第 1 页 共 17 页 2016 年浙江省高考数学试卷（文科） 一、选择题 1．（5分）（2016•浙江）已知全集 U={1，2，3，4，5，6}，集合 P={1，3，5}，Q={1，2， 4}，则（∁UP）∪Q=（ ） A．{1} B．{3，5} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5} 2．（5分）（2016•浙江）已知互相垂直的平面 α，β 交于直线 l，若直线 m，n满足 m∥α ，n⊥β，则（ ） A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 3．（5分）（2016•浙江）函数 y=sinx2的图象是（ ） A． B． C． D． 4．（5分）（2016•浙江）若平面区域 ，夹在两条斜率为 1的平行直线之间 ，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ） A． B． C． D． 5．（5分）（2016•浙江）已知 a，b＞0且 a≠1，b≠1，若 logab＞1，则（ ） A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b﹣1 ）（b﹣a）＞0 6．（5分）（2016•浙江）已知函数 f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值 与 f（x）的最小值相等”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（5分）（2016•浙江）已知函数 f（x）满足：f（x）≥|x|且 f（x）≥2x，x∈R．（ ） A．若 f（a）≤|b|，则 a≤bB．若 f（a）≤2b，则 a≤b C．若 f（a）≥|b|，则 a≥bD．若 f（a）≥2b，则 a≥b 8．（5分）（2016•浙江）如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2| ，An≠An+1，n∈N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N*，（P≠Q 表示点 P与 Q不重合）若 dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（ ） 第 1 页（共 17 页） 第 2 页 共 17 页 A．{Sn}是等差数列 B．{Sn2}是等差数列 C．{dn}是等差数列 D．{dn2}是等差数列 二、填空题 9．（6分）（2016•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积 是 cm2，体积是 cm3． 10．（6分）（2016•浙江）已知 a∈R，方程 a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐 标是 ，半径是 ． 11．（6分）（2016•浙江）已知 2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则 A= ，b= ． 12．（6分）（2016•浙江）设函数 f（x）=x3+3×2+1，已知 a≠0，且 f（x）﹣f（a）=（x﹣b ）（x﹣a）2，x∈R，则实数 a= ，b= ． 13．（4分）（2016•浙江）设双曲线 x2﹣ =1的左、右焦点分别为 F1、F2，若点 P在双曲 线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是 ． 14．（4分）（2016•浙江）如图，已知平面四边形 ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD= ，∠ADC=90° ，沿直线 AC将△ACD 翻折成△ACD′，直线 AC与 BD′所成角的余弦的最大值是 ．第 2 页（共 17 页） 第 3 页 共 17 页 15．（4分）（2016•浙江）已知平面向量 ， ，| |=1，| |=2， =1，若 为平面单位 向量，则| |+| |的最大值是 ． 三、解答题 16．（14分）（2016•浙江）在△ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 b+c=2acosB ．（1）证明：A=2B； （2）若 cosB= ，求 cosC的值． 17．（15分）（2016•浙江）设数列{an}的前 n项和为 Sn，已知 S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*． （Ⅰ）求通项公式 an； （Ⅱ）求数列{|an﹣n﹣2|}的前 n项和． 18．（15分）（2016•浙江）如图，在三棱台 ABC﹣DEF 中，平面 BCFE⊥平面 ABC，∠ACB=90° ，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3． （Ⅰ）求证：BF⊥平面 ACFD； （Ⅱ）求直线 BD与平面 ACFD所成角的余弦值． 19．（15分）（2016•浙江）如图，设抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点为 F，抛物线上的点 A 到 y轴的距离等于|AF|﹣1， （Ⅰ）求 p的值； （Ⅱ）若直线 AF交抛物线于另一点 B，过 B与 x轴平行的直线和过 F与 AB垂直的直线交于 点 N，AN与 x轴交于点 M，求 M的横坐标的取值范围． 