2018年天津高考文科数学试题及答案(Word版)下载

绝密★启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时， 考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他答案标号。 2．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： ·如果事件 A，B 互斥，那么 P(A∪B)=P(A)+P(B)． ·棱柱的体积公式 V=Sh. 其中 S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高． 1·棱锥的体积公式V  Sh ，其中 S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高. 3一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合 A {1,2,3,4} （A）{1,1} ，B {1,0,2,3} ，C {xR | 1 x  2}，则 (A B) C  （B）{0,1} （C）{1,0,1} （D）{2,3,4} x  y  5， 2x  y  4， （2）设变量 x, y 满足约束条件 则目标函数 z  3x  5y 的最大值为 x  y 1， y  0， （A）6 （B）19 （D）45 （C）21 第 1 页 共 10 页 第 1 页 共 10 页 （3）设 xR ，则“ x3  8 ”是“|x | 2 ” 的 （A）充分而不必要条件 （C）充要条件 （B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 的值为 20，则输出 （4）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 NT的值为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 173 2 11（5）已知 a  log ,b  ( )3 ,c  log1 ，则 a,b,c 的大小关系为 453（A） a  b  c （B）b  a  c （C） c  b  a （D） c  a  b 510 （6）将函数 y  sin(2x  )的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数   4 4 4（A）在区间[ , ]上单调递增 （B）在区间[ ,0]上单调递减   4 2 2（C）在区间[ , ]上单调递增 （D）在区间[ ,] 上单调递减 x2 y2 （7）已知双曲线 1(a  0,b  0) 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x轴的直线与双曲线交于 A, B a2 b2 两点.设 A, B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2 ，且 d1  d2  6, 则双曲线的方程为 第 2 页 共 10 页 第 2 页 共 10 页 x2 y2 x2 y2 （A） （C） 1 1 （B） （D） 1 1 3993×2 y2 x2 y2 412 12 4      BC·OM 的 （8）在如图的平面图形中，已知OM 1.ON  2,MON 120 ,BM  2MA,CN  2NA, 则值为 （A） 15 （C） 6 （B） 9 （D）0 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共 12 小题，共 110 分。 二．填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 6  7i （9）i 是虚数单位，复数 =__________． 1 2i （10）已知函数 f(x)=exlnx，f ′(x)为 f(x)的导函数，则 f ′（1）的值为__________． （11）如图，已知正方体 ABCD–A1B1C1D1 的棱长为 1，则四棱柱 A1–BB1D1D 的体积为__________． 第 3 页 共 10 页 第 3 页 共 10 页 （12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 18b （13）已知 a，b∈R，且 a–3b+6=0，则 2a+ 的最小值为__________． 2x  2x  a  2，x  0， x2  2x  2a，x  0． f x    x 若对任意 x∈［–3，+ ），f(x)≤ 恒成立，则 a 的取 （14）已知 a∈R，函数 值范围是__________． 三．解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分 13 分） 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７ 名同学去某敬老院参加献爱心活动． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （Ⅱ）设抽出的 7 名同学分别用 A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫 生工作． （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级”，求事件 M 发生的概率． （16）（本小题满分 13 分） π在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a,b,c．已知 bsinA=acos(B– )． 6（Ⅰ）求教 B 的大小； （Ⅱ）设 a=2，c=3，求 b 和 sin(2A–B)的值． （17）（本小题满分 13 分） 如图，在四面体 ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面 ABC⊥平面 ABD，点 M 为棱 AB 的中点，AB=2，AD= ，∠BAD=90°． 2 3 （Ⅰ）求证：AD⊥BC； （Ⅱ）求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值． 