绝密★启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷 时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第 I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案标号。 2．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么 P(A B) P(A) P(B) 如果事件 A，B 相互独立，那么 P(AB) P(A)P(B) ..棱柱的体积公式V Sh ，其中 S h 表示棱柱的底面面积， 表示棱柱的高. 1棱锥的体积公式V Sh ，其中 S h 表示棱锥的底面面积， 表示棱锥的高. 3一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. A (CR B) (1)设全集为 R，集合 A {x 0 x 2} (A) {x 0 x 1} ，B {x x 1}，则 (B) {x 0 x 1} (D) {x 0 x 2} (C) {x 1 x 2} x y 5, 2x y 4, x y 1, y 0, (2)设变量 x，y 满足约束条件 则目标函数 z 3x 5y 的最大值为 第 1 页 共 22 页 第 1 页 共 22 页 (A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45 (3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 20，则输出 T 的值为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 11(4)设 xR ，则“| x | ”是“ x3 1”的 22(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 1(5)已知 a log2 e (A) a b c ，b ln 2 ，c log1 ，则 a，b，c 的大小关系为 32(B) b a c (C) c b a (D) c a b 510 (6)将函数 y sin(2x )的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数 3 5 3 4(A)在区间 [,]上单调递增 (B)在区间 [,]上单调递减 44第 2 页 共 22 页 第 2 页 共 22 页 5 3 3 2(C)在区间 [,]上单调递增 (D)在区间 [,2]上单调递减 42×2 y2 (7)已知双曲线 1(a 0, b 0) 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B a2 b2 两点. 设 A，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 1 和 2 ，且 d1 d2 6 ，则双曲线的方程为 d d x2 y2 x2 y2 (A) 1 (B) (D) 1 1 412 12 4×2 y2 x2 y2 (C) 1 3993(8)如图，在平面四边形 ABCD 中， AB BC ，AD CD ，BAD 120 ，AB AD 1. 若点 E 为边 AE BE CD 上的动点，则 的最小值为 21 (A) 325 (C) (B) (D) 316 216 第Ⅱ卷 注意事项： 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2. 本卷共 12 小题，共 110 分。 二. 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 6 7i 1 2i (9) i 是虚数单位，复数 .1(10) 在 (x )5 的展开式中， x2 的系数为 .2 x 第 3 页 共 22 页 第 3 页 共 22 页 (11) 已知正方体 ABCD A B C1D1 的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点 E，F， 11G，H，M(如图)，则四棱锥 M EFGH 的体积为 .2x 1 y 3 t, 2(12)已知圆 x2 y2 2x 0的圆心为 C，直线 (t为参数)与该圆相交于 A，B 两点，则△ABC 2t2的面积为 .1(13)已知 a , bR ，且 a 3b 6 0，则 2a 的最小值为 .8b 2x 2ax a, x 0, x2 2ax 2a, x 0. (14)已知 a 0 ，函数 f (x) 的取值范围是 若关于 x的方程 f (x) ax恰有 2 个互异的实数解， 则a.三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分 13 分） 6在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知bsin A acos(B ) .（I）求角 B 的大小; （II）设 a=2，c=3，求 b 和sin(2A B) 的值. (16)(本小题满分 13 分) 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人， 进行睡眠时间的调查. （I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ 第 4 页 共 22 页 第 4 页 共 22 页 （II）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检 查. （i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望； （ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 A 发生 的概率. (17)(本小题满分 13 分) 如 图 ，AD∥BC 且 AD=2BC ， AD CD DG 平面ABCD ，DA=DC=DG=2. ,EG∥AD 且 EG=AD ， CD∥FG 且 CD=2FG ， （I）若 M 为 CF 的中点，N 为 EG 的中点，求证： MN∥平面CDE （II）求二面角 E BC F 的正弦值； ；（III）若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60°，求线段 DP 的长. (18)(本小题满分 13 分) {an}是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Sn (nN ) 设，{bn}是等差数列. 