2019年山东高考文科数学真题及答案下载

绝密★启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 3i 1 2i z=z  1．设 ，则 A．2 B． C． D．1 32U  1,2,3,4,5,6,7 ，A  2,3,4,5 ，B  2,3,6,7 B ð A  2．已知集合 ，则 U1,6 1,7 6,7 1,6,7 A． B． C． D． a  log 0.2,b  20.2 ,c  0.20.3 3．已知 A． ，则 2a  b  c a  c  b c  a  b b  c  a B． C． D． 5 1 24．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5 1 （≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体 2- 1 – 5 1 的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金分割 2比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26cm，则其身高可能是 A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190cm sin x  x 5．函数 f(x)= 在[—π，π]的图像大致为 cos x  x2 A． C． B． D． 6．某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，…，1 000，从这些新生 中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验.若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学 生中被抽到的是 A．8 号学生 7．tan255°= B．200 号学生 C．616 号学生 D．815 号学生 A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+ 3333ab8．已知非零向量 a，b 满足 =2 ，且（a–b） b，则 a 与 b 的夹角为 ππ2π 5π A． B． C． D． 6336- 2 – 112  9．如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入 122  11112  1 D．A= A．A= B．A= C．A= 2  A A1 2A 2A x2 y2 10．双曲线 C： 的一条渐近线的倾斜角为 130°，则 C 的离心率为 1(a  0,b  0) B．2cos40° a2 b2 11A．2sin40° C． D． sin50 cos50 1411．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinA－bsinB=4csinC，cosA=－ ，b则=cA．6 B．5 C．4 D．3 F (1,0), F (1,0) 12 ．已知椭圆 C 的焦点为 ，过 F2 的直线与 C 交于 A ，B 两点. 若 ，则 C 的方程为 112| AF | 2 | F B | | AB || BF | ，22×2 x2 y2 x2 y2 x2 y2  y2 1 1 1 1 A． B． C． D． 2324354二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 2x(0,0) ___________ ．13．曲线 在点 处的切线方程为 y  3(x  x)e – 3 – 34a 1，S  ___________ ．14．记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和.若 3π ，则 S4= 13f (x)  sin(2x  ) 3cos x ___________ ．15．函数 的最小值为 216．已知∠ACB=90°，P 为平面 ABC 外一点，PC=2，点 P 到∠ACB 两边 AC，BC 的距离均 ___________ 为，那么 P 到平面 ABC 的距离为 ．3三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。 17．（12 分） 某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的 服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 40 不满意 10 男顾客 女顾客 30 20 （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ n(ad bc)2 K2  附： ．(a  b)(c  d)(a  c)(b  d) P（K2≥k） 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 k10.828 18．（12 分） 记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 S9=－a5． （1）若 a3=4，求{an}的通项公式； – 4 – （2）若 a1>0，求使得 Sn≥an 的 n 的取值范围． 19．（12 分） 如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点. （1）证明：MN∥平面 C1DE； （2）求点 C 到平面 C1DE 的距离． 20．（12 分） 已知函数 f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为 f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若 x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求 a 的取值范围． 