2017年理科数学海南省高考真题含答案下载

绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用 2B铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹 清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试 卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 3 i 1 i A．1 2i 1. （）B．1 2i C． 2  i D． 2 i 2.设集合 A 1,2,4 ， x x2  4x  m  0 ．若 A   1 ，则   （）  A． 1,3 B． 1,0 C． 1,3 D． 1,5 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一， 请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ）A．1 盏 B．3 盏 C．5 盏 D．9 盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将 一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ A．90 B． 63 ）C． 42 D．36 1第 1 页 共 11 页 2x  3y 3  0 5.设 x，y满足约束条件 2x 3y  3  0 ，则 z  2x  y 的最小值是（ ）y  3  0 A． 15 6.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（ A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种 B． 9 C． 1D． 9）7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好， 我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学 科&网给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知 道我的成绩．根据以上信息，则（ A．乙可以知道四人的成绩 ）B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的 a  1，则输出的 S  （）A．2 B．3 C．4 D．5 x2 y2 29.若双曲线 C: 1 （a  0 ，b  0）的一条渐近线被圆 x  2  y2  4所截得的弦长为 2，则 Ca2 b2 的离心率为（ ）2 3 3A．2 B． 3C． 2D． 10.已知直三棱柱 AC  A11C1 中， AC 120 ，A  2 ，C  CC1 1，则异面直线 A1 与 C1 所成角的余弦值为（ ）315 510 53A． B． C． D． 2311.若 x  2是函数 f (x)  (x2  ax 1)ex1` 的极值点，则 f (x) 的极小值为（ ）A. 1 B. 2e3 C.5e3 D.1 2第 2 页 共 11 页    12.已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 PA(PB  PC) 的最小值是（ ）3243A. 2 B. C. D. 1 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.一批产品的二等品率为 0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次， 品件数，则 D  表示抽到的二等 ．34214.函数 f x sin2 x  3 cos x  （x 0, ）的最大值是 ．  n115.等差数列 a的前 n项和为 Sn ，a3  3 ，是S4 10 ，则 ．   S nk1 k16.已知 F是抛物线 C: y2  8x 的焦点， C上一点， F 的延长线交 y轴于点 ．若 为F 的中点， 则F  ．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第 17~21 题为必做题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（12 分） B2ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 (1)求 cos B ．sin(A C)  8sin 2(2)若 a  c  6 ,ABC 面积为 2,求b. 18.（12 分） 淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测 量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下： 3第 3 页 共 11 页 （1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于 50kg, 新养殖法的箱产 量不低于 50kg,估计 A 的概率； （2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01） P（ ）0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 k10.828 n(ad bc)2 (a  b)(c  d)(a  c)(b  d) K2  19.（12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD， 1AB  BC  AD,BAD  ABC  90o , E 是 PD 的中点. 2（1）证明：直线CE / /平面 PAB （2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为 45o ，求二面角 M-AB-D 的余弦值 PEMADBC20. （12 分） x2 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：  y2 1上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 2  .NP  2NM (1) 求点 P 的轨迹方程；   (2) 设点 Q 在直线 x=-3 上，且OP PQ 1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 21.（12 分） 4第 4 页 共 11 页 已知函数 f (x)  ax3  ax  xln x, （1）求 a； 且f (x)  0 .（2）证明： f (x) 存在唯一的极大值点 x0 ，且 e2  f (x0 )  23 .（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1 的极坐标方程为  cos  4 ．（1）M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足| OM || OP |16,求点 P 的轨迹C2 的直角坐标方 程； 3（2）设点 A 的极坐标为 (2, )，点 B 在曲线 C2 上，求 OAB 面积的最大值． 23.[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知 a  0,b  0,a3  b3  2，证明： （1） (a  b)(a3  b3 )  4 （2） a  b  2 ；．5第 5 页 共 11 页 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题答案 一、选择题 1.D 7.D 2.C 8.B 3.B 9.A 4.B 5.A 6.D 10.C 11.A 12.B 二、填空题 2n 13. 1.96 14. 1 15. 16. 6 n 1 三、解答题 17.