2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷ⅰ）（含解析版）下载

2008 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）函数 A．{x|x≥0} 的定义域为（　　） B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1} 2．（5 分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数，其图象可能是（　　） A． B． D． C． 3．（5 分）在△ABC 中， = ， = ．若点 D 满足 =2 ，则 =（　　） A． 4．（5 分）设 a∈R，且（a+i）2i 为正实数，则 a=（　　） A．2 B．1 C．0 B． C． D． D．﹣1 5．（5 分）已知等差数列{an}满足 a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前 10 项的和 S10=（　　）A．138 B．135 C．95 D．23 6．（5 分）若函数 y=f（x）的图象与函数 y=ln 则 f（x）=（　　）的图象关于直线 y=x 对称， A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2 7．（5 分）已知曲线 y= 在点（3，2）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直，则 a 的值为（　　） A．2 B． C．﹣ D．﹣2 8．（5 分）为得到函数的图象，只需将函数 y=sin2x 的图象（　　）第 1 页（共 26 页） A．向左平移 C．向左平移个长度单位个长度单位 B．向右平移 D．向右平移个长度单位个长度单位 9．（5 分）设奇函数 f（x）在（0，+∞）上为增函数，且 f（1）=0，则不等式＜0 的解集为（　　） A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 10．（5 分）若直线 A．a2+b2≤1 =1 与圆 x2+y2=1 有公共点，则（　　） B．a2+b2≥1 C． D． 11．（5 分）已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面 ABC 内的射影为△ABC 的中心，则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于（　　） A． B． C． D． 12．（5 分）如图，一环形花坛分成 A，B，C，D 四块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块里种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为（　　） A．96 B．84 C．60 D．48 　二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）第 2 页（共 26 页） 13．（5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z=2x﹣y 的最大值为　　． 14．（5 分）已知抛物线 y=ax2﹣1 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为　　．．若以 A，B 为焦点的椭圆经过点 C 15．（5 分）在△ABC 中，AB=BC，，则该椭圆的离心率 e=　　． 16．（5 分）等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB，二面角 C﹣AB﹣D 的余弦值为，M，N 分别是 AC，BC 的中点，则 EM，AN 所成角的余弦值等于　　．　三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17．（10 分）设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且 acosB﹣bcosA= c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求 tan（A﹣B）的最大值． 18．（12 分）四棱锥 A﹣BCDE 中，底面 BCDE 为矩形，侧面 ABC⊥底面 BCDE，BC=2 ，，AB=AC．（Ⅰ）证明：AD⊥CE；（Ⅱ）设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45°，求二面角 C﹣AD﹣E 的大小．第 3 页（共 26 页） 19．（12 分）已知函数 f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）当 a=3 时，求函数 f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若 f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a 的取值范围． 20．（12 分）已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取 3 只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ 表示依方案乙所需化验次数，求 ξ 的期望．第 4 页（共 26 页） 21．（12 分）双曲线的中心为原点 O，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 l1，l2，经过右焦点 F 垂直于 l1 的直线分别交 l1，l2 于 A，B 两点．