绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 学（文史类） 数本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1至 2页，第Ⅱ卷 3至 5页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条 形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试 卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共 8小题，每小题 5分共 40分。 参考公式： P A B P A P B ·如果事件 A，B 互斥，那么 .V Sh Sh，其中 表示圆柱的底面面积， 表示圆柱的高 ·圆柱的体积公式 ·棱锥的体积公式 1V Sh S，其中 表示棱锥的底面面积， 表示棱锥的高 h3一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 A 1,1,2,3,5 C {x R |1„ x 3} C. {-1，2，3} (AC) B B 2,3,4 1.设集合 A. {2} ，，，则 B. {2，3} D. {1，2，3，4} x, y z 4x y 的最大值为 2.设变量 满足约束条件 ，则目标函数 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 x 1 1 的”3.设 ，则“ ”是“ x R 0 x 5 第 1 页 共 25 页 A. 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为 SA. 5 B. 8 C. 24 D. 29 0.2 c 0.3 a log 7b log 8 ，a,b,c 的大小关系为 5.已知 ，，则 23c b a A. C. B. a b c c a b D. b c a x2 y2 26.已知抛物线 的焦点为 ，准线为.若与双曲线 l的两条渐近线分别交于 y 4x F1(a 0,b 0) a2 b2 | AB | 4 | OF | 点 A和点 B，且 （为原点），则双曲线的离心率为 OA. 2B. C. 2 D. 35y f x f (x) Asin(x )(A 0, 0,| | ) f x 7.已知函数 是奇函数，且 的最小正周期为 ，将 4 g x g 2 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 .若 ， 第 2 页 共 25 页 3 8f则A. -2 B. C. D. 2 2 22 x, 0„ x„ 1, 1xf (x) 的方程 f (x) x a (a R) 8.已知函数 若关于 恰有两个互异的实数解，则 14,x 1. xa的取值范围为 5 9 5 9 5 9 5 9 ,,,{1} ,{1} A. B. C. D. 4 4 4 4 4 4 4 4 绝密★启用前 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共 12小题，共 110分。 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分。 5i 1 i i9. 是虚数单位，则 的值为__________. 2x成立的 的取值范围为__________. 10. 设 ，使不等式 x R 3x x 2 0 x0,1 处的切线方程为__________. y cos x 11. 曲线 在点 212.已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧 52棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. (x 1)(2y 1) y 0 x 2y 4 ，13. 设 ，，则 的最小值为__________. x 0 xy AD∥BC 14. 在四边形 中， ，，，，点 在线段 E的延长线上， ABCD AD 5 A 30 CB AB 2 3 且，则 __________. AE BE BD AE 三.解答题：本大题共 6小题，共 80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息 72,108,120 或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有 人，现采用分层抽 第 3 页 共 25 页 样的方法，从该单位上述员工中抽取 人调查专项附加扣除的享受情况. 25 （Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ A, B,C, D, E, F 的（Ⅱ）抽取 25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6人，分别记为 .享受情况如 右表，其中“ ”表示享受，“×”表示不享受.现从这 6人中随机抽取 2人接受采访. 员工 ABCDEF项目 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 ○××○×○○××○×○×○××○×○×○××××○×○××○○×○×○（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设 为事件“抽取的 2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 发生的概率. MMA，B ，C a,b,c .已知 16. 在 中，内角 所对的边分别为 ，.VABC 3csin B 4asinC b c 2a （Ⅰ）求 cos B 的值； 6sin 2B （Ⅱ）求 的值. 17. 