绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷） 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回。学科:网 第一部分（选择题 共40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合 A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则 A B= （A）{0，1} （B）{–1，0，1} （C）{–2，0，1，2} （D）{–1，0，1，2} 1（2）在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于 1 i （A）第一象限 （C）第三象限 （B）第二象限 （D）第四象限 （3）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 156（A） （C） （B） 2767（D） 12 （4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展 第 1 页 共 10 页 做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每 一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12 ．若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率 2为（A） 3 2 f （C）12 （B） 3 （D）12 22 f 27 f 25 f （5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A）1 （C）3 （B）2 （D）4 a 3b 3a b （6）设 a，b 均为单位向量，则“ ”是“a⊥b”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 x my 2 0 （7）在平面直角坐标系中，记 d 为点 P（cosθ，sinθ）到直线 的距离，当 θ，m 变化时，d 的 最大值为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 A {(x, y) | x y 1,ax y 4, x ay 2}, (2,1) A （8）设集合 （A）对任意实数 a， 则 A （B）对任意实数 a，（2，1） 3a A A 时，（2，1） （C）当且仅当 a<0 时，（2，1） （D）当且仅当 2（非选择题 共 110 分） 第二部分 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 第 2 页 共 10 页 aa n （9）设 是等差数列，且 a1=3，a2+a5=36，则 的通项公式为__________． n cos sin a(a 0) =2cos （10）在极坐标系中，直线 与圆 相切，则 a=__________． ππcos(x )( 0) f (x) f ( ) （11）设函数 f（x）= __________． ，若 对任意的实数 x 都成立，则 ω 的最小值为 64（12）若 x，y 满足 x+1≤y≤2x，则 2y–x 的最小值是__________． （13）能说明“若 f（x）>f（0）对任意的 x∈（0，2］都成立，则 f（x）在［0，2］上是增函数”为假命 题的一个函数是__________． x2 y2 M： x2 y2 N： 1 ．若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四 1(a b 0) （14）已知椭圆 ，双曲线 a2 b2 m2 n2 个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为__________；双曲线 N 的离心 率为__________． 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。学@科网 （15）（本小题 13 分） 1在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=– ．7（Ⅰ）求∠A； （Ⅱ）求 AC 边上的高． （16）（本小题 14 分） A B C 1 中， CC AA AC BB ， 1 的中点，AB=BC= 1如图，在三棱柱 ABC- 平面 ABC，D，E，F，G 分别为 1 ，AC， 1111AA ，AC= 1 =2． 5（Ⅰ）求证：AC⊥平面 BEF； 第 3 页 共 10 页 （Ⅱ）求二面角 B-CD-C1 的余弦值； （Ⅲ）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交． （17）（本小题 12 分） 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 电影部数 好评率 第一类 140 第二类 50 第三类 300 第四类 200 第五类 800 第六类 510 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立． （Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率； 1 （Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表示第 k 类电影得 k 0 D D ， ， 到人们喜欢，“ ”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差 k12D3 D ，D D ， 6 的大小关系． ，45（18）（本小题13分） f (x) ax2 (4a 1)x 4a 3 x设函数 =[ ]．exf (1) （Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1， ）处的切线与 轴平行，求a； f (x) （Ⅱ）若 在x=2处取得极小值，求a的取值范围． （19）（本小题 14 分） y2 已知抛物线 C： =2px 经过点 P（1，2）．过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B， 且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N． （Ⅰ）求直线 l 的斜率的取值范围； 11（Ⅱ）设 O 为原点，QM QO ，QN QO ，求证： 为定值． （20）（本小题14分） 第 4 页 共 10 页 { | (t ,t ,,t ),t {0,1},k 1,2,,n} 设 n 为正整数，集合 A= ．对于集合 A 中的任意元素 12nn (x , x ,, x ) (y , y ,, y ) 和，记 12n12n12， [(x y | x y |) (x y | x y |) (x y | x y |)] M（ ）= ．11112222nnn, , n, (1,1,0) (0,1,1) （Ⅰ）当 n=3 时，若 （Ⅱ）当 n=4 时，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意元素 , ， ，，求 M（ ）和 M（ ）的值； , ， ）是 ，当 相同时，M（ 奇数；当 不同时，M（ ）是偶数．求集合 B 中元素个数的最大值； , （Ⅲ）给定不小于 2 的 n，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同的元素 M（， ）=0．写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由．学科&网 ，第 5 页 共 10 页 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题 1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 11． 6．C 7．C 8．D 二、填空题 239． an 6n 3 10．1 2 12．3 13．y=sinx（答案不唯一） 14． 3 1 ；2 三、解答题 （15）（共 13 分） 1π4 3 7解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵cosB=– ，∴B∈（ ，π），∴sinB= 1 cos2 B ．72，∴sinA= π84 3 7ab73由正弦定理得 =．sin A sin B sin A 2ππ∵B∈（ ，π），∴A∈（0， ），∴∠A= ．