第 4 页 共 10 页 第 4 页 共 10 页 （18）（本小题满分 13 分） 设{an}是等差数列，其前 n 项和为 Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Tn（n∈ N*）．已知 b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6． （Ⅰ）求 Sn 和 Tn； （Ⅱ）若 Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数 n 的值． （19）（本小题满分 14 分） x2 y2 5设椭圆 1(a  b  0) 的右顶点为 A，上顶点为 B.已知椭圆的离心率为 ，| AB | 13 .a2 b2 3（I）求椭圆的方程； （II）设直线l : y  kx(k  0) 与椭圆交于 P,Q 两点，l 与直线 AB 交于点 M，且点 P，M 均在第四象限.若 △BPM 的面积是△BPQ 面积的 2 倍，求 k 的值. （20）（本小题满分 14 分） 设函数 f (x)=(x t1)(x t2 )(x t3 ) ，其中t1,t2 ,t3 R ,且t1,t2 ,t3 是公差为 （I）若t2  0,d 1, 求曲线 y  f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程； （II）若 d  3，求 f (x) 的极值； d 的等差数列. （III）若曲线 y  f (x) 与直线 y  (x1 t2 )  6 3有三个互异的公共点，求 d 的取值范围. 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 40 分． （1）C （2）C （3）A （4）B 第 5 页 共 10 页 第 5 页 共 10 页 （5）D （6）A （7）A （8）C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 30 分． 1（9）4–i （10）e （11） 311×2  y2  2x  0 （12） （13） （14）［ ，2］ 48三、解答题 （15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式 等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分 13 分． （Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中 抽取 7 名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3 人，2 人，2 人． （Ⅱ）（i）解：从抽出的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为 {A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}， {C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共 21 种． （ii）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A，B，C，来自乙年级的是 D，E，来自丙 年级的是 F，G，则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A， C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共 5 种．学@科网 5所以，事件 M 发生的概率为 P（M）= ．21 （16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式， 以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分 13 分． abπ（Ⅰ）解：在△ABC 中，由正弦定理 ，可得bsin A  asin B ，又由bsin A  acos(B  ) ，得 sin A sin B 6πππasin B  acos(B  ) ，即sin B  cos(B  ) ，可得 tan B  3 ．又因为 B(0，π) ，可得 B= ．663π（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及 a=2，c=3，B= ，有b2  a2  c2  2accos B  7 ，故 b= 7．33724 3 7π由bsin A  acos(B  ) ，可得sin A  ．因为 a<c，故 cos A  ．因此sin 2A  2sin Acos A  ，671cos2A  2cos2 A 1 ． 74 3 7121733 3 14 所以，sin(2A  B)  sin 2Acos B  cos2Asin B  ．2第 6 页 共 10 页 第 6 页 共 10 页 （17）本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间 想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分 13 分． （Ⅰ）由平面 ABC⊥平面 ABD，平面 ABC∩平面 ABD=AB，AD⊥AB，可得 AD⊥平面 ABC，故 AD⊥ BC． （Ⅱ）解：取棱 AC 的中点 N，连接 MN，ND．又因为 M 为棱 AB 的中点，故 MN∥BC．所以∠DMN（或 其补角）为异面直线 BC 与 MD 所成的角． 22在 Rt△DAM 中，AM=1，故 DM= 在 Rt△DAN 中，AN=1，故 DN= ．因为 AD⊥平面 ABC，故 AD⊥AC． AD  AM = 13 22．AD  AN = 13 12DM MN 13 在等腰三角形 DMN 中，MN=1，可得 ．cosDMN  26 13 所以，异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值为 ．26 （Ⅲ）解：连接 CM．因为△ABC 为等边三角形，M 为边 AB 的中点，故 CM⊥AB，CM= ．又因为平面 ABC⊥ 3平面 ABD，而 CM 平面 ABC，故 CM⊥平面 ABD．