2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷ⅰ）（含解析版）下载

2009 年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）sin585°的值为（　　） A． B． C． D． 2．（5 分）设集合 A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集 U=A∪B，则集 合∁U（A∩B）中的元素共有（　　） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 3．（5 分）不等式 ＜1 的解集为（　　） A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1} C．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0} 4．（5 分）已知 tana=4，cotβ= ，则 tan（a+β）=（　　） A． B．﹣ C． =1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线 y=x2+1 相 D．﹣ 5．（5 分）已知双曲线 ﹣切，则该双曲线的离心率为（　　） A． B．2 C． D． 6．（5 分）已知函数 f（x）的反函数为 g（x）=1+2lgx（x＞0），则 f（1）+g（1 ）=（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 7．（5 分）甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学． 若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同 选法共有（　　） A．150 种 B．180 种 C．300 种 D．345 种 8．（5 分）设非零向量 、 、 满足 ，则 =（　　 ）A．150° B．120° C．60° D．30° 9．（5 分）已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面 ABC 第 1 页（共 24 页） 上的射影 D 为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 10．（5 分）如果函数 y=3cos（2x+φ）的图象关于点（ 么|φ|的最小值为（　　） ，0）中心对称，那 A． B． C． D． 11．（5 分）已知二面角 α﹣l﹣β 为 60°，动点 P、Q 分别在面 α、β 内，P 到 β 的距离为 ，Q 到 α 的距离为 ，则P、Q 两点之间距离的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D．4 12．（5 分）已知椭圆 C： +y2=1 的右焦点为 F，右准线为 l，点 A∈l，线段 AF 交 C 于点 B，若 =3 ，则| |=（　　） A． B．2 C． D．3 　二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．（5 分）（x﹣y）10 的展开式中，x7y3 的系数与 x3y7 的系数之和等于　 14．（5 分）设等差数列{an}的前 n 的和为 Sn，若 S9=72，则 a2+a4+a9=　 　． 　． 15．（5 分）已知 OA 为球 O 的半径，过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球 面得到圆 M．若圆 M 的面积为 3π，则球 O 的表面积等于　 　． 第 2 页（共 24 页） 16．（5 分）若直线 m 被两平行线 l1：x﹣y+1=0 与 l2：x﹣y+3=0 所截得的线段的 长为 ，则 m 的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的 序号是　 　（写出所有正确答案的序号） 　三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17．（10 分）设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn，已知 a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3﹣S3=12，求{an}，{bn}的通项公 式． 18．（12 分）在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c，已知 a2﹣c2=2b ，且 sinAcosC=3cosAsinC，求 b． 第 3 页（共 24 页） 19．（12 分）如图，四棱锥 S﹣ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，SD⊥底面 ABCD， AD= ，DC=SD=2，点 M 在侧棱 SC 上，∠ABM=60° （I）证明：M 是侧棱 SC 的中点； （Ⅱ）求二面角 S﹣AM﹣B 的大小． 20．（12 分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的 胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4， 各局比赛结果相互独立．已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局． （Ⅰ）求再赛 2 局结束这次比赛的概率； （Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率． 第 4 页（共 24 页） 21．（12 分）已知函数 f（x）=x4﹣3×2+6． （Ⅰ）讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）设点 P 在曲线 y=f（x）上，若该曲线在点 P 处的切线 l 通过坐标原点，求 l 的方程． 22．（12 分）如图，已知抛物线 E：y2=x 与圆 M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交 于 A、B、C、D 四个点． （Ⅰ）求 r 的取值范围； （Ⅱ）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC、BD 的交点 P 的坐标． 　第 5 页（共 24 页） 2009 年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ） 参考答案与试题解析 　一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）sin585°的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】GE：诱导公式．菁优网版权所有 【分析】由 sin（α+2kπ）=sinα、sin（α+π）=﹣sinα 及特殊角三角函数值解之． 