2017年北京高考文科数学试题及答案下载

绝密★启封并使用完毕前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷） 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 （选择题 共40 分） 第一部分 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 A {x | x  2或x  2} ，则 U  R （1）已知 ，集合 (2,2) (,2)  (2,) (,2][2,) a（A） （B） （D） [2,2] （C） (1i)(a  i) (,1) （2）若复数 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 的取值范围是 (,1) (1,) （A） （B） （D） (1,) （C） s（3）执行如图所示的程序框图，输出的 值为 3（A）2 （B） 2第 1 页 共 9 页 5385（C） （D） x  3, x, y x  y  2, x  2y （4）若 满足 则的最大值为 y  x, （A）1 （C）5 （B）3 （D）9 1f (x)  3x  ( )x f (x) ，则 （5）已知函数 3（A）是偶函数，且在 R 上是增函数 （B）是奇函数，且在 R 上是增函数 （C）是偶函数，且在 R 上是减函数 （D）是奇函数，且在 R 上是增函数 （6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （A）60 （C）20 （B）30 （D）10 （7）设 m, n 为非零向量，则“存在负数 ，使得m=λn”是“m·n<0”的 （A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件 （B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 （8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 M1080．则下列各数中与 最接近的是 N（参考数据：lg3≈0.48） 第 2 页 共 9 页 （A）1033 （C）1073 （B）1053 （D）1093 （非选择题 共110 分） 第二部分 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 13=（9）在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称.若 sin ，则 sin =_________． y2 2（10）若双曲线 的离心率为 ，则实数 m=__________． 3x  1 m，且 x+y=1，则 x2  y2 的取值范围是__________． y  0 （11）已知 x  0 ，  （12）已知点 P 在圆 x2  y2 =1上，点 A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则 的最大值为_________． AO AP （13）能够说明“设 a，b，c 是任意实数．若 a>b>c，则 a+b>c”是假命题的一组整数 a,b,c 的值依次为 ______________________________． （14）某学习小组由学生和学科网&教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学生人数多于教师人数； （ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数． ①若教师人数为 4，则女学生人数的最大值为__________． ②该小组人数的最小值为__________． 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题 13 分） ab已知等差数列 和等比数列 满足 a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5． nna（Ⅰ）求 的通项公式； nb  b  b  b （Ⅱ）求和： ．1352n1 （16）（本小题 13 分） 3f (x)  3 cos(2x -)  2sin xcos x 已知函数 .第 3 页 共 9 页 （I）求 f(x)的最小正周期；   4 4 12x[ , ] f x    （II）求证：当 时， ．（17）（本小题 13 分） 某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽 取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下 频率分布直方图： （Ⅰ）从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率； （Ⅱ）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数； （Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数学.科网不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等．试估 计总体中男生和女生人数的比例． （18）（本小题 14 分） 如图，在三棱锥 P–ABC 中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D 为线段 AC 的中点，E 为 线段 PC 上一点． （Ⅰ）求证：PA⊥BD； （Ⅱ）求证：平面 BDE⊥平面 PAC； 第 4 页 共 9 页 （Ⅲ）当 PA∥平面 BDE 时，求三棱锥 E–BCD 的体积． （19）（本小题 14 分） 3已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(−2,0)，B(2,0)，焦点在 x 轴上，离心率为 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； ．