2008年江苏高考数学试题及答案下载

2008 年江苏省高考数学试卷 　一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分） 1．（5 分）（2008•江苏）若函数 最小正周期为 ，则ω=　_________　． 　2．（5 分）（2008•江苏）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具） ，先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为 4 的概率是　_________　． 　3．（5 分）（2008•江苏）若将复数 表示为 a+bi（a，b∈R，i 是虚数单位）的形式，则 a+b=　_________　． 　4．（5 分）（2008•江苏）若集合 A={x|（x﹣1）2＜3x+7，x∈R}，则 A∩Z 中有　_________　个元素． 　5．（5 分）（2008•江苏）已知向量 和 的夹角为120°， ，则 =　_________　． 　6．（5 分）（2008•江苏）在平面直角坐标系 xoy 中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域 ，E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则所投点在 E 中的概率是　_________　． 　7．（5 分）（2008•江苏）某地区为了解 70﹣80 岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了 50 位老人进 行调查，下表是这 50 位老人睡眠时间的频率分布表： 序号 i 分组 频数 组中值（Gi 频率（Fi） （睡眠时间） ） （人数） 12345[4，5） [5，6） [6，7） [7，8） [8，9] 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 60.12 0.20 0.40 0.20 0.08 10 20 10 4在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的 S 的值为　_________　． 　18．（5 分）（2008•江苏）设直线 y= x+b是曲线 y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数 b 的值为 ꢀ　_________　． 　9．（5 分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，设三角形 ABC 的顶点分别为 A（0，a），B（b，0） ，C（c，0），点 P（0，p）在线段 AO 上的一点（异于端点），这里 a，b，c，p 均为非零实数，设直线 BP，CP 分别与边 AC，AB 交于点 E，F，某同学已正确求得直线 OE 的方程为 线 OF 的方程：　_________　． ，请你完成直 　10．（5 分）（2008•江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第 n 行（n≥3）从左向右的 第 3 个数为　_________　． 　11．（5 分）（2008•江苏）设 x，y，z 为正实数，满足 x﹣2y+3z=0，则 的最小值是　_________　． 　12．（5 分）（2008•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 的焦距为 2c，以 O 为圆心，a 为半径作圆 M，若过 作圆 M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为　_________　． 　13．（5 分）（2008•江苏）满足条件 AB=2，AC= BC的三角形 ABC 的面积的最大值是　_________　． 　14．（5 分）（2008•江苏）f（x）=ax3﹣3x+1 对于 x∈[﹣1，1]总有 f（x）≥0 成立，则 a=　_________　． 　二、解答题（共 12 小题，满分 90 分） 215．（15 分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 α，β，它们的终边分别 交单位圆于 A，B 两点．已知 A，B 两点的横坐标分别是 ，．（1）求 tan（α+β）的值； （2）求 α+2β 的值． 　16．（15 分）（2008•江苏）如图，在四面体 ABCD 中，CB=CD，AD⊥BD，点 E，F 分别是 AB，BD 的中点．求 证： （1）直线 EF∥面 ACD； （2）平面 EFC⊥面 BCD． 　17．