【解答】解：sin585°=sin（585°﹣360°）=sin225°=sin（45°+180°）=﹣sin45°=﹣ ，故选：A． 【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值． 　2．（5 分）设集合 A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集 U=A∪B，则集 合∁U（A∩B）中的元素共有（　　） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有 【分析】根据交集含义取 A、B 的公共元素写出 A∩B，再根据补集的含义求解． 【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}， A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选 A． 也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁UA）∪（∁UB） 故选：A． 【点评】本题考查集合的基本运算，较简单． 　3．（5 分）不等式 ＜1 的解集为（　　） 第 6 页（共 24 页） A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1} D．{x|x＜0} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣1＜x＜0} 【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有 【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值， 也可两边平方去绝对值． 【解答】解：∵ ＜1， ∴|x+1|＜|x﹣1|， ∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1． ∴x＜0． ∴不等式的解集为{x|x＜0}． 故选：D． 【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去 绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方． 　4．（5 分）已知 tana=4，cotβ= ，则 tan（a+β）=（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 【考点】GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由已知中 cotβ= ，由同角三角函数的基本关系公式，我们求出 β 角的 正切值，然后代入两角和的正切公式，即可得到答案． 【解答】解：∵tana=4，cotβ= ， ∴tanβ=3 ∴tan（a+β）= 故选：B． ==﹣ 第 7 页（共 24 页） 【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中 β 角的余 切值，根据同角三角函数的基本关系公式，求出 β 角的正切值是解答本题的 关键． 　5．（5 分）已知双曲线 ﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线 y=x2+1 相 切，则该双曲线的离心率为（　　） A． B．2 C． D． 【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于 0，找到 a 和 b 的关系，从而推断出 a 和 c 的关系，答案可得． 【解答】解：由题双曲线 的一条渐近线方程为 ，代入抛物线方程整理得 ax2﹣bx+a=0， 因渐近线与抛物线相切，所以 b2﹣4a2=0， 即，故选：C． 【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的 离心率，基础题． 　6．（5 分）已知函数 f（x）的反函数为 g（x）=1+2lgx（x＞0），则 f（1）+g（1 ）=（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【考点】4R：反函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 第 8 页（共 24 页） 【分析】将 x=1 代入即可求得 g（1），欲求 f（1），只须求当 g（x）=1 时 x 的 值即可．从而解决问题． 【解答】解：由题令 1+2lgx=1 得 x=1， 即 f（1）=1， 又 g（1）=1， 所以 f（1）+g（1）=2， 故选：C． 【点评】本小题考查反函数，题目虽然简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情 况，也考查了运用知识的能力． 　7．（5 分）甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学． 若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同 选法共有（　　） A．150 种 B．180 种 C．300 种 D．345 种 【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．菁优网版权所有 【专题】5O：排列组合． 【分析】选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法，1 名女同学来自甲组和乙组 两类型． 112【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有 C5 •C3 •C6 =225 种选法； 211（2）乙组中选出一名女生有 C5 •C6 •C2 =120 种选法．故共有 345 种选法． 故选：D． 【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类 ，后分步！ 　8．（5 分）设非零向量 、 、 满足 ，则 =（　　 ）A．150° B．120° C．60° D．30° 第 9 页（共 24 页） 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等可构成菱形的两 条相邻边，三个向量起点处的对角线长等于菱形的边长，这样得到一个含有 特殊角的菱形． 【解答】解：由向量加法的平行四边形法则， ∵两个向量的模长相等 ∴ 、 可构成菱形的两条相邻边， ∵∴ 、 为起点处的对角线长等于菱形的边长， ∴两个向量的夹角是 120°， 故选：B． 【点评】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题．向量知识 ，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数 形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体． 　