22331124 33 3 （Ⅱ）在△ABC 中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA= ( ) =．27714 h3 33 3 BC sinC 如图所示，在△ABC 中，∵sinC= ，∴h= =7 ，BC 14 23 3 ∴AC 边上的高为 ．2（16）（共 14 分） 解：（Ⅰ）在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， ∵CC1⊥平面 ABC， ∴四边形 A1ACC1 为矩形． 又 E，F 分别为 AC，A1C1 的中点， 第 6 页 共 10 页 ∴AC⊥EF． ∵AB=BC． ∴AC⊥BE， ∴AC⊥平面 BEF． （Ⅱ）由（I）知 AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1． 又 CC1⊥平面 ABC，∴EF⊥平面 ABC． ∵BE 平面 ABC，∴EF⊥BE． 如图建立空间直角坐称系 E-xyz． 由题意得 B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）． uuur uur ∴CD=(2，0，1)，CB=(1，2，0) ，设平面 BCD 的法向量为 n (a，b，c) ，uuur nCD 0 uur 2a c 0 a 2b 0 ∴，∴ ，nCB 0 令 a=2，则 b=-1，c=-4， ∴平面 BCD 的法向量 n (2，1， 4) ，uur 又∵平面 CDC1 的法向量为 EB=(0，2，0) ，uur uur n EB 21 ∴cos n EB = ．uur 21 | n || EB | 21 由图可得二面角 B-CD-C1 为钝角，所以二面角 B-CD-C1 的余弦值为 ．21 （Ⅲ）平面 BCD 的法向量为 n (2，1， 4) ，∵G（0，2，1），F（0，0，2）， uuur GF=(0， 2，1) ，∴ nGF 2 ，∴ uuur uuur ∴n与GF 不垂直， ∴GF 与平面 BCD 不平行且不在平面 BCD 内，∴GF 与平面 BCD 相交． 第 7 页 共 10 页 （17）（共 12 分） 解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2000， 第四类电影中获得好评的电影部数是 200×0.25=50． 50 故所求概率为 0.025 ． 2000 （Ⅱ）设事件 A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”， 事件 B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”． 故所求概率为 P（ AB AB ）=P（ AB ）+P（ AB =P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）． ）由题意知：P（A）估计为 0.25，P（B）估计为 0.2． 故所求概率估计为 0.25×0.8+0.75×0.2=0.35． （Ⅲ） D1 > D4 > D2 = D5 > D3 > D6 ． （18）（共 13 分） ax2 (4a 1)x 4a 3 xf (x) 解：（Ⅰ）因为 =[ ]，e所以 f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R） =［ax2–（2a+1）x+2］ex． f ′(1)=(1–a)e． 由题设知 f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得 a=1． 此时 f (1)=3e≠0． 所以 a 的值为 1． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex． 11若 a> ，则当 x∈( ，2)时，f ′(x)<0； 2a当 x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0． 所以 f (x)<0 在 x=2 处取得极小值． 11若 a≤ ，则当 x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤ x–1<0， 22所以 f ′(x)>0． 所以 2 不是 f (x)的极小值点． 1综上可知，a 的取值范围是（ ，+∞）． 2第 8 页 共 10 页 （19）（共 14 分） 解：（Ⅰ）因为抛物线 y2=2px 经过点 P（1，2）， 所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为 y2=4x． 由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0， 设直线 l 的方程为 y=kx+1（k≠0）． 2y 4x 由得 ． k2 x2 (2k 4)x 1 0 y kx 1 依题意 (2k 4)2 4 k2 1 0 ，解得 k<0 或 0<k<1． 又 PA，PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点（1，-2）．从而 k≠-3． 所以直线 l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）设 A（x1，y1），B（x2，y2）． 2k 4 1k2 由（I）知 x1 x2 ，x1x2 ．k2 y1 2 x1 1 直线 PA 的方程为 y–2= y 2 令 x=0，得点 M 的纵坐标为 yM (x 1) ． y1 2 kx1 1 x1 1 2 2 ． x1 1 kx2 1 x2 1 同理得点 N 的纵坐标为 yN 2 ． uuur uuur uuur uuur 由QM =QO ，QN=QO 得=1 yM ， 1 yN ．2k2 2k 4 k2 x1 1 x2 1 2x1x2 (x1 x2 ) 111111所以 所以 =2 ．1k2 1 yM 1 yN (k 1)x1 (k 1)x2 k 1 x1x2 k 1 11为定值． （20）（共 14 分） 解：（Ⅰ）因为 α=（1，1，0），β=（0，1，1），所以 1M(α，α)= [(1+1−|1−1|)+(1+1−|1−1|)+(0+0−|0−0|)]=2， [(1+0–|1−0|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1． 212M(α，β）= （Ⅱ）设 α=（x1，x 2，x3，x4）∈B，则 M(α，α）= x1+x2+x3+x4． 由题意知 x1，x 2，x3，x4∈{0，1}，且 M(α，α)为奇数， 所以 x1，x 2，x3，x4 中 1 的个数为 1 或 3． 第 9 页 共 10 页 所以 B {(1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)， (1，1，0，1)，(1，1，1，0)}. 将上述集合中的元素分成如下四组： （1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0， 0，1)，（0，1，1，1). 经验证，对于每组中两个元素 α，β，均有 M(α，β）=1. 所以每组中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素． 所以集合 B 中元素的个数不超过 4. 又集合{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)}满足条件， 所以集合 B 中元素个数的最大值为 4. （Ⅲ）设 Sk=( x1，x 2，…，xn）|( x1，x 2，…，xn）∈A，xk =1，x1=x2=…=xk–1=0）（k=1，2，…，n)， Sn+1={( x1，x 2，…，xn）| x1=x2=…=xn=0}， 则 A=S1∪S1∪…∪Sn+1 ．对于 Sk（k=1，2，…，n–1）中的不同元素 α，β，经验证，M(α，β)≥1. 所以 Sk（k=1，2 ，…，n–1）中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素． 所以 B 中元素的个数不超过 n+1. 取 ek=( x1，x 2，…，xn）∈Sk 且 xk+1=…=xn=0（k=1，2，…，n–1）. 令 B=（e1，e2，…，en–1）∪Sn∪Sn+1，则集合 B 的元素个数为 n+1，且满足条件. 故 B 是一个满足条件且元素个数最多的集合． 第 10 页 共 10 页
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