20．（15分）（2016•浙江）设函数 f（x）=x3+ ，x∈[0，1]，证明： （Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x2 （Ⅱ） ＜f（x）≤ ． 第 3 页（共 17 页） 第 4 页 共 17 页 2016 年浙江省高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1．（5分）（2016•浙江）已知全集 U={1，2，3，4，5，6}，集合 P={1，3，5}，Q={1，2， 4}，则（∁UP）∪Q=（ ） A．{1} B．{3，5} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5} 【分析】先求出∁UP，再得出（∁UP）∪Q． 【解答】解：∁UP={2，4，6}， （∁UP）∪Q={2，4，6}∪{1，2，4}={1，2，4，6}． 故选 C． 【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题． 2．（5分）（2016•浙江）已知互相垂直的平面 α，β 交于直线 l，若直线 m，n满足 m∥α ，n⊥β，则（ ） A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 【分析】由已知条件推导出 l⊂β，再由 n⊥β，推导出 n⊥l． 【解答】解：∵互相垂直的平面 α，β 交于直线 l，直线 m，n满足 m∥α， ∴m∥β 或 m⊂β 或 m⊥β，l⊂β， ∵n⊥β， ∴n⊥l． 故选：C． 【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的 培养． 3．（5分）（2016•浙江）函数 y=sinx2的图象是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据函数奇偶性的性质，以及函数零点的个数进行判断排除即可． 【解答】解：∵sin（﹣x）2=sinx2， ∴函数 y=sinx2是偶函数，即函数的图象关于 y轴对称，排除 A，C； 由 y=sinx2=0， 则 x2=kπ，k≥0， 则 x=± ，k≥0， 第 4 页（共 17 页） 第 5 页 共 17 页 故函数有无穷多个零点，排除 B， 故选：D 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本 题的关键．比较基础． 4．（5分）（2016•浙江）若平面区域 ，夹在两条斜率为 1的平行直线之间 ，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ） A． B． C． D． 【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离． 【解答】解：作出平面区域如图所示： ∴当直线 y=x+b分别经过 A，B时，平行线间的距离相等． 联立方程组 联立方程组 ，解得 A（2，1）， ，解得 B（1，2）． 两条平行线分别为 y=x﹣1，y=x+1，即 x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0． ∴平行线间的距离为 d= =，故选：B． 【点评】本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，属于基础题． 5．（5分）（2016•浙江）已知 a，b＞0且 a≠1，b≠1，若 logab＞1，则（ ） A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b﹣1 ）（b﹣a）＞0 【分析】根据对数的运算性质，结合 a＞1或 0＜a＜1进行判断即可． 第 5 页（共 17 页） 第 6 页 共 17 页 【解答】解：若 a＞1，则由 logab＞1得 logab＞logaa，即 b＞a＞1，此时 b﹣a＞0，b＞1， 即（b﹣1）（b﹣a）＞0， 若 0＜a＜1，则由 logab＞1得 logab＞logaa，即 b＜a＜1，此时 b﹣a＜0，b＜1，即（b﹣1） （b﹣a）＞0， 综上（b﹣1）（b﹣a）＞0， 故选：D． 【点评】本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解 决本题的关键．比较基础． 6．（5分）（2016•浙江）已知函数 f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值 与 f（x）的最小值相等”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】求出 f（x）的最小值及极小值点，分别把“b＜0”和“f（f（x））的最小值与 f（ x）的最小值相等”当做条件，看能否推出另一结论即可判断． 【解答】解：f（x）的对称轴为 x=﹣，fmin（x）=﹣ ．（1）若 b＜0，则﹣ ＞﹣，∴当 f（x）=﹣ 时，f（f（x））取得最小值 f（﹣ ）=﹣ ，即 f（f（x））的最小值与 f（x）的最小值相等． ∴“b＜0”是“f（f（x））的最小值与 f（x）的最小值相等”的充分条件． （2）若 f（f（x））的最小值与 f（x）的最小值相等， 则 fmin（x）≤﹣ ，即﹣≤﹣ ，解得b≤0 或 b≥2． ∴“b＜0”不是“f（f（x））的最小值与 f（x）的最小值相等”的必要条件． 