9．（5 分）已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面 ABC 上的射影 D 为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有 【分析】首先找到异面直线 AB 与 CC1 所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值 可考虑余弦定理，则只要表示出 A1B 的长度即可；不妨设三棱柱 ABC﹣A1B1C1 第 10 页（共 24 页） 的侧棱与底面边长为 1，利用勾股定理即可求之． 【解答】解：设 BC 的中点为 D，连接 A1D、AD、A1B，易知 θ=∠A1AB 即为异面 直线 AB 与 CC1 所成的角； 并设三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长为 1，则|AD|= ，|A1D|= ，|A1B|= ，由余弦定理，得 cosθ= 故选：D． = ． 【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理． 　10．（5 分）如果函数 y=3cos（2x+φ）的图象关于点（ 么|φ|的最小值为（　　） ，0）中心对称，那 D． A． B． C． 【考点】HB：余弦函数的对称性．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】先根据函数 y=3cos（2x+φ）的图象关于点 中心对称，令 x= 代入函数使其等于 0，求出 φ 的值，进而可得|φ|的最小值． 【解答】解：∵函数 y=3cos（2x+φ）的图象关于点 中心对称． ∴∴由此易得 ．故选：A． 【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题． 　11．（5 分）已知二面角 α﹣l﹣β 为 60°，动点 P、Q 分别在面 α、β 内，P 到 β 的距离为 ，Q 到 α 的距离为 ，则P、Q 两点之间距离的最小值为（　　） 第 11 页（共 24 页） A．1 B．2 C． D．4 【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】分别作 QA⊥α 于 A，AC⊥l 于 C，PB⊥β 于 B，PD⊥l 于 D，连 CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形 APQ 中将 PQ 表示出来，再研究其最值即可． 【解答】解：如图 分别作 QA⊥α 于 A，AC⊥l 于 C，PB⊥β 于 B，PD⊥l 于 D， 连 CQ，BD 则∠ACQ=∠PDB=60°， ，又∵ 当且仅当 AP=0，即点 A 与点 P 重合时取最小值． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之 间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 　12．（5 分）已知椭圆 C： +y2=1 的右焦点为 F，右准线为 l，点 A∈l，线段 AF 第 12 页（共 24 页） 交 C 于点 B，若 =3 ，则| |=（　　） A． B．2 C． D．3 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】过点 B 作 BM⊥x 轴于 M，设右准线 l 与 x 轴的交点为 N，根据椭圆的性 质可知 FN=1，进而根据 ，求出BM，AN，进而可得|AF|． 【解答】解：过点 B 作 BM⊥x 轴于 M， 并设右准线 l 与 x 轴的交点为 N，易知 FN=1． 由题意 ，故 FM= ，故 B 点的横坐标为 ，纵坐标为± 即 BM= ， 故 AN=1， ∴．故选：A． 【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题． 　二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．（5 分）（x﹣y）10 的展开式中，x7y3 的系数与 x3y7 的系数之和等于　﹣240　 ．第 13 页（共 24 页） 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【 分 析 】 首 先 要 了 解 二 项 式 定 理 ： （ a+b ） 012rnn=Cn anb0+Cn an﹣1b1+Cn an﹣2b2++Cn an﹣rbr++Cn a0bn ， 各 项 的 通 项 公 式 为 ： rTr+1=Cn an﹣rbr．然后根据题目已知求解即可． 【解答】解：因为（x﹣y）10 的展开式中含 x7y3 的项为 C103x10﹣3y3 （﹣1） 3=﹣C103x7y3， 含 x3y7 的项为 C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7． 由 C103=C107=120 知，x7y3 与 x3y7 的系数之和为﹣240． 故答案为﹣240． 【 点 评 】 此 题 主 要 考 查 二 项 式 定 理 的 应 用 问 题 ， 对 于 公 式 ： （ a+b ） 012rnn=Cn anb0+Cn an﹣1b1+Cn an﹣2b2++Cn an﹣rbr++Cn a0bn，属于重点考点，同学们需 要理解记忆． 　14．（5 分）设等差数列{an}的前 n 的和为 Sn，若 S9=72，则 a2+a4+a9=　24　． 【考点】83：等差数列的性质．菁优网版权所有 【分析】先由 S9=72 用性质求得 a5，而 3（a1+4d）=3a5，从而求得答案． 【解答】解：∵ ∴a5=8 又∵a2+a4+a9=3（a1+4d）=3a5=24 故答案是 24 【点评】本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系． 　15．（5 分）已知 OA 为球 O 的半径，过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球 第 14 页（共 24 页） 面得到圆 M．若圆 M 的面积为 3π，则球 O 的表面积等于　16π　． 【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】由题意求出圆 M 的半径，设出球的半径，二者与 OM 构成直角三角形， 求出球的半径，然后可求球的表面积． 【解答】解：∵圆 M 的面积为 3π，∴圆 M 的半径 r= 设球的半径为 R， ，由图可知，R2= R2+3，∴ R2=3，∴R2=4． ∴S 球=4πR2=16π． 故答案为：16π 【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，理解并能够应用小圆的 半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口，解题重 点所在，仔细体会． 　16．