21.（12 分） ││已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称， AB =4，⊙M 过点 A，B 且与直线 x+2=0 相切． （1）若 A 在直线 x+y=0 上，求⊙M 的半径； ││││（2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时， MA － MP 为定值？并说明理由． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 – 5 – 一题计分。 22．[选修 4−4：坐标系与参数方程]（10 分） 1t2 1 t2 4t x  y  ，在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点 O 为 1 t2 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线l 的 极 坐 标 方 程 为 ．2 cos  3 sin 11 0 （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值． 23．[选修 4−5：不等式选讲]（10 分） 已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1．证明： 11 1   a2  b2  c2 （1） ；a b c （2） (a  b)3  (b  c)3  (c  a)3  24 ．- 6 – 2019年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学·参考答案 一、选择题 1．C 2．C 8．B 3．B 9．A 4．B 5．D 6．C 7．D 10．D 11．A 12．B 二、填空题 5813．y=3×14． 15．−4 16． 2三、解答题 17．解： 40 50 （1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为  0.8，因此男顾客对该商场 服务满意的概率的估计值为0.8． 30 女顾客中对该商场服务满意的比率为  0.6 ，因此女顾客对该商场服务满意的概率的 50 估计值为0.6． 100(4020 3010)2 （2） K2   4.762． 50507030 由于 4.762  3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. – 7 – 18．解： （1）设 a的公差为d．   n由S9  a5 得 a1  4d  0 ．由a3=4得 a1  2d  4 ．于是 a1  8,d  2 ．因此 a的通项公式为 an 10  2n ．  nn(n 9)d （2）由（1）得 a1  4d ，故 an  (n 5)d, Sn  .2由a1  0 知d  0 ，故 Sn… an 等价于 n2 11n 10„ 0，解得1≤n≤10． 所以n的取值范围是{n |1„ n„ 10,nN} ．19．解： （ 1 ） 连 结B C, ME . 因 为 M ， E 分 别 为BB , BC 的 中 点 ， 所 以ME ∥ B C ， 且 11111ME  B C .又因为N为 A D 的中点，所以 ND  A D .11122∥∥∥由题设知 A B DC ，可得 B CA D ，故 ME ND，因此四边形MNDE为平行四边 ==1 1 =11形， MN∥ED .又 MN 平面C1DE ，所以MN∥平面C1DE （2）过C作C1E的垂线，垂足为H. .由已知可得 DE  BC ，DE  C1C ，所以DE⊥平面C1CE ，故DE⊥CH. 从而CH⊥平面C1DE ，故CH的长即为C到平面C1DE 的距离， 4 17 由已知可得CE=1，C1C=4，所以C1E  17 ，故CH  .17 – 8 – 4 17 17 从而点C到平面C1DE 的距离为 .20．解： （1）设 g(x)  f (x) ，则 g(x)  cos x  xsin x 1, g (x)  xcos x .πππ当在x(0, )时， g (x)  0；当 x , π 时， g (x)  0 ，所以 g(x) 在(0, )单调递增， 222π, π 单调递减. 2π  又g(0)  0, g  0, g(π)  2 ，故 g(x) 在(0, π) 存在唯一零点.   2  所以 f (x) 在(0, π) 存在唯一零点. （2）由题设知 f (π)… aπ, f (π)  0 ，可得a≤0. 由（1）知， f (x) 在(0, π) 只有一个零点，设为 x0 ，且当 x 0, x 时， f (x)  0；当 0  x x , π 时， ，所以 0, x 单调递增，在 x , π 单调递减. 0  f (x)  0 f (x) 在00又f (0)  0, f (π)  0 ，所以，当 x[0, π]时， f (x)… 0 .- 9 – 又当 a„ 0, x[0, π] 时，ax≤0，故 f (x)… ax .因此，a的取值范围是 (,0] .21．解：（1）因为 M 过点 A, B ，所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上.由已知 A 在直线 x+y=0 上，且 A, B 关于坐标原点 O 对称，所以 M 在直线 y  x 上，故可设 M (a, a) .因为 M 与直线x+2=0相切，所以 M 的半径为 r | a  2 | .  由已知得|AO|=2，又 MO  AO ，故可得 2a2  4  (a  2)2 ，解得 a=0 或a=4 .故M 的半径 r=2 或 . r=6 （2）存在定点 P(1,0) ，使得| MA|  | MP | 为定值. 