， P（X=2）=0.8×0.1=0.08， 由此得 X 的分布列为： P（X=5）=0.2×0.9=0.18， P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。 XP10 52-3 0.72 0.18 0.08 0.02 （2）设生产的 4 件甲产品中一等品有 n件，则二等品有 4 n件。 14 由题设知 4n (4 n) 10 ，解得 n ，5又n N ，得 n 3，或 n 4 。所求概率为 P C43 0.83 0.2 0.84 0.8192 答：生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0.8192。 24、（本小题满分 10 分） 已知△ABC 的三边长都是有理数。 （2）求证 cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数 n，cosnA 是有理数。 [解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、 解决问题的能力。满分 10 分。 （方法一）（1）证明：设三边长分别为 a,b,c b2 c2 a2 ，cos A ，∵ a,b,c 是有理数， 2bc b2 c2 a2 是有理数，分母 2bc 为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性， b2 c2 a2 ∴必为有理数，∴cosA 是有理数。 2bc （2）①当 n 1时，显然 cosA 是有理数； 当n 2 时，∵ cos2A 2cos2 A 1，因为 cosA 是有理数， ∴cos2A 也是有理数； 21 ②假设当 n k(k 2) 时，结论成立，即 coskA、 cos(k 1)A 均是有理数。 当n k 1时， cos(k 1)A coskAcos A sin kAsin A ， 1cos(k 1)A coskAcos A [cos(kA A) cos(kA A)] ，，211cos(k 1)A coskAcos A cos(k 1)A cos(k 1)A 22解得： cos(k 1)A 2coskAcos A cos(k 1)A ∵cosA， coskA ，cos(k 1)A 均是有理数，∴ 2coskAcos A cos(k 1)A 是有理数， ∴cos(k 1)A 是有理数。 即当 n k 1时，结论成立。 综上所述，对于任意正整数 n，cosnA 是有理数。 （方法二）证明：（1）由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知 AB2 AC2 BC2 cos A 是有理数。 2AB AC （2）用数学归纳法证明 cosnA 和sin Asin nA都是有理数。 ①当 n 1时，由（1）知 cos A是有理数，从而有sin Asin A 1 cos2 A也是有理数。 ②假设当 n k(k 1) 时， coskA n k 1时，由 cos(k 1)A cos AcoskA sin Asin kA sin Asin(k 1)Asin A(sin AcoskAcos AsinkA) (sin Asin A)coskA(sin AsinkA)cos A 和sin Asin kA都是有理数。 当，，及①和归纳假设，知 cos(k 1)A 即当 n k 1时，结论成立。 和sin Asin(k 1)A 都是有理数。 综合①、②可知，对任意正整数 n，cosnA 是有理数。 22
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