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为等边三角形，平面 平面 P ABCD CD 2 ABCD △ PCD PAC PCD ，PA CD ，，AD 3 ，第 4 页 共 25 页 G ，H PB ，AC 的中点，求证： （Ⅰ）设 分别为 平面 ；GH∥ PAD （Ⅱ）求证： （Ⅲ）求直线 平面 PCD ；PA 与平面 所成角的正弦值. PAC bAD aa b 3 b a ，b 4a 3 018. 设 是等差数列， 是等比数列，公比大于 ，已知 ，.nn112332ab（Ⅰ）求 和 的通项公式； nn1, n为奇数, cc a c a c a c n N* （Ⅱ）设数列 满足 求.nn11222n 2n bn n为偶数, 2×2 y2 19. 设椭圆 点）. 的左焦点为 ，左顶点为 ，顶点为B.已知 F（为原 1(a b 0) OA3 | OA| 2 | OB | a2 b2 （Ⅰ）求椭圆的离心率； 3x（Ⅱ）设经过点 且斜率为 的直线与椭圆在 轴上方的交点为 x，圆 同时与轴和直线 相切，圆心 lPClF4x 4 在直线 上，且 ，求椭圆的方程. COC∥ AP 20. 设函数 x ，其中 .f (x) ln x a(x 1)e a R f x a 0 （Ⅰ）若 （Ⅱ）若 ，讨论 的单调性； 10 a ，ef x （i）证明 恰有两个零点 xf x xf x x x 3x x 2 （ii）设 为 的极值点， 1 为 的零点，且 0 ，证明 .101第 5 页 共 25 页 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 A 1,1,2,3,5 C {x R |1„ x 3} C. {-1，2，3} (AC) B B 2,3,4 1.设集合 ，，，则 A. {2} B. {2，3} D. {1，2，3，4} 【答案】D 【解析】 【分析】 (AC) B 先求 ，再求 。A B AC {1,2} 【详解】因为 ，(AC) B {1,2,3,4} 所以 .故选 D。 【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即 借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算． x, y z 4x y 2.设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】 画出可行域，用截距模型求最值。 【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。 yy 4x z 目标函数的几何意义是直线 在轴上的截距， 故目标函数在点 处取得最大值。 Ax y 2 0, x 1 A(1,1) 由，得 ，z 4(1) 1 5 所以 。max 故选 C。 第 6 页 共 25 页 【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次 确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等， 最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求． x 1 1 3.设 ，则“ ”是“ ”的 x R 0 x 5 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 x 1 1 求出 的解集，根据两解集的包含关系确定. x 1 1 x 1 1 【详解】 等价于0 x 2，故 推不出 ；0 x 5 x 1 1 由能推出 。0 x 5 | x 1|1 故“ ”是“ ”的必要不充分条件。 0 x 5 故选 B。 【点睛】充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据 p⇒q，q⇒p 进行判断； (2)集合法：根据由 p，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个 第 7 页 共 25 页 方法特别适合以否定形式给出的问题． 4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为 SA. 5 B. 8 C. 24 D. 29 【答案】B 【解析】 【分析】 根据程序框图，逐步写出运算结果。 1S 1,i 2 S 8,i 4 【详解】 j 1, S 1 22 5,i 3 ，结束循环，故输出 8 。 故选 B。 【点睛】解决此类型问题时要注意：①要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执 行循环体；②要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；③ 要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体． 0.2 c 0.3 a log 7b log 8 ，a,b,c 5.已知 ，，则 的大小关系为 B. 23c b a A. a b c 第 8 页 共 25 页 c a b D. C. b c a 【答案】A 【解析】 【分析】 0,1,2 利用利用 【详解】 等中间值区分各个数值的大小。 0.2 0；c 0.3 0.3 1 log 7 log 4 2 ；221 log 8 log 9 2 。33c b a 故。故选 A。 【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与 的大小区别对待。 1×2 y2 26.已知抛物线 的焦点为 ，准线为.