已知| |、| |、 ||成等差数列，且与同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程． 22．（12 分）设函数 f（x）=x﹣xlnx．数列{an}满足 0＜a1＜1，an+1=f（an）．（Ⅰ）证明：函数 f（x）在区间（0，1）是增函数；（Ⅱ）证明：an＜an+1＜1；（Ⅲ）设 b∈（a1，1），整数．证明：ak+1＞b．　第 5 页（共 26 页） 2008 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析　一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）函数 A．{x|x≥0} 的定义域为（　　） B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1} 【考点】33：函数的定义域及其求法．菁优网版权所有【分析】偶次开方的被开方数一定非负．x（x﹣1）≥0，x≥0，解关于 x 的不等式组，即为函数的定义域．【解答】解：由 x（x﹣1）≥0，得 x≥1，或 x≤0．又因为 x≥0，所以 x≥1，或 x=0；所以函数的定义域为{x|x≥1}∪{0} 故选：C．【点评】定义域是高考必考题通常以选择填空的形式出现，通常注意偶次开方一定非负，分式中分母不能为 0，对数函数的真数一定要大于 0，指数和对数的底数大于 0 且不等于 1．另外还要注意正切函数的定义域．　2．（5 分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数，其图象可能是（　　） A． B． D． C．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有第 6 页（共 26 页）【专题】16：压轴题；31：数形结合．【分析】由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数，我们可以根据实际分析函数值 S（路程）与自变量 t（时间）之间变化趋势，分析四个答案即可得到结论．【解答】解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段，路程随时间上升的速度越来越快，故图象的前边部分为凹升的形状；在汽车的匀速行驶阶段，路程随时间上升的速度保持不变故图象的中间部分为平升的形状；在汽车减速行驶之后停车阶段，路程随时间上升的速度越来越慢，故图象的前边部分为凸升的形状；分析四个答案中的图象，只有 A 答案满足要求，故选：A．【点评】从左向右看图象，如果图象是凸起上升的，表明相应的量增长速度越来越慢；如果图象是凹陷上升的，表明相应的量增长速度越来越快；如果图象是直线上升的，表明相应的量增长速度保持不变；如果图象是水平直线，表明相应的量保持不变，即不增长也不降低；如果图象是凸起下降的，表明相应的量降低速度越来越快；如果图象是凹陷下降的，表明相应的量降低速度越来越慢；如果图象是直线下降的，表明相应的量降低速度保持不变．　3．（5 分）在△ABC 中， = ， = ．若点 D 满足 =2 ，则 =（　　） A． B． C． D．【考点】9B：向量加减混合运算．菁优网版权所有【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以第 7 页（共 26 页）根据 D 点把 BC 分成一比二的两部分入手．【解答】解：∵由 ∴，，∴．故选：A．【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的　4．（5 分）设 a∈R，且（a+i）2i 为正实数，则 a=（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有【分析】注意到 a+bi（a，b∈R）为正实数的充要条件是 a＞0，b=0 【解答】解：（a+i）2i=（a2+2ai﹣1）i=﹣2a+（a2﹣1）i＞0，a=﹣1．故选 D．【点评】本题的计算中，要注意到相应变量的范围．　5．（5 分）已知等差数列{an}满足 a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前 10 项的和 S10=（　　）A．138 B．135 C．95 D．23 【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前 n 项和．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前 n 项和，根据 a2+a4=4，a3+a5=10 我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前 n 项和公式，即可求解．【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，第 8 页（共 26 页） ∴d=3，a1=﹣4， ∴S10=10a1+ =95．故选：C．【点评】在求一个数列的通项公式或前 n 项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式．　6．（5 分）若函数 y=f（x）的图象与函数 y=ln 的图象关于直线 y=x 对称，则 f（x）=（　　） A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2 【考点】4R：反函数．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】由函数 y=f（x）的图象与函数 y=ln 的图象关于直线 y=x 对称知这两个函数互为反函数，故只要求出函数 y=f（x）的反函数即可，欲求原函数的反函数，即从原函数 y=ln 中反解出 x，后再进行 x，y 互换，即得反函数的解析式． 