已知 a1 1 ，a3 a2 2 （I）求{an} （II）设数列{Sn}的前 n 项和为Tn (nN ) ，a4 b3 b5 ，a5 b4 2b6 .和{bn}的通项公式； ，（i）求Tn （ii）证明 ；(Tk bk2 )bk 2n2 n 2(nN ) .k1 (k 1)(k 2) n 2 (19)(本小题满分 14 分) 第 5 页 共 22 页 第 5 页 共 22 页 x2 x2 5设椭圆 1(a>b>0)的左焦点为 F，上顶点为 B. 已知椭圆的离心率为 ，点 A 的坐标为 a2 b2 3(b,0) ，且 FB AB 6 2 （I）求椭圆的方程； .（II）设直线 l： y kx(k 0) 与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q. AQ PQ 5 2 4若sin AOQ(O 为原点) ，求 k 的值. (20)(本小题满分 14 分) 已知函数 f (x) ax ，g(x) loga x ，其中 a>1. （I）求函数 h(x) f (x) xln a 的单调区间； （II）若曲线 y f (x) 在点 (x1, f (x1)) 处的切线与曲线 y g(x) 在点 (x2 , g(x2 )) 处的切线平行，证明 2ln ln a x1 g(x2 ) ；ln a 1（III）证明当 a ee 时，存在直线 l，使 l 是曲线 y f (x) 的切线，也是曲线 y g(x) 的切线. 第 6 页 共 22 页 第 6 页 共 22 页 参考答案： 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 40 分． （1）B （5）D （2）C （6）A （3）B （7）C （4）A （8）A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 30 分． 521（9）4–i （10） （11） 12 1（12） 214(4，8) （14） （13） 三、解答题 （15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式， 以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分 13 分． abπ（Ⅰ）解：在△ABC 中，由正弦定理 ，可得 bsin A asin B ，又由 bsin A acos(B ) ，sin A sin B 6πππ得asin B acos(B ) ，即sin B cos(B ) ，可得 tan B 3 ．又因为 B(0，π) ，可得 B= ．663π（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及 a=2，c=3，B= ，有b2 a2 c2 2accos B 7 ，故 b= 7．33724 3 π由bsin A acos(B ) ，可得sin A ．因为 a<c，故 cos A ．因此sin 2A 2sin Acos A ，6771cos2A 2cos2 A 1 ． 74 3 7121733 3 14 所以，sin(2A B) sin 2Acos B cos2Asin B ．2（16）本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础 知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分 13 分．学.科网 （Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽 取 7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人． （Ⅱ）（i）解：随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3． C4k C33k P（X=k）= （k=0，1，2，3）． C37 所以，随机变量 X 的分布列为 第 7 页 共 22 页 第 7 页 共 22 页 XP0123112 35 18 35 435 35 112 18 35 412 7E(X ) 0 1 2 3 随机变量 X 的数学期望 ．35 35 35 （ii）解：设事件 B 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人”；事件 C 为 “抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”，则 A=B∪C，且 B 与 C 互斥， 6由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故 P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)= ．76所以，事件 A 发生的概率为 ．7（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决 立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分 13 分． 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直 DC DG 依题意，可以建立以 D 为原点，分别以 ，，DA 角坐标系（如图），可得 D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0， 32），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0， ，1），N（1，0，2）． 2 （Ⅰ）证明：依题意 =（0，2，0）， =（2，0，2）．设 n0=(x，y，z)为平面 CDE 的法向量，则 DC DE n DC 0， 2y 0， 30 即不妨令 z=–1，可得 n =（1，0，–1）．又 =（1， ，1），可得 MN 02x 2z 0， 2n DE 0， 0 MN 平面 CDE，所以 MN∥平面 CDE． MN n0 0 ，又因为直线 =（0，–1，2）． （Ⅱ）解：依题意，可得 =（–1，0，0）， BE (1， 2，2) ，BC CF n BC 0， x 0， 设 n=（x，y，z）为平面 BCE 的法向量，则 1，1）． 