2016年海南省高考文科数学试题及答案下载

2016年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号 填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。 3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、 选择题：本大题共12 小题。每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 2A {1，2，3}， （1）已知集合 B {x | x  9} ，则 A  B  （A）{ 2，1，0，1，2，3} （B）{ 2，1，0，1，2} （2）设复数 z 满足 z  i  3  i ，则 （C）{1，2，3} （D）{1，2} z=（A） 1 2i （B）1 2i （C）3  2i （D）3  2i (3) 函数 y=Asin(x ) 的部分图像如图所示，则 6y  2sin(2x  ) （A） （B） （C） y  2sin(2x  ) 3y  2sin(2x+ ) 61第 1 页 共 15 页 3y  2sin(2x+ ) （D） (4) 体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 32 （A）12（B） （C） （D）   3k(5) 设 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，曲线 y= （k>0）与 C 交于点 P，PF⊥x 轴，则 k= x13（A） （B）1 （C） （D）2 22(6) 圆 x2+y2−2x−8y+13=0 的圆心到直线 ax+y−1=0 的距离为 1，则 a= 43（A）− （B）− （C） 3 （D）2 34(7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A）20π（B）24π（C）28π（D）32π (8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒.若一名行人来到该路口遇到红 灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为学.科网 7533（A） （B） （C） （D） 10 8810 (9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该 程序框图，若输入的 a 为 2，2，5，则输出的 s= （A）7 （B）12 （C）17 （D）34 (10) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y=10lgx 的定义域和值域相同的是 1（A）y=x（B）y=lgx（C）y=2x（D） y  xπ(11) 函数 f (x)  cos2x  6cos(  x) 的最大值为 22第 2 页 共 15 页 （A）4（B）5 （C）6 （D）7 (12) 已知函数 f(x)（x∈R）满足 f(x)=f(2-x)，若函数 y=|x2-2x-3| 与 y=f(x) 图像的交点为（x1,y1），(x2,y2)，…， m（xm,ym），则 x = ii1 (A)0 二．填空题：共 4 小题，每小题 5 分. (13) 已知向量 a=(m,4)，b=(3,-2)，且 a∥b，则 m=___________. (B)m (C) 2m (D) 4m x  y 1 0 (14) 若 x，y 满足约束条件 x  y 3  0，则 z=x-2y 的最小值为__________ x 3  0 455（ 15 ） △ ABC 的 内 角A ， B ， C 的 对 边 分 别 为a ， b ， c ， 若cos A  b=____________. ，cosC  ， a=1 ， 则 13 （16）有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3. 学.科网甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙 的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不 是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是________________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）(本小题满分 12 分) 等差数列{ an }中， a3  a  4,a5  a  6 47（I）求{ an }的通项公式； bab(II)设 n =[ n ]，求数列{ n }的前 10 项和，其中[x]表示不超过 x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2 （18）(本小题满分 12 分) 某险种的基本保费为 a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年 度出险次数的关联如下：学科.