2【解答】解：∵ ，∴ ，∴x=（ey﹣1）=e2y﹣2，改写为：y=e2x﹣2 ∴答案为 A．【点评】本题主要考查了互为反函数图象间的关系及反函数的求法．　7．（5 分）已知曲线 y= 在点（3，2）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直，则 a 的值为（　　） A．2 B． C．﹣ D．﹣2 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有第 9 页（共 26 页）【专题】53：导数的综合应用．【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到 a 的值．【解答】解：∵y= ，∴y′= =，∴曲线 y= ∵曲线 y= 在点（3，2）处的切线的斜率 k=﹣ ，在点（3，2）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直， ∴直线 ax+y+1=0 的斜率 k′=﹣a× 故选：D． =﹣1，即 a=﹣2．【点评】本题考查导数的几何意义的求法，考查导数的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与直线垂直的性质的灵活运用．　8．（5 分）为得到函数的图象，只需将函数 y=sin2x 的图象（　　） A．向左平移 C．向左平移个长度单位个长度单位 B．向右平移 D．向右平移个长度单位个长度单位【考点】HJ：函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．【解答】解：∵ ，只需将函数 y=sin2x 的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选：A．【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．　9．（5 分）设奇函数 f（x）在（0，+∞）上为增函数，且 f（1）=0，则不等式第 10 页（共 26 页）＜0 的解集为（　　） A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有【专题】16：压轴题．【分析】首先利用奇函数定义与得出 x 与 f（x）异号，然后由奇函数定义求出 f（﹣1）=﹣f（1）=0，最后结合 f（x）的单调性解出答案．【解答】解：由奇函数 f（x）可知，即 x 与 f（x）异号，而 f（1）=0，则 f（﹣1）=﹣f（1）=0，又 f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数 f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，当 0＜x＜1 时，f（x）＜f（1）=0，得当 x＞1 时，f（x）＞f（1）=0，得＜0，满足；＞0，不满足，舍去；当﹣1＜x＜0 时，f（x）＞f（﹣1）=0，得当 x＜﹣1 时，f（x）＜f（﹣1）=0，得＜0，满足；＞0，不满足，舍去；所以 x 的取值范围是﹣1＜x＜0 或 0＜x＜1．故选：D．【点评】本题综合考查奇函数定义与它的单调性．　10．（5 分）若直线 A．a2+b2≤1 =1 与圆 x2+y2=1 有公共点，则（　　） B．a2+b2≥1 C． D．第 11 页（共 26 页）【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径，可以得到结果．【解答】解：直线与圆有公共点，即直线与圆相切或相交得：d≤r ，∴ ，故选：D．【点评】本题考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，是基础题．　11．（5 分）已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面 ABC 内的射影为△ABC 的中心，则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于（　　） A． B． C． D．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；4R：转化法；5G：空间角．【分析】法一：由题意可知三棱锥 A1﹣ABC 为正四面体，设棱长为 2，求出 AB1 及三棱锥的高，由线面角的定义可求出答案；法二：先求出点 A1 到底面的距离 A1D 的长度，即知点 B1 到底面的距离 B1E 的长度，再求出 AE 的长度，在直角三角形 AEB1 中求 AB1 与底面 ABC 所成角的正切，再由同角三角函数的关系求出其正弦．【解答】解：（法一）因为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面 ABC 内的射影为△ABC 的中心，设为 D，所以三棱锥 A1﹣ABC 为正四面体，设棱长为 2，第 12 页（共 26 页）则△AA1B1 是顶角为 120°等腰三角形，所以 AB1=2×2×sin60°=2 ，A1D= =，所以 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值为 ==；（法二）由题意不妨令棱长为 2，点 B1 到底面的距离是 B1E，如图，A1 在底面 ABC 内的射影为△ABC 的中心，设为 D，故 DA= ，由勾股定理得 A1D= =故 B1E= ，如图作 A1S⊥AB 于中点 S，过 B1 作 AB 的垂线段，垂足为 F， BF=1，B1F=A1S= ，AF=3，在直角三角形 B1AF 中用勾股定理得：AB1=2 ，所以 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值 sin∠B1AE= 故选：B． =．