若与双曲线 l的两条渐近线分别交于 y 4x F1(a 0,b 0) a2 b2 | AB | 4 | OF | 点 A和点 B，且 （为原点），则双曲线的离心率为 OA. 2B. C. 2 D. 35【答案】D 【解析】 【分析】 AB 4 OF a,b,c 用只需把 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。 by x 【详解】 的方程为 l，双曲线的渐近线方程为 ，x 1 abbA(1, ),B(1, ) 故得 所以 ，aa2b 2b AB 4 ，，，b 2a aaca2 b2 a所以 。e 5 a故选 D。 第 9 页 共 25 页 2×2 y2 cb 【点睛】双曲线 的离心率 .1(a0,b0) e 1 a2 b2 aa y f x f (x) Asin(x )(A 0, 0,| | ) f x 7.已知函数 是奇函数，且 的最小正周期为 ，将 4 g x g 2 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 .若 ， 3 8f则A. -2 B. C. D. 2 2 2【答案】C 【解析】 【分析】 A,, 只需根据函数性质逐步得出 值即可。 f (x) f (0) Asin 0 【详解】 为奇函数，可知 ， 0 由可得 ；1g(x) Asin x 把其图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍，得 2，2g(x) 由的最小正周期为 可得 ，2 2 4g( ) 2 由，可得 ，A 2 3 f ( ) 2sin 3 4f (x) 2sin 2x 2 所以 ，。8故选 C。 2 x, 0„ x„ 1, 1x若关于 的方程 f (x) f (x) x a (a R) 8.已知函数 恰有两个互异的实数解，则 14,x 1. xa的取值范围为 5 9 ,5 9 5 9 5 9 ,,{1} ,{1} A. B. C. D. 4 4 4 4 4 4 4 4 第 10 页 共 25 页 【答案】D 【解析】 【分析】 1f x y x a 画出 图象及直线 ，借助图象分析。 41y x a 【详解】如图，当直线 B位于 点及其上方且位于 点及其下方， A411y x a y 或者直线 与曲线 相切在第一象限时符合要求。 4×1591 a 2 a 即，即 ，4441×2 11121 y 2 a a 1 ，得 ， 或者 ，得 x 2 ，，即 4245 9 ,a所以 的取值范围是 1 。4 9 故选 D。 【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此 法。 绝密★启用前 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共 12小题，共 110分。 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分。 5i 1 i i9. 是虚数单位，则 的值为__________. 【答案】 13 第 11 页 共 25 页 【解析】 【分析】 先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。 5i (5i)(1i) 2 3i 13 【详解】解法一： 。1 i (1 i)(1i) 5i 1 i 5i 1 i 26 13 解法二： 。2【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 a＋bi(a，b∈R)的形式， 再根据题意求解． 2x成立的 的取值范围为__________. 10. 设 ，使不等式 x R 3x x 2 0 2(1, ) 【答案】 3【解析】 【分析】 通过因式分解，解不等式。 2【详解】 ，3x x 2 0 (x 1)(3x 2) 0 即即，21 x ，32x(1, ) 故的取值范围是 。3【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二 次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正， 对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合． x0,1 处的切线方程为__________. y cos x 11. 曲线 在点 2x 2y 2 0 【答案】 【解析】 【分析】 利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程。 第 12 页 共 25 页 12y’ sin x 【详解】 ，1当时其值为 ，x 0 21x 2y 2 0 y 1 x 故所求的切线方程为 【点睛】曲线切线方程的求法： ，即 。2(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数 f(x)的导数 f′(x)； ②求切线的斜率 f′(x0)； ③写出切线方程 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简． y f (x ) 00y y (2)如果已知点(x ，y )不在曲线上，则设出切点(x ，y )，解方程组 得切点(x0，y0)，进而 110010 f ‘(x0 ) x1 x0 确定切线方程． 12.已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧 52棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. 4【答案】 .【解析】 【分析】 根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。 【详解】四棱锥的高为 ，51 2 12故圆柱的高为 ，圆柱的底面半径为 1，214 故其体积为 。 