网 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 3第 3 页 共 15 页 （I）记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。求 P(A)的估计值； (II)记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160％”. 求 P(B)的估计值； （III）求续保人本年度的平均保费估计值. （19）（本小题满分 12 分） 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E、F 分别在 AD，CD 上，AE=CF，EF 交 BD 于点 H， 将DEF 沿 EF 折到D’EF 的位置. （I）证明： AC  HD’ ；5(II)若 AB  5, AC  6, AE  ,OD’  2 2,求五棱锥 D’ ABCEF体积. 4（20）（本小题满分 12 分） 已知函数 f (x)  (x 1)ln x  a(x 1) .（I）当 a  4 时，求曲线 y  f (x) 在1, f (1) 处的切线方程； (II)若当 x 1, 时， f (x)＞0 ，求 a的取值范围. （21）（本小题满分 12 分） x2 y2 已知 A 是椭圆 E： 1的左顶点，斜率为 k k＞0 的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上， 434第 4 页 共 15 页 MA  NA （I）当 AM  AN 时，学.科网求AMN 的面积 (II)当 2 AM  AN 时，证明： 3  k  2 ..请考生在第 22~24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. （22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，在正方形 ABCD 中，E，G 分别在边 DA，DC 上（不与端点重合），且 DE=DG，过 D 点作 DF⊥ CE，垂足为 F. 学科.网 （Ⅰ）证明：B，C，G，F 四点共圆； （Ⅱ）若 AB=1，E 为 DA 的中点，求四边形 BCGF 的面积. （23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 (x + 6)2 + y2 = 25 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 .（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，学.科网求 C 的极坐标方程； ìx = t cosα, y = t sinα, ïïAB = 10 （Ⅱ）直线 l 的参数方程是 í（t 为参数），l 与 C 交于 A，B 两点， ,求 l 的斜率. ïïî（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 121已知函数 f (x) = x- （Ⅰ）求 M； + x + ，M 为不等式 f (x) < 2 的解集. 学科.网 2（Ⅱ）证明：当 a，bÎ M 时， a + b < 1+ ab .2016年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学答案 5第 5 页 共 15 页 第Ⅰ卷 一. 选择题 （1）【答案】D (5)【答案】D (9)【答案】C 二．填空题 （2）【答案】C (6) 【答案】A (3) 【答案】A (7) 【答案】C (4) 【答案】A (8) 【答案】B (10) 【答案】D (11)【答案】B (12) 【答案】B 21 13 (13)【答案】 6 (14)【答案】 5 （15）【答案】 （16）【答案】1 和 3 三、解答题 （17）(本小题满分 12 分) 2n  3 【答案】（Ⅰ） an  ；（Ⅱ）24. 5【解析】 试题分析：(Ⅰ) 根据等差数列的性质求 a1 前 10项和. ，d，从而求得 an ；（Ⅱ）根据已知条件求bn ，再求数列 b  n的2试题解析：(Ⅰ)设数列 a的公差为 d，学.科网由题意有 2a1 5d  4,a1 5d  3，解得 a1 1,d  ，  n52n  3 所以 a的通项公式为 an  .  n52n  3 （Ⅱ）由(Ⅰ)知bn  ，52n  3 当 n=1,2,3 时，1  2,bn 1 ；52n  3 当 n=4,5 时， 2  当 n=6,7,8 时，3  当 n=9,10 时， 4   3,bn  2 ；52n  3  4,bn  3 ；52n  3  5,bn  4 ，5所以数列 b的前 10项和为13 22  33 42  24 .  