【点评】本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义，还有点面距与线面距的转化，考查了转化思想和空间想象能力．　12．（5 分）如图，一环形花坛分成 A，B，C，D 四块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块里种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为（　　）第 13 页（共 26 页） A．96 B．84 C．60 D．48 【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．菁优网版权所有【专题】16：压轴题．【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些，只要分类清楚没有问题，分为三类：分别种两种花、三种花、四种花，分这三类来列出结果． 2【解答】解：分三类：种两种花有 A4 种种法； 3种三种花有 2A4 种种法； 4种四种花有 A4 种种法． 234共有 A4 +2A4 +A4 =84．故选：B．【点评】本题也可以这样解：按 A﹣B﹣C﹣D 顺序种花，可分 A、C 同色与不同色有 4×3×（1×3+2×2）=84．　二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．（5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z=2x﹣y 的最大值为　9　．【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有【专题】11：计算题；13：作图题．【分析】首先作出可行域，再作出直线 l0：y=2x，将 l0 平移与可行域有公共点，直线 y=2x﹣z 在 y 轴上的截距最小时，z 有最大值，求出此时直线 y=2x﹣z 经过的可行域内的点的坐标，代入 z=2x﹣y 中即可．【解答】解：如图，作出可行域，作出直线 l0：y=2x，将 l0 平移至过点 A 处时，函数 z=2x﹣y 有最大值 9．第 14 页（共 26 页）【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．　14．（5 分）已知抛物线 y=ax2﹣1 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为　2　．【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】先根据抛物线 y=ax2﹣1 的焦点坐标为坐标原点，求得 a，得到抛物线方程，进而可知与坐标轴的交点的坐标，进而可得答案．【解答】解：由抛物线 y=ax2﹣1 的焦点坐标为坐标原点得，，则与坐标轴的交点为（0，﹣1），（﹣2，0），（2，0），则以这三点围成的三角形的面积为故答案为 2 【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力．　15．（5 分）在△ABC 中，AB=BC，，则该椭圆的离心率 e=　．．若以 A，B 为焦点的椭圆经过点 C 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有第 15 页（共 26 页）【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设 AB=BC=1，，则，由此可，知，从而求出该椭圆的离心率．【解答】解：设 AB=BC=1，，则．∴，答案：．【点评】本题考查椭圆的性质及应用，解题时要注意的正确计算．　16．（5 分）等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB，二面角 C﹣AB﹣D 的余弦值为，M，N 分别是 AC，BC 的中点，则 EM，AN 所成角的余弦值等于　．【考点】LM：异面直线及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先找出二面角的平面角，建立边之间的等量关系，再利用向量法将所求异面直线用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可．【解答】解：设 AB=2，作 CO⊥面 ABDE， OH ⊥ AB ，则CH ⊥ AB ， ∠ CHO 为二面角C﹣AB﹣D 的平面角，结合等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则，=故 EM，AN 所成角的余弦值故答案为：第 16 页（共 26 页）【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．　三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17．（10 分）设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且 acosB﹣bcosA= c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求 tan（A﹣B）的最大值．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HP：正弦定理．