（15 分）（2008•江苏）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A，B 及 CD 的中点 P 处． AB=20km，BC=10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与 A，B 等距的一点 O 处， 建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道 AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为 ykm． （1）按下列要求建立函数关系式： （i）设∠BAO=θ（rad），将 y 表示成 θ 的函数； （ii）设 OP=x（km），将 y 表示成 x 的函数； （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短． 　18．（15 分）（2008•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，记二次函数 f（x）=x2+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交 点．经过三个交点的圆记为 C． （1）求实数 b 的取值范围； （2）求圆 C 的方程； （3）问圆 C 是否经过定点（其坐标与 b 的无关）？请证明你的结论． 　19．（15 分）（2008•江苏）（1）设 a1，a2，…，an 是各项均不为零的 n（n≥4）项等差数列，且公差 d≠0，若将此 数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列． （i）当 n=4 时，求 的数值； 3（ii）求 n 的所有可能值． （2）求证：对于给定的正整数 n（n≥4），存在一个各项及公差均不为零的等差数列 b1，b2，…，bn，其中任意三项 （按原来的顺序）都不能组成等比数列． 　20．（15 分）（2008•江苏）已知函数 ，（x∈R，p1，p2 为常数）．函 数 f（x）定义为：对每个给定的实数 x， （1）求 f（x）=f1（x）对所有实数 x 成立的充分必要条件（用 p1，p2 表示）； （2）设 a，b 是两个实数，满足 a＜b，且 p1，p2∈（a，b）．若 f（a）=f（b），求证：函数 f（x）在区间[a，b]上 的单调增区间的长度之和为 （闭区间[m，n]的长度定义为 n﹣m） 　21．（2008•江苏）如图，△ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线相交于点 E，∠BAC 的平分线与 BC 交于点 D． 求证：ED2=EB•EC． 　22．（2008•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 4×2+y2=1 在矩阵 对应的变换作用下得到曲线 F，求 F 的 上的一个动点，求 S=x+y 的最大值． 方程． 　23．（2008•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（x，y）是椭圆 　24．（2008•江苏）设 a，b，c 为正实数，求证： ．　25．（2008•江苏）记动点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的对角线 BD1 上一点，记 ．当∠APC 为钝角时，求 λ 的取值范围． 　26．（2008•江苏）请先阅读： 在等式 cos2x=2cos2x﹣1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos2x﹣1）′，由求导法则，得（﹣sin2x）•2=4cosx• （﹣sinx），化简得等式：sin2x=2cosx•sinx． n012 2 n n （1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x） =Cn +Cn x+Cn x +…+Cn x （x∈R，正整数 n≥2），证明： ．（2）对于正整数 n≥3，求证： （i） ；4（ii） ；（iii） ．　52008 年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分） 1．（5 分） 考点：三角函数的周期性及其求法．4664233 专题：计算题． 分析： 根据三角函数的周期公式，即 T= 可直接得到答案． 解答： 解：. 故答案为：10 点评： 本小题考查三角函数的周期公式，即 T= ．2．（5 分） 考点：古典概型及其概率计算公式．4664233 专题：计算题． 分析：分别求出基本事件数，“点数和为 4”的种数，再根据概率公式解答即可． 解答：解析：基本事件共 6×6 个， 点数和为 4 的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共 3 个， 故．故填： ．点评：本小题考查古典概型及其概率计算公式，考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性 相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ． 3．（5 分） 考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．4664233 专题：计算题． 分析：利用复数除法的法则：分子分母同乘以分母的共轭复数． 