第 1 页 共 23 页 2017 年山东省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符号题目要求的. 1．（5 分）设函数 y= 则 A∩B=（ ） 的定义域为 A，函数 y=ln（1﹣x）的定义域为 B， A．（1，2） B．（1，2] C．（﹣2，1） D．[﹣2，1） 2．（5 分）已知 a∈R，i 是虚数单位，若 z=a+ i，z• =4，则 a=（ ） A．1 或﹣1 B． 或﹣ C．﹣ D． 3．（5 分）已知命题 p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题 q：若 a＞b，则 a2＞b2， 下列命题为真命题的是（ ） A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q 4．（5 分）已知 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+2y 的最大值是（ ） A．0 B．2 C．5 D．6 5．（5 分）为了研究某班学生的脚长 x（单位：厘米）和身高 y（单位：厘米） 的关系，从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之 间有线性相关关系，设其回归直线方程为 = x+ ，已知 xi=225， yi=1600， =4，该班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为（ ） A．160 B．163 C．166 D．170 6．（5 分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的 x 值为 7，第二次输 入的 x 值为 9，则第一次，第二次输出的 a 值分别为（ ） 第 1 页（共 23 页） 第 2 页 共 23 页 A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0 7．（5 分）若 a＞b＞0，且 ab=1，则下列不等式成立的是（ ） A．a+ ＜ ＜log2（a+b）） B． ＜log2（a+b）＜a+ C．a+ ＜log2（a+b）＜ D．log2（a+b））＜a+ ＜ 8．（5 分）从分别标有 1，2，…，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次 抽取 1 张，则抽到在 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ） A． B． C． D． 9．（5 分）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若△ABC 为锐角三 角形，且满足 sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（ ） A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A 10．（5 分）已知当 x∈[0，1]时，函数 y=（mx﹣1）2 的图象与 y= +m 的图象 有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是（ ） A．（0，1]∪[2 ，+∞） B．（0，1]∪[3，+∞） C．（0， ）∪[2 ，+∞） D．（0， ]∪[3，+∞） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 第 2 页（共 23 页） 第 3 页 共 23 页 11．（5 分）已知（1+3x）n 的展开式中含有 x2 的系数是 54，则 n= ． 12．（5 分）已知 ，是互相垂直的单位向量，若 ﹣与+λ 的夹角为 60°，则实数 λ 的值是 ． 13．（5 分）由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几 何体的体积为 ． 14．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右 支与焦点为 F 的抛物线 x2=2py（p＞0）交于 A，B 两点，若|AF|+|BF|=4|OF|， 则该双曲线的渐近线方程为 ． 15．（5 分）若函数 exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在 f（x）的定义 域上单调递增，则称函数 f（x）具有 M 性质．下列函数中所有具有 M 性质的函 数的序号为 ． ①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2． 三、解答题（共 6 小题，满分 75 分） 16．（12 分）设函数 f（x）=sin（ωx﹣ ）+sin（ωx﹣ ），其中 0＜ω＜3， 已知 f（ ）=0． （Ⅰ）求 ω； （Ⅱ）将函数 y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求 g（x）在[﹣ ，]上的最小值． 第 3 页（共 23 页） 第 4 页 共 23 页 17．（12 分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD（及其内部）以 AB 边所在直线为旋转轴旋转 120°得到的，G 是 的中点． （Ⅰ）设 P 是 上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP 的大小； （Ⅱ）当 AB=3，AD=2 时，求二面角 E﹣AG﹣C 的大小． 18．（12 分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人 的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理 暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果 来评价两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者 A1，A2，A3，A4，A5，A6 和 4 名 女志愿者 B1，B2，B3，B4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙 种心理暗示． （Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的概率． （Ⅱ）用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列与数学期望 EX ．19．（12 分）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且 x1+x2=3，x3﹣x2=2． （Ⅰ）求数列{xn}的通项公式； （Ⅱ）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 P1（x1，1），P2（x2，2） …Pn+1（xn+1，n+1）得到折线 P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线 y=0，x=x1，x=xn+1 所 围成的区域的面积 Tn． 