2016年山东高考文科数学真题及答案下载

2016 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 数学（文科） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考 试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县 区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写 上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式： 如果事件 A,B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B). 第 I卷（共 50分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合U {1,2,3,4,5,6}, A {1,3,5}, B {3,4,5}，则ð (A  B) =U（A）{2,6} （B）{3,6} （C）{1,3,4,5} （D）{1,2,4,6} 1第 1 页 共 17 页 2（2）若复数 z  （A）1+i ，其中 i 为虚数单位，则 z = 1 i （B）1−i （C）−1+i （D）−1−i （3）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中 自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30). 根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是 （A）56 （B）60 （C）120 （D）140 x  y  2, （4）若变量 x，y 满足 2x 3y  9,则 x2+y2 的最大值是 x  0, （A）4（B）9（C）10（D）12 （5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为 1 2 132（A） + π （B） +π3 3 31322（C） +π（D）1+ π662第 2 页 共 17 页 （6）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α， （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 相交”的 b b （7）已知圆 M： x2 + y2 – 2ay = 0(a > 0) 截直线 x + y = 0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N： 2（x- 1）+ (y – 1)2 = 1的位置关系是 （A）内切（B）相交（C）外切（D）相离 （8）△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知b = c,a2 = 2b2 (1- sin A) ,则 A= 3π πππ（A） （B） （C） （D） 43461(9)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x＜0 时，f(x)=x3-1；当-1≤x≤1 时，f(-x)= —f(x)；当 x＞ 时， 211f(x+ )=f(x— ).则 f(6)= 22（A）-2 （B）-1 （D）2 （C）0 （10）若函数 y  f (x) 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y  f (x) 具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是学科&网 （A） y  sin x （B） y  ln x （C） y  ex （D） y  x3 第 II 卷（共 100 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11）执行右边的程序框图，若输入 n 的值为 3，则输出的 S 的值为_______． 3第 3 页 共 17 页 （12）观察下列等式： π2π 4(sin )2  (sin )2  12 ；333π2π 3π 4π 4(sin )2  (sin )2  (sin )2  (sin )2  23 ；55553π2π 3π 6π 4(sin )2  (sin )2  (sin )2  (sin )2  34 ；；7π72π 73π 78π 34(sin )2  (sin )2  (sin )2  (sin )2  45 99993…… 照此规律， (sin π2π 3π 2nπ )2  (sin )2  (sin )2  (sin )2  _________． 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 （13）已知向量 a=(1,–1)，b=(6,–4)．若 a⊥(ta+b)，则实数 t 的值为________． x2 y2 （14）已知双曲线 E： – =1（a>0，b>0）．矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的 a2 b2 两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是_______． x , x  m, x2  2mx  4m, x  m, （15）已知函数 f(x)= 其中 m>0．若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不 4第 4 页 共 17 页 同的根，则 m 的取值范围是_______． