绝密★启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 12 560 小题，每小题 分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 一、选择题：本题共 要求的。 1 2i 1 2i 1．453 i 5453 i 535453545iiABCDD．．．．．A x，y x2 y2≤3，xZ，y Z 23．已知集合 A，则 中元素的个数为 A．9B．8C 5 ．4ex ex f x ．函数 的图像大致为 x2 a．已知向量 ， 满足 | a | 1 a (2a b) ba b 1 ，则 45，A．4B．3C2DD0．．．x2 y2 1(a 0, b 0) ．双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为 3a2 b2 23A．B．C．y 2x y 3x y xy x22C5BC 1 AC 5 ， ，则AB 6．在 中， cos ，△ABC 25第 1 页 共 17 页 ABCD．．．．4 2 S 1 30 129 2 5 1213141开始 N 0,T 0 i 1 … 7．为计算 ，设计了右侧的程序框图， 99 100 则在空白框中应填入 i i 1 i i 2 i i 3 i i 4 A．．．是否BCi 100 1N N S N T 输出S 结束 D．i1T T i 1 892．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 的偶 30 7 23 30 数可以表示为两个素数的和”，如 30 ．在不超过 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等 于的概率是 1111A．B．CD．．12 14 15 18 ABCD A B C D AD DB 1 与 1 所成角的余弦值为 AB BC 1 ．在长方体 1 中， ，AA 3 ，则异面直线 11 1 11552A．B．CD．．5652a是减函数，则 的最大值是 f (x) cos x sin x [a, a] 在10 11 ．若 ππ3π πAB．C．D．．424f (x) (, ) f (1 x) f (1 x) f (1) 2 ．若 ，则 ．已知 是定义域为 的奇函数，满足 f (1) f (2) f (3) … f (50) 50 A．B．0C2D50 ．．x2 y2 FF2 是椭圆 12 C： 1(a b 0) 的左，右焦点， C．已知 ，A是P A 的左顶点，点 在过 且斜率 1a2 b2 3△PF F F F P 120 ，则 的离心率为 C为的直线上， 2 为等腰三角形， 11 2 621．2131BCD．．A．34二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 y 2ln(x 1) (0, 0) 处的切线方程为 13 ．曲线 __________ ．在点 第 2 页 共 17 页 x 2y 5 0， x 2y 3 0， x 5 0， x, y z x y 的最大值为__________． 14．若 满足约束条件 则sinα cos β 1 cosα sin β 0 sin(α β) __________ 15 16 ．已知 ．已知圆锥的顶点为 ，母线 面积为 ，则该圆锥的侧面积为 ，，则 ．7SSA SB SA 45° ，所成角的余弦值为 ，与圆锥底面所成角为 ，若 的△SAB 8__________ ．5 15 70 17 21 ～ 题为必考题，每个试题考 三、解答题：共 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 22 23 生都必须作答。第 、为选考题，考生根据要求作答。 60 （一）必考题：共 分。 17 12 ．（ 分） nS{a } a 7 S 15 的前 项和，已知， ． 记n 为等差数列 n13{a } 1（ ）求 的通项公式； nSS（ ）求n ，并求 n 的最小值． 218 12 ．（ 分） y2000 2016 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图． 下图是某地区 年至 yt2000 年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量的两个线性回归模型．根据 2018 为了预测该地区 2016 ˆy 30.4 13.5t ）建立模型①： ；根据 t1，2，… ，17 2010 年年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 1，2，… ，7 ˆy 99 17.5t ．t至年的数据（时间变量 的值依次为 2018 ）建立模型②： 年的环境基础设施投资额的预测值； 1（ ）分别利用这两个模型，求该地区 2*（ ）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．学科 网 19 12 ．（ 分） 第 3 页 共 17 页 C：y2 4x lC的直线 与交于 k(k 0) | AB | 8 ．设抛物线 的焦点为 F，过 F且斜率为 A，B两点， l（ ）求 的方程； 1C且与 的准线相切的圆的方程． 2（ ）求过点 12 A，B20 ．（ 分） P ABC PA PB PC AC 4 OAC 为 的中点． 如图，在三棱锥 PO 中， ，，AB BC 2 2 ABC ；1（ ）证明： 平面 BC M PA C 30 为PC ，求 与平面PAM 所成角的正弦值． 2（ ）若点 M在棱 上，且二面角 POACMB21 12 ．（ 分） f (x) ex ax2 已知函数 ．f (x) 1 a 1 x 0 时， 1（ ）若 ，证明：当 ；a只有一个零点，求 ． f (x) (0, ) 在2（ ）若 10 22 23 、（二）选考题：共 分。请考生在第 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22 [44． 