1 2 【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。 (x 1)(2y 1) y 0 x 2y 4 ，13. 设 ，，则 的最小值为__________. x 0 xy 第 13 页 共 25 页 【答案】 .4 3 【解析】 【分析】 2xy 6 把分子展开化为 ，再利用基本不等式求最值。 2 2xy6 (x 1)(2y 1) 2xy x 2y 1 2xy 6 4 3 【详解】 ，xy xy xy xy xy 3 x 3, y 1 等号当且仅当 ，即 时成立。 故所求的最小值为 。4 3 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。 AD∥BC 14. 在四边形 中， ，，，，点 在线段 E的延长线上， ABCD AD 5 A 30 CB AB 2 3 且，则 __________. AE BE BD AE 【答案】 【解析】 【分析】 .1 可利用向量的线性运算，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。 【详解】详解：解法一：如图，过点 B作的平行线交 于，FAE AD 因为 因为 ，故四边形 为菱形。 AE BE AEBF 2BAD 30 AF AD ，，所以 ，即 .AF 2 AB 2 3 5 2AE FB AB AF AB AD 因为 所以 ，5 2 2 27273.BDAE (AD AB)(AB AD) ABAD AB AD 2 35 12 10 1 55552第 14 页 共 25 页 5 3 5 解法二：建立如图所示的直角坐标系，则 ，。B(2 3,0) D( , ) 22BAD 30 因为 因为 ∥BC ，，所以 ，CBE 30 AD BAE 30 ，所以 ，AE BE 33所以直线 的斜率为 ，其方程为 ，BE y (x 2 3) 3333直线 的斜率为 ，其方程为 。AE y x333y (x 2 3), 3y 1 由得，，x 3 3y x3所以 所以 。E( 3,1) 3 5 。BDAE ( ,)( 3,1) 1 2 2 第 15 页 共 25 页 【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为 方便。 三.解答题：本大题共 6小题，共 80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息 72,108,120 或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有 人，现采用分层抽 样的方法，从该单位上述员工中抽取 人调查专项附加扣除的享受情况. 25 （Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ A, B,C, D, E, F （Ⅱ）抽取的 25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6人，分别记为 .享受情况如 右表，其中“ ”表示享受，“×”表示不享受.现从这 6人中随机抽取 2人接受采访. 员工 ABCDEF项目 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 ○××○×○○××○×○×○××○×○×○××××○×○××○○×○×○（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设 为事件“抽取的 2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 发生的概率. MMI69【答案】（ ）人， 人，人； 10 11 II iii （ ）（）见解析；（ ） .15 【解析】 【分析】 I（ ）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等 第 16 页 共 25 页 的，结合样本容量求得结果； II I6（ ）（）根据 人中随机抽取 人，将所有的结果一一列出； 2ii （ ）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率 .I【详解】（ ）由已知，老、中、青员工人数之比为 ，6:9:10 25 由于采取分层抽样的方法从中抽取 位员工， 6因此应从老、中、青员工中分别抽取 人，人， 910 .人II i6（ ）（）从已知的 人中随机抽取 人的所有可能结果为 2A, B , A,C , A, D , A, E , A, F B,C , B, D , B, E , B, F C, D , C, E , C, F ,,, D, E , D, F , E, F ,15 种； 共A, B , A, D , A, E , A, F B, D , B, E , B, F ,ii （ ）由表格知，符合题意的所有可能结果为 , C, E , C, F D, F , E, F ,,11 共种， 11 15 M所以，时间 发生的概率 P(M ) .【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公 .式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力 A，B ，C a,b,c .已知 16. 