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 （16）（本小题满分 12 分） 某儿童乐园在“六一”儿童节退出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后， 待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为 x，y.奖励规则如下： ①若 xy  3，则奖励玩具一个；学科&网 ②若 xy  8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. （I）求小亮获得玩具的概率； （II）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由. （17）（本小题满分 12 分） 设f (x)  2 3sin(π  x)sin x  (sin x  cos x)2 .（I）求 f (x) 得单调递增区间； π（II）把 y  f (x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 3π个单位，得到函数 y  g(x) 的图象，求 g( )的值. 65第 5 页 共 17 页 （18）（本小题满分 12 分） 在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EF∥DB. （I）已知 AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB； （II）已知 G,H 分别是 EC 和 FB 的中点.求证：GH∥平面 ABC. （19）（本小题满分 12 分） 已知数列 a的前 n 项和 Sn  3n2 8n 的通项公式；学科&网 ， 是等差数列，且an  bn  bn1 . bn    n（I）求数列 b  n(an 1)n1 (bn  2)n （II）令 cn  .求数列 的前n 项和Tn . cn  6第 6 页 共 17 页 (20)(本小题满分 13 分) 设 f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，a∈R. (Ⅰ)令 g(x)=f'(x)，求 g(x)的单调区间； (Ⅱ)已知 f(x)在 x=1 处取得极大值.求实数 a 的取值范围. (21)(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C: （a>b>0）的长轴长为 4，焦距为 2 .（I）求椭圆 C 的方程； (Ⅱ)过动点 M(0，m)(m>0)的直线交 x 轴与点 N，交 C 于点 A，P(P 在第一象限)，且 M 是线段 PN 的中点.过 点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q，延长线 QM 交 C 于点 B. (i)设直线 PM、QM 的斜率分别为 k、k’，证明 为定值. (ii)求直线 AB 的斜率的最小值. 7第 7 页 共 17 页 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 数学（文科） 第 I卷（共 50分） 一、选择题 （1）【答案】A （2）【答案】B （3）【答案】D （4）【答案】C （5）【答案】C （6）【答案】A （7）【答案】B （8）【答案】C (9) 【答案】D （10）【答案】A 第 II 卷（共 100 分） 二、填空题 （11）【答案】 14（12）【答案】 n n 1 3（13）【答案】 5 （14）【答案】 2（15）【答案】 3, 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 （16） 5【答案】（ ） .（ 16 ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 8第 8 页 共 17 页 【解析】 试题分析：用数对 x, y 表示儿童参加活动先后记录的数，写出基本事件空间 与点集 S  x, y | x N, y N,1 x  4,1 y  4 一一对应.得到基本事件总数为 n 16. （）事件 ）记“ xy  8”为事件 包含的基本事件共有 包含的基本事件共有 比较即知. 试题解析：用数对 x, y 表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间 A包含的基本事件共有 5个，即 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 3,1 ,计算即得.      （B，“3  xy  8”为事件C . 63知事件 B6个，得到 P B  .   16 85事件 C5个，得到 P C   .16 与点集 S  x, y | x N, y N,1 x  4,1 y  4 一一对应.因为 S 中元素个数是 44 16, 所以基本事件总 数为 n 16. ）记“ xy  3”为事件 则事件 包含的基本事件共有5个，即 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 3,1 , （A . A     55所以， P A    ,即小亮获得玩具的概率为 . 16 16 （）记“ xy  8”为事件 B ，“3  xy  8”为事件C . 则事件 B 包含的基本事件共有 6个，即 2,4 , 3,3 , 3,44,2 , 4,3 , 4,4 ,      63所以， P B  .   