（5 分）若直线 m 被两平行线 l1：x﹣y+1=0 与 l2：x﹣y+3=0 所截得的线段的 长为 ，则 m 的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的 序号是　①或⑤　（写出所有正确答案的序号） 【考点】I2：直线的倾斜角；N1：平行截割定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题． 【分析】先求两平行线间的距离，结合题意直线 m 被两平行线 l1 与 l2 所截得的 线段的长为 ，求出直线 m 与 l1 的夹角为 30°，推出结果． 【解答】解：两平行线间的距离为 ，第 15 页（共 24 页） 由图知直线 m 与 l1 的夹角为 30°，l1 的倾斜角为 45°， 所以直线 m 的倾斜角等于 30°+45°=75°或 45°﹣30°=15°． 故填写①或⑤ 故答案为：①或⑤ 【点评】本题考查直线的斜率、直线的倾斜角，两条平行线间的距离，考查数形 结合的思想． 　三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17．（10 分）设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn，已知 a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3﹣S3=12，求{an}，{bn}的通项公 式． 【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【 分 析 】 设 {an} 的 公 差 为d ， 数 列 {bn} 的 公 比 为q ＞ 0 ， 由 题 得 ，由此能得到{an}，{bn}的通项公式． 【解答】解：设{an}的公差为 d，数列{bn}的公比为 q＞0， 第 16 页（共 24 页） 由题得 ，解得 q=2，d=2 ∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，bn=3•2n﹣1 ．【点评】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前 n 项和，基础题． 　18．（12 分）在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c，已知 a2﹣c2=2b ，且 sinAcosC=3cosAsinC，求 b． 【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有 【分析】根据正弦定理和余弦定理将 sinAcosC=3cosAsinC 化成边的关系，再根据 a2﹣c2=2b 即可得到答案． 【解答】解：法一：在△ABC 中∵sinAcosC=3cosAsinC， 则由正弦定理及余弦定理有： ，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2． 又由已知 a2﹣c2=2b∴4b=b2． 解得 b=4 或 b=0（舍）； 法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA． 又 a2﹣c2=2b，b≠0． 所以 b=2ccosA+2①又 sinAcosC=3cosAsinC， ∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC， 即 sinB=4cosAsinC 由正弦定理得 故 b=4ccosA②由①，②解得 b=4． ，【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题． 　第 17 页（共 24 页） 19．（12 分）如图，四棱锥 S﹣ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，SD⊥底面 ABCD， AD= ，DC=SD=2，点 M 在侧棱 SC 上，∠ABM=60° （I）证明：M 是侧棱 SC 的中点； （Ⅱ）求二面角 S﹣AM﹣B 的大小． 【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法． 菁优网版权所有 【专题】11：计算题；14：证明题． 【分析】（Ⅰ）法一：要证明 M 是侧棱 SC 的中点，作 MN∥SD 交 CD 于 N，作 NE⊥AB 交 AB 于 E，连 ME、NB，则 MN⊥面 ABCD，ME⊥AB， 设MN=x，则 NC=EB=x，解 RT△MNE 即可得 x 的值，进而得到 M 为侧棱 SC 的中 点； 法二：分别以 DA、DC、DS 为 x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系 D﹣xyz，并求 出 S 点的坐标、C 点的坐标和 M 点的坐标，然后根据中点公式进行判断； 法三：分别以 DA、DC、DS 为 x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系 D﹣xyz，构造 空间向量，然后数乘向量的方法来证明． （Ⅱ）我们可以以 D 为坐标原点，分别以 DA、DC、DS 为 x、y、z 轴如图建立空 间直角坐标系 D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角 S﹣AM﹣B 的大小． 【解答】证明：（Ⅰ）作 MN∥SD 交 CD 于 N，作 NE⊥AB 交 AB 于 E， 连 ME、NB，则 MN⊥面 ABCD，ME⊥AB， 设 MN=x，则 NC=EB=x， 在 RT△MEB 中，∵∠MBE=60°∴ ．第 18 页（共 24 页） 在 RT△MNE 中由 ME2=NE2+MN2∴3×2=x2+2 解得 x=1，从而 ∴M 为侧棱 SC 的中点 M． （Ⅰ）证法二：分别以 DA、DC、DS 为 x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系 D﹣xyz ，则 ．设 M（0，a，b）（a＞0，b＞0）， 则，，由题得 即，解之个方程组得 a=1，b=1 即 M（0，1，1） 所以 M 是侧棱 SC 的中点． （I）证法三：设 ，则又故，即，解得 λ=1，所以 M 是侧棱 SC 的中点． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，第 19 页（共 24 页） 又设，，分别是平面 SAM、MAB 的法向量， 则即且，且分别令 即得 z1=1，y1=1，y2=0，z2=2， ，∴二面角 S﹣AM﹣B 的大小 ．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值； 空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦 值； 空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值； 　20．（12 分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的 胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4， 各局比赛结果相互独立．