理由如下： 设M (x, y) ，由已知得 M 的半径为 r=|x+2|,|AO|=2 .  由于 MO  AO ，故可得 x2  y2  4  (x  2)2 ，化简得M的轨迹方程为 y2  4x .因为曲线 C : y2  4x 是以点 P(1,0) 为焦点，以直线 x  1为准线的抛物线，所以 |MP|=x+1 .因为|MA||MP|=r|MP|=x+2  (x+1)=1，所以存在满足条件的定点P. 21t2 1 t2 y1t 4t2 1 t2 2 2   22．解：（1）因为 1 1，且 x2  1，所以C的直角坐   22  1 t2 y2 标方程为 x2  1(x  1) .4l 的直角坐标方程为 2x  3y 11 0 .- 10 – x  cos, y  2sin （2）由（1）可设C的参数方程为 （为参数， π    π）. π4cos   11 | 2cos  2 3sin 11| 3C上的点到l 的距离为 .772π π当   时， 4cos   11取得最小值7，故C上的点到l 距离的最小值为 7 . 3323．解：（1）因为 a2  b2  2ab,b2  c2  2bc,c2  a2  2ac ，又 abc 1，故有 ab  bc  ca 1 1 1   a b c a2  b2  c2  ab  bc  ca  .abc 11 1 所以   a2  b2  c2 .a b c （2）因为 a, b, c 为正数且 abc 1，故有 (a  b)3  (b  c)3  (c  a)3  33 (a  b)3 (b  c)3 (a  c)3 =3(a+b)(b+c)(a+c)  3(2 ab)(2 bc)(2 ac) =24. 所以 (a  b)3  (b  c)3  (c  a)3  24 .- 11 – 选择填空解析 3i 1 2i z  z  设，则 （）1. A. B. 232C. D. 1答案： C- 12 – 解析： 3i (3i)(1 2i) 1 7i z  因为 所以 1 2i (1 2i)(1 2i) 517( )2  ( )2 z   2 55U {1,2,3,4,5,6,7} A {2，3，4，5} B {2，3，6，7} B C A 已知集合 {1,6} ，，，则 （）2. A. B. C. D. U{1,7} {6,7} {1,6,7} 答案： C解析： U {1,2,3,4,5,6,7} A {2，3，4，5} C A{1，6，7} B {2，3，6，7} ，， 则 ， 又 ， 则 UB C A{6，7} ，故选 C. U0.2 0.3 ，则（ ）a  log 0.2 3.已知 ，，b  2 c  0.2 2A.a  b  c B.a  c  b C.c  a  b D.b  c  a 答案： B解答： – 13 – 0.2 a  log 0.2 0 由对数函数的图像可知： ；再有指数函数的图像可知： ，b  2 1 20.3 ，于是可得到： a  c  b .0  c  0.2 1 5 1 24.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5 1 （称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头  0.618 25 1 顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .若某人满足上述两个黄金分割比例， 2且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为 26cm ，则其身高可能是（ ）A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm 答案： B解析： 方法一： 设头顶处为点 ，咽喉处为点 ，脖子下端处为点 AC，肚脐处为点 ，腿根处为点 ，足底 DBE5 1 2处为 ，BD  t ，，F  AB AD DF AD  AB  BD  ( 1)t     根 据 题 意 可 知 , 故 AB  t ； 又 ，， 故 BD – 14 –  1 DF  t；( 1)2 5 1 2所以身高 ，将 代入可得 h  4.24t  0.618 .h  AD  DF  t  根据腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为 26cm 可得 AB  AC ，；DF  EF  1 5 1 2t 105 即t  26 ，，将 代入可得 40  t  42  0.618   所以169.6  h 178.08 ，故选 B. 方法二： 由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度 26cm 可5 1 估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是 25 1 2（称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为 42cm ；将人体的头顶  0.618 至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为 68cm ，头顶至肚脐的长度与 5 1 2肚脐至足底的长度之比是 可计算出肚脐至足底的长度约为110；将头顶至肚脐的长度 与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为178cm ，与答案175cm 更为接近，故选 B. sin x  x [, ] f (x)  函数 在的图像大致为（ ）5. A. cos x  x2 B. – 15 – C. D. 答案： D解答： sin x  x sin x  x f (x)    f (x) ∵∴，2cos x  x2 cos x  x   f (x) 为奇函数，排除 A. 22sin 24  2 f ( )  0 ，排除 C， 又2 2   cos   22  sin  f ( )   0 ，排除 B，故选 D. 21 2 cos     1,2,3,,1000 6.