16 8则事件 C包含的基本事件共有 5个，即 1,4 , 2,2 , 2,3 , 3,2 , 4,1 ,      5所以， P C   .16 35因为 ,8 16 所以，小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 考点：古典概型 9第 9 页 共 17 页 （17） 12 5 12 12 5 【答案】（ ）f x的单调递增区间是 k  ,k    k Z , （或 (k  ,k  ) k Z ）12 （） 3. 【解析】 试题分析：（ ）化简 f x 2 3sin  x sin x  sin x  cos x 2 得   3f (x)  2sin 2x   3 1, 23212 5 12 由2k  2x  2k  k Z , 即得 k  x  k  k Z , 写出 f x的单调递增区间   36    （）由 f x  2sin 2x   3 1, 平移后得 g x  2sin x  3 1.进一步可得 g.      2试题解析：（ ）由 f x 2 3sin  x sin x  sin x  cos x    2 3sin2 x  1 2sin xcos x  3 1 cos2x  sin 2x 1  sin 2x  3 cos2x  3 1 3 2sin 2x   3 1, 2325 12 由2k  2x  2k  k Z , 得k  x  k  12 k Z , 12 5 12 所以， f x的单调递增区间是 k  ,k    k Z , 12 5 12 （或 (k  ,k  ) k Z ）3（）由（ ）知 f x  2sin 2x     3 1, 10 第 10 页 共 17 页 把y  f x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），   3得到 y   2sin x   3 1的图象， 3再把得到的图象向左平移 个单位，得到 y  2sin x  3 1的图象， 即g x  2sin x  3 1.   6  6  所以 g 2sin  3 1 3.   考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质；3.三角函数的图象和性质. （18）【答案】（Ⅰ））证明：见解析；（Ⅱ）见解析. 【解析】 试题分析：（Ⅰ））根据 EF // BD ，知 EF 从而 AC  平面 BDEF ，证得 AC  FB 与BD 确定一个平面，连接 DE ，得到 DE  AC ，BD  AC ，.（Ⅱ）设 FC 的中点为 GHI // 平面 ABC ，进一步得到GH // 平面 ABC 试题解析：（Ⅰ））证明：因 EF // BD ，所以 EF BD确定一个平面，连接 DE ，因为 AE  EC, E 的中点，所以 DE  AC ；同理可得 BD  AC ，又因为 BD  DE  D ，所以 AC  平面 BDEF ，因为 I，连GI, HI ，在 CEF ，CFB 中，由三角形中位线定理可得线线平行，证得平 面.与为 AC FB  平面 BDEF ，AC  FB 。（Ⅱ）设 FC 的中点为 I，连GI, HI ，在 CEF 中，G 是CE 的中点，所以GI // EF ，又 EF // DB ，所 是 FB的中点，所以 以GI // DB ；在 CFB 中， HHI // BC ，又GI  HI  I ，所以平面GHI // 平面 ABC ，因为GH  平面GHI ，所以GH // 平面 ABC 。11 第 11 页 共 17 页 FEHGIBADC考点：1.平行关系；2.垂直关系. （19） n2 【答案】（Ⅰ）bn  3n 1;（Ⅱ） Tn  3n  2 【解析】 a  b  b 112试题分析：（Ⅰ）由题意得 ，解得b1  4,d  3 ，得到bn  3n 1 。a2  b2  b3 (6n  6)n1 (3n  3)n （Ⅱ）由（Ⅰ）知 cn   3(n 1)  2n1 ，从而 Tn  3[2 22  3 23  4 24    (n 1)2n1 ]n2 利用“错位相减法”即得 Tn  3n  2 试题解析：（Ⅰ）由题意当 n  2时， an  Sn  Sn1  6n  5，当 n  1时， a1  S1  11；所以 an  6n  5 ；a  b  b 11  2b  d 1121设数列的公差为 d，由 ，即 ，解之得b1  4,d  3 ，所以bn  3n 1 。a2  b2  b3 17  2b1  3d (6n  6)n1 (3n  3)n （Ⅱ）由（Ⅰ）知 cn   3(n 1)  2n1 ，又Tn  c1  c2  c3    cn ，即 Tn  3[2 22  3 23  4 24    (n 1)2n1 ]，所以 2Tn  3[2 23  3 24  4 25    (n 1)2n2 ]，以上两式两边相减得 4(2n 1) Tn  3[2 22  23  24    2n1  (n 1)2n2 ]  3[4   (n 1)2n2 ]  3n  2n2 。2 1 12 第 12 页 共 17 页 n2 所以 Tn  3n  2 考点：1.等差数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.“错位相减法”. (20) 【答案】(Ⅰ)当 a  0 时，函数 g x 单调递增区间为 0,   ；11当a  0 时，函数 g x 单调递增区间为 0, ，单调递减区间为 , .  2a 2a 1(Ⅱ) a  .2【解析】 试题分析：(Ⅰ)求导数 f ‘ x  ln x  2ax  2a,   可得 g x  ln x  2ax  2a, x 0, ，  11 2ax 从而 g ‘ x  2a  ，  xx讨论当 a  0 时，当 a  0 时的两种情况即得. 1112(Ⅱ)由(Ⅰ)知， f ‘ 1  0 .