故选 A． 【点评】本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题． 7．（5分）（2016•浙江）已知函数 f（x）满足：f（x）≥|x|且 f（x）≥2x，x∈R．（ ） A．若 f（a）≤|b|，则 a≤bB．若 f（a）≤2b，则 a≤b C．若 f（a）≥|b|，则 a≥bD．若 f（a）≥2b，则 a≥b 【分析】根据不等式的性质，分别进行递推判断即可． 【解答】解：A．若 f（a）≤|b|，则由条件 f（x）≥|x|得 f（a）≥|a|， 即|a|≤|b|，则 a≤b 不一定成立，故 A错误， B．若 f（a）≤2b， 则由条件知 f（x）≥2x， 即 f（a）≥2a，则 2a≤f（a）≤2b， 则 a≤b，故 B正确， C．若 f（a）≥|b|，则由条件 f（x）≥|x|得 f（a）≥|a|，则|a|≥|b|不一定成立，故 C 错误， D．若 f（a）≥2b，则由条件 f（x）≥2x，得 f（a）≥2a，则 2a≥2b，不一定成立，即 a≥b 不一定成立，故 D错误， 第 6 页（共 17 页） 第 7 页 共 17 页 故选：B 【点评】本题主要考查不等式的判断和证明，根据条件，结合不等式的性质是解决本题的关 键．综合性较强，有一定的难度． 8．（5分）（2016•浙江）如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2| ，An≠An+1，n∈N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N*，（P≠Q 表示点 P与 Q不重合）若 dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（ ） A．{Sn}是等差数列 B．{Sn2}是等差数列 C．{dn}是等差数列 D．{dn2}是等差数列 【分析】设锐角的顶点为 O，再设|OA1|=a，|OB1|=b，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b， |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于 a，b不确定，判断 C，D不正确，设△AnBnBn+1的底边 BnBn+1上的 高为 hn，运用三角形相似知识，hn+hn+2=2hn+1，由 Sn= d•hn，可得 Sn+Sn+2=2Sn+1，进而得到 数列{Sn}为等差数列． 【解答】解：设锐角的顶点为 O，|OA1|=a，|OB1|=b， |AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d， 由于 a，b不确定，则{dn}不一定是等差数列， {dn2}不一定是等差数列， 设△AnBnBn+1的底边 BnBn+1上的高为 hn， 由三角形的相似可得 ==，==，两式相加可得， ==2， 即有 hn+hn+2=2hn+1 ，由 Sn= d•hn，可得 Sn+Sn+2=2Sn+1 ，即为 Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn， 则数列{Sn}为等差数列． 故选：A． 第 7 页（共 17 页） 第 8 页 共 17 页 【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整 理的推理能力，属于中档题． 二、填空题 9．（6分）（2016•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积 是 80 cm2，体积是 40 cm3． 【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体下部为长方体，上部为正方体的组合体，结合 图中数据求出它的表面积和体积即可． 【解答】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是下部为长方体，其长和宽都为 4，高为 2， 表面积为 2×4×4+2×42=64cm2，体积为 2×42=32cm3； 上部为正方体，其棱长为 2， 表面积是 6×22=24 cm2，体积为 23=8cm3； 所以几何体的表面积为 64+24﹣2×22=80cm2， 体积为 32+8=40cm3． 故答案为：80；40． 【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题，也考查了空间想象和计 算能力，是基础题． 10．（6分）（2016•浙江）已知 a∈R，方程 a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐 标是 （﹣2，﹣4） ，半径是 5 ． 【分析】由已知可得 a2=a+2≠0，解得 a=﹣1 或 a=2，把 a=﹣1 代入原方程，配方求得圆心 坐标和半径，把 a=2代入原方程，由 D2+E2﹣4F＜0说明方程不表示圆，则答案可求． 【解答】解：∵方程 a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆， ∴a2=a+2≠0，解得 a=﹣1 或 a=2． 