菁优网版权所有【分析】本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，（Ⅰ）由正弦定理的边角互化，我们可将已知中到 sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求，进行转化得的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，结合角 A，B，C 为△ABC 的内角，我们易得 tanA=4tanB ＞0，则 tan（A﹣B）可化为，再结合基本不等式即可得到 tan（ A﹣B）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理得，即 sinAcosB=4cosAsinB，则；第 17 页（共 26 页）（Ⅱ）由得tanA=4tanB＞0 当且仅当故当时，等号成立，时， tan（A﹣B）的最大值为．【点评】在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式．　18．（12 分）四棱锥 A﹣BCDE 中，底面 BCDE 为矩形，侧面 ABC⊥底面 BCDE，BC=2 ，，AB=AC．（Ⅰ）证明：AD⊥CE；（Ⅱ）设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45°，求二面角 C﹣AD﹣E 的大小．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）取 BC 中点 F，证明 CE⊥面 ADF，通过证明线面垂直来达到证明线线垂直的目的．（2）在面 AED 内过点 E 作 AD 的垂线，垂足为 G，由（1）知，CE⊥AD，则∠CGE 即为所求二面角的平面角，△CGE 中，使用余弦定理求出此角的大小．【解答】解：（1）取 BC 中点 F，连接 DF 交 CE 于点 O， ∵AB=AC，∴AF⊥BC．又面 ABC⊥面 BCDE，∴AF⊥面 BCDE，∴AF⊥CE．第 18 页（共 26 页）再根据，可得∠CED=∠FDC．又∠CDE=90°，∴∠OED+∠ODE=90°， ∴∠DOE=90°，即 CE⊥DF，∴CE⊥面 ADF，∴CE⊥AD．（2）在面 ACD 内过 C 点作 AD 的垂线，垂足为 G． ∵CG⊥AD，CE⊥AD，∴AD⊥面 CEG，∴EG⊥AD，则∠CGE 即为所求二面角的平面角．作 CH⊥AB，H 为垂足． ∵平面 ABC⊥平面 BCDE，矩形 BCDE 中，BE⊥BC，故 BE⊥平面 ABC，CH⊂平面 ABC ，故 BE⊥CH，而 AB∩BE=B，故 CH⊥平面 ABE， ∴∠CEH=45°为 CE 与平面 ABE 所成的角． ∵CE= ，∴CH=EH= ．直角三角形CBH 中，利用勾股定理求得BH= AH=AB﹣BH=AC﹣1； ==1 ， ∴ 直角三角形 ACH 中，由勾股定理求得 AC2=CH2+AH2=3+（AC﹣1）2，∴AB=AC=2．由面 ABC⊥面 BCDE，矩形 BCDE 中 CD⊥CB，可得 CD⊥面 ABC，故△ACD 为直角三角形，AD= ==，故 CG= ==，DG= =，，又，则∴，，即二面角 C﹣AD﹣E 的大小．第 19 页（共 26 页）【点评】本题主要考查通过证明线面垂直来证明线线垂直的方法，以及求二面角的大小的方法，属于中档题．　19．（12 分）已知函数 f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）当 a=3 时，求函数 f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若 f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a 的取值范围．【考点】3D：函数的单调性及单调区间；3E：函数单调性的性质与判断．菁优网版权所有【专题】16：压轴题．【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于 0 即可．（2）已知 f（x）在区间（0，）上是减函数，即f′（x）≤0 在区间（0，）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．【解答】解：（Ⅰ）当 a=3 时，f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx ∴解 f′（x）＞0，即：2×2﹣3x+1＜0 函数 f（x）的单调递增区间是．（Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a﹣ ，第 20 页（共 26 页） ∵f（x）在 ∴x∈ 上为减函数，时﹣2x+a﹣ ≤0 恒成立．即 a≤2x+ 恒成立．设，则 ∵x∈ 时，＞4， ∴g′（x）＜0， ∴g（x）在上递减， ∴g（x）＞g（）=3， ∴a≤3．【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强．　20．（12 分）已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取 3 只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ 表示依方案乙所需化验次数，求 ξ 的期望．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有【分析】（1）由题意得到这两种方案的化验次数，算出在各个次数下的概率，写出化验次数的分布列，求出方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．第 21 页（共 26 页）（2）根据上一问乙的化验次数的分布列，利用期望计算公式得到结果．【解答】解：（Ⅰ）若乙验两次时，有两种可能： ①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为： ②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有，均可以在第二次结束），∴乙只用两次的概率为．