20．（13 分）已知函数 f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中 第 4 页（共 23 页） 第 5 页 共 23 页 e≈2.17828…是自然对数的底数． （Ⅰ）求曲线 y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令 h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论 h（x）的单调性并判断有无 极值，有极值时求出极值． 21．（14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： =1（a＞b＞0）的离心 率为 ，焦距为2． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程． （Ⅱ）如图，该直线 l：y=k1x﹣ 交椭圆 E 于 A，B 两点，C 是椭圆 E 上的一点， 直线 OC 的斜率为 k2，且看 k1k2= ，M 是线段 OC 延长线上一点，且|MC|： |AB|=2：3，⊙M 的半径为|MC|，OS，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为 S，T ，求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线 l 的斜率． 第 5 页（共 23 页） 第 6 页 共 23 页 2017 年山东省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符号题目要求的. 1．（5 分）（2017•山东）设函数 y= 定义域为 B，则 A∩B=（ ） 的定义域为 A，函数 y=ln（1﹣x）的 A．（1，2） B．（1，2] C．（﹣2，1） D．[﹣2，1） 【解答】解：由 4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数 y= 2]， 的定义域[﹣2， 由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数 y=ln（1﹣x）的定义 域（﹣∞，1）， 则 A∩B=[﹣2，1）， 故选 D． 2．（5 分）（2017•山东）已知 a∈R，i 是虚数单位，若 z=a+ i，z• =4，则 a=（ ）A．1 或﹣1 B． 或﹣ C．﹣ D． 【解答】解：由 z=a+ i，则 z 的共轭复数 =a﹣ i， 由 z• =（a+ i）（a﹣ i）=a2+3=4，则 a2=1，解得：a=±1， ∴a 的值为 1 或﹣1， 故选 A． 3．（5 分）（2017•山东）已知命题 p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题 q：若 a＞b ，则 a2＞b2，下列命题为真命题的是（ ） 第 6 页（共 23 页） 第 7 页 共 23 页 A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q 【解答】解：命题 p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题 p 为真命题，则￢p 为假命 题； 取 a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但 a2＜b2，则命题 q 是假命题，则￢q 是真命题． ∴p∧q 是假命题，p∧￢q 是真命题，￢p∧q 是假命题，￢p∧￢q 是假命题． 故选 B． 4．（5 分）（2017•山东）已知 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+2y 的最 大值是（ ） A．0 B．2 C．5 D．6 【解答】解：画出约束条件 表示的平面区域，如图所示； 由解得 A（﹣3，4）， 此时直线 y=﹣ x+ z 在 y 轴上的截距最大， 所以目标函数 z=x+2y 的最大值为 zmax=﹣3+2×4=5． 故选：C． 5．（5 分）（2017•山东）为了研究某班学生的脚长 x（单位：厘米）和身高 y（ 第 7 页（共 23 页） 第 8 页 共 23 页 单位：厘米）的关系，从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以 看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 = x+ ，已知 xi=225， yi=1600， =4，该班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为（ ） A．160 B．163 C．166 D．170 【解答】解：由线性回归方程为 =4x+ ， 则 = xi=22.5， = yi=160， 则数据的样本中心点（22.5，160）， 由回归直线方程样本中心点，则 = ﹣4x=160﹣4×22.5=70， ∴回归直线方程为 =4x+70， 当 x=24 时， =4×24+70=166， 则估计其身高为 166， 故选 C． 6．（5 分）（2017•山东）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的 x 值 为 7，第二次输入的 x 值为 9，则第一次，第二次输出的 a 值分别为（ ） 第 8 页（共 23 页） 第 9 页 共 23 页 A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0 【解答】解：当输入的 x 值为 7 时， 第一次，不满足 b2＞x，也不满足 x 能被 b 整数，故 b=3； 第二次，满足 b2＞x，故输出 a=1； 当输入的 x 值为 9 时， 第一次，不满足 b2＞x，也不满足 x 能被 b 整数，故 b=3； 第二次，不满足 b2＞x，满足 x 能被 b 整数，故输出 a=0； 故选：D 7．（5 分）（2017•山东）若 a＞b＞0，且 ab=1，则下列不等式成立的是（ ） A．a+ ＜ ＜log2（a+b）） B． ＜log2（a+b）＜a+ C．a+ ＜log2（a+b）＜ D．log2（a+b））＜a+ ＜ 【解答】解：∵a＞b＞0，且 ab=1， ∴可取 a=2，b= ． 则=4， == ，log2（a+b）= =∈（1，2）， 第 9 页（共 23 页） 第 10 页 共 23 页 ∴＜log2（a+b）＜a+ ． 故选：B． 8．