解答： 解：．∵ ，∴a=0，b=1， 因此 a+b=1 故答案为 1 点评：本小题考查复数的除法运算． 4．（5 分） 考点：交集及其运算．4664233 先化简集合 A，即解一元二次不等式（x﹣1）2＜3x+7，再与 Z 求交集． 分析： 解：由（x﹣1）2＜3x+7 得 x2﹣5x﹣6＜0，∴A=（﹣1，6），因此 A∩Z={0，1，2，3，4，5}，共有 6 个元 解答： 素． 故答案是 6 点评：本小题考查集合的运算和解一元二次不等式． 65．（5 分） 考点：向量的模．4664233 专题：计算题． 分析： 根据向量的数量积运算公式得 ，化简后把已知条件代入求值． 解答： 解：由题意得， =，∴=7． 故答案为：7． 点评： 本小题考查向量模的求法，即利用数量积运算公式“ ”进行求解． 6．（5 分） 考点：古典概型及其概率计算公式．4664233 专题：计算题． 分析：本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部（含边界），满足条件的 事件表示单位圆及其内部，根据几何概型概率公式得到结果． 解答：解析：本小题是一个几何概型， ∵试验包含的所有事件是区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部（含边界），面积是 42=16， 满足条件的事件表示单位圆及其内部，面积是 π×12 根据几何概型概率公式得到 ∴故答案为： ．点评：本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通过两个图形的 面积之比得到概率的值．本题可以以选择和填空形式出现． 7．（5 分） 考点：频率分布表；工序流程图（即统筹图）．4664233 专题：图表型． 分析： 观察算法流程图知，此图包含一个循环结构，即求 G1F1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5 的值，再结合直方图中数 据即可求解． 解答：解：由流程图知： S=G1F1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5 =4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.2+8.5×0.08 =6.42， 故填：6.42． 点评：本题考查读频率分布直方图、算法流程图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用图表获取信息时，必 须认真观察、分析、研究图表，才能作出正确的判断和解决问题． 78．（5 分） 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．4664233 专题：计算题． 分析：欲实数 b 的大小，只须求出切线方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即 可求出切线的斜率，最后求出切线方程与已知直线方程对照即可． 解答： 解：y′=（lnx）′= ，令 = 得 x=2， ∴切点为（2，ln2），代入直线方程 y= x+b， ∴ln2= ×2+b，∴b=ln2﹣1． 故答案为：ln2﹣1 点评：本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解 能力．属于基础题． 9．（5 分） 考点：直线的一般式方程；归纳推理．4664233 专题：转化思想． 分析： 本题考查的知识点是类比推理，我们类比直线 OE 的方程为 ，分析 A（0，a） ，B（b，0），C（c，0），P（0，p），我们可以类比推断出直线 OF 的方程为： ．解答： 解：由截距式可得直线 AB： ，直线 CP： ，两式相减得 ，显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程， 又原点 O 也满足此方程， 故为所求直线 OF 的方程． 故答案为： ．点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类 事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）． 10．（5 分） 考点：归纳推理；等比数列的前 n 项和．4664233 专题：压轴题；规律型． 分析：观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从一开始的连续的正整数，故 n 行的最后一个数，即为前 n 项数据的个数，故我们要判断第 n 行（n≥3）从左向右的第 3 个数，可先判断第 n﹣1 行的最后一个数，然 后递推出最后一个数据． 解答：解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式． 前 n﹣1 行共有正整数 1+2+…+（n﹣1）个， 即个， 因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第 +3 个， 8即为 ．