解： （1）由题设及 A B  C  得sin B  8sin2 ，故 2sin B  （4 1-cosB） 上式两边平方，整理得 17cos2B-32cosB+15=0 15 解得 cosB=1（舍去），cosB= 17 15 814（2）由 cosB= 得sin B  ，故 SABC  acsin B  ac 17 17 17 217 又SABC =2，则ac  2由余弦定理学 科&网及 a  c  6 b2  a2  c2  2accos B 得2（a+c） 2ac(1 cosB) 17 15 17  36  2 (1 )2 4 所以 b=2 18.解： （1）记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ” ， 由题意知 P A  P BC  P B P C C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg ”       6第 6 页 共 11 页 旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为 （0.040  0.034  0.024  0.014  0.012）5=0.62 故P B 的估计值为 0.62   新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为 （0.068  0.046  0.010  0.008）5=0.66 P C 的估计值为 0.66 故  因此，事件 A 的概率估计值为 0.62 0.66  0.4092 （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量  50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 62 34 38 66 2200 62 66  3438 K2  15.705 10010096104 15.705  6.635 由于 故有 99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关． （3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图面积为 0.004  0.020  0.044 5  0.34  0.5 ，箱产量低于55kg 的直方图面积为 0.004  0.020  0.044+0.068 5  0.68  0.5 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 0.5-0.34 50+ ≈ 52.3（5 kg） ．0.068 19.解： （1）取 PA 中点 因为 PD 的中点，所以 EF  AD F，连结 EF ， BF ． 11E为,EF = AD ,由 BAD  ABC  90 得BC∥AD ，又 BC  AD 22∥所以 EF BC．四边形 BCEF 为平行四边形， CE∥BF ．又BF  平面PAB ，CE  平面PAB ，故CE∥平面PAB （2） 7第 7 页 共 11 页   由已知得 BA  AD ,以 A 为坐标原点， AB 的方向为 x 轴正方向， AB 为单位长，建立如图所示的空间直 角坐标系 A-xyz,则 则A(0，0，0) ，B(1，0，0) ，C(1，1，0) ， P(0，1， 3) ，   PC  (1，0， 3) ,AB  (1，0，0) 则  BM  (x1，y，z), PM  (x，y 1，z  3) 因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45°，而n  (0，0，1) 是底面 ABCD 的法向量，所以  z2cos BM ,n  sin 450 即（x-1）²+y²-z²=0 ，(x1)2  y2  z2 2  又 M 在棱 PC 上，学|科网设 PM  PC,则 x  , y 1, z  3  3 22x=1+ y=1 x=1- 22( 舍去)， y=1 由①，②得 66z   z  22 26226所以 M 1- , 1， ，从而 AM  1- , 1， 222设m =x , y , z 是平面 ABM 的法向量，则 0  008第 8 页 共 11 页  2- 2 x  2y  6z0  0 mAM  0 00即 mAB  0 x0  0 mn 10 5所以可取 m=（0，- 6，2）.于是 cos m, n m n 10 因此二面角 M-AB-D 的余弦值为 20.解 5  （1）设 P（x,y）,M（x0,y0）,设 N（x0,0）, NP  x  x , y , NM  0, y 0  0  2x =x, y  得0y由NP  2NM 02×2 y2 因为 M（x0,y0）在 C 上，所以  1 22因此点 P 的轨迹方程为 x2  y2  2 （2）由题意知 F（-1,0）.设 Q（-3，t）,P(m,n),则    OQ  3,t , PF 1  m, n , OQPF  3  3m  tn ，  OP  m, n, PQ  3  m, t n ,   由OPPQ  1 得- 3m  m2  tn  n2  1，又由（1）知 m2 +n2 =2 ，故 3+3m-tn=0     所以 OQPF  0，即 OQ  PF .学.科网又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直 线 l 过 C 的左焦点 F. 21.解： （1） fx  的定义域为 0，+ 设g x =ax – a – lnx ，则   fx =xg x ,f    x   0 等价于 g x  0   1因为 g 1 =0，g x  0, 故g’ 1 =0,而g’ x  a  , g’ 1 =a  1, 得a  1           x1若 a=1，则 g’ x =1  .当 0＜x＜1 时， g’ x＜0, g x单调递减；当 x＞1 时， g’ x＞0， g x 单调递       x增.所以 x=1 是g x 的极小值点，故 g x  g 1 =0     9第 9 页 共 11 页 综上，a=1 （2）由（1）知 fx   x2  x  x l n x, f ‘ ( x)  2x  2  l n x 1设当h x 2x  2  l n x, 则h ‘ ( x)  2    x121211x  0, 时， h ‘ x ＜0 ；当 x  , + 时， h ‘ x ＞0 ，所以 h x 在0, 单调递减，在 , + 单      22调递增   2  1112又h e2 ＞0, h ＜0, h 1  0 ，所以 h x    在0, 有唯一零点 x0 ，在 , + 有唯一零点 1，且当   2x  0, x 时， h x ＞0 ；当 x  x , 1时， h x ＜0，当 x  1, + 时， h x ＞0 .0        0因为f ‘ x  h x ，所以 x=x 是 f(x)的唯一极大值点    0由由f ‘ x  0得 l n x0  2( x0  1) , 故f 0  x 0  =x (1  x ) 0 0 14×0  0, 1 得f ‘ x ＜0  因为 x=x0 是 f(x)在（0,1）的最大值点，由e1  0, 1, f ‘ e1  0 得fx＞f e1  e2 0  所以e2＜f 22.解： x＜2- 2 0  ， ＞0  ， ＞0 （1）设 P 的极坐标为   ，M 的极坐标为   ，由题设知 114OP =，OM =1= cos OM  OP =16 C=4cos ＞0 由得2 的极坐标方程 2x  2  y 2  4 x  0 C因此 2 的直角坐标方程为  ， ＞0 （2）设点 B 的极坐标为   ,由题设知 BBOA =2， =4cos ,于是△OAB 面积 B10 第 10 页 共 11 页 1S= OAB si n AOB 23 4 cos si n  33 2 si n2  2 2  312 当=- 时，S 取得最大值2+ 3 所以△OAB 面积的最大值为2+ 3 23.解： （1） a  b a5  b5  a6  ab5  a5b  b6 2 a3  b3  2a3b3  ab a4  b4 2 4  ab a2  b2  4 （2）因为 3a  b  a3  3a2b  3ab2  b3  2  3ab a+b 233 a+b 3 a+b  2+ a+b  2  443a+b  8 所以 ，因此 a+b≤2. 11 第 11 页 共 11 页