（5 分）（2017•山东）从分别标有 1，2，…，9 的 9 张卡片中不放回地随机 抽取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到在 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：从分别标有 1，2，…，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，共 =36 种不同情况， 有且这些情况是等可能发生的， 抽到在 2 张卡片上的数奇偶性不同的情况有 =20 种， 故抽到在 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率 P= =， 故选：C． 9．（5 分）（2017•山东）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若△ ABC 为锐角三角形，且满足 sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成 立的是（ ） A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A 【解答】解：在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 sinB（1+2cosC ）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB， 可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC 为锐角三角形，所以 2sinB=sinA， 由正弦定理可得：2b=a． 故选：A． 210．（5 分）（2017•山东）已知当 x∈[0，1]时，函数 y=（mx﹣1） 的图象与y= +m 的图象有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是（ ） A．（0，1]∪[2 ，+∞） B．（0，1]∪[3，+∞） +∞） D．（0， ]∪[3，+∞） C．（0， ）∪[2 ，第 10 页（共 23 页） 第 11 页 共 23 页 【解答】解：根据题意，由于 m 为正数，y=（mx﹣1）2 为二次函数，在区间（ 0， ）为减函数，（ ，+∞）为增函数， 函数 y= +m 为增函数， 分 2 种情况讨论： ①、当 0＜m≤1 时，有 ≥1， 在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）2 为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]， 函数 y= +m 为增函数，其值域为[m，1+m]， 此时两个函数的图象有 1 个交点，符合题意； ②、当 m＞1 时，有 ＜1， y=（mx﹣1）2 在区间（0， ）为减函数，（ ，1）为增函数， 函数 y= +m 为增函数，其值域为[m，1+m]， 若两个函数的图象有 1 个交点，则有（m﹣1）2≥1+m， 解可得 m≤0 或 m≥3， 又由 m 为正数，则 m≥3； 综合可得：m 的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）； 故选：B． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 n11．（5 分）（2017•山东）已知（1+3x） 的展开式中含有 x2 的系数是 54，则 n= 4 ． 【解答】解：（1+3x）n 的展开式中通项公式：Tr+1= （3x）r=3r xr． ∵含有 x2 的系数是 54，∴r=2． ∴=54，可得 =6，∴ =6，n∈N*． 解得 n=4． 故答案为：4． 第 11 页（共 23 页） 第 12 页 共 23 页 12．（5 分）（2017•山东）已知 ，是互相垂直的单位向量，若 ﹣与+λ 的夹角为 60°，则实数 λ 的值是 ． 【解答】解： ，是互相垂直的单位向量， =0； +λ 的夹角为 60°， ）•（ +λ ）=| ∴| |=| |=1，且 •又﹣与∴（ 即﹣﹣|×| +λ |×cos60°， ﹣λ +（﹣1 ）•=×× ， 化简得 ﹣λ= ﹣λ= 解得 λ= ×× ， 即，．故答案为： ．13．（5 分）（2017•山东）由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视 图如图，则该几何体的体积为 2+ ． 【解答】解：由长方体长为 2，宽为 1，高为 1，则长方体的体积 V1=2×1×1=2， 圆柱的底面半径为 1，高为 1，则圆柱的体积 V2= ×π×12×1= ，则该几何体的体积 V=V1+2V1=2+ ，第 12 页（共 23 页） 第 13 页 共 23 页 故答案为：2+ ． 14．（5 分）（2017•山东）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 =1（a＞0 ，b＞0）的右支与焦点为 F 的抛物线 x2=2py（p＞0）交于 A，B 两点，若 |AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 y=± x ． 【解答】解：把 x2=2py（p＞0）代入双曲线 可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0， =1（a＞0，b＞0）， ∴yA+yB= ，∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴yA+yB+2× =4× ， ∴=p， ∴ = ．∴该双曲线的渐近线方程为：y=± x． 故答案为：y=± x． 15．（5 分）（2017•山东）若函数 exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数） 在 f（x）的定义域上单调递增，则称函数 f（x）具有 M 性质．下列函数中所有 具有 M 性质的函数的序号为 ①④ ． ①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2． 【解答】解：对于①，f（x）=2﹣x，则 g（x）=exf（x）= 为实数集 上的增函数； 对于②，f（x）=3﹣x，则 g（x）=exf（x）= 为实数集上的减函数； 对于③，f（x）=x3，则 g（x）=exf（x）=ex•x3， 第 13 页（共 23 页） 第 14 页 共 23 页 g′（x）=ex•x3+3ex•x2=ex（x3+3×2）=ex•x2（x+3），当 x＜﹣3 时，g′（x）＜0， ∴g（x）=exf（x）在定义域 R 上先减后增； 对于④，f（x）=x2+2，则 g（x）=exf（x）=ex（x2+2）， g′（x）=ex（x2+2）+2xex=ex（x2+2x+2）＞0 在实数集 R 上恒成立， ∴g（x）=exf（x）在定义域 R 上是增函数． ∴具有 M 性质的函数的序号为①④． 故答案为：①④． 三、解答题（共 6 小题，满分 75 分） 16．