若乙验三次时，只有一种可能：先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：（Ⅱ）ξ 表示依方案乙所需化验次数， ∴ξ 的期望为 Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫．同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．　21．（12 分）双曲线的中心为原点 O，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 l1，l2，经过右焦点 F 垂直于 l1 的直线分别交 l1，l2 于 A，B 两点．已知| |、| |、 ||成等差数列，且与同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程．第 22 页（共 26 页）【考点】KB：双曲线的标准方程；KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（1）由 2 个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的 2 个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．（2）利用第（1）的结论，设出双曲线的方程，将 AB 方程代入，运用根与系数的关系及弦长公式，求出待定系数，即可求出双曲线方程．【解答】解：（1）设双曲线方程为 ∴渐近线的倾斜角范围为（0，）， ∴渐近线斜率为：，由，同向，，∴ ．∵| |、| |、| |成等差数列，∴|OB|+|OA|=2|AB|， ∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）•2|AB|， ∴，∴，可得：，而在直角三角形 OAB 中，注意到三角形 OAF 也为直角三角形，即 tan∠AOB= ，而由对称性可知：OA 的斜率为 k=tan ，∴∴，∴2k2+3k﹣2=0，∴ ；，∴ ，∴ ．（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为 ﹣=1，∴c= b．由于 AB 的倾斜角为 + ∠AOB，故 AB 的斜率为 tan（ + ∠AOB ）=﹣cot（第 23 页（共 26 页） ∠AOB）=﹣2， ∴AB 的直线方程为 y=﹣2（x﹣ b），代入双曲线方程得：15×2﹣32 bx+84b2=0 ，∴x1+x2= ∴，x1•x2= •，4= =•，即16= ﹣112b2， ∴b2=9，所求双曲线方程为： ﹣=1．【点评】做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据，联想到对应的是 2 渐近线的夹角的正切值，属于中档题．　22．（12 分）设函数 f（x）=x﹣xlnx．数列{an}满足 0＜a1＜1，an+1=f（an）．（Ⅰ）证明：函数 f（x）在区间（0，1）是增函数；（Ⅱ）证明：an＜an+1＜1；（Ⅲ）设 b∈（a1，1），整数．证明：ak+1＞b．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；RG：数学归纳法．菁优网版权所有【专题】16：压轴题．【分析】（1）首先求出函数的导数，然后令 f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数在区间（0，1）上的单调性，从而进行证明．（2）由题意数列{an}满足 0＜a1＜1，an+1=f（an），求出 an+1=an﹣anlnan，然后利用归纳法进行证明；（3）由题意 f（x）=x﹣xlnx，an+1=f（an）可得 ak+1=ak﹣b﹣ak，然后进行讨论求解．第 24 页（共 26 页）【解答】解：（Ⅰ）证明：∵f（x）=x﹣xlnx， ∴f′（x）=﹣lnx，当 x∈（0，1）时，f′（x）=﹣lnx＞0 故函数 f（x）在区间（0，1）上是增函数；（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当 n=1 时，0＜a1＜1，a1lna1＜0， a2=f（a1）=a1﹣a1lna1＞a1， ∵函数 f（x）在区间（0，1）是增函数且函数 f（x）在 x=1 处连续， ∴f（x）在区间（0，1]是增函数， a2=f（a1）=a1﹣a1lna1＜1，即 a1＜a2＜1 成立，（ⅱ）假设当 x=k（k∈N+）时，ak＜ak+1＜1 成立，即 0＜a1≤ak＜ak+1＜1，那么当 n=k+1 时，由 f（x）在区间（0，1]是增函数，0＜a1≤ak＜ak+1＜1，得 f（ak）＜f（ak+1）＜f（1），而 an+1=f（an），则 ak+1=f（ak），ak+2=f（ak+1），ak+1＜ak+2＜1，也就是说当 n=k+1 时，an＜an+1＜1 也成立，根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数 n，an＜an+1＜1 恒成立．（Ⅲ）证明：由 f（x）=x﹣xlnx，an+1=f（an）可得 ak+1=ak﹣aklnak= ，1）若存在某 i≤k，满足 ai≤b，则由（Ⅱ）知：ak+1﹣b＞ai﹣b≥0， 2 ）若对任意i ≤ k ，都有ai ＞ b ，则ak+1=ak﹣aklnak= =≥a1﹣b1﹣ka1lnb=0，即 ak+1＞b 成立．第 25 页（共 26 页）【点评】此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识及数学归纳法的应用，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题．第 26 页（共 26 页）