分以下情况讨论：①当 a  0 时，②当 0  a  时，③当 a  时，④当 a    22时，综合即得. 试题解析：(Ⅰ)由 f ‘ x  ln x  2ax  2a,   可得 g x  ln x  2ax  2a, x 0,   ，11 2ax 则当g ‘ x  2a  ，  xxa  0 时， x 0, 时， g ‘ x  0 ，函数 g x 单调递增； a  0 时，     当1x 0, 时， g ‘ x  0 ，函数 g x 单调递增，    2a 1g ‘ x  0 ，函数 g x 单调递减. x , 时，     2a 13 第 13 页 共 17 页 所以当 a  0 时，函数 g x 单调递增区间为 0, ；  11当a  0 时，函数 g x 单调递增区间为 0, ，单调递减区间为 , .  2a 2a (Ⅱ)由(Ⅰ)知， f ‘ 1  0 .  ①当 a  0 时， f ‘ x  0 ，f x单调递减.     所以当 x 0,1 时， f ‘ x  0   ，f x单调递减.   当x 1, 时， f ‘ x  0   ，f x单调递增.   所以 f x在 x=1处取得极小值，不合题意.   111②当 0  a  时， 1，由(Ⅰ)知 f ‘ x   在0, 内单调递增， 22a 2a 1可得当当 x 0,1 时， f ‘ x  0   ，x 1, 时， f ‘ x  0   ，2a 1所以 f x在(0,1)内单调递减，在 1, 内单调递增，   2a 所以 f x在 x=1处取得极小值，不合题意.   11③当 a  时，即 1时， f ‘ x 在(0,1)内单调递增，在 1, 内单调递减，   22a 所以当 x 0, 时， f ‘ x  0   ，f x单调递减，不合题意.   111④当 a  时，即 0  1 ，当 x ,1 时， f ‘ x  0 ，f x单调递增,     22a 2a 当x 1, 时， f ‘ x  0   ，f x单调递减，   所以 f(x)在 x=1处取得极大值，合题意. 1综上可知，实数 a的取值范围为 a  .2考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想. (21) 14 第 14 页 共 17 页 x2 y2 6【答案】(Ⅰ) 1.(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线 AB 的斜率的最小值为 .422【解析】 试题分析：(Ⅰ)分别计算 a,b即得. (Ⅱ)(i)设 P x, y x 0, y  0 ，0  000由 M(0,m)，可得 P x,2m ,Q x,2m . 002m  m mx0 2m  m 3m 得到直线 PM的斜率 ，直线 QM的斜率 .证得. k  k ‘    x0 x0 x0 (ii)设 A x, y , B x, y 1  2  ，12直线 PA的方程为 y=kx+m， 直线 QB的方程为 y=-3kx+m. y  kx  m 2y2 联立 ，x1  4 2222整理得 .2k 1 x  4mkx  2m  4  0 2 m2  2 2 m2  2 32k2 m2  2 应用一元二次方程根与系数的关系得到 x2  x1  ，18k2 1 x 2k2 1 x 18k2 1 2k2 1 x  0006k m2  2 2 m2  2 8k 6k2 1 m2  2  y2  y1   m   m  ，18k2 1 x 2k2 1 x 18k2 1 2k2 1 x  000y2  y1 6k2 1 141得到 kAB 6k  .x2  x1 4k k应用基本不等式即得. 试题解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c， 由题意知 2a  4,2c  2 2 ，所以 a  2,b  a2  c2  2 ，x2 y2 所以椭圆 C的方程为 1 .4215 第 15 页 共 17 页 (Ⅱ)(i)设 P x, y x 0, y  0 0  ，000由 M(0,m)，可得 P x,2m ,Q x,2m . 002m  m mx0 所以 直线PM的斜率 ，k  x0 2m  m 3m 直线 QM的斜率 .k ‘    x0 x0 k ‘ 此时  3 ，kk ‘ 所以 为定值-3. k(ii)设 A x, y , B x, y 1  2  ，12直线 PA的方程为 y=kx+m， 直线 QB的方程为 y=-3kx+m. y  kx  m 2y2 联立 ，x1  4 2222整理得 .2k 1 x  4mkx  2m  4  0 2 m2  2 2m2  4 2k2 1 由x0 x1  可得 x1  ，2k2 1 x 02k m2  2 所以 y1  kx1  m   m ，2k2 1 x 02 m2  2 6k m2  2  m 同理 x2  , y2  .18k2 1 x 18k2 1 x 002 m2  2 2 m2  2 32k2 m2  2 18k2 1 2k2 1 x 所以 x2  x1  ，18k2 1 x 2k2 1 x  0006k m2  2 18k2 1 x 2 m2  2 2k2 1 x 8k 6k2 1 m2  2  y2  y1   m   m  ，18k2 1 2k2 1 x  000y2  y1 6k2 1 141所以 kAB 6k  .x2  x1 4k k16 第 16 页 共 17 页 由m  0, x0  0 ，可知 k>0， 16所以 6k  2 6 ，等号当且仅当 k  时取得. k6m4 8m2 614 7此时 ，即 m  ，符号题意. 662所以直线 AB 的斜率的最小值为 .考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式. 17 第 17 页 共 17 页