n考点：等茶数列的性质，数列的求和. 【结束】 （18）(本小题满分 12 分) 6第 6 页 共 15 页 60  50 200 30  30 200 【答案】（Ⅰ）由 求 P(A)的估计值；（Ⅱ）由 求 P(B)的估计值；（III）根据平均值得计算公 式求解. 【解析】 试题分析： 试题解析：(Ⅰ)事件 A发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知，一年内险次数小于 2的频率为 60  50  0.55 ，200 故 P(A)的估计值为 0.55. （Ⅱ）事件 B发生当且仅当一年内出险次数大于 1且小于 4.由是给数据知，学.科网一年内出险次数大于 1 30  30 且小于 4的频率为  0.3 ，200 故 P(B)的估计值为 0.3. (Ⅲ)由题所求分布列为： 0.85a 0.30 a1.25a 0.15 1.5a 0.15 1.75a 0.10 2a 保费 频率 0.25 0.05 调查 200 名续保人的平均保费为 0.85a0.30  a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.30  2a0.10 1.1925a 因此，续保人本年度平均保费估计值为 1.1925a. 考点：样本的频率、平均值的计算. ，【结束】 （19）（本小题满分 12 分） 69 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） 【解析】 .4试题分析：（Ⅰ）证 AC / /EF.再证 AC / /HD .（Ⅱ）证明OD  OH.再证OD 平面 ABC.最后呢五棱 锥D’ ABCEF体积. 试题解析：（I）由已知得， AC  BD, AD  CD. AE CF 又由 AE  CF 得，故 AC / /EF. AD CD 由此得 EF  HD, EF  HD ，所以 AC / /HD . .7第 7 页 共 15 页 OH AE 1 . 4（II）由 EF / /AC AB  5, AC  6 得得DO AD 由DO  BO  AB2  AO2  4. 所以OH 1, D H  DH  3. 22222 OD  OH. 于是OD  OH  (2 2) 1  9  D H, 故AC  BD, BD  HD  H 由（I）知 AC  HD ，又 ，AC  OD . 所以 AC 平面 BHD ,于是 OD  OH, AC OH  O OD  ABC. 又由 又由 ，所以， 平面 EF DH 9得EF  . AC DO 211 9 五边形 ABCFE 的面积 S  68  3  2 2 69 .241 69 所以五棱锥 D’ ABCEF体积V  2 2 23 2 2.34考点：空间中的线面关系判断，几何体的体积. 【结束】 （20）（本小题满分 12 分） 2x  y  2  0. ,2 . .【答案】（Ⅰ） 【解析】 ；（Ⅱ） 试题分析：（Ⅰ）先求定义域，再求 f (x) ，f (1) ，f (1)，由直线方程得点斜式可求曲线 y  f (x) a(x 1) 在2x  y  2  0. (1, f (1))处的切线方程为 论，用导数法求解. （Ⅱ）构造新函数 g(x)  ln x  ，学.科网对实数 分类讨 ax 1 试题解析：（I） f (x) 的定义域为 (0,).当 a  4 时， 1f (x)  (x 1)ln x  4(x 1), f (x)  ln x  3 f (1)  2, f (1)  0.曲线 y  f (x) ，在(1, f (1))处的 x2x  y  2  0. 切线方程为 a(x 1) x 1 （II）当 x(1,) 时， f (x)  0 等价于 ln x   0. 8第 8 页 共 15 页 a(x 1) x 1 g(x)  ln x  ，则 令12a x2  2(1 a)x 1 x(x 1)2 g (x)  , g(1)  0 ，x (x 1)2 （i）当 a  2 ，x(1,) 时， x2  2(1 a)x 1 x2  2x 1 0 ，故 g (x)  0, g(x) x(1,) 上单 在调递增，因此 g(x)  0 ；（ii）当 a  2 时，令 g (x)  0 得x1  a 1 (a 1)2 1, x2  a 1 (a 1)2 1 ，由x2 1 和x1x2 1 得x1 1，故当 x(1, x2 )时， g (x)  0 g(x) ，在x(1, x2 )单调递减，学.科网因此 g(x)  0 .综上， a的取值范围是 ,2 . 考点：导数的几何意义，函数的单调性. 【结束】 （21）（本小题满分 12 分） 144 3【答案】（Ⅰ） 【解析】 ；（Ⅱ） 2,2 .49 试题分析：（Ⅰ）先求直线 AM 的方程，再求点 M的纵坐标，最后求 AMN 的面积；（Ⅱ）设 M x, y ，，将直线 AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去 ，用 表示x1 ，从而表示 ，同理用 | AM | yk1  1k表示| AN |，再由 2 AM  AN k求 . 