（12 分）（2017•山东）设函数 f（x）=sin（ωx﹣ ）+sin（ωx﹣ ），其 中 0＜ω＜3，已知 f（ ）=0． （Ⅰ）求 ω； （Ⅱ）将函数 y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求 g（x）在[﹣ ，]上的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）函数 f（x）=sin（ωx﹣ ）+sin（ωx﹣ =sinωxcos ﹣cosωxsin ﹣sin（ ﹣ωx） ）==sinωx﹣ cosωx sin（ωx﹣ ）， 又 f（ ）= sin（ ω﹣ ）=0， ω﹣ =kπ，k∈Z， ∴解得 ω=6k+2， 又 0＜ω＜3， ∴ω=2； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）= sin（2x﹣ ）， 第 14 页（共 23 页） 第 15 页 共 23 页 将函数 y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到 函数 y= sin（x﹣ ）的图象； 再将得到的图象向左平移 个单位，得到y= sin（x+ ∴函数 y=g（x）= sin（x﹣ ）； ﹣）的图象， 当 x∈[﹣ ，]时，x﹣ ∈[﹣ ，]， ∴sin（x﹣ ）∈[﹣ ，1]， ∴当 x=﹣ 时，g（x）取得最小值是﹣ ×=﹣ ． 17．（12 分）（2017•山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD（ 及其内部）以 AB 边所在直线为旋转轴旋转 120°得到的，G 是 的中点． （Ⅰ）设 P 是 上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP 的大小； （Ⅱ）当 AB=3，AD=2 时，求二面角 E﹣AG﹣C 的大小． 【解答】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且 AB，AP⊂平面 ABP，AB∩AP=A， ∴BE⊥平面 ABP，又 BP⊂平面 ABP， ∴BE⊥BP，又∠EBC=120°， 因此∠CBP=30°； （Ⅱ）解法一、 取的中点 H，连接 EH，GH，CH， ∵∠EBC=120°，∴四边形 BECH 为菱形， ∴AE=GE=AC=GC= ．取 AG 中点 M，连接 EM，CM，EC， 第 15 页（共 23 页） 第 16 页 共 23 页 则 EM⊥AG，CM⊥AG， ∴∠EMC 为所求二面角的平面角． 又 AM=1，∴EM=CM= ．在△BEC 中，由于∠EBC=120°， 由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12， ∴，因此△EMC 为等边三角形， 故所求的角为 60°． 解法二、以 B 为坐标原点，分别以 BE，BP，BA 所在直线为 x，y，z 轴建立空间 直角坐标系． 由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1， ，3），C（﹣1， ，0） ，故设，，．为平面 AEG 的一个法向量， 由设，得 ，取 z1=2，得 ；为平面 ACG 的一个法向量， 由，可得 ，取 z2=﹣2，得 ．∴cos＜ ＞= ．∴二面角 E﹣AG﹣C 的大小为 60°． 第 16 页（共 23 页） 第 17 页 共 23 页 18．（12 分）（2017•山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同 心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组 接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理 暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者 A1，A2，A3，A4， A5，A6 和 4 名女志愿者 B1，B2，B3，B4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示， 另 5 人接受乙种心理暗示． （Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的概率． （Ⅱ）用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列与数学期望 EX ．【解答】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的事件为 M， 则 P（M）= =．（II）X 的可能取值为：0，1，2，3，4， ∴P（X=0）= P（X=1）= =，，=P（X=2）= P（X=3）= ==，，第 17 页（共 23 页） 第 18 页 共 23 页 P（X=4）= =．∴X 的分布列为 XP01234X 的数学期望 EX=0× +1× +2× +3× +4× =2． 19．（12 分）（2017•山东）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且 x1+x2=3， x3﹣x2=2． （Ⅰ）求数列{xn}的通项公式； （Ⅱ）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 P1（x1，1），P2（x2，2） …Pn+1（xn+1，n+1）得到折线 P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线 y=0，x=x1，x=xn+1 所 围成的区域的面积 Tn． 【解答】解：（I）设数列{xn}的公比为 q，则 q＞0， 由题意得 ，两式相比得： ，解得 q=2 或 q=﹣ （舍）， ∴x1=1， ∴xn=2n﹣1 ．（II）过 P1，P2，P3，…，Pn 向 x 轴作垂线，垂足为 Q1，Q2，Q3，…，Qn， 即梯形 PnPn+1Qn+1Qn 的面积为 bn， 则 bn= =（2n+1）×2n﹣2 ，第 18 页（共 23 页） 第 19 页 共 23 页 ∴Tn=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，① ∴2Tn=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，② ①﹣②得：﹣Tn= +（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1 = + ﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣ +（1﹣2n）×2n﹣1 ．∴Tn= ． 20 ． （ 13 分 ） （ 2017• 山 东 ） 已 知 函 数f （ x ） =x2+2cosx ， g （ x ） =ex （ cosx﹣sinx+2x﹣2），其中 e≈2.17828…是自然对数的底数． （Ⅰ）求曲线 y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令 h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论 h（x）的单调性并判断有无 极值，有极值时求出极值． 