2018年北京高考文科数学试题及答案下载

绝密★启封并使用完毕前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷） 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 A B  （1）已知集合 A={(푥||푥|<2)},B={−2,0,1,2},则 （A）{0,1} （B）{−1,0,1} （C）{−2,0,1,2} （D）{−1,0,1,2} 1（2）在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于 1i （A）第一象限 （C）第三象限 （B）第二象限 （D）第四象限 （3）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 第 1 页 共 11 页 1567（A） （C） （B） （D） 27612 （4）设 a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d 成等比数列”的 （A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件 （B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 （5）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展 做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起， 每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12 .若第一个单音的频率 f，则第八个单音频 2率为 （A） 3 （C）12 （B） 3 （D）12 22 f 27 f 2 f 25 f （6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A）1 （C）3 （B）2 （D）4 是圆 x2  y2 1上的四段弧（如图），点 P 在其中一段上，角    （7）在平面坐标系中， AB,CD, EF,GH 以 O푥为始边，OP 为终边，若 ，则 P 所在的圆弧是 tan  cos  sin 第 2 页 共 11 页 （B）  （A） （C） CD AB （D） GH EF A {(x, y) | x  y 1,ax  y  4, x  ay  2}, （8）设集合 则(2,1) A （A）对任意实数 a， （B）对任意实数 a，（2,1）  A （C）当且仅当 a<0 时,（2,1）  A 3a  （D）当且仅当 时,（2,1）  A 2（非选择题 共110 分） 第二部分 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 （9）设向量 a=（1,0），b=（−1,m）,若 a  (ma  b) ，则 m=_________. （10）已知直线 l 过点（1,0）且垂直于푥轴，若 l 被抛物线 y2  4ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐 标为_________. 11﹥（11）能说明“若 a b，则 ”为假命题的一组 a，b 的值依次为_________. abx2 y2 5（12）若双曲线 的离心率为 ，则 a=_________. 1(a  0) a2 42x 1 y  2x （13）若푥,y 满足 ，则 2y−푥的最小值是_________. c3222（14）若 的面积为 ,且∠C 为钝角，则∠B=_________； 的取值范围是_________. △ABC (a  c b ) a4三、解答题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题 13 分） {a } a  ln 2,a  a  5ln 2 设是等差数列，且 .n123{a } （Ⅰ）求 （Ⅱ）求 的通项公式； na1 a2 an .e  e  e （16）（本小题 13 分） 2已知函数 .f (x)  sin x  3sin xcos x 第 3 页 共 11 页 f (x) f (x) （Ⅰ）求 （Ⅱ）若 的最小正周期； 3m上的最大值为 ，求 的最小值. [ ,m] 在区间 32（17）（本小题 13 分） 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 电影部数 好评率 第一类 140 第二类 50 第三类 300 第四类 200 第五类 800 第六类 510 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. （Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）随机选取 1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；学科*网 （Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表 格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加 0.1，哪类电影的好评率减少 0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论） （18）（本小题 14 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F 分别为 AD，PB 的中点. （Ⅰ）求证：PE⊥BC； （Ⅱ）求证：平面 PAB⊥平面 PCD； （Ⅲ）求证：EF∥平面 PCD. （19）（本小题 13 分） 设函数 f (x)  [ax2  (3a 1)x  3a  2]ex .y  f (x) (2, f (2)) 处的切线斜率为 0，求 a； （Ⅰ）若曲线 在点 f (x) （Ⅱ）若 在处取得极小值，求 a 的取值范围. x 1 第 4 页 共 11 页 （20）（本小题 14 分） x2 y2 6已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 .斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个 M : 1(a  b  0) 2 2 a2 b2 3不同的交点 A，B. （Ⅰ）求椭圆 M 的方程；学.科网 |AB | （Ⅱ）若 （Ⅲ）设 ，求 的最大值； k 1 P(2,0) ，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C，直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D.若 C,D 7 1 Q( , ) 和点 共线，求 k. 4 2 第 5 页 共 11 页 参考答案 1．A 2．D 3．B 4．B 5．D 6．C 7．C 8．D 9． 1 10． (1,0) 12．4 11．1 1（答案不唯一） 13．3 14． 60 (2,) 15．（共 13 分） 解：（I）设等差数列{an}的公差为 d，∵∴又∴a2  a3  5ln 2 2a1  3d  5ln 2 a1  ln 2，∴ d  ln 2 an  a1  (n 1)d  nln 2 ，，..（II）由（I）知 an  nln 2 ，n∵∴ean  enln2  eln2 =2n ，{ean }是以 2 为首项，2 为公比的等比数列. 