已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局． （Ⅰ）求再赛 2 局结束这次比赛的概率； （Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率． 【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有 第 20 页（共 24 页） 【专题】12：应用题． 【分析】根据题意，记“第 i 局甲获胜”为事件 Ai（i=3，4，5），“第 j 局甲获胜” 为事件 Bi（j=3，4，5）， （1）“再赛 2 局结束这次比赛”包含“甲连胜 3、4 局”与“乙连胜 3、4 局”两个互斥 的事件，而每局比赛之间是相互独立的，进而计算可得答案， （2）若“甲获得这次比赛胜利”，即甲在后 3 局中，甲胜 2 局，包括 3 种情况， 根据概率的计算方法，计算可得答案． 【解答】解：记“第 i 局甲获胜”为事件 Ai（i=3，4，5）， “第 j 局甲获胜”为事件 Bi（j=3，4，5）． （Ⅰ）设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A，则 A=A3•A4+B3•B4， 由于各局比赛结果相互独立， 故 P（A）=P（A3•A4+B3•B4）=P（A3•A4）+P（B3•B4）=P（A3）P（A4）+P（B3）P （B4）=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52． （Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件 H， 因前两局中，甲、乙各胜 1 局， 故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中， 甲先胜 2 局，从而 B=A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5， 由于各局比赛结果相互独立， 故 P（H）=P（A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5） =P（A3•A4）+P（B3•A4•A5）+P（A3•B4•A5） =P（A3）P（A4）+P（B3）P（A4）P（A5）+P（A3）P（B4）P（A5） =0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648 【点评】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率 ，解题之前，要分析明确事件间的关系，一般先按互斥事件分情况，再由相 互独立事件的概率公式，进行计算． 　21．（12 分）已知函数 f（x）=x4﹣3×2+6． （Ⅰ）讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）设点 P 在曲线 y=f（x）上，若该曲线在点 P 处的切线 l 通过坐标原点，求 第 21 页（共 24 页） l 的方程． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线 方程．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题． 【分析】（1）利用导数求解函数的单调性的方法步骤进行求解． （2）根据已知，只需求出 f（x）在点 P 处的导数，即斜率，就可以求出切线方 程． 【解答】解：（Ⅰ） 令 f′（x）＞0 得 令 f′（x）＜0 得 因此，f（x）在区间 在区间 或；或和为增函数； 和为减函数． （Ⅱ）设点 P（x0，f（x0））， 由 l 过原点知，l 的方程为 y=f′（x0）x， 423因此 f（x0）=f′（x0）x0，即 x0 ﹣3×0 +6﹣x0（4×0 ﹣6×0）=0， 22整理得（x0 +1）（x0 ﹣2）=0，解得 或．所以的方程为 y=2 x或 y=﹣2 x【点评】本题比较简单，是一道综合题，主要考查函数的单调性、利用导数的几 何意义求切线方程等函数基础知识，应熟练掌握． 　22．（12 分）如图，已知抛物线 E：y2=x 与圆 M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交 于 A、B、C、D 四个点． （Ⅰ）求 r 的取值范围； （Ⅱ）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC、BD 的交点 P 的坐标． 第 22 页（共 24 页） 【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质． 菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题． 【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去 y，得到 x 的二次方程，根据抛物 线 E：y2=x 与圆 M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于 A、B、C、D 四个点的充 要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出 r 的范围． （2）先设出四点 A，B，C，D 的坐标再由（1）中的 x 二次方程得到两根之和、 两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得 到最大值时的点 P 的坐标． 【解答】解：（Ⅰ）将抛物线 E：y2=x 代入圆 M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方 程， 消去 y2，整理得 x2﹣7x+16﹣r2=0（1） 抛物线 E：y2=x 与圆 M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于 A、B、C、D 四个点的 充要条件是： 方程（1）有两个不相等的正根 ∴即．解这个方程组得 ，．第 23 页（共 24 页） （II）设四个交点的坐标分别为 、、、．则直线 AC、BD 的方程分别为 y﹣ （x﹣x1）， =•（x﹣x1），y+ =解得点 P 的坐标为（ ，0）， 则由（I）根据韦达定理有 x1+x2=7，x1x2=16﹣r2， 则∴令，则 S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求 S2 的最大值． 由三次均值有： 当且仅当 7+2t=14﹣4t，即 时取最大值． 满足题意． ．经检验此时 故所求的点 P 的坐标为 【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化 复习． 第 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