在 中，内角 所对的边分别为 ，.VABC 3csin B 4asinC b c 2a （Ⅰ）求 cos B 的值； 6sin 2B 的值. （Ⅱ）求 1【答案】(Ⅰ) ；43 5 7 (Ⅱ) .16 【解析】 【分析】 a,b,c (Ⅰ)由题意结合正弦定理得到 (Ⅱ)利用二倍角公式首先求得 的比例关系，然后利用余弦定理可得 的值 cos B sin 2B,cos2B 的值，然后利用两角和的正弦公式可得 的值. a 2 第 17 页 共 25 页 bc【详解】(Ⅰ)在 中，由正弦定理 得，VABC bsinC csin B sin B sinC 又由 ，得 ，即3b 4a 3bsinC 4asinC .3csin B 4asinC 42b a c a ，又因为 ，得到 .b c 2a 33416 a2 a2 a2 a2 c2 b2 2ac 1499 由余弦定理可得 .cos B 22a a 315 2(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 ，sin B 1 cos B 47815 cos2B cos2 B sin2 B 从而 ，.sin 2B 2sin Bcos B 866615 837 1 8 2 3 5 7 故sin 2B sin 2Bcos cos2Bsin .216 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正 弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力. 17. 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为等边三角形，平面 平面 P ABCD ABCD △ PCD PAC PCD ，PA CD ，CD 2 ，AD 3 ，G ，H PB ，AC 的中点，求证： （Ⅰ）设 分别为 平面 ；GH∥ PAD （Ⅱ）求证： （Ⅲ）求直线 平面 PCD； PA 与平面 所成角的正弦值. PAC AD 3III III 【答案】（ ）见解析；（）见解析；（ ） .3【解析】 第 18 页 共 25 页 【分析】 GH PD I（ ）连接 ，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到 ，利用线面平行的判定 BD 定理证得结果； II （ ）取棱 DN 的中点 N，连接 ，依题意，得 DN PC ，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得 DN PA，利用线面垂直的判定定理证得结果； III PC 到（ ）利用线面角的平面角的定义得到DAN 为直线 与平面 所成的角，放在直角三角形中求得 PAC AD .结果 【详解】（ ）证明：连接 I，易知 ，，AC BD H BD BH DH GH PD 又由 ，故 ，BG PG GH 又因为 平面 ，PAD PD 平面 ，PAD .所以 平面 GH∥ PAD II （ ）证明：取棱 DN PAC PAC 的中点 N，连接 ，依题意，得 DN PC ，PC 又因为平面 PAC 平面 PCD，平面 平面 ，PCD PC 所以 DN 平面 ，又 平面 ，故 DN PA ，PAC PA CD DN D 又已知 ，，PA CD .平面 PCD 所以 PA III （ ）解：连接 II ，由（ ）中DN 平面 ，AN PAC .可知 DAN 为直线 与平面 所成的角 PAC AD 因为 PCD 为等边三角形，CD 2 且N为的中点， PC 所以 ，又 ，DN AN DN 3 DN AD 33在RtAND 中， sin DAN ，第 19 页 共 25 页 3.所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 PAC AD 3【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基 .础知识，考查空间想象能力和推理能力 aba b 3 b a ，b 4a 3 018. 设 是等差数列， 是等比数列，公比大于 ，已知 ，.nn112332ab（Ⅰ）求 和 的通项公式； nn1, n为奇数, cc a c a c a c n N* （Ⅱ）设数列 满足 求.nn11222n 2n bn n为偶数, 2I【答案】（ ） b 3n a 3n ，；nn(2n 1)3n2 6n2 9 (n N ) II （ ） 2【解析】 【分析】 d 3 q 3 I（ ）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得 ，进而求得等差数 列和等比数列的通项公式； ca c a c a c II （ ）根据题中所给的 n 所满足的条件，将 2n 表示出来，之后应用分组求和法，结合 11222n .等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果 qabI【详解】（ ）解：设等差数列 的公差为 d，等比数列 的公比为 ，nn3q 3 2d d 3 q 3 依题意，得 ，解得 ，3q2 15 4d b 33n1 3n a 3 3(n 1) 3n 故，，nnb 3n aa 3n b所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 ；nnnna c a c a c II （ ） 11222n 2n 第 20 页 共 25 页 (a1 a3 a5 a2n1) (a2b a4b2 a6b3 a2nbn ) 1n(n 1) [n3 6] (631 1232 1833 6n3n ) 2 3n2 6(131 232 n3n ) ，Tn 131 232 n3n ①记3Tn 132 233 n3n1 ②则3(13n ) 13 (2n 1)3n1 3 ， n3n1 ①2T 332 33 3n n3n1 ②得， n2(2n 1)3n1 3 22所以 a1c1 a2c2 a2nc2n 3n 6Tn 3n 3 2(2n 1)3n2 6n2 9 .(n N ) 2n【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前 项和公式等基础知识，考查数列求和的基本 .方法和运算求解能力，属于中档题目 x2 y2 19. 设椭圆 点）. 