【解答】解：（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π． ∴曲线 y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π） ．化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0． （II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx） h′（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）+ex（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx） =2（x﹣sinx）（ex﹣a）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）． 令 u（x）=x﹣sinx，则 u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数 u（x）在 R 上单调递增． ∵u（0）=0，∴x＞0 时，u（x）＞0；x＜0 时，u（x）＜0． （1）a≤0 时，ex﹣a＞0，∴x＞0 时，h′（x）＞0，函数 h（x）在（0，+∞）单 调递增； x＜0 时，h′（x）＜0，函数 h（x）在（﹣∞，0）单调递减． ∴x=0 时，函数 h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a． 第 19 页（共 23 页） 第 20 页 共 23 页 （2）a＞0 时，令 h′（x）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）=0． 解得 x1=lna，x2=0． ①0＜a＜1 时，x∈（﹣∞，lna）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函数 h（x）单调 递增； x∈（lna，0）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＜0，函数 h（x）单调递减； x∈（0，+∞）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函数 h（x）单调递增． ∴当 x=0 时，函数 h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1． 当 x=lna 时，函数 h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（ lna）+2]． ②当 a=1 时，lna=0，x∈R 时，h′（x）≥0，∴函数 h（x）在 R 上单调递增． ③1＜a 时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函数 h（x）单 调递增； x∈（0，lna）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＜0，函数 h（x）单调递减； x∈（lna，+∞）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函数 h（x）单调递增． ∴当 x=0 时，函数 h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1． 当 x=lna 时，函数 h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（ lna）+2]． 综上所述：a≤0 时，函数 h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0 时，函数 h（x） 在（﹣∞，0）单调递减． x=0 时，函数 h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a． 0＜a＜1 时，函数 h（x）在 x∈（﹣∞，lna）是单调递增；函数 h（x）在 x∈（lna ，0）上单调递减．当 x=0 时，函数 h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当 x=lna 时，函数 h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2] ．第 20 页（共 23 页） 第 21 页 共 23 页 当 a=1 时，lna=0，函数 h（x）在 R 上单调递增． a＞1 时，函数 h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数 h（x）在 （0，lna）上单调递减．当 x=0 时，函数 h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1． 当 x=lna 时，函数 h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（ lna）+2]． 21．（14 分）（2017•山东）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： =1（a＞ b＞0）的离心率为 ，焦距为2． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程． （Ⅱ）如图，该直线 l：y=k1x﹣ 交椭圆 E 于 A，B 两点，C 是椭圆 E 上的一点， 直线 OC 的斜率为 k2，且看 k1k2= ，M 是线段 OC 延长线上一点，且|MC|： |AB|=2：3，⊙M 的半径为|MC|，OS，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为 S，T ，求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线 l 的斜率． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知， ，解得 a= ，b=1． ∴椭圆 E 的方程为 ；（Ⅱ）设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 第 21 页（共 23 页） 第 22 页 共 23 页 联立 ，得 ．由题意得△= ＞0． ，．∴|AB|= ．由题意可知圆 M 的半径 r 为 r= ．由题意设知， ，∴ ．因此直线 OC 的方程为 ．联立 ，得 ．因此，|OC|= ．由题意可知，sin =．而=．令 t= ，则 t＞1， ∈（0，1）， 第 22 页（共 23 页） 第 23 页 共 23 页 因此， =≥1． 当且仅当 ∴，即 t=2 时等式成立，此时 ，因此 ．．∴∠SOT 的最大值为 ．综上所述：∠SOT 的最大值为 ，取得最大值时直线l 的斜率为 ． 第 23 页（共 23 页）
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