2（Ⅱ）点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M，N，过 D 作 AM 的垂线交 BN 于 点 E.求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为 4:5． （20）（本小题 13 分） 已知函数 f (x)  ex cos x  x ．y  f (x) f (x) (0, f (0)) 处的切线方程； （Ⅰ）求曲线 （Ⅱ）求函数 在点 π[0, ] 在区间 上的最大值和最小值． 2第 5 页 共 9 页 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷）答案 一、 （1）C （5）B 二、 （2）B （6）D （3）C （7）A （4）D （8）D 1（9） （10）2 31（11）[ ,1] （12）6 （14）6 2（13） 1,2,3 （答案不唯一） 三、 12 （15）（共 13 分） 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为 d. 因为 a2+a4=10，所以 2a1+4d=10. 解得 d=2. 所以 an=2n−1. （Ⅱ）设等比数列的公比为 q. 因为 b2b4=a5，所以 b1qb1q3=9. 解得 q2=3. 所以b2n1  b q2n2  3n1 .13n 1 2从而b  b3  b5  b2n1 1 3  32  3n1 .1（16）（共 13 分） 3313π解：（Ⅰ） f (x)  cos2x  sin 2x sin 2x  sin 2x  cos2x  sin(2x  ) .222232π 所以 f (x) 的最小正周期T   π .2ππ（Ⅱ）因为  x  ，44第 6 页 共 9 页 ππ5π 所以  2x  .636ππ12所以sin(2x  )  sin( )   .36π π 12所以当 x[ , ]时， f (x)   .4 4 （17）（共 13 分） 解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于 70 的频率为 (0.02  0.04)10  0.6，所以样本中 分数小于 70 的频率为1 0.6  0.4 .所以从总体的 400 名学生中随机抽取一人，其分数小于 70 的概率估计为 0.4. （Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于 50 的频率为 (0.01 0.02  0.04  0.02)10  0.9，分数在区间 [40,50) 内的人数为100 1000.9 5  5 .5所以总体中分数在区间[40,50) 内的人数估计为 400  20 .100 （Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于 70 的学生人数为 (0.02  0.04)10100  60 ，1所以样本中分数不小于 70 的男生人数为 60 30 .2所 以 样 本 中 的 男 生 人 数 为 302  60 ， 女 生 人 数 为 100  60  40 ， 男 生 和 女 生 人 数 的 比 例 为 60: 40  3: 2 .所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3: 2 .（18）（共 14 分） 解：（I）因为 PA  AB ，PA  BC ，所以 PA  平面 ABC ，又因为 BD  平面 ABC ，所以 PA  BD .（II）因为 AB  BC ，D为AC 中点，所以 BD  AC ，由（I）知， PA  BD ，所以 BD  平面 PAC .第 7 页 共 9 页 所以平面 BDE  平面 PAC （III）因为 PA∥平面 BDE ，平面 PAC 平面 BDE  DE 所以 PA∥DE .，.1因为 D为AC 的中点，所以 DE  PA 1 ，BD  DC  2 .2由（I）知， PA  平面 ABC ，所以 DE 平面 PAC .11所以三棱锥 E  BCD 的体积V  BD DC  DE  .63（19）（共 14 分） x2 y2 解：（Ⅰ）设椭圆 C的方程为 1(a  0,b  0) .a2 b2 a  2, 由题意得 解得 c  3 .c3,a2所以b2  a2  c2 1 .x2 所以椭圆 C的方程为  y2 1 .4（Ⅱ）设 M (m,n) ，则 D(m,0), N(m,n) .由题设知 m  2，且 n  0 .nm  2 n直线 AM 的斜率 kAM ，故直线 DE 的斜率 kDE m  2 .m  2 所以直线 DE 的方程为 y   (x  m) .nn直线 BN 的方程为 y  (x  2) .2  m m  2 y   y  (x  m), n(4  m2 ) nn联立 解得点 E的纵坐标 yE   .4  m2  n2 (x  2), 2  m 由点 M在椭圆 . C上，得 4  m2  4n2 4所以 yE  n .5第 8 页 共 9 页 12又S△BDE  | BD || yE | | BD || n | ，251S△BDN  | BD || n | ，2所以△BDE 与 . △BDN 的面积之比为 4:5 （20）（共 13 分） x解：（Ⅰ）因为 f (x)  ex cos x  x ，所以 f (x)  e (cosx sin x) 1, f (0)  0 .f (0) 1 y  f (x) (0, f (0)) y 1 .又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 xx（Ⅱ）设 h(x)  ex (cos x sin x) 1，则 h (x)  e (cosx sin x sin x  cos x)  2e sinx .πh (x)  0 x(0, ) 当时， ，2πh(x) [0, ] 2所以 在区间 上单调递减. h(x)  h(0)  0 πf (x)  0 .x(0, ] 所以对任意 有，即 2πf (x) [0, ] 所以函数 在区间 上单调递减. 2πππf (x) f (0) 1 [0, ] f ( )  因此 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .222第 9 页 共 9 页