即不妨令 z=1，可得 n=（0， x 2y 2z 0， n BE 0， 第 8 页 共 22 页 第 8 页 共 22 页 m BC 0， x 0， 设 m=（x，y，z）为平面 BCF 的法向量，则 2，1）． 即不妨令 z=1，可得 m=（0， y 2z 0， m BF 0， m n | m || n | 3 10 10 10 因此有 cos<m，n>= ，于是 sin<m，n>= ．10 10 所以，二面角 E–BC–F 的正弦值为 ．10 （ Ⅲ ） 解 ： 设 线 段DP 的 长 为h （ h ∈ ［ 0 ， 2 ］ ） ， 则 点P 的 坐 标 为 （ 0 ， 0 ， h ） ， 可 得 BP (1， 2，h) ． 易知， =（0，2，0）为平面 ADGE 的一个法向量，故 DC BP DC 2cos BP DC ，h2 5 BP DC 233由题意，可得 =sin60°= ，解得 h= ∈［0，2］． h2 5 233.3所以线段 的长为 DP （18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前 n 项和公式等基础知识.考查等差数 列求和的基本方法和运算求解能力.满分 13 分. （I）解：设等比数列{an}的公比为 q.由 a1 1,a3 a2 2, 可得 q2 q 2 0 因为 q 0 ，可得 q 2 ，故 an 2n1 设等差数列{bn}的公差为 d，由 a4 b3 b5 ，可得b 3d 4. ..由a5 b4 2b6 ，1可得3b 13d 16, 从而b 1,d 1, 故bn n. 所以数列{an}的通项公式为 an 2n1 ，数列{bn}的通项公式为bn n. 1 2n 11（II）（i）由（I），有 Sn 2n 1，故 1 2 2(1 2n ) nnT (2k 1) 2k n n 2n1 n 2 .n1 2 k1 k1 （ii）证明：因为 第 9 页 共 22 页 第 9 页 共 22 页 (Tk +bk+2 )bk (2k1 k 2 k 2)k k 2k1 2k2 2k1 ，(k 1)(k 2) (k 1)(k 2) (k 1)(k 2) k 2 k 1 (Tk bk2 )bk 23 22 24 23 2n2 2n1 2n2 n所以， ( ) ( ) ( ) 2 .k1 (k 1)(k 2) 3243n 2 n 1 n 2 （19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线 的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分 14 分． c2 a2 59，又由 a2=b2+c2 ，可得 2a=3b．由已知可得， （Ⅰ）解：设椭圆的焦距为 2c，由已知知 FB a AB 2b FB AB 6 2 ，可得 ab=6，从而 a=3，b=2． ，，由 x2 y2 1 ．所以，椭圆的方程为 94（ Ⅱ ） 解 ： 设 点P 的 坐 标 为 （ x1 ， y1 ） ， 点Q 的 坐 标 为 （ x2 ， y2 ） ． 由 已 知 有y1>y2>0 ， 故 y2 πPQ sinAOQ y1 y AQ AQ 2y 2 ． 由 2 ． 又 因 为 ， 而 ∠ OAB= ， 故 sinOAB 4AQ PQ 5 2 4sinAOQ ，可得 5y1=9y2． y kx， 6k 9k2 4 2y2 y 由方程组 消去 x，可得 ．易知直线 AB 的方程为 x+y–2=0，由方程组 1x1， 94y kx， x y 2 0， 2k 2y2 消 去x ， 可 得 ． 由5y1=9y2 ， 可 得5 （ k+1 ） = ， 两 边 平 方 ， 整 理 得 3 9k 4 k 1 1211 28 2k k ，解得 ，或 ．56k 50k 11 0 1所以，k 的值为 211 或．28 （20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知 识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分 14 分. x（I）解：由已知， h(x) ax xln a ，有 h (x) a ln a ln a .令h (x) 0 ，解得 x=0. 由 a>1，可知当 x 变化时， h (x) ，h(x) 的变化情况如下表： 第 10 页 共 22 页 第 10 页 共 22 页 x00(,0) (0,) +h (x) 极小值 h(x) 所以函数 h(x) 的单调递减区间 (,0)，单调递增区间为 (0,) .xx1 （II）证明：由 f (x) a ln a ，可得曲线 y f (x) 在点 (x1, f (x1)) 处的切线斜率为 a ln a .11由g (x) ，可得曲线 y g(x) 在点 (x2 , g(x2 )) 处的切线斜率为 .xln a x2 ln a 1因为这两条切线平行，故有 ax1 ln a ，即 x2ax1 (ln a)2 1 .x2 ln a 2ln ln a 两边取以 a 为底的对数，得 loga x2 x1 2log2 ln a 0 ，所以 x1 g(x2 ) .ln a （III）证明：曲线 y f (x) 在点 (x1,ax1 )处的切线 l1： y ax1 ax1 ln a(x x1) .1曲线 y g(x) 在点 (x2 ,loga x2 ) 处的切线 l2： y loga x2 (x x2 ) .x2 ln a 1要证明当 a ee 时，存在直线 l，使 l 是曲线 y f (x) 的切线，也是曲线 y g(x) 的切线，只需证明 1当a ee 时，存在 x1 (,) ，x2 (0,) ，使得 l1 和 l2 重合.学*科网 1ax1 ln a ①1x2 ln a 即只需证明当 a ee 时，方程组 有解， 1×1 x1 a x1a ln a loga x2 ②ln a 112ln ln a ln a 由①得 x2 ，代入②，得 ax1 x1ax1 ln a x1 0 .③ax1 (ln a)2 ln a 1因此，只需证明当 a ee 时，关于 x1 的方程③有实数解. 112ln ln a ln a 设函数u(x) ax xax ln a x ，即要证明当 a ee 时，函数 y u(x)存在零点. ln a 2u (x) 1 (ln a) xax ，可知 x(,0) 时，u (x) 0 ；x(0,) 时，u (x) 单调递减，又 第 11 页 共 22 页 第 11 页 共 22 页 121，u1 a(lna) 0 ，故存在唯一的 x0，且 x0>0，使得u (x0 ) 0，即 u (0) 1 0 (ln a)2 1 (ln a)2 x0ax0 0 .