某学校为了解 名新生的身体素质，将这些学生编号为 ，从这些新生中 1000 用系统抽样方法等距抽取 名学生进行体质测验，若 号学生被抽到，则下面 名学生中 4100 46 被抽到的是（ ）. A. 号学生 8B. C. D. 号学生 号学生 号学生 200 616 815 – 16 – 答案： C解答： 从名学生中抽取 名，每 人抽一个， 10 号学生被抽到，则抽取的号数就为 1000 100 46 10n  6(0  n  99,n N) ，可得出 号学生被抽到. 616 tan 255  2  3 （）7. A. B. C. D. 2  3 2  3 2  3 答案： D解析： tan 45 tan30 1 tan 45tan30 tan 255  tan(180 75)  tan 75  tan(45 30)  因为 化简可得 tan 255  2  3 ，则 的夹角为（ 与已知非零向量 a，满足 ，且 a）| a | 2 | b | (a b)  b 8. bb6A. B. C. D. 32 35 6答案： – 17 – B解答：   (a b)b  0 2，且 ，，有 ，设 a与的夹角为 ，，| a | 2 | b | (a b)  b a b | b |  0 b2222则有 ，即 ，，| a || b | cos  | b |  0 2 | b | cos  | b |  0 | b | (2cos 1)  0 | b | 0 1233cos    ，，故 a与的夹角为 ，选 . Bb112+ 右图是求 的程序框图，图中空白框中应填入（ ）9. 122+ 1A  A. B. C. D. 2  A 1A  2  A1A 1 2A 1A  1 2A 答案： A解答： 把选项代入模拟运行很容易得出结论 – 18 – 1A= 12+ 选项 A代入运算可得 ，满足条件， 122+ 1A=2+ 1选项 B代入运算可得 选项 C代入运算可得 ,不符合条件， 2+ 21A  ,不符合条件， 21A 1+ 选项 D代入运算可得 ,不符合条件. 4×2 y2 10.双曲线 的一条渐近线的倾斜角为130，则 C的离心率为（ ）C：  1(a  0,b  0) a2 b2 A.2sin 40 B.2cos40 1C. sin50 1D. cos50 答案： D解答： bb，所以 asin50 cos50  tan130  tan50  根据题意可知 离心率 ，ab2 a2 sin2 50 cos2 50 sin2 50 cos2 50 11.e  1  1 cos2 50 cos2 50 cos50 A, B,C a,b,c ， 已 知asin Absin B  4csinC ABC 的 内 角 的 对 边 分 别 为 ，11. 14bccos A   ，则 （）654A. B. C. – 19 – 3D. 答案： A解答： 22222由正弦定理可得到： 2 ，即 ，asin Absin B  4csinC  a b  4c a  4c  b b2  c2  a2 2bc 14b 6 又由余弦定理可得到： ，于是可得到 cos A    cF (1,0) F (1,0) ，F，过 2 的直线与 已知椭圆 C的焦点坐标为 C交于 B， 两点，若 A12. 12AF  2 F B AB  BF ，，则 C的方程为（ ）221×2  y2  1 A. B. C. D. 2×2 y2  1  1  1 32×2 y2 43×2 y2 54答案： B解答： AF  2 F B AB  BF F B  x AF  2x BF  3x ，由，，设 ，则 ，根据椭圆的定义 221221F B  BF  AF  AF  2a AF  2x ，所以 ，因此点 即为椭圆的下顶点，因为 A212113 b 94a2 14AF  2 F B ( , )  1 ，c  1所以点 B坐标为 ，将坐标代入椭圆方程得 ，解得 222 2 22，故答案选 B. a  3,b  2 – 20 – 13.曲线 y  3(x2  x)ex 在点 处的切线方程为 .(0,0) 答案： y  3x 解答： x2xy  3(2x 1)e  3(x  x)e  3(x2  3x 1)ex ，∵(0,0) ∴结合导数的几何意义曲线在点 处的切线方程的斜率 k  3 ，y  3x ∴切线方程为 .3nSaa 1 S  S  记n 为等比数列 的前 项和，若 ，，则 .14. n1434答案： 58解析： 3a 1 S  a  a  a  ，131234q设等比数列公比为 3a  a q  a q2  ∴∴11141q   258S  所以 4- 21 – 3 2f (x)  sin(2x  ) 3cos x 15．函数 的最小值为___________． 答案： 4 解答： 3 2f (x)  sin(2x  ) 3cos x  cos2x 3cos x  2cos2 x 3cos x 1 ，cos x[1,1] f (x) 取最小值， 因为 ，知当 cos x 1 3 时f (x)  sin(2x  ) 3cos x 则的最小值为 ．4 2AC, BC 的距 16.已知 离均为 答案： ，为平面 外一点， ，点 到两边 ACB  90 ABC PC  2 ACB PP，那么 到平面 P的距离为 .ABC 32解答： 如 图 ， 过 P点 做 平 面 的 垂 线 段 ， 垂 足 为， 则 O的 长 度 即 为 所 求 ， 再 做 ABC PO PE  CB, PF  CA OE  CB,OF  CA ， 由 线 面 的 垂 直 判 定 及 性 质 定 理 可 得 出 ， 在 中，由 ，可得出 ，同理在 中可得出 ，结 RtPCF CF 1 RtPCE CE 1 PC  2, PF  3 OE  CB,OF  CA 合，可得出，，ACB  90 OE  OF 1 OC  2 PO  PC2 OC2  2 – 22 –