2n∴ea1  ea2  ean  eln2  eln2  eln2 =2  22  2n =2n1  2 .∴ea1  ea2  ean =2n1  2 .16.（共 13 分） 1 cos2x 3311π12【解析】（Ⅰ） f (x)  sin 2x  sin 2x  cos2x  sin(2x  )  ，2222262π 所以 f (x) 的最小正周期为T   π .2π12（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f (x)  sin(2x  )  .6ππ5π π因为 x[ ,m]，所以 2x  [ ,2m  ] .3666第 6 页 共 11 页 π3ππ要使得 f (x) 在[ ,m]上的最大值为 ，即sin(2x  ) 在[ ,m]上的最大值为 1. 3263πππ所以 2m  ，即 m  .623π所以 m的最小值为 .317.（共 13 分） （Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2000. 第四类电影中获得好评的电影部数是 200×0.25=50， 50 故所求概率为  0.025 .2000 （Ⅱ）方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是 140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1 =56+10+45+50+160+51 =372. 372 故所求概率估计为1  0.814 .2000 方法二：设“随机选取 1 部电影,这部电影没有获得好评”为事件 B. 没有获得好评的电影共有 140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628 部. 1628 由古典概型概率公式得 P(B)   0.814 .2000 （Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率. 18.（共 14 分） 【解析】（Ⅰ）∵ PA  PD ，且 ∵底面 ABCD 为矩形，∴ BC∥AD PE  BC （Ⅱ）∵底面 ABCD 为矩形，∴ AB  AD ∵平面 PAD 平面 ABCD ，∴ AB 平面 PAD E为AD 的中点，∴ PE  AD .，∴…∴∵AB  PD .又 PA  PD ,学科.网 PD  平面 PAB ，∴平面 PAB  平面 PCD .（Ⅲ）如图，取 PC 中点 G ，连接 FG,GD . 第 7 页 共 11 页 1∵F,G 分别为 PB 和PC 的中点，∴ FG∥BC ，且 FG  BC .2∵四边形 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点， 1∴ED∥BC, DE  BC ，2∴∴又∴ED∥FG ，且 ED  FG ，∴四边形 EFGD 为平行四边形， EF∥GD EF  平面 PCD EF∥平面 PCD .，GD  平面 PCD ，.19. （13 分） 解：（Ⅰ）因为 f (x)  [ax2  (3a 1)x  3a  2]ex ，2x所以 f (x)  [ax  (a 1)x 1]e .2f (2)  (2a 1)e ，1.2由题设知 f (2)  0 ，即 (2a 1)e2  0，解得 a  2xx（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得 f (x)  [ax  (a 1)x 1]e  (ax 1)(x 1)e .1若 a>1，则当 x( ,1)时， f (x)  0 ；ax(1,) 时， f (x)  0 .当所以 f (x) 在 x=1 处取得极小值. a 1，则当 x(0,1)时， ax 1 x 1 0 若，所以 f (x)  0 .所以 1 不是 f (x) 的极小值点. 第 8 页 共 11 页 综上可知，a 的取值范围是 (1,) .x方法二： f (x)  (ax 1)(x 1)e .（1）当 a=0 时，令 f (x)  0得 x=1. f (x), f (x) 随 x 的变化情况如下表： (,1) (1,) x10f (x) +−f (x) ↗极大值 ↘∴f (x) 在 x=1 处取得极大值，不合题意. 1（2）当 a>0 时，令 f (x)  0 得x1  , x2 1 .a2x①当 x1  x2 ，即 a=1 时， f (x)  (x 1) e 0 ，∴∴f (x) 在R上单调递增， f (x) 无极值，不合题意. ②当 x1  x2 ，即 0<a<1 时， f (x), f (x) 随 x 的变化情况如下表： 111(,1) (1, ) ( ,) x10aaa0+f (x) +−极小值 ↗f (x) ↗极大值 ↘∴f (x) 在 x=1 处取得极大值，不合题意. ③当 x1  x2 ，即 a>1 时， f (x), f (x) 随 x 的变化情况如下表： 11110(1,) (, ) ( ,1) axaa+f (x) +0−极小值 ↗f (x) ↗极大值 ↘∴f (x) 在 x=1 处取得极小值，即 a>1 满足题意. 第 9 页 共 11 页 1（3）当 a<0 时，令 f (x)  0 得x1  , x2 1 .af (x), f (x) 随 x 的变化情况如下表： 11110(1,) (, ) ( ,1) axaa−f (x) −0+极大值 ↘f (x) ↘极小值 ↗∴f (x) 在 x=1 处取得极大值，不合题意. 综上所述，a 的取值范围为 (1,) 20．（共 14 分） 【解析】（Ⅰ）由题意得 .，所以 ，2c  2 2 c  2 c6222又，所以 ，所以 ，e  a  3 b  a  c 1 a3x2 2所以椭圆 的标准方程为 M． y 1 3y  x  m ，（Ⅱ）设直线 的方程为 AB y  x  m 222y消去 可得 由，4x  6mx  3m 3  0 x y2 1 32则设  36m2  44(3m2 3)  4812m2  0，即 ，m  4 3m2 3 ，3m A(x , y ) B(x , y ) ，x  x   ，则 ，x1x2  112212246  4  m2 222则，| AB | 1 k | x1  x2 | 1 k  (x1  x2 )  4x1x2  22| AB | 易得当 时， ，故 的最大值为 ．| AB |max  6 m  0 6A(x , y ) B(x , y ) C(x , y ) D(x , y ) ，4（Ⅲ）设 ，，，1122334×2  3y2  3 x2  3y2  3 则①， ②， 1122第 10 页 共 11 页 y1 k  k P(2,0) y  k (x  2) 又由，所以可设 ，直线 的方程为 ，PA 1PA 1×1  2 y  k (x  2) 1(1 3k2 )x2 12k2 x 12k2 3  0 2y消去 可得 ，x111 y2 1 312k12 12k12 x  x   x    x 则又，即 ，13311 3k12 1 3k12 y1 x1  2 7×1 12 4×1  7 y1 4×1  7 k  x  y  ，代入①式可得 ，所以 ，1337×1 12 4×1  7 4×1  7 y1 7×2 12 4×2  7 4×2  7 y2 C( ,)D( ,)．所以 ，同理可得   7171QC  (x  , y  ) QD  (x  , y  ) ，故，334444447171Q,C, D (x  )(y  )  (x  )(y  )  0 因为 三点共线，所以 ，34434444y1  y2 x1  x2 1 C, D 将点 的坐标代入化简可得 ，即 ．k 1 第 11 页 共 11 页