当 a=﹣1 时，方程化为 x2+y2+4x+8y﹣5=0， 配方得（x+2）2+（y+4）2=25，所得圆的圆心坐标为（﹣2，﹣4），半径为 5； 当 a=2时，方程化为 ，第 8 页（共 17 页） 第 9 页 共 17 页 此时 ，方程不表示圆， 故答案为：（﹣2，﹣4），5． 【点评】本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题． 11．（6分）（2016•浙江）已知 2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则 A= ， b= 1 ． 【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案． 【解答】解：∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x =1+ （ cos2x+ sin2x）+1 = sin（2x+ ）+1， ∴A= ，b=1， 故答案为： ；1． 【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的 关键． 12．（6分）（2016•浙江）设函数 f（x）=x3+3×2+1，已知 a≠0，且 f（x）﹣f（a）=（x﹣b ）（x﹣a）2，x∈R，则实数 a= ﹣2 ，b= 1 ． 【分析】根据函数解析式化简 f（x）﹣f（a），再化简（x﹣b）（x﹣a）2，根据等式两边 对应项的系数相等列出方程组，求出 a、b的值． 【解答】解：∵f（x）=x3+3×2+1， ∴f（x）﹣f（a）=x3+3×2+1﹣（a3+3a2+1） =x3+3×2﹣（a3+3a2） ∵（x﹣b）（x﹣a）2=（x﹣b）（x2﹣2ax+a2）=x3﹣（2a+b）x2+（a2+2ab）x﹣a2b， 且 f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2， ∴，解得 或（舍去）， 故答案为：﹣2；1． 【点评】本题考查函数与方程的应用，考查化简能力和方程思想，属于中档题． 13．（4分）（2016•浙江）设双曲线 x2﹣ =1的左、右焦点分别为 F1、F2，若点 P在双曲 线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是 ． 【分析】由题意画出图形，以 P在双曲线右支为例，求出∠PF2F1和∠F1PF2为直角时 |PF1|+|PF2|的值，可得△F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围． 【解答】解：如图， 由双曲线 x2﹣ =1，得 a2=1，b2=3， 第 9 页（共 17 页） 第 10 页 共 17 页 ∴．不妨以 P在双曲线右支为例，当 PF2⊥x 轴时， 把 x=2代入 x2﹣ =1，得 y=±3，即|PF2|=3， 此时|PF1|=|PF2|+2=5，则|PF1|+|PF2|=8； 由 PF1⊥PF2，得 ，又|PF1|﹣|PF2|=2，① 两边平方得： ，∴|PF1||PF2|=6，② 联立①②解得： ，此时|PF1|+|PF2|= ∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（ 故答案为：（ ）． ．）． 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，是 中档题． 14．（4分）（2016•浙江）如图，已知平面四边形 ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD= ，∠ADC=90° ，沿直线 AC将△ACD 翻折成△ACD′，直线 AC与 BD′所成角的余弦的最大值是 ． 【分析】如图所示，取 AC的中点 O，AB=BC=3，可得 BO⊥AC，在 Rt△ACD′中，AC= ．作 D′E⊥AC，垂足为 E，D′E= ．CO= ，CE= ，EO=CO﹣CE= ．过点B作 BF∥BO =，作 FE∥BO 交 BF于点 F，则 EF⊥AC．连接 D′F．∠FBD′为直线 AC与 BD′所成的角．则 第 10 页（共 17 页） 第 11 页 共 17 页 四边形 BOEF为矩形，BF=EO= ．EF=BO= ．则∠FED′为二面角 D′﹣CA﹣B 的平面角， 设为 θ．利用余弦定理求出 D′F2的最小值即可得出． 【解答】解：如图所示，取 AC的中点 O，∵AB=BC=3，∴BO⊥AC， 在 Rt△ACD′中， ==．作 D′E⊥AC，垂足为 E，D′E= ．CO= ，CE= = = ，∴EO=CO﹣CE= ．过点 B作 BF∥BO，作 FE∥BO 交 BF于点 F，则 EF⊥AC．连接 D′F．∠FBD′为直线 AC与 BD′ 所成的角． 则四边形 BOEF为矩形，∴BF=EO= EF=BO= 则∠FED′为二面角 D′﹣CA﹣B 的平面角，设为 θ． ．=．则 D′F2= +﹣2× cosθ= ﹣5cosθ≥ ，cosθ=1 时 取等号． ∴D′B 的最小值= =2． ∴直线 AC与 BD′所成角的余弦的最大值= = = ．故答案为： ．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力， 属于难题． 15．