由此可得u(x) 在(, x0 ) 上单调递增，在 (x0 ,) 上单调递减. u(x) 在x x0 处取得极大值u(x0 ) .1因为 a ee ，故 ln(ln a) 1 ，12ln ln a ln a 12ln ln a 2 2ln ln a 所以u(x0 ) ax0 x0ax0 ln a x0 下面证明存在实数 t，使得u(t) 0 x0 0 .ln a x0 (ln a)2 ln a ln a .由（I）可得 ax 1 xln a ，1当有x 时， ln a 12ln ln a ln a 12ln ln a ln a u(x) (1 xln a)(1 xln a) x (ln a)2 x2 x 1 ，ln a ln a 所以存在实数 t，使得u(t) 0 1因此，当 a ee 时，存在 x1 (,) ，使得u(x1) 0 .1所以，当 a ee 时，存在直线 l，使 l 是曲线 y f (x) 的切线，也是曲线 y g(x) 的切线. 选择填空解析 一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集为 R，集合 ，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由题意首先求得 ，然后进行交集运算即可求得最终结果. 第 12 页 共 22 页 第 12 页 共 22 页 详解：由题意可得： 结合交集的定义可得： 本题选择 B 选项. ，.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2. 设变量 x，y 满足约束条件 则目标函数 的最大值为 A. 6 B. 19 C. 21 D. 45 【答案】C 【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解 最大值即可. 详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值， 联立直线方程： ，可得点 A 的坐标为： ，据此可知目标函数的最大值为： .本题选择 C 选项. 点睛：求线性目标函数 z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当 b＞0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最 大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b＜0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上 截距最小时，z 值最大. 第 13 页 共 22 页 第 13 页 共 22 页 3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 20，则输出 T 的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解：结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据： ，结果为整数，执行 ，，，此时不满足 ；；，结果不为整数，执行 ，结果为整数，执行 ，此时不满足 ，，此时满足 ；跳出循环，输出 本题选择 B 选项. .点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 第 14 页 共 22 页 第 14 页 共 22 页 4. 设 ，则“ ”是“ ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不重复条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系. 详解：绝对值不等式 ，由.据此可知 本题选择 A 选项. 是的充分而不必要条件. 点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计 算求解能力. 5. 已知 ，，，则 a，b，c 的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知： ，，，据此可得： 本题选择 D 选项. .点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数 不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时， 若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指 数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 6. 将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数 第 15 页 共 22 页 第 15 页 共 22 页 A. 在区间 上单调递增 上单调递增 B. 在区间 D. 在区间 上单调递减 上单调递减 C. 在区间 【答案】A 【解析】分析：由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 详解：由函数图象平移变换的性质可知： 将的图象向右平移 个单位长度之后的解析式为： .则函数的单调递增区间满足： ，即令，可得一个单调递增区间为： ..函数的单调递减区间满足： ，即令，可得一个单调递减区间为： 本题选择 A 选项. 点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力 和计算求解能力. 7. 已知双曲线 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点. 设 A，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由题意首先求得 A,B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得 b 的值，之后求解 a 的值即 可确定双曲线方程. 详解：设双曲线的右焦点坐标为 （c>0），则 ，第 16 页 共 22 页 第 16 页 共 22 页 由可得： ，不妨设： ，双曲线的一条渐近线方程为： 据此可得： ，，，则，则 ，双曲线的离心率： ，据此可得： ，则双曲线的方程为 .