点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明 确表达的一般性命题（猜想）． 11．（5 分） 考点：基本不等式．4664233 分析： 由 x﹣2y+3z=0 可推出 ，代入 中，消去y，再利用均值不等式求解即可． 解：∵x﹣2y+3z=0， 解答： ∴，∴=，当且仅当 x=3z 时取“=”． 故答案为 3． 点评：本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是高考考查的重点内容． 　12．（5 分） 考点：椭圆的简单性质．4664233 专题：计算题；压轴题． 分析：抓住△OAP 是等腰直角三角形，建立 a，c 的关系，问题迎刃而解． 解答：解：设切线 PA、PB 互相垂直，又半径 OA 垂直于 PA，所以△OAP 是等腰直角三角形， 故，解得 ，故答案为 ．点评：本题考查了椭圆的离心率，有助于提高学生分析问题的能力． 　13．（5 分） 考点：三角形中的几何计算．4664233 专题：计算题；压轴题． 分析：设 BC=x，根据面积公式用 x 和 sinB 表示出三角形的面积，再根据余弦定理用 x 表示出 sinB，代入三角形 的面积表达式，进而得到关于 x 的三角形面积表达式，再根据 x 的范围求得三角形面积的最大值． 解答： 解：设 BC=x，则 AC= x， 根据面积公式得 S△ABC= AB•BCsinB 9= ×2x ，根据余弦定理得 cosB= ==，代入上式得 S△ABC=x =，由三角形三边关系有 ，解得 2 ﹣2＜x＜2 +2． 故当 x=2 时，S△ABC 取得最大值 2 ．点评：本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和 定义域等问题． 　14．（5 分） 考点：利用导数求闭区间上函数的最值．4664233 专题：计算题；压轴题． 分析：这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类：①x=0，②x＞0，③x ＜0 等三种情形，当 x=0 时，不论 a 取何值，f（x）≥0 都成立；当 x＞0 时有 a≥ ，可构造函数 g（x）= ，然后利用导数求 g（x）的最大值，只需要使 a≥g（x）max，同理可得 x＜0 时的 a 的范围，从而可得 a 的值． 解答：解：若 x=0，则不论 a 取何值，f（x）≥0 都成立； 当 x＞0 即 x∈（0，1]时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0 可化为：a≥ 设 g（x）= ，则 g′（x）= ，所以 g（x）在区间（0， ]上单调递增，在区间[ ，1]上单调递减， 因此 g（x）max=g（ ）=4，从而 a≥4； 当 x＜0 即 x∈[﹣1，0）时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0 可化为：a≤ ，g（x）= 在区间[﹣1，0）上单调递增， 因此 g（x）min=g（﹣1）=4，从而 a≤4，综上 a=4． 答案为：4 点评：本题考查的是含参数不等式的恒成立问题，考查分类讨论，转化与化归的思想方法，利用导数和函数的单调性 求函数的最大值，最小值等知识与方法．在讨论时，容易漏掉 x=0 的情形，因此分类讨论时要特别注意该问题 的解答． 10 二、解答题（共 12 小题，满分 90 分） 15．（15 分） 考点：两角和与差的正切函数．4664233 分析： （1）先由已知条件得 ；再求 sinα、sinβ 进而求出 tanα、tanβ； 最后利用 tan（α+β）= 解之． （2）利用第一问把 tan（α+2β）转化为 tan[（α+β）+β]求之，再根据 α+2β 的范围确定角的值． 解答： 解：（1）由已知条件即三角函数的定义可知 ，因为 α 为锐角，则 sinα＞0，从而 同理可得 ，因此 ．所以 tan（α+β）= ；（2）tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]= ，又，故 ，所以由 tan（α+2β）=﹣1 得 ．点评：本题主要考查正切的和角公式与转化思想． 　16．（15 分） 考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．4664233 专题：证明题． 分析：（1）根据线面平行关系的判定定理，在面 ACD 内找一条直线和直线 EF 平行即可，根据中位线可知 EF∥AD， EF⊄面 ACD，AD⊂面 ACD，满足定理条件； （2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理 可知 BD⊥面 EFC，而 BD⊂面 BCD，满足定理所需条件． 解答：证明：（1）∵E，F 分别是 AB，BD 的中点． ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥AD， ∵EF⊄面 ACD，AD⊂面 ACD，∴直线 EF∥面 ACD； （2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD， ∵CB=CD，F 是 BD 的中点，∴CF⊥BD 又 EF∩CF=F，∴BD⊥面 EFC， ∵BD⊂面 BCD，∴面 EFC⊥面 BCD 点评：本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面 垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理 的掌握能力． 17．（15 分） 考点： 在实际问题中建立三角函数模型．4664233 11 分析： （1）（i）根据题意知 PQ 垂直平分 AB，在直角三角形中由三角函数的关系可推得 OP，从而得出 y 的函 数关系式，注意最后要化为最简形式，确定自变量范围．（ii）已知 OP，可得出 OQ 的表达式，由勾股定 理推出 OA，易得 y 的函数关系式． （2）欲确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题，（1）中已求出函数 关系式，故可以利用导数求解最值，注意结果应与实际情况相符合． 解答： 解：（Ⅰ）①由条件知 PQ 垂直平分 AB，若∠BAO=θ（rad）， 则，故 ，又 OP=10﹣10tanθ， 所以 ，所求函数关系式为 ②若 OP=x（km），则 OQ=10﹣x，所以 OA=OB= 所求函数关系式为 （Ⅱ）选择函数模型①， 令 y′=0 得 sin ，因为 时，y′＜0，y 是 θ 的减函数；当 ．这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离 AB 边 ，所以 θ= ，当时，y′＞0，y 是 θ 的增函数，所以 km 当 θ= 时， 处． 点评： 本小题主要考查函数最值的应用． ①生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握 求最值的方法和技巧． ②在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域， 利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时， 如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点． 18．（15 分） 考点：二次函数的图象；圆的标准方程．4664233 专题：计算题． 分析：（1）由题意知，由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即 b 不等于 0，然后抛物线与 x 轴有两 个交点即令 f（x）=0 的根的判别式大于 0 即可求出 b 的范围； （2）设出圆的一般式方程，根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知：令 y=0 得到与 f（x）=0 一样的方程； 令 x=0 得到方程有一个根是 b 即可求出圆的方程； 22（3）设圆的方程过定点（x0，y0），将其代入圆的方程得 x0 +y0 +2×0﹣y0+b（1﹣y0）=0，因为 x0，y0 不 22依赖于 b 得取值，所以得到 1﹣y0=0 即 y0=1，代入 x0 +y0 +2×0﹣y0=0 中即可求出定点的坐标． 解答：解：．（1）令 x=0，得抛物线与 y 轴交点是（0，b）； 令 f（x）=x2+2x+b=0，由题意 b≠0 且△＞0，解得 b＜1 且 b≠0． （2）设所求圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 令 y=0 得 x2+Dx+F=0 这与 x2+2x+b=0 是同一个方程，故 D=2，F=b． 令 x=0 得 y2+Ey+F=0，方程有一个根为 b，代入得出 E=﹣b﹣1． 所以圆 C 的方程为 x2+y2+2x﹣（b+1）y+b=0． 12 （3）圆 C 必过定点，证明如下： 假设圆 C 过定点（x0，y0）（x0，y0 不依赖于 b），将该点的坐标代入圆 C 的方程， 22并变形为 x0 +y0 +2×0﹣y0+b（1﹣y0）=0（*） 22为使（*）式对所有满足 b＜1（b≠0）的 b 都成立，必须有 1﹣y0=0，结合（*）式得 x0 +y0 +2×0﹣y0=0，解 得经检验知，（﹣2，1）均在圆 C 上，因此圆 C 过定点． 点评：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．是一道综合题． 19．（15 分） 考点：等差数列的性质；等比关系的确定；等比数列的性质．4664233 专题：探究型；分类讨论；反证法． 分析：（1）根据题意，对 n=4，n=5 时数列中各项的情况逐一讨论，利用反证法结合等差数列的性质进行论证，进 而推广到 n≥4 的所有情况． （2）利用反证法结合等差数列的性质进行论证即可． 解答： 解：（1）①当 n=4 时，a1，a2，a3，a4 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则 推出 d=0． 2若删去 a2，则 a3 =a1•a4，即（a1+2d）2=a1•（a1+3d）化简得 a1+4d=0，得 2若删去 a3，则 a2 =a1•a4，即（a1+d）2=a1•（a1+3d）化简得 a1﹣d=0，得 综上，得 或．