（4分）（2016•浙江）已知平面向量 ， ，| |=1，| |=2， 向量，则| |+| |的最大值是 ． =1，若 为平面单位 第 11 页（共 17 页） 第 12 页 共 17 页 【分析】由题意可知，| |+| |为 在 上的投影的绝对值与 在 上投影的绝对值的 和，由此可知，当 与 共线时，| |+| |取得最大值，即 ．【解答】解：| |+| |= ，其几何意义为 在 上的投影的绝对值与 在 上投影的绝对值的和， 当 与 ∴共线时，取得最大值． =．故答案为： ．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生 正确理解问题的能力，是中档题． 三、解答题 16．（14分）（2016•浙江）在△ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 b+c=2acosB ．（1）证明：A=2B； （2）若 cosB= ，求 cosC的值． 【分析】（1）由 b+c=2acosB，利用正弦定理可得：sinB+sinC=2sinAcosB，而 sinC=sin（A+B ）=sinAcosB+cosAsinB，代入化简可得：sinB=sin（A﹣B），由 A，B∈（0，π），可得 0＜ A﹣B＜π，即可证明． （II）cosB= ，可得 sinB= ．cosA=cos2B=2cos2B﹣1，sinA= ．利 用 cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB 即可得出． 【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB， ∴sinB+sinC=2sinAcosB， ∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB， ∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由 A，B∈（0，π）， ∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或 B=π﹣（A﹣B），化为 A=2B，或 A=π（舍去）． ∴A=2B． （II）解：cosB= ，∴sinB= cosA=cos2B=2cos2B﹣1= ，sinA= ∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB= =．=．+ × =．【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式 ，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 第 12 页（共 17 页） 第 13 页 共 17 页 17．（15分）（2016•浙江）设数列{an}的前 n项和为 Sn，已知 S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*． （Ⅰ）求通项公式 an； （Ⅱ）求数列{|an﹣n﹣2|}的前 n项和． 【分析】（Ⅰ）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列{an}是 公比 q=3的等比数列，即可求通项公式 an； （Ⅱ）讨论 n的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列 {|an﹣n﹣2|}的前 n项和． 【解答】解：（Ⅰ）∵S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*． ∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1， 解得 a1=1，a2=3， 当 n≥2 时，an+1=2Sn+1，an=2Sn﹣1+1， 两式相减得 an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）=2an， 即 an+1=3an，当 n=1时，a1=1，a2=3， 满足 an+1=3an， ∴=3，则数列{an}是公比 q=3的等比数列， 则通项公式 an=3n﹣1 ．（Ⅱ）an﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2， 设 bn=|an﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|， 则 b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1， 当 n≥3 时，3n﹣1﹣n﹣2＞0， 则 bn=|an﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2， 此时数列{|an﹣n﹣2|}的前 n项和 Tn=3+ ﹣=，则 Tn= =．【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利用 方程组法证明列{an}是等比数列是解决本题的关键．求出过程中使用了转化法和分组法进行 数列求和． 18．（15分）（2016•浙江）如图，在三棱台 ABC﹣DEF 中，平面 BCFE⊥平面 ABC，∠ACB=90° ，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3． （Ⅰ）求证：BF⊥平面 ACFD； （Ⅱ）求直线 BD与平面 ACFD所成角的余弦值． 