选修－ ：坐标系与参数方程（ 分） ]10 x 2cosθ ， xOy C中，曲线 的参数方程为 θl（ 为参数），直线的参数方程为 在直角坐标系 y 4sinθ x 1 t cosα ， t（ 为参数）． y 2 t sinα Cl（ ）求和 的直角坐标方程； 1(1, 2) Cl（ ）若曲线截直线 所得线段的中点坐标为 l，求 的斜率． 223 [45． 选修－ ：不等式选讲（ 分） ]10 f (x) 5 | x a | | x 2| 设函数 ．f (x) 0 a 1 1（ ）当 时，求不等式 的解集； a，求 的取值范围． f (x) 1 2（ ）若 第 4 页 共 17 页 :参考答案 一、选择题 1.D 7.B 2.A 8.C 3.B 9.C 4.B 5.A 6.A 10.A 11.C 12.D 二、填空题 1213. y 2x 14.9 15. 16. 40 2π 三、解答题 17. (12 分) 解：（1）设{an}的公差为 d，由题意得3a1 3d 15 a1 7 得 d=2. 所以{an}的通项公式为 an 2n 9 （2）由（1）得 Sn n2 8n (n 4)2 16 所以当 n=4 时, n 取得最小值,最小值为−16. 18.(12 分) 解：（1）利用模型①,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 .由..Sˆy 30.4 13.519 226.1(亿元). 利用模型②,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 ˆy 99 17.59 256.5(亿元). （2）利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下： （ⅰ）从折线图可以看出,2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y 30.4 13.5t 上下.这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化 第 5 页 共 17 页 趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一 条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用 2010 年至 ˆ2016 年的数据建立的线性模型 y 99 17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变 化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.学.科网 （ⅱ）从计算结果看,相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元,由模型①得到的预测值 226.1 亿 元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠. 以上给出了 2 种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 19.(12 分) 解：（1）由题意得 F(1,0) ，l 的方程为 y k(x 1)(k 0) .设由A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，y k(x 1), y2 4x 得k2 x2 (2k2 4)x k2 0 2k2 4 . 16k2 16 0 ，故 x1 x2 .k2 4k2 4 所以| AB || AF | | BF | (x1 1) (x2 1) 4k2 4 .k2 由题设知 8，解得 k 1（舍去）， k 1. k2 因此 l 的方程为 y x 1 （2 ）由（1 ）得 AB 的中点坐标为 (3,2) ，所以 AB 的垂直平分线方程为 y 2 (x 3)，即 y x 5 设所求圆的圆心坐标为 (x0 , y0 ) ，则 ..y x 5, 00x 3, x 11, 00(y0 x0 1)2 解得 或(x 1)2 16. y0 2 y0 6. 02因此所求圆的方程为 (x 3)2 (y 2)2 16 20.(12 分) 或(x 11)2 (y 6)2 144 第 6 页 共 17 页 .解：（1）因为 AP CP AC 4 ，O为AC 的中点，所以OP AC ，且OP 2 3 .2连结OB .因为 AB BC AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形， 21且OB AC OP2 OB2 PB2 OP OB,OP AC ，OB AC 2 .2由由知PO OB .知PO 平面 ABC .uuur （2）如图，以 O为坐标原点，OB 的方向为 x轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz . uuur 由已知得 O(0,0,0), B(2,0,0), A(0,2,0),C(0,2,0), P(0,0,2 3),AP (0,2,2 3),取平面 PAC 的法 uuur 向量OB (2,0,0) .uuur M (a,2 a,0)(0 a 2) ，则 AM (a,4 a,0) 设.设平面 PAM 的法向量为 n (x, y, z) .uuur uuur 2y 2 3z 0 由APn 0, AM n 0 得，可取 n ( 3(a 4), 3a,a) ，ax (4 a)y 0 uuur uuur 2 3(a 4) 2 3(a 4)2 3a2 a2 3所以 cos OB,n .由已知得| cosOB,n | .22 3| a 4| 2 3(a 4)2 3a2 a2 34所以 =.解得 a 4 （舍去）， a .23uuur uuur 8 3 4 3 43所以 n ( ,, ).又 PC (0,2,2 3)，所以 cos PC,n .3334第 7 页 共 17 页 3所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 .421 12 ．（ 分） 等价于 (x2 1)ex 1 0 ．