②当 n=5 时，a1，a2，a3，a4，a5 中同样不可能删去 a1，a2，a4，a5，否则出现连续三项． 若删去 a3，则 a1•a5=a2•a4，即 a1（a1+4d）=（a1+d）•（a1+3d）化简得 3d2=0，因为 d≠0，所以 a3 不能删去； 当 n≥6 时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列 a1，a2，a3，…，an﹣2，an﹣1，an 中，由于不能删去首项 或末项， 若删去 a2，则必有 a1•an=a3•an﹣2，这与 d≠0 矛盾； 同样若删去 an﹣1 也有 a1•an=a3•an﹣2，这与 d≠0 矛盾； 若删去 a3，，an﹣2 中任意一个，则必有 a1•an=a2•an﹣1，这与 d≠0 矛盾．（或者说：当 n≥6 时，无论删去哪 一项，剩余的项中必有连续的三项） 综上所述，n=4． （2）假设对于某个正整数 n，存在一个公差为 d 的 n 项等差数列 b1，b2，bn，其中 bx+1，by+1，bz+1（0≤x＜y 2＜z≤n﹣1）为任意三项成等比数列，则 b2y+1=bx+1•bz+1，即（b1+yd）=（b1+xd）•（b1+zd），化简得（y2﹣xz ）d2=（x+z﹣2y）b1d（*） 由 b1d≠0 知，y2﹣xz 与 x+z﹣2y 同时为 0 或同时不为 0 当 y2﹣xz 与 x+z﹣2y 同时为 0 时，有 x=y=z 与题设矛盾． 故 y2﹣xz 与 x+z﹣2y 同时不为 0，所以由（*）得 因为 0≤x＜y＜z≤n﹣1，且 x、y、z 为整数，所以上式右边为有理数，从而 为有理数． 于是，对于任意的正整数 n（n≥4），只要 为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列． 例如 n 项数列 1， ，，， 满足要求． 13 点评：本题是一道探究性题目，考查了等差数列和等比数列的通项公式，以及学生的运算能力和推理论证能力． 20．（15 分） 考点：指数函数综合题．4664233 专题：计算题；压轴题；分类讨论． 分析： （1）根据题意，先证充分性：由 f（x）的定义可知，f（x）=f1（x）对所有实数成立，等价于 f1（x）≤f2（ x）对所有实数 x 成立等价于 ，即 对所有实数 x 对所有实数 x 均成立等价于 均成立，分析容易得证；再证必要性： ，即|p1﹣p2|≤log32， （2）分两种情形讨论：①当|p1﹣p2|≤log32 时，由中值定理及函数的单调性得到函数 f（x）在区间[a，b]上 的单调增区间的长度；②当|p1﹣p2|＞log32 时，a，b 是两个实数，满足 a＜b，且 p1，p2∈（a，b）．若 f（a ）=f（b），根据图象和函数的单调性得到函数 f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度． 解答： 解：（1）由 f（x）的定义可知，f（x）=f1（x）（对所有实数 x）等价于 f1（x）≤f2（x）（对所有实数 x） 这又等价于 ，即 对所有实数 x 均成立．（*） 由于|x﹣p1|﹣|x﹣p2|≤|（x﹣p1）﹣（x﹣p2）|=|p1﹣p2|（x∈R）的最大值为|p1﹣p2|， 故（*）等价于 ，即|p1﹣p2|≤log32，这就是所求的充分必要条件 （2）分两种情形讨论 （i）当|p1﹣p2|≤log32 时，由（1）知 f（x）=f1（x）（对所有实数 x∈[a，b]） 则由 f（a）=f（b）及 a＜p1＜b 易知 ，再由 的单调性可知， 函数 f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度 （参见示意图） 为（ii）|p1﹣p2|＞log32 时，不妨设 p1＜p2，，则 p2﹣p1＞log32，于是 当 x≤p1 时，有 ，从而 f（x）=f1（x）； 当 x≥p2 时，有 从而 f（x）=f2（x）；当 p1＜x＜p2 时， ，及 ，由方程 解得 f1（x）与 f2（x）图象交点的横坐标为 （1） 14 显然 ，这表明 x0 在 p1 与 p2 之间．由（1）易知 综上可知，在区间[a，b]上， （参见示意图） 故由函数 f1（x）及 f2（x）的单调性可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（x0﹣p1）+（b﹣p2 ），由于 f（a）=f（b），即 故由（1）、（2）得 ，得 p1+p2=a+b+log32（2） 综合（i）（ii）可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和为 ．点评：考查学生理解充分必要条件的证明方法，用数形结合的数学思想解决问题的能力，以及充分必要条件的证明 方法． 21．（2008•江苏） 考点：与圆有关的比例线段；二阶行列式与逆矩阵；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明．