第 13 页（共 17 页） 第 14 页 共 17 页 【分析】（Ⅰ）根据三棱台的定义，可知分别延长 AD，BE，CF，会交于一点，并设该点为 K ，并且可以由平面 BCFE⊥平面 ABC及∠ACB=90°可以得出 AC⊥平面 BCK，进而得出 BF⊥AC． 而根据条件可以判断出点 E，F分别为边 BK，CK的中点，从而得出△BCK 为等边三角形，进 而得出 BF⊥CK，从而根据线面垂直的判定定理即可得出 BF⊥平面 ACFD； （Ⅱ）由 BF⊥平面 ACFD便可得出∠BDF 为直线 BD和平面 ACFD所成的角，根据条件可以求 出 BF= ，DF= ，从而在 Rt△BDF 中可以求出 BD的值，从而得出 cos∠BDF 的值，即得出 直线 BD和平面 ACFD所成角的余弦值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：延长 AD，BE，CF相交于一点 K，如图所示： ∵平面 BCFE⊥平面 ABC，且 AC⊥BC； ∴AC⊥平面 BCK，BF⊂平面 BCK； ∴BF⊥AC； 又 EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2； ∴△BCK 为等边三角形，且 F为 CK的中点； ∴BF⊥CK，且 AC∩CK=C； ∴BF⊥平面 ACFD； （Ⅱ）∵BF⊥平面 ACFD； ∴∠BDF 是直线 BD和平面 ACFD所成的角； ∵F 为 CK中点，且 DF∥AC； ∴DF 为△ACK 的中位线，且 AC=3； ∴又；；∴在 Rt△BFD 中， ，cos ；即直线 BD和平面 ACFD所成角的余弦值为 ．第 14 页（共 17 页） 第 15 页 共 17 页 【点评】考查三角形中位线的性质，等边三角形的中线也是高线，面面垂直的性质定理，以 及线面垂直的判定定理，线面角的定义及求法，直角三角形边的关系，三角函数的定义． 19．（15分）（2016•浙江）如图，设抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点为 F，抛物线上的点 A 到 y轴的距离等于|AF|﹣1， （Ⅰ）求 p的值； （Ⅱ）若直线 AF交抛物线于另一点 B，过 B与 x轴平行的直线和过 F与 AB垂直的直线交于 点 N，AN与 x轴交于点 M，求 M的横坐标的取值范围． 【分析】（Ⅰ）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得 p值； （Ⅱ）设出直线 AF的方程，与抛物线联立，求出 B的坐标，求出直线 AB，FN的斜率，从而 求出直线 BN的方程，根据 A、M、N三点共线，可求出 M的横坐标的表达式，从而求出 m的 取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点 A到焦点 F的距离等于 A到直线 x=﹣1 的距离 ，由抛物线定义得， ，即 p=2； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为 y2=4x，F（1，0），可设（t2，2t），t≠0，t≠±1， ∵AF 不垂直 y轴， ∴设直线 AF：x=sy+1（s≠0）， 联立 ，得 y2﹣4sy﹣4=0． y1y2=﹣4， ∴B（ ）， 又直线 AB的斜率为 ，故直线 FN的斜率为 ，从而得 FN： 则 N（ ，直线 BN：y=﹣ ， ）， 第 15 页（共 17 页） 第 16 页 共 17 页 设 M（m，0），由 A、M、N三点共线，得 ，于是 m= =，得 m＜0或 m＞2． 经检验，m＜0或 m＞2满足题意． ∴点 M的横坐标的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）． 【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数学转化 思想方法，属中档题． 20．（15分）（2016•浙江）设函数 f（x）=x3+ ，x∈[0，1]，证明： （Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x2 （Ⅱ） ＜f（x）≤ ． 【分析】（Ⅰ）根据题意，1﹣x+x2﹣x3= ，利用放缩法得 ≤，即 可证明结论成立； （Ⅱ）利用 0≤x≤1 时 x3≤x，证明 f（x）≤ ，再利用配方法证明f（x）≥ ，结合函数 的最小值得出 f（x）＞ ，即证结论成立． 【解答】解：（Ⅰ）证明：因为 f（x）=x3+ ，x∈[0，1]， 且 1﹣x+x2﹣x3= =，所以 ≤，所以 1﹣x+x2﹣x3≤ ，即 f（x）≥1﹣x+x2； （Ⅱ）证明：因为 0≤x≤1，所以 x3≤x， 所以 f（x）=x3+ ≤x+ =x+ ﹣ + = + ≤ ； 由（Ⅰ）得，f（x）≥1﹣x+x2= + ≥ ， 第 16 页（共 17 页） 第 17 页 共 17 页 且 f（ ）= +=＞ ， 所以 f（x）＞ ； 综上， ＜f（x）≤ ． 【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了推理与论证 ，分析问题与解决问题的能力，是综合性题目． 第 17 页（共 17 页）
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