本题选择 C 选项. 点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准 方程的形式，然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程 ，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为 ，再由条件求出 λ 的值即可. . 若点 E 为边 CD 上的 8. 如图，在平面四边形 ABCD 中， ，，，动点，则 的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函 数的性质整理计算即可求得最终结果. 第 17 页 共 22 页 第 17 页 共 22 页 详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，，，，点 在上，则 ，设 ，，则： ，即 据此可得： ，且： ，，由数量积的坐标运算法则可得： 整理可得： ，，结合二次函数的性质可知，当 时， 取得最小值 .本题选择 A 选项. 点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体 应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学(理工类) 第Ⅱ卷 第 18 页 共 22 页 第 18 页 共 22 页 注意事项： 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2. 本卷共 12 小题，共 110 分。 二. 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9. i 是虚数单位，复数 【答案】4–i ___________. 【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由复数的运算法则得： 点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. .10. 在 的展开式中， 的系数为____________. 【答案】 【解析】分析：由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到 r 的值，然后求解 的系数即可. 详解：结合二项式定理的通项公式有： ，令可得： ，则 的系数为： .点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项 )和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n，r 均为非负整数， 且 n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 11. 已知正方体 的棱长为 1，除面 外，该正方体其余各面的中心分别为点 E，F，G， H，M(如图)，则四棱锥 的体积为__________. 第 19 页 共 22 页 第 19 页 共 22 页 【答案】 【解析】分析：由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积. 详解：由题意可得，底面四边形 为边长为 的正方形，其面积 ，顶点 到底面四边形 的距离为 ，由四棱锥的体积公式可得： .点睛：本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12. 已知圆 的圆心为 C，直线 (为参数)与该圆相交于 A，B 两点，则 的面积 为___________. 【答案】 【解析】分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积 即可. 详解：由题意可得圆的标准方程为： 直线的直角坐标方程为： ，，即 ，，则圆心到直线的距离： 由弦长公式可得： ，则.点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含 有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 13. 已知 ，且 ，则 的最小值为_____________. 【答案】 【解析】分析：由题意首先求得 a-3b 的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意 等号成立的条件. 详解：由 可知 ，第 20 页 共 22 页 第 20 页 共 22 页 且： ，因为对于任意 x， 恒成立， 结合均值不等式的结论可得： .当且仅当 综上可得 ，即 时等号成立. 的最小值为 . 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定—— 积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 14. 已知 ，函数 若关于 的方程 恰有 2 个互异的实数解，则的取值范 围是______________. 【答案】 【解析】分析：由题意分类讨论 和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果. 详解：分类讨论：当 整理可得： 时，方程 即，，很明显 不是方程的实数解，则 ，当时，方程 即，整理可得： ，很明显 令不是方程的实数解，则 ，，其中 ，原问题等价于函数 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数 同时绘制函数 的图象如图所示，考查临界条件， 结合 观察可得，实数的取值范围是 与函数 有两个不同的交点，求的取值范围. 的图象， .第 21 页 共 22 页 第 21 页 共 22 页 点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括： (1)直接求零点：令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)＜0，还必须结合函 数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同 的值，就有几个不同的零点． 第 22 页 共 22 页 第 22 页 共 22 页
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