所以，∠CDM 为直线 CD 与平面 ABD 所成的角． AC2  AD2 在 Rt△CAD 中，CD= =4． CM 3在 Rt△CMD 中，sinCDM  ．CD 43所以，直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值为 ．4（18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前 n 项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方 法和运算求解能力.满分 13 分. （I）解：设等比数列{bn}的公比为 q，由 b1=1，b3=b2+2，可得 q2  q  2  0 1 2n .因为 q  0 ，可得 q  2 ，故bn  2n1 .所以Tn   2n 1 .1 2 第 7 页 共 10 页 第 7 页 共 10 页 设等差数列{an}的公差为 d.由b4  a3  a5 ，可得 a1  3d  4 .由b5  a4  2a6 ，可得3a1 13d 16, 从而 n(n 1) a1 1,d 1，故 an  n ，所以 Sn  .2（II）解：由（I），知T T2 Tn  (21  23  2n )  n  2n1  n  2. 1n(n 1) 由Sn  (T T2 Tn )  an  4bn 可得  2n1  n  2  n  2n1 ，12整理得 n2 3n  4  0, 解得 n  1（舍），或 n  4 .所以 n 的值为 4.学&科网 （19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的 性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分 14 分. c2 a2 59（I）解：设椭圆的焦距为 2c，由已知得 ，又由 a2  b2  c2 ，可得 2a  3b. 由| AB | a2  b2  13 ,从而 a  3,b  2 .x2 y2 所以，椭圆的方程为 1 .94（II）解：设点 P 的坐标为 (x1, y1) ，点 M 的坐标为 (x2 , y2 ) ，由题意， x2  x1  0 的坐标为 (x1,y1). △BPM 的面积是△BPQ 面积的 2 倍，可得|PM|=2|PQ| 从而 x2  x1  2[x1  (x1)]，即 x2  5×1 ，点Q由，.2x  3y  6, y  kx, 6易知直线 AB 的方程为 2x  3y  6 ，由方程组 消去 y，可得 x2  .由方程组 3k  2 2xy2 61,消去 y，可得 x1  .由 x2  5×1 ，可得 9k2  4  5(3k  2) ，两边平方，整理得 949k2  4 y  kx, 81.218k2  25k 8  0 ，解得 k  ，或 k   98112 5当k  时， x2  9  0 ，不合题意，舍去；当 k  时， x2 12 ，x1  ，符合题意. 9212所以， k的值为 .（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查 函数思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能量，满分 14 分. 第 8 页 共 10 页 第 8 页 共 10 页 （Ⅰ）解：由已知，可得 f(x)=x(x−1)(x+1)=x3−x，故 f‵(x)=3x−1，因此 f(0)=0， f (0) =−1，又因为曲线 y=f(x) 在点(0， f(0))处的切线方程为 y−f(0)= f (0) (x−0)，故所求切线方程为 x+y=0. （Ⅱ）解：由已知可得 22f(x)=(x−t2+3)( x−t2) (x−t2−3)=( x−t2)3−9 ( x−t2)=x3−3t2x2+(3t2 −9)x− t2 +9t2. 2f (x)= 3×3−6t2x+3t2 −9.令 f (x)=0，解得 x= t2− 3，或 x= t2+ 3.故当 x 变化时，f‵(x)，f(x)的变化如下表： x(−∞，t2− 3)t2− 3(t2− 3，t2+ 3)t2+ 3(t2+ 3 ，+∞) +0−0+f (x) f(x) ↗极大值 )3−9×(− （III）解：曲线 y=f(x)与直线 y=−(x−t2)−6 有三个互异的公共点等价于关于 x 的方程(x−t2+d) (x−t2) (x−t2−d)+ (x−t2)+ 6=0. =0 有三个互异的实数解，令 u= x−t2，可得 u3+(1−d2)u+6 有三个互异的公共点等价于函数 y=g(x) ↘极小值 ↗所以函数 f(x)的极大值为 f(t2− 3)=(− 33)=6 3；函数小值为 f(t2+ 3 )=( 3 3)=−6 3 . )3−9×( 333设函数 g(x)= x3+(1−d2)x+6 有三个零点. 3 ，则曲线 y=f(x)与直线 y=−(x−t2)−6 3 g'(x)=3 x3+(1−d2). 当 d2≤1 时， g'(x)≥0，这时 g'(x)在 R 上单调递增，不合题意. d2 1 d2 1 当 d2>1 时， g'(x)=0，解得 x = ，x2= .133易得，g(x)在(−∞，x1)上单调递增，在[x1， x2]上单调递减，在(x2， +∞)上单调递增， 3d2 1 2 3(d2 1)2 g(x)的极大值 g(x )= g( )=  6 3>0. 1933d2 1 2 3(d2 1)2 g(x)的极小值 g(x2)= g( )=−  6 3 .93若 g(x2) ≥0，由 g(x)的单调性可知函数 y=f(x)至多有两个零点，不合题意. 3若g(x2 )  0, 即(d2 1)2  27 ，也就是| d | 10 ，此时| d | x2 ，g(| d |) | d | 6 3 0, 且第 9 页 共 10 页 第 9 页 共 10 页 2|d | x1, g(2 | d |)  6 | d |3 2 | d | 6 3 62 10 6 3 0 ，从而由 g(x) 的单调性，可知函数 y  g(x) 在区间 (2 | d |, x1),(x1, x2 ),(x2 ,| d |)内各有一个零点，符合题意.学科……网 所以 d的取值范围是 (, 10)  ( 10,). 第 10 页 共 10 页 第 10 页 共 10 页