试题解析：（Ⅰ）设 M (x1, y1) ，则由题意知 y1  0 .4由已知及椭圆的对称性知，直线 AM 的倾斜角为 ，又将A(2,0) ，因此直线 AM 的方程为 y  x  2 .x2 y2 x  y  2代入 1 得7y2 12y  0 ，439第 9 页 共 15 页 12 12 7解得 y  0 或y  ，所以 y1  .71 12 12144 因此 AMN 的面积 SAMN  2  .27749 x2 y2 （2）将直线 AM 的方程 y  k(x  2)(k  0) 代入 1 得43(3 4k2 )x2 16k2 x 16k2 12  0 .16k2 12 3 4k2 2(3 4k2 ) 3 4k2 12 1 k2 3 4k2 由x1 (2)  得x1  ，故| AM | 1 k2 | x1  2 | .12k 1 k2 1由题设，直线 AN 的方程为 y  (x  2) ，故同理可得| AN | .k4  3k2 2k由设2 | AM || AN | 得，即 4k3  6k2  3k 8  0 .3 4k2 4  3k2 f (t)  4t3  6t2  3t 8 ，则 f (t)的零点， f ‘(t) 12t2 12t  3  3(2t 1)2  0 k是，所以 f (t) 因此 f (t) 在在(0,)单调递增，又 f ( 3)15 3 26  0, f (2)  6  0 ，(0,)有唯一的零点，且零点 k在( 3,2)内，所以 3  k  2 .考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【结束】 请考生在 22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 （22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 1【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） 【解析】 .2试题分析：（Ⅰ）证 DGF  CBF, 再证 B,C,G, F 四点共圆；（Ⅱ）证明 RtBCG  RtBFG, 四边形 BCGF 的面积 GCB 面积 GCB 的 2 倍. S是S试题解析：（I）因为 DF  EC ,所以 DEF  CDF, DF DE DG GDF  DEF  FCB, ,则有 CF CD CB 10 第 10 页 共 15 页 所以 DGF  CBF, 由此可得 DGF  CBF, 由此 CGF  CBF 1800 , 所以 B,C,G, F 四点共圆. （II）由 B,C,G, F 四点共圆，CG  CB 知FG  FB ，连结GB ，由G为RtDFC 斜边CD 的中点，知GF  GC ,故 RtBCG  RtBFG, 因此四边形 BCGF 的面积 S是GCB 面积 SGCB 的 2 倍，即 1 1 1S  2SGCB  2  1 . 2 2 2考点：三角形相似、全等，四点共圆 【结束】 （23）（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 15 【答案】（Ⅰ） 2 12 cos 11 0；（Ⅱ） .3【解析】 试题分析：（I）利用 2  x2  y2 ，x   cos 可得 C 的极坐标方程；（II）先将直线 l的参数方程化为普通 方程，学.科网再利用弦长公式可得 l的斜率． 试题解析：（I）由 x   cos, y   sin 可得 （II）在（I）中建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为  (  R) A, B 所对应的极径分别为 1, 2 , 的极坐标方程代入 的极坐标方程得 2 12 cos 11 0. 于是 1  2  12cos, 12 11, C的极坐标方程 2 12 cos 11 0. l由将lC11 第 11 页 共 15 页 | AB || 1  2 | (1  2 )2  412  144cos2   44, 315 3由| AB | 10 得cos2   , tan   ，815 315 3所以 l的斜率为 或.考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式. 【结束】 （24）（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 【答案】（Ⅰ） M {x | 1 x 1}；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 1211212x    x  x  试题分析：（I）先去掉绝对值，再分 ，和三种情况解不等式，即可得 ；（II） 2采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当 a，b 时， a  b  1 ab ．