的左焦点为 ，左顶点为 ，顶点为B.已知 F（为原 1(a b 0) OA3 | OA| 2 | OB | a2 b2 （Ⅰ）求椭圆的离心率； 3x（Ⅱ）设经过点 且斜率为 的直线与椭圆在 轴上方的交点为 x，圆 同时与轴和直线 相切，圆心 lPClF4x 4 在直线 上，且 ，求椭圆的方程. COC∥ AP c【答案】（ ）首先设椭圆的半焦距为，根据题意得到 a,b,c I，结合椭圆中 的关系，得到 3a 2b c1232 ，化简得出 ，从而求得其离心率； a2 ( a)2 c a2x2 y2 II I（ ）结合（）的结论，设出椭圆的方程 ，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐 1 4c2 3c2 .标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得 c 2，从而得到椭圆的方程 【解析】 第 21 页 共 25 页 【分析】 1I（ ） ；2×2 y2 II （ ） .1 16 12 c【详解】（ ）解：设椭圆的半焦距为，由已知有 I，3a 2b c13a b c a)2 c 2 ，解得 ，222a ( 2 ，消去 得又由 ba221.所以，椭圆的离心率为 2×2 y2 II I（ ）解：由（）知， ，故椭圆方程为 ，1 a 2c,b 3c 4c2 3c2 3F(c,0) y (x c) 由题意， ，则直线 的方程为 l，42xy2 1 24c 3c2 22y，消去 并化简，得到 点P的坐标满足 ，7x 6cx 13c 0 3y (x c) 413c ，7x c, x 解得 1239y c, y c，代入到 的方程，解得 l12214 3xP(c, c) ，因为点 P在轴的上方，所以 2C(4,t) x 4 由圆心在直线 上，可设 ，因为 ，OC∥ AP 3cA(2c,0) tI且由（ ）知 ，故 ，解得t 2 ，24c 2c x2轴相切，所以圆的半径为 ， 因为圆 与C3(4 c) 2 4 2 又由圆 与相切，得 l，解得 c 2 ，C31 ( )2 4×2 y2 .1 所以椭圆的方程为： 16 12 第 22 页 共 25 页 【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆 .锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力 20. 设函数 x ，其中 .f (x) ln x a(x 1)e a R f x a 0 （Ⅰ）若 （Ⅱ）若 ，讨论 的单调性； 10 a ，ef x （i）证明 恰有两个零点 xf x xf x x x 3x x 2 的（ii）设 为 极值点， 1 为 的零点，且 0 ，证明 .101f (x) (0,) .内单调递增 ； I【答案】（ ） 在II iii .（ ）（）见解析；（ ）见解析 【解析】 【分析】 I（ ）；首先写出函数的定义域，对函数求导，判断导数在对应区间上的符号，从而得到结果； II i（ ）（）对函数求导，确定函数的单调性，求得极值的符号，从而确定出函数的零点个数，得到结果； ii （ ）首先根据题意，列出方程组，借助于中介函数，证得结果 .f (x) (0,) ，的I【详解】（ ）解：由已知， 定义域为 11 ax2ex f ‘(x) [aex a(x 1)ex ] 且，xx2xf ‘(x) 0 a 0 因此当 所以 时， ，从而 ，1 ax e 0 f (x) (0,) .在内单调递增 1 ax2ex II iI（ ）证明：（）由（ ）知， ，f ‘(x) x1g(x) 1 ax2ex ，由 ，可知 内单调递减， g(x) (0,) 在0 a 令e1111g(ln )1 a(ln )2 1 (ln )2 0 g(1) 1 ae 0 又，且 ，aaaag(x) 0 (0,) 在故内有唯一解， f ‘(x) 0 (0,) 在x，0从而 内有唯一解，不妨设为 第 23 页 共 25 页 1g(x) g(x0 ) x(0, x ) 1 x ln f ‘(x) 0 则，当 时， ，00axxf (x) (0, x ) 内单调递增； 0所以 在g(x) g(x0 ) x(x ,) f ‘(x) 0 当时， ，0xxf (x) (x ,) 所以 在内单调递减， 0f (x) x因此 0 是 .的唯一极值点 1h(x) ln x x 1 h(x) (1,) 在h'(x) 1 0 令，则当 时， ，故 内单调递减， x 1 xh(x) h(1) 0 从而当 时， ，所以 ，x 1 ln x x 1 1111111a从而 ，f (ln ) ln ln a(ln 1)eln ln ln ln 1 h(ln ) 0 aaaa aaaf (x) f (x ) f (1) 0 (x ,) 又因为 ，所以 在内有唯一零点， 00f (x) f (x) (0, x ) (0,) 1内有唯一零点 ，从而， .又在在内恰有两个零点 02×0 1 f ‘(x ) 0 ax0 e 0ii （ ）由题意， ，即 ，ln x1 a(x1 1)ex1 f (x1) 0 2×1 1 x0 x0 ln x1 ln x ex1 x0 ，即 ex1 x0 从而 ，12×1 1 2×0 (x1 1) 2x x 1 ex1 x0 x0 以内当 时， ，又 ，故 ，x 1 ln x x 1 10×1 1 ln ex1 x0 ln x0 2两边取对数，得 ，x x 2ln x 2(x 1) 3x x 2 于是 ，整理得 ，100001【点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函 .数思想、化归与转化思想，考查综合分析问题和解决问题的能力 第 24 页 共 25 页 第 25 页 共 25 页
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