4664233 分析：根据已知 EA 是圆的切线，AC 为过切点 A 的弦得两个角相等，再结合角平分线条件，从而得到△EAD 是等腰 三角形，再根据切割线定理即可证得． 解答：证明：因为 EA 是圆的切线，AC 为过切点 A 的弦， 所以∠CAE=∠CBA． 又因为 AD 是 ÐBAC 的平分线，所以∠BAD=∠CAD 所以∠DAE=∠DAC+∠EAC=∠BAD+∠CBA=∠ADE 所以，△EAD 是等腰三角形，所以 EA=ED． 又 EA2=EC•EB， 所以 ED2=EB•EC． 点评：此题主要是运用了弦切角定理的切割线定理．注意：切线长的平方应是 EB 和 EC 的乘积． 22．（2008•江苏） 考点：圆的标准方程；矩阵变换的性质．4664233 专题：计算题． 分析： 由题意先设椭圆上任意一点 P（x0，y0），根据矩阵与变换的公式求出对应的点 P′（x0′，y0′），得到两点的关 系式，再由点 P 在椭圆上代入化简． 解答： 解：设 P（x0，y0）是椭圆上任意一点， 15 则点 P（x0，y0）在矩阵 A 对应的变换下变为点 P′（x0′，y0′） 则有 ，即 ，所以 22又因为点 P 在椭圆上，故 4×0 +y0 =1，从而（x0′）2+（y0′）2=1 所以，曲线 F 的方程是 x2+y2=1 点评：本题主要考查了矩阵与变换的运算，结合求轨迹方程得方法：代入法求解；是一个较综合的题目． 23．（2008•江苏） 考点：椭圆的参数方程．4664233 专题：计算题；转化思想． 分析：先根据椭圆的标准方程进行三角代换表示椭圆上任意一点，然后利用三角函数的辅助角公式进行化简，即 可求出所求． 解答： 解：因椭圆 的参数方程为 （ϕ 为参数） 故可设动点 P 的坐标为 ，其中 0≤ϕ＜2π． 因此 所以，当 时，S 取最大值 2． 点评：本题主要考查了椭圆的简单性质及参数方程的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力． 24．（2008•江苏） 考点：平均值不等式；不等式的证明．4664233 专题：证明题． 分析： 先根据平均值不等式证明 ，再证 ．解答： 证明：因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得 ，即，所以， ，而，所以， 点评： 本题考查平均值不等式的应用，n 个正数的算术平均数 大于或等于它们的几何平均数 ．　25．（2008•江苏） 考点：用空间向量求直线间的夹角、距离．4664233 专题：计算题；压轴题． 16 分析： 解答： 由题意易知∠APC 不可能为平角，则∠APC 为钝角等价于 ，即 ，再将 用关于 λ 的字母表示，根据向量数量积的坐标运算即可 为单位正交基底， 解：由题设可知，以 、、建立如图所示的空间直角坐标系 D﹣xyz， 则有 A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1） 由，得 ，所以 显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于 ，则等价于 即（1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（1﹣λ）+（λ﹣1）2=（λ﹣1）（3λ﹣1）＜0，得 因此，λ 的取值范围是 点评：本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于基础题． 　26．（2008•江苏）请先阅读： 考点：微积分基本定理；二项式定理；类比推理．4664233 专题：证明题；综合题；压轴题． 分析：（1）对二项式定理的展开式两边求导数，移项得到恒等式． （2）（i）对（1）中的 x 赋值﹣1，整理得到恒等式． （ii）对二项式的定理的两边对 x 求导数，再对得到的等式对 x 两边求导数，给 x 赋值﹣1 化简即得证． （iii）对二项式定理的两边求定积分；利用微积分基本定理求出两边的值，得到要证的等式． 解答： 012 2 n n 12证明：（1）在等式（1+x）n=Cn +Cn x+Cn x ++Cn x 两边对 x 求导得 n（1+x）n﹣1=Cn +2Cn x++（n﹣1） n n﹣1 Cnn﹣1xn﹣2+nCn x 移项得 （*） 17 （2）（i）在（*）式中，令 x=﹣1，整理得 所以 12（ii）由（1）知 n（1+x）n﹣1=Cn +2Cn x+…+（n﹣1）Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1，n≥3 23n n﹣2 两边对 x 求导，得 n（n﹣1）（1+x）n﹣2=2Cn +3•2Cn x+…+n（n﹣1）Cn x 在上式中，令 x=﹣1，得 0=2Cn +3•2Cn （﹣1）+…+n（n﹣1）Cn （﹣1）n﹣2 232即，亦即 （1） 又由（i）知 由（1）+（2）得 （2） 012 2 n n （iii）将等式（1+x）n=Cn +Cn x+Cn x +…+Cn x 两边在[0，1]上对 x 积分 由微积分基本定理，得 所以 点评：本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求系数和问题、考查微积分基本定理． 　18