f (x) 1 1【解析】（ ）当 时， a 1 设函数 g(x) (x2 1)ex 1，则 g'(x) (x2 2x 1)ex (x 1)2 ex ．g'(x) 0 g(x) (0,) 在当而时， ，所以 时， 单调递减． x 1 g(0) 0 g(x) 0 f (x) 1 ，故当 ，即 ．x 0 （ ）设函数h(x) 1 ax2ex f (x) (0,) ．2h(x) (0,) 在在只有一个零点当且仅当 只有一个零点． h(x) 0 h(x) ，i（ ）当 时， 没有零点； a 0 时， h'(x) ax(x 2)ex ．ii （ ）当 a 0 x(0,2) h'(x) 0 x(2,) h'(x) 0 当时， ；当 时， ．h(x) (0,2) 在(2,) 所以 单调递减，在 单调递增． 4a h(x) [0,) 在h(2) 1 h(2) 0 &的最小值．学 科网 故是e2 e2 h(x) (0,) 在①若 ②若 ③若 ，即 ，即 ，即 ，，没有零点； a a a 4e2 4h(2) 0 h(2) 0 h(x) (0,) 在只有一个零点； e2 4h(0) 1 h(x) (0,2) 在 有一个零点， ，由于 ，所以 16a3 e4a 16a3 (e2a )2 16a3 (2a)4 1×21由（ ）知，当 h(4a) 1 1 1 1 0 时， ，所以 ．x 0 e x ah(x) (2,4a) 在h(x) (0,) 在故有一个零点，因此 有两个零点． e2 f (x) (0,) 在综上， 只有一个零点时， ．a 4第 8 页 共 17 页 22 [ ． 选修 4-4 ]：坐标系与参数方程 （分） 10 x2 y2 1【解析】（ ）曲线的直角坐标方程为 ．C1 416 y tan x 2 tan 当当时， 的直角坐标方程为 l，cos 0 cos 0 时， 的直角坐标方程为 l．x 1 t（ ）将 的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于 的方程 2lC(1 3cos2 )t2 4(2cos sin)t 8 0 ．① (1,2) tt内，所以①有两个解，设为 ，2 ，则 t t 0 因为曲线 截直线所得线段的中点 l在．CC1124(2cos sin) 1 3cos2 t t 又由①得 ，故 ，于是直线 的斜率 l．2cos sin 0 k tan 2 1223 [ ． 选修 4-5 ]：不等式选讲 （分） 10 2x 4, x 1, f (x) 2,1 x 2, 1【解析】（ ）当 时， a 1 2x 6, x 2. f (x) 0 {x | 2 x 3} 可得 的解集为 ．f (x) 1 | x a | | x 2 | 4 2（ ） 等价于 ．| x a | | x 2 || a 2 | | a 2 | 4 f (x) 1 | a 2 | 4 而由，且当 时等号成立．故 等价于 ．x 2 a，所以 的取值范围是 (,6][2,) 可得 或a 6 a 2 ．选择填空解析： 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 第 9 页 共 17 页 详解： 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合 ，则 中元素的个数为 选 D. A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 详解： 当，时， 时， 时， ；当；当；所以共有 9个，选 A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别. 3. 函数 的图像大致为 A. A 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. B. B C. C D. D 详解： 为奇函数，舍去 A, 舍去 D; ，所以舍去 C；因此选 B. 第 10 页 共 17 页 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数 的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象 的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量， 满足 A. 4 B. 3 C. 2 【答案】B ，，则 D. 0 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为 所以选 B. 点睛：向量加减乘： 5. 双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：根据离心率得 a,c关系，进而得 a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解： 因为渐近线方程为 ，所以渐近线方程为 ，选 A. 点睛：已知双曲线方程 求渐近线方程： .6. 在 中， B. ，，，则 A. C. D. 【答案】A 【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求 cosC,再根据余弦定理求 AB. 详解：因为 所以 ，选 A. 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角 第 11 页 共 17 页 之间的关系，从而达到解决问题的目的. 7. 为计算 ，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项. 详解：由 中应填入 得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框 ，选 B. 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择 结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明 确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 8. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的 偶数可以表示为两个素数的和”，如 于 30 的概率是 ．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等 第 12 页 共 17 页 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：先确定不超过 30的素数，再确定两个不同的数的和等于 30的取法，最后根据古典概型概 率公式求概率. 详解：不超过 30的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10个，随机选取两个不同的数，共 有种方法，因为 ，所以随机选取两个不同的数，其和等于 30的有 3种 方法，故概率为 ，选C. 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事 件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基 本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件 较多且元素数目较多的题目. 9. 在长方体 中， ，，则异面直线 与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与 线线角相等或互补关系求结果. 详解：以 D为坐标原点，DA,DC,DD1为 x,y,z轴建立空间直角坐标系，则 ,所以 ,因为 ，所以异面直线 与所成角的余弦值为 ，选C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系； 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应 用公式关”. 10. 若 在是减函数，则的最大值是 D. A. B. C. 【答案】A 【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值 第 13 页 共 17 页 详解：因为 所以由 ，得因此 ，从而的最大值为 ，选A. 的性质： (3)由 点睛：函数 (1) . (2)周期 求对称轴， (4)由 求增区间; 求减区间. 由11. 已知 是定义域为 的奇函数，满足 D. 50 ．若 ，则 A. B. 0 C. 2 【答案】C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为 是定义域为 的奇函数，且 ，所以 因此 因为 ,，，所以 ，从而 ，，选 C. 点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函 数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 12. 已知 ， 是椭圆 的左，右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率为的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为 A. 【答案】D 【解析】分析：先根据条件得 PF2=2c,再利用正弦定理得 a,c关系，即得离心率. B. C. D. 详解：因为 斜率为 得， 为等腰三角形， ，所以 PF2=F1F2=2c, 由，第 14 页 共 17 页 由正弦定理得 ,所以 ，选 D. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、 点的坐标的范围等. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 曲线 在点 处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程. 详解： 点睛：求曲线的切线要注意“过点 P的切线”与“在点 P处的切线”的差异，过点 P的切线中，点 P不一 定是切点，点 P也不一定在已知曲线上，而在点 P处的切线，必以点 P为切点. 14. 若 满足约束条件 【答案】9 则的最大值为__________． 【解析】分析：先作可行域，再平移直线，确定目标函数最大值的取法. 详解：作可行域，则直线 过点A(5,4)时取最大值 9. 第 15 页 共 17 页 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行 域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般 情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 15. 已知 ，，则 __________． 【答案】 【解析】分析：先根据条件解出 再根据两角和正弦公式化简求结果. 详解：因为 所以 ，，，因此 点睛：三角函数求值的三种类型 (1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. (3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 16. 已知圆锥的顶点为 ，母线 ，所成角的余弦值为 ， 与圆锥底面所成角为 45°，若 的面积为 ，则该圆锥的侧面积为__________． 【答案】 【解析】分析：先根据三角形面积公式求出母线长，再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据 圆锥侧面积公式求结果. 因为 与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为 因此圆锥的侧面积为 点睛：本题考查线面角，圆锥的侧面积，三角形面积等知识点，考查学生空间想象与运算能力 第 16 页 共 17 页 第 17 页 共 17 页
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