12x, x  , 211试题解析：（I） f (x)  1, x  , 2212x, x  . 212x   当当当时，由 f (x)  2 得2x  2,解得 x  1 ；11 x  时， f (x)  2 ；221x  时，学.科网由 f (x)  2 得2x  2, 解得 x 1 .2所以 f (x)  2 的解集 M {x | 1 x 1} （II）由（I）知，当 a,bM 时， 1 a 1,1 b 1，从而 (a  b)2  (1 ab)2  a2  b2  a2b2 1 (a2 1)(1b2 )  0 .，12 第 12 页 共 15 页 因此| a  b ||1 ab |. 考点：绝对值不等式，不等式的证明. 【结束】 一、选择题 1.D　由已知得 B={x|-3<x<3},∵A={1,2,3},∴A∩B={1,2},故选 D. 2.C　z=3-2i,所以 =3+2i,故选 C. 3.A　由题图可知 A=2, = – = ,则 T=π,所以 ω=2,则 y=2sin(2x+φ),因为题图经过点 ,所以 2sin =2,所以 +φ=2kπ+,k∈Z,即 φ=2kπ- ,k∈Z,当 k=0时,φ=- ,所以 y=2sin ,故选 A. 4.A　设正方体的棱长为 a,则 a3=8,解得 a=2. 设球的半径为 R,则 2R= a,即 R= ,所以球的表面积 S=4πR2=12π.故选 A. 5.D　由题意得点 P的坐标为(1,2).把点 P的坐标代入 y= (k>0)得 k=1×2=2,故选 D. 6.A　由圆的方程可知圆心为(1,4).由点到直线的距离公式可得 易错警示　圆心的坐标容易误写为(-1,-4)或(2,8). =1,解得 a=- ,故选 A. 7.C　由三视图知圆锥的高为 2 ,底面半径为 2,则圆锥的母线长为 4,所以圆锥的侧面积为 ×4π×4=8π. 圆柱的底面积为 4π, 圆柱的侧面积为 4×4π=16π,从而该几何体的表面积为 8π+16π+4π=28π,故选 C. 8.B　行人在红灯亮起的 25秒内到达该路口,即满足至少需要等待 15秒才出现绿灯,根据几何概型的概率 公式知所求事件的概率 P= =,故选 B. 9.C　执行程序框图,输入 a为 2时,s=0×2+2=2,k=1,此时 k>2不成立;再输入 a为 2时,s=2×2+2=6,k=2, 此时 k>2不成立;再输入 a为 5,s=6×2+5=17,k=3,此时 k>2成立,结束循环,输出 s为 17,故选 C. 10.D　函数 y=10lgx的定义域、值域均为(0,+∞),而 y=x,y=2x的定义域均为 R,排除 A,C;y=lgx的值域为 R, 排除 B,故选 D. 13 第 13 页 共 15 页 易错警示　利用对数恒等式将函数 y=10lgx变为 y=x,将其值域认为是 R是失分的主要原因. 11.B　f(x)=1-2sin2x+6sinx=-2 + ,当 sinx=1时,f(x)取得最大值 5,故选 B. 思路分析　利用二倍角余弦公式及诱导公式将 f(x)=cos2x+6cos 配方来求最值,注意不要忘记 sinx∈[-1,1]. 转化为关于 sinx的二次函数,通过 12.B　由题意可知 f(x)的图象关于直线 x=1对称,而 y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的图象也关于直线 x=1对称, 所以两个图象的交点关于直线 x=1对称,且每对关于直线 x=1对称的交点的横坐标之和为 2,所以 xi=m,故 选 B. 疑难突破　关于直线 x=1对称的两点横坐标之和为 2,由题意得出 f(x)与 y=|x2-2x-3|的图象均关于直线 x=1对称是解题的关键. 二、填空题 13. 答案　-6 解析　因为 a∥b,所以 = ,解得 m=-6. 易错警示　容易把两个向量平行与垂直的条件混淆. 14. 答案　-5 解析　由约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示(包括边界).当直线 x-2y-z=0过点 B(3,4)时,z取得 最小值,zmin=3-2×4=-5. 15. 答案　 14 第 14 页 共 15 页 解析　由 cosC= ,0<C<π,得 sinC= . 由 cosA= ,0<A<π,得 sinA= . 所以 sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C) =sinAcosC+sinCcosA= , 根据正弦定理得 b= =. 16. 答案　1和 3 解析　丙的卡片上的数字之和不是 5,则丙有两种情况:①丙的卡片上的数字为 1和 2,此时乙的卡片上的 数字为 2和 3,甲的卡片上的数字为 1和 3,满足题意;②丙的卡片上的数字为 1和 3,此时乙的卡片上的数字 为 2和 3,甲的卡片上的数字为 1和 2,这时甲与乙的卡片上有相同的数字 2,与已知矛盾,故情况②不符合, 所以甲的卡片上的数字为 1和 3. 疑难突破　先对丙分类讨论,确定出丙卡片上的数字情况再确定乙、甲是解决问题的关键. 15 第 15 页 共 15 页